Petit casse-tête avec le nombre 2

Le nombre 2 jouit de propriétés assez remarquables, chacun sait cela. Omniprésent dans la Logique pure, l’informatique, il commence à casser les pieds, dès la 2 ème aux potaches qui ont passé honorablement les épreuves des équations du 1 er degré et qui abordent l’ étude de celles du second degré. On dit même facile comme 1 et 1 font 2.

On pourrait presque dire qu’il est le premier nombre puisque zéro, c’est quand il n’y a que dalle, Un c’est quand il commence à y avoir quelque chose, n’importe quel nourrisson de 6 mois a déjà remarqué cela, mais quand apparaît le 2, on pressent que c’est le début d’un quelque chose qui va vous enquiquiner toute votre vie…..

Bref, laissons aux Philosophes le difficile problème de la définition d’ un nombre et amusons-nous avec ce nombre 2

Pour cela je vous propose un petit casse-tête qui pourrait bien faire bouillir vos deux hémisphères cérébraux. Je le pose, ici, en rubrique science car la rubrique jeux et devinettes ne me semble pas satisfaire à certaines conditions.

En utilisant 3 fois le nombre deux, et aucun autre nombre, pouvez-vous écrire n’importe quel autre nombre entier ?

Ou bien pensez-vous qu’il en existe un, plus grand que tous les autres ? Auquel cas pouvez-vous me donner ce nombre ?

Les conditions à respecter sont l’usage des symboles et définitions mathématiques utilisées jusque’ en classe de terminale, inutile d’ aller plus loin. Pas besoin non plus de connaissances en géométrie, en trigonométrie, de savoir ce qu’est une limite ou une dérivée.

A vous de jouer.

Je ne doute pas que quelqu’un saura répondre à ce casse-tête, mais si ce n’est pas le cas, je vous donnerais une petite précision supplémentaire.

A vous de jouer.

il y a 42 minutes, azad2B a dit :

En utilisant 3 fois le nombre deux, et aucun autre nombre, pouvez-vous écrire n’importe quel autre nombre entier ?

J'ai commis une (petite) erreur dans ma question : J'aurais dû écrire :

En utilisant 3 fois le chiffre deux, et aucun autre nombre, pouvez-vous écrire n’importe quel autre nombre entier ?

ainsi 22 / 2 est une solution pour 11

ou 2 . 22 est une solution pour 44

2*(2-2) = 0

2-(2/2) = 1

Je m'arrête là et j'écris tous les nombres entiers en base 2, non?

il y a 11 minutes, riad** a dit :

2*(2-2) = 0

2-(2/2) = 1

Je m'arrête là et j'écris tous les nombres entiers en base 2, non?

2 = 2 * 2/2

3 = 2 + 2/2

4 = 2 √ (2 ²)

J'admet qu'avec des opérations effectuées avec des bases différentes de 10 certaines solutions correctes peuvent apparaître. En jonglant avec une multitude de bases tu obtiendras un bon nombre de solutions acceptables, mais pas toutes.

Et n'oublies pas qu'un nombre, écrit dans une base quelconque doit porter en indice inférieur la valeur de cette base, sinon, on ne s'y retrouverait plus. La base 10, heureusement échappe à cette règle.

Par exemple pour écrire 12 (en base 10) on écrit 12 = 1100 ₂  si 1100 est en base 2. Hélas en base 2, le chiffre 2 n'est jamais écrit

Ve fuis en panne fesse... Un indice ?

il y a une heure, azad2B a dit :

2 = 2 * 2/2

3 = 2 + 2/2

4 = 2 √ (2 ²)

J'admet qu'avec des opérations effectuées avec des bases différentes de 10 certaines solutions correctes peuvent apparaître. En jonglant avec une multitude de bases tu obtiendras un bon nombre de solutions acceptables, mais pas toutes.

Et n'oublies pas qu'un nombre, écrit dans une base quelconque doit porter en indice inférieur la valeur de cette base, sinon, on ne s'y retrouverait plus. La base 10, heureusement échappe à cette règle.

Par exemple pour écrire 12 (en base 10) on écrit 12 = 1100 ₂  si 1100 est en base 2. Hélas en base 2, le chiffre 2 n'est jamais écrit

Donc si j'ai bien compris, je dois tout écrire avec seulement trois fois le chiffre 2 et un certain nombre de symboles, mais là y a un problème, quel que soit le nombre de symbole qu'on va utiliser le nombre de combinaisons qu'on peut faire est toujours fini, comment on peut écrire tous les nombres entiers puisque ces derniers sont infinis?
 

Tu as tout à fait compris, et je dois reconnaître que ta définition du casse-tête est meilleure que la mienne.

il y a 33 minutes, Amaury du Petit Pont a dit :

Ve fuis en panne fesse... Un indice ?

L'indice de base, c'est riad** qui l' a donné. Autant de symboles que tu le souhaite, mais trois fois le chiffre deux, ni un de plus, ni un de moins.

Un petit exemple pour grimper dans les grands nombres

2 ²² = 4194 304

Pour grimper très haut pensez au point d' exclamation ! ( pour la factorielle d'un nombre c'est à dire le produit de tous les nombres compris entre 1 et ce nombre)

( 2 + 2 + 2) ! = 6 ! = 720

22 ! + 2 = 1 124 000 727 777 607 680 000 + 2 = 1 124 000 727 777 607 680 002

Et on s'envole avec 222 !  = 1120507558006441391828246578742885033161823448362010725664180664425751706544896049884554730858912331527222551582158208355091185677704255556649499546150835003041294501592836203788950087902880253311400664495648264845086575793159256069174809550137801963923701418514184652520492639441452609118711474453282037451685103688549156372800995882648661943229479756605490957651656939929600000000000000000000000000000000000000000000000000000

Moins de deux secondes de calcul avec un outil comme Mathematica.

Mais rassurez-vous, le casse tête est tout de même un peu plus sérieux et le nombre de symboles utilisé reste raisonnable quand on reste raisonnable.

Et en prime, il existe une formule générale(et unique) pour n'importe quel nombre cherché, et cette formule est très belle à regarder.

Les amateurs se font rares dirait-on.

Allez un petit coup de pouce, vous semblez en avoir besoin.

Ca a l'air très différent, mais on utilise toujours la même relation que celle du casse-tête avec les 2 mais cette fois avec le nombre représentant l' année en cours : 2018

Ecrire le nombre 1 en utilisant 4 fois le nombre 2018

Ecrire le nombre 2 en utilisant 5 fois le nombre 2018

Ecrire le nombre 3 en utilisant 6 fois le nombre 2018

......

Ecrire le nombre 11 en utilisant 14 fois le nombre 2018

Ecrire le nombre 12 en utilisant 15 fois le nombre 2018

Et ainsi de suite avec toujours la même progression

Ecrire le nombre N en utilisant N+3 fois le nombre 2018

Et si cela peut vous aider, donnez moi n'importe quel nombre autres que 2 et 2018 et je vous proposerais le casse tête correspondant.

Si vous séchez toujours, alors je vous donnerais un gros indice qui devrait vous mettre sur la voie de la découverte de cette relation. Laquelle soit dit en passant n'a rien de remarquable, sauf son aspect esthétique, et ne mérite même pas qu'on s'y attarde outre mesure.

Et si vous vous demandez pourquoi le casse-tête a changé quand on quitte le nombre deux, c'est tout simplement que deux permet de simplifier certaine écriture.... encore une aide et cette fois très importante.

Le 18/09/2018 à 23:43, azad2B a dit :

Un petit exemple pour grimper dans les grands nombres

2 ²² = 4194 304

Pour grimper très haut pensez au point d' exclamation ! ( pour la factorielle d'un nombre c'est à dire le produit de tous les nombres compris entre 1 et ce nombre)

 

Merci, tu m'a appris ça !

Mais... avec un point d'interrogation, "?" ça donnerait quoi, par exemple : 222 ? =  ....

Moi j'ai quand mème réussi à trouver 2, avec trois 2 :

2+2 : 2 = 2

Mais j'ai l'impression que c'est du gaspillage ! Que c'est pas très rentable !

Salut Blaquière !

A ma connaissance le point d’exclamation a deux  usages en Maths: la factorielle et la négation d’une affirmation en logique.

Mais pour ce qui est du point d’ interrogation il n’est qu’à voir l’intérêt que ma petite question suscite dans la flopée de mathématiciens qui pullule sur ce forum pour lui trouver un sens immédiat.

On pourrait dire par exemple

Le point d’interrogation est en Mathématique le symbole que l’on utilise pour désigner le vide intellectuel qui se fait quand un individu est confronté à une question qu’il ne se sent pas capable de résoudre.

Symbole que d’ailleurs la sagesse populaire dans son langage très imagé traduit par

On dirait une poule qu’ a trouvé un couteau.

Expression somme toute assez gentille car face à un couteau, la poule au moins manifeste quelque chose, et humblement dévoile son ignorance. A comparer avec l’ électroencéphalogramme plat des pros du Forum.

Il y a 4 heures, azad2B a dit :

Salut Blaquière !

A ma connaissance le point d’exclamation a deux  usages en Maths: la factorielle et la négation d’une affirmation en logique.

Mais pour ce qui est du point d’ interrogation il n’est qu’à voir l’intérêt que ma petite question suscite dans la flopée de mathématiciens qui pullule sur ce forum pour lui trouver un sens immédiat.

On pourrait dire par exemple

Le point d’interrogation est en Mathématique le symbole que l’on utilise pour désigner le vide intellectuel qui se fait quand un individu est confronté à une question qu’il ne se sent pas capable de résoudre.

Symbole que d’ailleurs la sagesse populaire dans son langage très imagé traduit par

On dirait une poule qu’ a trouvé un couteau.

Expression somme toute assez gentille car face à un couteau, la poule au moins manifeste quelque chose, et humblement dévoile son ignorance. A comparer avec l’ électroencéphalogramme plat des pros du Forum.

Je voulais te dire comment tu fais 3 avec trois 2, mais j'ai trouvé :

2/2+2 Et je suis content de moi !

Comment on fait.... 57 ?

il y a 50 minutes, Blaquière a dit :

Comment on fait.... 57 ?

On ne fait jamais 57.

En dessous de 35, on entre en catalepsie et même si on ne fait pas de cheval, l' hypothermie et la Faucheuse vous guette derrière leurs icebergs, au delà de 46, les carottes sont cuites, et nous avec. 

Impossible de répondre à ta question sans donner en même temps la solution. Car donner la solution pour un nombre comme 57, c'est aussi donner la solution pour tous les autres nombres car la formule est unique.

Salut,

On a effectivement

222! = 1,1205075580064413918282465787429e+426

qui s'écrit avec 427 chiffres, mais aussi

2^(22!) = 1,777930713147619174536286308608e338 357 934 209 204 947 673

qui en comporte 338 357 934 209 204 947 674 , et ne pourra plus être mémorisé sur le disque de l'ordinateur, et

(222!)! ~ 10^(222!*(log(222!)-1)) = 10^(4,7627108179871036133388607952818e+428)

soit environ 4.76e428 chiffres.

Quand à la factorielle exponentielle de 222:

Fe(222) = 222^(221^(220^(219 ... 3^(2^(1)) ... )))

sa valeur est encore plus démesurée et il est hors de question de l'évaluer.

Pour d'autres calculs amusants, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle

Tout à fait et d' ailleurs, ces nombres immenses (que l'on appelle gogols nombres) mais qui existaient bien avant que Google ne devienne ce qu'il est, sont - quand on n'est pas trop gourmand - calculables assez rapidement avec les outils de calculs symboliques que sont Mathematica ou Maple. Pour ce qui me concerne, je possède les deux mais je préfère le premier pour, par exemple les factoriser. Simple question d' habitude sans doute. En tout cas, Mathématica possède sos propre langage de programmation qui en fait un outil remarquable. On peut par exemple écrire des "NoteBooks" qui sont des applications à part entière, inter-actives et qui permettent de résoudre tous les problèmes liés à un sujet déterminé. Jadis on appelait cela des systèmes experts, aujourd' hui de l' intelligence artificielle.

Et puis il existe une communauté très active de passionnés qui mettent souvent en ligne leurs propres NoteBook

https://mathematica.stackexchange.com/questions

Salut,

en base a>1 : 10=a

PS : on est obligé d'utiliser une nombre infini de symbôle car les nombre entier sont en nombres infinis : ( 10 )_a

Bonne journée.

J'en ai une petite énigme, comment écrire, n'importe qu'elle nombre entier, en utilisant une et une seule fois tous les nombres entiers naturels {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}

Les opérations disponiblent sont +,-,^,!,/,E (la partie entière) les parenthéses.

Désolé, mais même quand tu poses une énigme, tu manques de rigueur.

Que veut dire : une et une seule fois tous les nombres de l’ensemble N ?

Parce que si je dois les utiliser tous, même une seule fois, cela va me prendre vraiment trop longtemps .

Sinon, il y a la solution simpliste qui consiste à écrire si N est l’ensemble des entiers naturels  et N_i                                                          

l’ensemble des entiers naturels privé de l’ élément i alors

  i  est l’élément donné par N ∆ N_i   relation dans laquelle ∆  est l’opérateur "différence symbolique" . C’est à dire la difference entre N ∩ N_{i  et} N ∪ N_i 

 Ainsi 18801 =  N ∆ N₁₈₈₀₁

au fait NUN n'a rien à voir avec les nonnes que l'on trouve dans les couvents.

Il y a 4 heures, contrexemple a dit :

PS : on est obligé d'utiliser une nombre infini de symbôle car les nombre entier sont en nombres infinis

Ca alors, même un La Palisse ne l'aurait pas osé !

Bien sûr qu'il faut un nombre infini de symboles, et même un nombre infini de feuilles de papier, d'arbres pour les fabriquer, d'encre ou de stylos à billes pour les écrire. Et je suppose aussi, un nombre infini de cachets d' aspirine pour calmer le mal de tête qu'une telle trouvaille a dû t'occasionner !

Tiens en te lisant on songe à Virgile qui s'il t' avait connu aurait pû écrire, et en Latin bien sûr.

Contrex pluxava pluxepir !