Le mythe de l'irréfutabilité logique

il y a 4 minutes, contrexemple a dit :

La logique mathématique ou métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la fin du xix^e siècle, qui s'est donné comme objet l'étude des mathématiques en tant que langage. (citation wiki)

Ou, de l'art de parler, pour ne rien dire.

C'est du contrexemple pur, dur et toujours semblable à lui-même.

Il y a 1 heure, contrexemple a dit :

L'axiomatisation de la logique est une oeuvre récente, avant on utilisait une logique intuitive des ensembles.

Donc avant que ça change, c'était pas pareil ?

Plus sérieusement, pouvez-vous donner un exemple dans une axiomatisation de théorème qui était vrai et qui est devenu faux ?

Pour le moment, vous vous contentez de constater que la connaissance a progressé.

A+

Entre ce que l'on peut contredire ou ne pas contredire ce n'est qu'une histoire de douleur d'indolore.

Par exemple quand on te dit la bourse ou la vie, et bien tout d'un coup il n'y a plus de contradiction.

Parfois c'est contradictoire car celui qui dit ça devrait dire la bourse ou la vie et la bourse car s'il a l'intention de prendre la vie il prendra la bourse aussi.

Il y a 4 heures, azad2B a dit :

Ou, de l'art de parler, pour ne rien dire.

C'est une citation de wikipédia.

Salut,

Pour montrer cela je disais que les régles de production de la preuve en maths ont changé, certains diront elles se sont précisées avec le temps, mais toujours est-il qu'elles ne sont pas les même qu'aux siècles derniers, pour preuve, je vais donner ici la démonstration issue du cours de Cauchy à polytechnique, sur les valeurs intermédiaires (p 50-51), vous verrez quelle n'ont rien avoir avec les standard actuelles :

https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90195m/f54.image

En fait l'argument de Cauchy consiste essentiellement à parler du dessin, preuve qui serait irrecevable actuellement en maths, mais qui l'était à l'époque de Cauchy.

PS : pour ce qui ne sont pas à l'aise avec les maths voilà à quoi ressemblerait une preuve plus actuelle : 
https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermS/04_continuite_derivabilite_fonction/04_Demonstration_Th_Val_Int.pdf

Cordialement.

Bonjour.

Cauchy faisait des maths avec les connaissances, trop limitées, de son époque. Les hommes préhistoriques faisaient des maths encore moins précises. Il est vrai que la connaissance dans ce domaine a progressé. Je croyais que nous étions en phase sur ce point...

Actuellement, on sait qu'il est nécessaire de définir un cadre (une axiomatique) et des règles logiques. Une fois cela fait, une démonstration est valable ou pas dans une axiomatique donnée.

Avez-vous connaissances de démonstrations vraies dans une système formel à un moment donné qui serait devenue fausses ? Défendez-vous la thèse qu'un tel cas soit possible ? Ou concluons nous ensemble qu'une démonstration valable à un moment donné dans un système donné le sera pour toujours.

A+

il y a une heure, Spontzy a dit :

Cauchy faisait des maths avec les connaissances, trop limitées, de son époque.

Trop limitées, peut-être pas, mais en tout cas privées des définitions - souvent très laconiques - qui aujourd'hui suffisent à définir les conditions d' applications à utiliser pour résoudre un problème donné. D'ailleurs, on doit à Cauchy, lui même, l' élaboration de certaines de ces définitions. Et demander à un contrexemple de comprendre ce que cela implique, est peine perdue.

Réponse blablatique :

J'ai donné une preuve qui était valable à une certaine époque et qui ne l'est plus maintenant (point)

C'est la preuve que les régles qui régissent la constitution de la démonstration mathématiques ont changé au cours du temps.

Et donc on ne peut parler d'irréfutabilité d'une démonstartion logique, vu que les régles changent aux cours du temps.

PS : ici il n'est pas question de démonstartions formelles, mais de maths.

Tchuss

il y a une heure, contrexemple a dit :

PS : ici il n'est pas question de démonstartions formelles, mais de maths. 

Quelle naiveté....

Une méthode pour faire des démonstrations valables a été développée dans l'histoire. Et vous déclarez que les démonstrations faites avant que la méthode ne soit en place réfute la méthode ! Quelle gloubi boulga !

Il y a 3 heures, Spontzy a dit :

Avez-vous connaissances de démonstrations vraies dans une système formel à un moment donné qui serait devenue fausses ? Défendez-vous la thèse qu'un tel cas soit possible ? Ou concluons nous ensemble qu'une démonstration valable à un moment donné dans un système donné le sera pour toujours. 

Pourquoi  refusez vous de répondre à ces questions ? Ca vous fait mal d'y répondre ?

A+

à l’instant, Spontzy a dit :

1/ Une méthode pour faire des démonstrations valables a été développée dans l'histoire. Et vous déclarez que les démonstrations faites avant que la méthode ne soit en place réfute la méthode ! Quelle gloubi boulga !

 

2/ Pourquoi  refusez vous de répondre à ces questions ? Ca vous fait mal d'y répondre ?

1/ Non, on prétend que la preuve math est irréfutable ce n'est pas vrai, il y a des preuves qui étaient valable en maths au siècle dernier et qui ne le sont plus de nos jours.

2/ Ce n'est pas directement le sujet, quand on fait un raisonnement mathématique, on se base rarement sur les régles formelles de la logique, si tentait que cela soit possible, cela rendrait la lecture de la démonstration imbuvable pour un lecteur humain, par exemple : https://www.umsu.de/logik/trees/

voilà une justification de maths qui était correct à son époque, qui aujourd'hui serait qualifié, au mieux, de pseudo maths, ce qui met à bas le mythe de l'irréfutabilité de la démonstration de maths, selon lequel une démonstration correct un jour serait correct pour toujours.

A noter que tous les outils utiliser dans la démo moderne sont connus de Cauchy, mais il ne juge pas nécéssaire de les mettres en oeuvres, en se contentant de raisonner sur le "dessin", ce qui aujourd'hui est considéré comme une hérésie.

Bonjour.

Votre sujet est celui là (je vous cite) :

Citation

Il y a des gens qui pensent que ces règles ne changent pas au cours du temps, ce qui donne l'illusion de l'existence de l’irréfutabilité de la preuve logique.
Si on prend comme exemple la logique au début du 20 e siècle, elle était intuitivement celle qu'à formaliser Frege, mais que Ruselle à réfuter avant la sortie du livre de Frege, ainsi les régles de la logique changent.

Merci de relire votre titre ("le mythe de l'irréfutabilité logique"), alors merci de cesser de ire que le sujet n'est pas la logique.

Et je vous demande donc dans quel cas une preuve (au sens logique) a été vraie dans un système formel et aurait vu son statut changer. Pour le moment, vous n'êtes pas capable de donner un exemple.

Citation

1/ Non, on prétend que la preuve math est irréfutable ce n'est pas vrai, il y a des preuves qui étaient valable en maths au siècle dernier et qui ne le sont plus de nos jours.

Pas dans un même système formel, sinon merci de répondre à la question que j'évoque ci-dessus. Le seul exemple que vous citez donne un cas d'une démonstration faite avant la généralisation des axiomatiques. Et vous comparez une démonstration hors axiomatique avec une démonstration dans ZFC. Heureusement qu'il y a une différence !

Citation

Ce n'est pas directement le sujet, quand on fait un raisonnement mathématique, on se base rarement sur les régles formelles de la logique,

Toute preuve mathématique doit être conforme aux règles de la logique. Tout n'est pas écrit dans une démonstration, par simple principe d'économie, autorisé par le fait que nos connaissances ont déjà démontré des choses.

Citation

voilà une justification de maths qui était correct à son époque, qui aujourd'hui serait qualifié, au mieux, de pseudo maths, ce qui met à bas le mythe de l'irréfutabilité de la démonstration de maths, selon lequel une démonstration correct un jour serait correct pour toujours.

Oui, les connaissances en math et logique ont progressé. Ne saviez vous pas qu'on fait des math un peu différemment des hommes de Cro Magnon ? Et "une démonstration correcte un jour est correcte pour toujours.", c'est vrai dans un système formel (et c'est de cela que vous parlez, voir cotre titre et votre premier message). Voir mes remarques au dessus.

A+

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

Oui, les connaissances en math et logique ont progressé. Ne saviez vous pas qu'on fait des math un peu différemment des hommes de Cro Magnon ? Et "une démonstration correcte un jour est correcte pour toujours.", c'est vrai dans un système formel (et c'est de cela que vous parlez, voir cotre titre et votre premier message). Voir mes remarques au dessus.

Step by step, j'ai commencé par montrer que les preuves maths (qui utilisent la logique maths) ne sont pas irréfutables, pour les preuves de logiques formelles, il faut plus de recul, car la logique formelle, est une construction récente du siècle dernier, c'est encore trop récent, mais je ne désespère pas de trouver dans ce cas aussi un contre-exemple.

Pour une datation des maths, on peut dire que je fais réfèrence aux maths des héllènes, puis revu et corriger au cours des siècles.

Nous savons, je l’ai écrit depuis le départ, qu’une démonstration n’existe que dans une axiomatique. Nous savons tous qu’une démonstration faite dans une axiomatique n’est valable que dans cette axiomatique (sauf démonstration de l’équivalence des axiomatiques). Nous savons par exemple qu’une démonstration faite en logique classique n’est pas toujours acceptable en logique constructiviste.

La valeur d’une démonstration n’a rien à voir avec « le temps ». Dans une axiomatisation, une démonstration est valable ou pas, de tout temps. Vous n’avez toujours pas montré d’exemple de démonstration valable dans une axiomatisation et qui ne le serait plus « plus tard ».

A l’époque de Cauchy, il n’y avait que la géométrie qui était axiomatisée. Donc sa démonstration était faite en dehors des clous.

Par contre, vous avez 2000 ans de démonstrations en géométrie qui vous attendent pour trouver votre exemple. Le fameux, celui que vous cherchez mais n’avez pas trouvé. Ne me dites pas que 2000 ans ce n’est pas assez long…

Donc je résume : vous constatez que les méthodes ont progressé en math et logique. Les homme de Cro-Magnon ne faisaient pas des math comme aujourd’hui, Cauchy non plus (le scoop !!). Vous avez à votre disposition des nombreuses axiomatisations, séculaires ou multi millénaires. Vous n’avez aucun exemple de démonstration valable un jour qui ne le soit plus « plus tard ». Bref, il vous reste bien du pain sur la planche.

PS : c'est quoi cette logique maths de l'époque de Cauchy ?

Citation

les preuves maths (qui utilisent la logique maths)

il y a 47 minutes, Spontzy a dit :

1/La valeur d’une démonstration n’a rien à voir avec « le temps ».

2/A l’époque de Cauchy, il n’y avait que la géométrie qui était axiomatisée. Donc sa démonstration était faite en dehors des clous.

3/Par contre, vous avez 2000 ans de démonstrations en géométrie qui vous attendent pour trouver votre exemple. Le fameux, celui que vous cherchez mais n’avez pas trouvé. Ne me dites pas que 2000 ans ce n’est pas assez long…

4/c'est quoi cette logique maths de l'époque de Cauchy ?

1-2/Ce que propose Cauchy est bien une démonstration de maths, il suffit de lire l'intitullé, valable à l'époque de Cauchy mais plus maintenant.

3/Il existe un équivalent (que je ne retrouve plus, et que je cite de mémoire) de démo en géométrie euclidienne, basé sur le dessin et qui s'est avéré quelques dizaines d'années aprés complétement fausse.

4/La logique intuitive celle qu'utilise tous les matheux de cette époque et qui fait que la démo selon les standards de l'époque est correct, mais pas selon les standards d'aujourd'hui  

Bonjour.

Citation

1-2/Ce que propose Cauchy est bien une démonstration de maths, il suffit de lire l'intitullé, valable à l'époque de Cauchy mais plus maintenant.

démonstration faite en dehors de toute axiomatisation, donc HEUREUSEMENT différente de celle faite proprement dans une axiomatisation.

Citation

3/Il existe un équivalent (que je ne retrouve plus, et que je cite de mémoire) de démo en géométrie euclidienne, basé sur le dessin et qui s'est avéré quelques dizaines d'années aprés complétement fausse.

Laquelle ?

Citation

La logique intuitive celle qu'utilise tous les matheux de cette époque et qui fait que la démo selon les standards de l'époque est correct, mais pas selon les standards d'aujourd'hui

La logique intuitive constructiviste a été formalisée un siècle après Cauchy...

Et c'est rigolo, car en logique intuitive constructiviste, toute fonction réelle est continue. C'est assez ironique, non ?

Alors, quel théorème vrai à une date donnée dans une axiomatique donnée a été vrai et est devenu faux ?

A+

Il y a des tonnes de démonstrations qui se sont avérées fausses...tout simplement parce qu'elles ... étaient fausses...

Celà n'est pas une limite des mathématiques mais une limite des mathémariciens...d'où les processus de validation.

Et il y a des théorèmes vrais dans un cadre mathématique et faux dans un autre cadre.

La somme des angles d'un triangle ne fait pas forcément 180 degrés...mais elle le faisait avant de découvrir d'autres géométries que les géométries euclidienne.

En effet, cette notion d'évolution des démonstrations donc des vérités démontrées par les mathématiques dans le temps est d'une grande naïveté 

Et le théorème de Pythagore en géométrie euclidienne était vrai avant ou après qu'on ne le découvre...

On a juste découvert d'autres géométries 

Bonjour,

@Spontzy @zenalpha j'ai donné l'exemple, d'une démonstration de maths qui était valable à une époque et qui ne l'est plus de nos jours, à cause de l'usage du "dessin" (point)

Bonne journée.

il y a 12 minutes, contrexemple a dit :

Bonjour,

@Spontzy @zenalpha j'ai donné l'exemple, d'une démonstration de maths qui était valable à une époque et qui ne l'est plus de nos jours, à cause de l'usage du "dessin" (point)

Bonne journée.

Et donc ?

Est ce qu'un théorème qui était vrai est devenu faux ou inversement ?

il y a une heure, zenalpha a dit :

Et donc ?

Une démonstration correct un jour n'est pas correct pour toujours.