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Les théorèmes de Gödel et leurs implications

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Invité Quasi-Modo

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Membre, If you don't want, you Kant..., Posté(e)
deja-utilise Membre 5 705 messages
If you don't want, you Kant...,
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Je m'excuse d'être dans l'incapacité de réagir aux commentaires qui m'ont été adressés, toutefois pour lever toute ambiguïté ou raccourcis au sujet de l'exercice cité un peu avant, je mets ci-joint l'énoncé ( exo 1 ), merci d'avance aux participants, dont j'espère que Jedino fera parti, en plus au moins d'Aliochaverkiev et Quasi-modo ( C'est un sujet connexe au Topic lui-même, mais qui ne lui est pas étranger, que Quasi ne m'en tienne nullement rigueur ):

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Merci d'avance aux courageux/motivé !

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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il y a 21 minutes, deja-utilise a dit :

Je m'excuse d'être dans l'incapacité de réagir aux commentaires qui m'ont été adressés, toutefois pour lever toute ambiguïté ou raccourcis au sujet de l'exercice cité un peu avant, je mets ci-joint l'énoncé ( exo 1 ), merci d'avance aux participants, dont j'espère que Jedino fera parti, en plus au moins d'Aliochaverkiev et Quasi-modo ( C'est un sujet connexe au Topic lui-même, mais qui ne lui est pas étranger, que Quasi ne m'en tienne nullement rigueur ):

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Merci d'avance aux courageux/motivé !

En première approximation on peut constater qu'à chaque valeur de n correspond, pour Vn une valeur égale à 1/2^n. (1 sur deux puissance n).

Pour démontrer cette conjecture le mieux est de passer par un raisonnement par récurrence.

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Invité Quasi-Modo
Invités, Posté(e)
Invité Quasi-Modo
Invité Quasi-Modo Invités 0 message
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il y a 25 minutes, aliochaverkiev a dit :

En première approximation on peut constater qu'à chaque valeur de n correspond, pour Vn une valeur égale à 1/2^n. (1 sur deux puissance n).

Pour démontrer cette conjecture le mieux est de passer par un raisonnement par récurrence.

C'est exact en toute apparence.

Je ne suis pas certain de comprendre la nature du problème de déjà-utilisé par rapport à cet exercice, je veux dire que si la formule n'est pas la bonne, il sera impossible de la démontrer!

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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Citation

 

Bon initialisons à 0.

Nous avons V(0) [V indice 0] = ( 0 + 1) U(0) = 1 x 1 = 1 (je pars de la définition de la suite V(n) dans l'énoncé)

Par ailleurs nous avons V(0) = 1/2^0(2 puissance 0) = 1/1 = 1 (je pars de la conjecture)

Donc V(0) définition = V(0) conjecture, pour n = 0

Initialisation donc réussie.

Nous supposons maintenant que V(n) = 1/2^n est vraie et nous allons démontrer que V(n+1) = 1/2^(n+1) est vraie.

Nous avons U(n+1) =[(n+1))/(2n + 4)] x U(n) selon la définition de la suite U(n)

Soit 2(n+2) x U(n+1) = (n+1) U(n)  [je passe (2n + 4) de l'autre côté de l'égalité après avoir factorisé par 2]

Mais (n+1) x U(n) = V(n) [par définition], et V(n) = 1/2^n (par hypothèse de récurrence).

Donc 2(n+2) x U(n+1) = (n+1) U(n) =V(n) = 1/2^n et 2(n+2) U(n+1) = 1/2^n

d'où (n+2) U(n+1) = 1/2^n x 1/2 = 1/2^(n+1)

Mais (n+2) U(n+1) = V(n+1) par définition,

Donc V(n+1) = 1/2^(n+1)

CQFD.

 

 

il y a 2 minutes, Quasi-Modo a dit :

C'est exact en toute apparence.

Je ne suis pas certain de comprendre la nature du problème de déjà-utilisé par rapport à cet exercice, je veux dire que si la formule n'est pas la bonne, il sera impossible de la démontrer!

Ca y est je viens de démontrer que la conjecture est bonne.

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Invité Quasi-Modo
Invités, Posté(e)
Invité Quasi-Modo
Invité Quasi-Modo Invités 0 message
Posté(e)

Sinon pour la dernière question il faut certainement utiliser la relation V(n) = (n+1) U(n).

Sauf erreur, la limite de la suite U(n) est zéro puisqu'on trouve U(n) = V(n)/(n+1) = 1/(2^n * (n+1))

Sachant que 2^n * (n+1) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, nous avons l'inverse d'une valeur infinie qui donne 0.

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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il y a 4 minutes, Quasi-Modo a dit :

Sinon pour la dernière question il faut certainement utiliser la relation V(n) = (n+1) U(n).

Sauf erreur, la limite de la suite U(n) est zéro puisqu'on trouve U(n) = V(n)/(n+1) = 1/(2^n * (n+1))

Sachant que 2^n * (n+1) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, nous avons l'inverse d'une valeur infinie qui donne 0.

Exact

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Invité Spontzy
Invités, Posté(e)
Invité Spontzy
Invité Spontzy Invités 0 message
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Bonjour.

Citation
Il y a 22 heures, Spontzy a dit :

Chiche : vous me montrez comment on fait ? Parceque moi, je ne vois pas. :D

Gros malin va, il vous suffira de consulter la preuve de Gödel et notamment son fameux codage de Gödel. :cool:

Alors on va essayer de faire le job :

Ok Je pars de ma théorie axiomatique (disons ZFC) et j'utilise le codage de Gödel et je détermine une proposition indécidable (notons la "G"). Jusque là, RAS.

C'est à cette étape que je bloque :

Citation

comme toutes celles que nous pourrions dériver de celle-ci en la prenant pour hypothèse

Ca veut dire quoi dans ZFC "prendre A pour hypothèse" ? :ange2:

 

Second sujet : la vérité.

Citation

Bien au contraire, Gödel démontre ou bien que la théorie est incohérente, ou bien que la phrase particulière qu'il a construite est vraie et indémontrable. Le caractère vrai et indémontrable de la proposition qu'il construit pour tout système d'axiome est donc incontournable pour comprendre la profondeur de cette théorie.

Je crois toujours que le "vrai" n'a aucun intérêt. Ce "vrai" est déterminé en dehors de la théorie axiomatique. C'est une vérité de bon sens (de ce que je comprends). Qu'appelez vous "vrai" de votre côté ?

Et je ne vois pas en quoi l'incomplétude perdrait de l'intérêt si on choisissait de dire que la phrase de Godel est fausse, sachant de toute façon que la phrase est indécidable et sa négation également. :D

A+

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Membre, If you don't want, you Kant..., Posté(e)
deja-utilise Membre 5 705 messages
If you don't want, you Kant...,
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Je te réponds sans présager de ce qui suit, car je me suis arrêté à ta réponse et à la " citation " d'Aliochaverkiev juste après, je reprends donc d'ici.

 

Si les développements de Gödel t'intéressent, et de manière accessibles au profane, je te propose de lire: les génies de la sciences n°20 de Pour la Science, intitulé Gödel logique à la folie.

 

En attendant je peux aussi t'apporter ces précisions, qui pourrait peut-être t'aider dans ta compréhension:

Définitions:

• Une théorie axiomatique est dite consistante (ou cohérente ) s’il n’existe pas de proposition dont on puisse démontrer cette proposition ainsi que sa négation.

• Un théorie axiomatique est dite complète s’il n’existe pas de proposition dite indécidable , c’est-à-dire dont l’on ne peut montrer ni cette proposition ni sa négation.

 

 

Le 11/12/2017 à 23:25, Quasi-Modo a dit :

Si nous prenions une base 3 alors 1/3 s'écrirait 0.1 et donc sans infinité de décimales! Tu confonds le fond et la forme sur cet exemple.

Quand j'ai lu rapidement ta réponse la première fois, je me suis dit, il est fort ce Quasi-modo, il a vu d'emblée un truc qui m'avait échappé, aussi simple que ça, et puis... je me suis ravisé dès que j'ai commencé à réfléchir, en effet, cela ne fait que décaler le problème, non le résoudre, car par exemple dans cette base 3 il suffit de vouloir exprimer l'unité - de la base 10 - dedans et on aura là-aussi un infini, en l'occurrence 0,2222222... et on peut même s'attendre à ce qu'il en soit ainsi pour tous les nombres premiers ! Tu ne trouveras aucune base qui l'évite pour tout nombre. Ce que je dis reste donc valide ;)

 

 

Citation

Par rapport à Pi, il existe une procédure qui permet de calculer la i-ème décimale, donc je ne vois pas pourquoi ce serait vide de sens de parler d'infini en l'occurrence!

Mais que l'on puisse calculer pour la base 10 et connaitre d'avance pour la base 2 la n-ième décimale, ne change pas le fait que d'un côté mathématiquement j'utilise un nombre avec une écriture indéfinie, et de l'autre j'ai une construction quand à elle bien finie ! On peut même voir plus simple, c'est la diagonale du carré unité, connue depuis les Pythagoricien, comme une abomination.

Il y a donc bien la mathématique d'un côté, parfois infini et le monde réel de l'autre, fini.

 

Citation

Mais sans doute essayes tu de dire qu'un cercle parfait n'existe pas?

Aussi imparfait soit-il, il existe et est fini, contrairement à son pendant matheux défini certes, mais infini.

 

Citation

Je t'avoue être peu sûr de savoir où tu veux en venir en me donnant ce lien :D

Ce n'est pas grave, il y avait plusieurs points à relever, entre autre l'usage de l'infini " actuel " et celui de " potentiel ", comme du tiers-exclu, et de pouvoir exhiber concrètement une méthode pour construire, calculer ce dont on parle, autrement dit avoir un algorithme que l'on pousse jusqu'à la précision souhaitée, mais sans pousser le vice du jusqu'au-boutisme.

 

Citation

Il faudrait préalablement définir ce qu'est un tas de sable dans ce cas! Mathématiquement il ne suffira jamais de se contenter d'une notion mais tout doit être défini rigoureusement.

Bien, alors laisse-moi te donner d'autres exemples de mon cru cette fois-ci:

Partons de l'ensemble N des entiers naturels auquel je retranche les éléments d'un autre ensemble - E par exemple - qui va de 0 à n, où n est un entier naturel, que l'on pourrait appelé E', que je compare à cet ensemble E.

Et bien pour n'importe quel - le fameux quel que soit - n je peux me convaincre facilement que E' - infini - est plus grand que E, j'avais pris soin de vérifier le rang 0, et maintenant je pose que c'est vrai à n et je vérifie que c'est vrai à n+1, c'est manifestement vrai tout le temps... sauf quand j'ai le vice de pousser le raisonnement jusqu'au bout, i.e. quand je fais tendre n vers l'infini, et bien dans ce cas, j'inverse totalement la donne, c'est E' qui tend vers l'ensemble vide, pendant que E tend vers N: il y a contradiction sur le principe de récurrence !

 

Un autre exemple plus physique cette fois-ci, supposons que l'on veuille peser de la terre à partir d'une balance parfaite ( en solidité, en taille et tutti quanti ), je commence à mettre une pelletée dedans je vois le plateau s'incliner, on peut aussi par esprit de simplification supposer que le Terre est homogène, ce qui fait que j'ai graduellement pour un volume de terre donné un poids qui augmente d'autant proportionnellement, on peut donc par itération successives imaginer qu'il en ira toujours ainsi, c'était vrai au premier rang, c'est vrai les millions d'autres étapes suivantes, sauf qu'à un moment de mon travail il y aura autant de terre dans la balance que ce qui la supporte encore ( oui c'est un travail titanesque, mais bon, c'est une expérience de pensée on ne peine pas trop ), et là on aura atteint le maximum " pesant ", et si je continue, je reviendrais à avoir la balance posée à l'envers sur la Terre. Si j'avais modélisé par une loi les premiers instants, j'aurais tout faux à la fin de l'entreprise, les maths et la réalité font deux.

 

Je pourrais aussi prendre le cas typique de la Vie, mon enfant est né de moi, moi je suis né de mon père, et mon père du sien, il semble bien, de toute évidence, qu'il n'y a que la vie qui engendre la vie, c'était vrai au rang 1, la loi est fixée, cela signifie que même avant la naissance de l'univers lui-même la vie existait à ce petit jeu !?

 

On pourrait s'attarder aussi sur le gaz parfait, où si l'on descend sans cesse la température purement mathématiquement, j'en viendrais à avoir un volume négatif !

 

*********

Ce dont nous discutons me fait inexorablement penser à la gravitation Newtonienne, avec ses effets à distance instantanés, ce n'est pas le monde réel qui est contradictoire, mais bien le modèle, la théorie, et bien, il en va de même avec les mathématiques qui ne sont qu'une approximation du réel, c'est pour cela qu'ils finissent par se mordre la queue, où l'usage immodéré des infinis, l'exclusion du tiers-exclu et le recours à un langage qui souffre des mêmes difficultés que celui naturel sont la source unique de l'embarras dans lequel est plongé la mathématique, non le monde physique lui-même.

 

[ Le but du premier théorème de Gödel est de montrer que, sous certaines conditions, des théories axiomatiques sont forcément incomplètes. Gödel écrit lui-même dans son article de 1931 que son raisonnement est « étroitement apparenté à celui du paradoxe de Richard et au paradoxe du menteur ». Il utilise de même, sans le signaler, un argument diagonal. ] Paradoxe de Richard = Diagonale de Cantor ( autre sujet à caution selon moi à cause des infinis, car cela repose sur une " course " dans les infinis entre N et R ).

 

*****

L'hypothèse du continu pendant que j'y suis: sommairement, si on arrive à comparer N à une droite et R à une surface, et que d'autre part l'on sait qu'il existe des dimensions fractales, comprises entre 1 et 2 ou 2 et 3, il ne reste plus selon moi qu'à créer des nombres " fractals " aussi, et infinis cela va de soi, nous aurons alors résolu l'énigme.

 

 

Citation

Il serait parfaitement possible qu'une démonstration par réccurence montre la fausseté d'une formule!

Ben j'ai à l'esprit l'inverse figure toi, comme tu auras pu sans doute t'en rendre compte !?

 

Citation

En fait c'est une façon pratique de parcourir une infinité de cas avec un nombre fini d'étapes de raisonnement. C'est vraiment le fondement de l'arithmétique!

 

Comme je n'ai pas regardé la suite du Topic, peut-être as-tu jeté un œil à cet exercice, sinon peut-être quelqu'un d'autre, je verrais bien...

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Membre, If you don't want, you Kant..., Posté(e)
deja-utilise Membre 5 705 messages
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Il y a 10 heures, aliochaverkiev a dit :

En première approximation on peut constater qu'à chaque valeur de n correspond, pour Vn une valeur égale à 1/2^n. (1 sur deux puissance n).

Pour démontrer cette conjecture le mieux est de passer par un raisonnement par récurrence.

C'est exactement ce que le fiston a fait, et que je lui " reproche ", comme je le disais un peu avant, de supposer la solution pour l'intégrer dans le problème, puis finir par la retrouver en fin d'exercice, n'est-il pas l'équivalent d'un raisonnement circulaire ? Voilà ce que je dis, comment une conjecture injectée dans le problème peut devenir un résultat, si ce résultat n'est autre que la conjecture initiale ? 

D'autant que je le rappelle, il est trivial avant tout calcul que Vn+1 va donner 1/2exp(n+1) ( puisque Vn est pris pour 1/2exp(n) ) !? Où est l'utilité de développer, on connait déjà la réponse par l'expression elle-même ! Qu'est-ce qu'on a prouvé au juste ?

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Membre, If you don't want, you Kant..., Posté(e)
deja-utilise Membre 5 705 messages
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Le 12/12/2017 à 02:00, Quasi-Modo a dit :

Par ailleurs concernant les implications philosophiques des théorèmes d'incomplétude de Gödel il semble que pour certains (Lucas et Penrose) il permette de réfuter le computationnalisme, tandis que pour d'autres (Marchal ou Webb) il n'en est rien.

Selon Lucas le théorème d'incomplétude démontre que l'homme n'est pas une machine, puisqu'il peut percevoir que la proposition vraie et indécidable construite par Gödel est vraie, bien que non atteignable depuis les axiomes.

Je réitère sans vouloir abuser, si la démonstration des théorèmes d'incomplétude repose sur l'idée du paradoxe du menteur, on peut pourtant en déduire plusieurs choses, sans avoir à refaire les travaux de Gödel.

 

Tout d'abord, le paradoxe n'est que conceptuel encore une fois, aucun menteur n'a été arrêté de stupeur dans son entreprise, il n'y a donc aucune inconsistance, ni incomplétude dans son univers, il le fait c'est tout.

 

Et à nouveau, que la mathématique sans insister lourdement, n'est pas la réalité, mais une abstraction de celle-ci, ces " incompétences " n'engagent donc que son représentant, non la vie réelle, comme les  " incompétences " de notre langage n'engage pas la réalité elle-même, je peux dire des choses qui sont irréelles, qui ne sont pas fondées, qui sont fausses, mais le monde physique ne s'en trouve pas plus affecté que ça !

 

Les infinis sont à prendre avec des pincettes, j'estime qu'ils ne sont pas dignes de confiance, mieux vaut s'en tenir à un nombre aussi grand que l'on veut, fixé d'avance ou potentiellement fixé. Pour reprendre rapidement l'idée du paradoxe de Richards, si l'on tronque les nombres réels à partir de la n-ième décimale dans l'intervalle ] 0, 1 [, on peut dans ce cas faire une bijection entre une sous partie de N et tous ces nombres de l'intervalle, aussi loin que l'on voudra, là je raisonne en tant " qu'analyste " à epsilon près, et comme c'est vrai quel que soit n choisi, on voit bien que tout repose sur une " course " entre les infinis des nombres réels et celui des nombre entier, il ne sont pas sur le même " plan ", mais si l'on accepte une approximation - inévitable dans le monde physique, puisque rien n'est indéfiniment infini - alors on peut produire un résultat radicalement différent de ce qui est tenu pour vrai dans le cas de la manipulation tout azimut des infinis. Voilà ce que j'appellerai une position constructiviste.

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Membre, If you don't want, you Kant..., Posté(e)
deja-utilise Membre 5 705 messages
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Le 12/12/2017 à 14:06, Quasi-Modo a dit :

:D

Je suis sûr que tu as compris où je voulais en venir toi aussi.

Mais cette preuve fameuse d'une proposition à la fois vraie et indécidable pour tout système d'axiomes arithmétiques, apportée par Gödel, est une simple implication des axiomes de la théorie de base (à l'itération 0). La seule chose qu'indécidable signifie c'est qu'on ne peut pas la dériver des axiomes de façon mécanique dans la théorie de base! Mais elle est néanmoins vraie!

Donc il y en a bien une infinité dans la théorie de base elle-même (à l'itération 0) : celle construite directement par Gödel comme toutes celles que nous pourrions dériver de celle-ci en la prenant pour hypothèse ;)

Oui, il y a régulièrement des mathématiciens qui nous révèlent que telle proposition est indécidable, il n'y a certes pas qu'une seule dans le même système d'axiomes, mais delà à dire qu'il y en a une infinité, c'est peut-être en soi une proposition indécidable ! ;)

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deja-utilise Membre 5 705 messages
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Il y a 10 heures, aliochaverkiev a dit :

CQFD.

C'est effectivement ce qu'il a fait, et en cela il fait ce que l'on attend de lui, comme il est indiqué dans tous les livres de math ( comme le condensé " mathématiques de A à Z " A. Larroche et P. Laurent DUNOD ). Néanmoins, cela ne répond pas à mes objections concernant la validité même du principe de raisonnement par récurrence.

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deja-utilise Membre 5 705 messages
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Il y a 18 heures, aliochaverkiev a dit :

En première approximation on peut constater qu'à chaque valeur de n correspond, pour Vn une valeur égale à 1/2^n. (1 sur deux puissance n).

Pour démontrer cette conjecture le mieux est de passer par un raisonnement par récurrence.

Pour ce qui concerne la résolution de cet exercice en particulier, bien que mon propos était de l'utiliser à titre illustratif, on aurait pu se rendre compte, que la suite Vn pouvait s'écrire autrement formellement et en toute rigueur, et non pas par devinette, à partir des données de l'énoncé:

Vn = ( n+1 ) Un où U0 = 1, cela donne V0= 1 aussi ( soit Un = Vn/( n+1 ) )

 

écrivons littéralement Vn+1, puis développons:

Vn+1 = ( (n+1) + 1 ) Un+1 = ( n+2 ) . ( n+1 )/( 2n + 4 ) . Un = ( n+2 )( n+1 )/2( n+2 ) . Un

= ( n+1 )/2 . Un = 1/2 Vn

il vient tout de suite que Vn+2 = ( 1/2 )2 Vn ou que Vn+p = (1/2)P Vn, en prenant n=0, on obtient Vp = 1/2P directement, et ainsi avoir l'expression à calculer sans itération de notre suite Un = 1/( n+1 ) . 1/2n

 

*********

Ce qui m'intéresse encore une fois, ce n'est pas l'exo en lui-même, qui ne présente pas de difficulté particulière, mais l'usage du raisonnement par récurrence en tant que principe ! Ou en tant que méthode, quelle en est alors sa légitimité ? Uniquement ça marche, alors on continue comme ça ou y a-t-il une démonstration de sa validité, d'en faire un " théorème " ? ( Voir mes " contre-exemples " donnés à Quasi-modo )

Poincaré était confiant dans ce principe, alors qu'il était intuitionniste, mais les mathématiciens ont-ils raison de faire confiance à ce guide ? Combien de fois dans l'histoire des mathématiques il y a eu des retournements de situation, comme la fois où l'on prenait pour évident que toute fonction continue était dérivable, il aura fallu attendre qu'un mathématicien arrive à montrer que c'était faux à partir d'un " exemple ", ou que l'on a cherché, persuadé mais en vain, l'expression par radicaux les solutions aux équations algébriques jusqu'à E. Galois.

 

En science on est confiant dans le principe de moindre action ( trouvé empiriquement/par tâtonnement cela dit en passant, et émis par Fermat je crois de mémoire ) également, mais il est posé comme point de départ à appliquer, non comme la résultante d'autres critères/phénomènes plus fondamentaux, comme les forces ou l'énergie, là on est bien dans " ce principe n'a jamais été pris en défaut alors on continue ", mais c'est issu de l'expérience, ce qui est normal et un prérequis en science, en est-il de même en mathématique finalement, contrairement à ce que l'on voudrait - nous faire - croire, sur la grande rigueur/perfection exigée/attendue en math ? 

 

Merci de ta participation et du temps consacré.

 

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Invité Spontzy
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Invité Spontzy
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Bonjour.

Citation

Partons de l'ensemble N des entiers naturels auquel je retranche les éléments d'un autre ensemble - E par exemple - qui va de 0 à n, où n est un entier naturel, que l'on pourrait appelé E', que je compare à cet ensemble E.

Et bien pour n'importe quel - le fameux quel que soit - n je peux me convaincre facilement que E' - infini - est plus grand que E, j'avais pris soin de vérifier le rang 0, et maintenant je pose que c'est vrai à n et je vérifie que c'est vrai à n+1, c'est manifestement vrai tout le temps... sauf quand j'ai le vice de pousser le raisonnement jusqu'au bout, i.e. quand je fais tendre n vers l'infini, et bien dans ce cas, j'inverse totalement la donne, c'est E' qui tend vers l'ensemble vide, pendant que E tend vers N: il y a contradiction sur le principe de récurrence !

Il y a un bug dans le raisonnement : vous définissez E' et E en utilisant n (entier naturel fini). E' contient bien plus d'élément que E tant que la définition est respectée, pour tout n entier naturel. Si vous dites après que n tend vers l'infini, vous ne pouvez plus définir E'.

A+

 

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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Il y a 18 heures, deja-utilise a dit :

C'est exactement ce que le fiston a fait, et que je lui " reproche ", comme je le disais un peu avant, de supposer la solution pour l'intégrer dans le problème, puis finir par la retrouver en fin d'exercice, n'est-il pas l'équivalent d'un raisonnement circulaire ? Voilà ce que je dis, comment une conjecture injectée dans le problème peut devenir un résultat, si ce résultat n'est autre que la conjecture initiale ? 

D'autant que je le rappelle, il est trivial avant tout calcul que Vn+1 va donner 1/2exp(n+1) ( puisque Vn est pris pour 1/2exp(n) ) !? Où est l'utilité de développer, on connait déjà la réponse par l'expression elle-même ! Qu'est-ce qu'on a prouvé au juste ?

Hum...ne passez pas le bac S, vous auriez zéro ! vous n'y êtes pas du tout, il faut que je vous explique votre erreur de raisonnement, mais c'est assez long, vous avez beaucoup de lacunes en math, vous ne comprenez pas l'implication par exemple (pourtant cette relation est étudiée depuis Aristote !).

Bon j'essaye quand même de devenir votre enseignant !

Quand vous écrivez n'importe quelle égalité de type :

Vn = f(n), vous pouvez l'écrire par définition, comme une donnée par vous décidée. V(n) = 2 n par exemple, vous écrivez cela par décision. Donc V(n+1) = 2(n+1) bien sûr !

Mais ici quand nous écrivons Vn = 1/2^n (on emploie le signe ^ plutôt que le signe exp, car exp est le symbole de la fonction exponentielle, c'est pourquoi je ne comprenais rien au début à ce que vous écriviez) nous ne le décidons pas ! nous l'observons. Nous observons que, pour un indice donné, mettons n, nous voyons, après observation, que Vn semble être égal à 1/2^n. Mais V(n) n'est pas du tout défini comme étant égal à 1/2^n ! V(n) est définie comme étant égal à (n+1) U(n) !

Et, bien sûr dans le cadre de cette définition nous avons bien V(n+1) = (n+2) U(n+1), là c'est évident puisque nous appliquons une définition. Mais quand constatons que V(n) = 1/2^n nous ne savons pas si cette constatation est vraie pour toutes les valeurs de n. Pour vous c'est évident ! mais pour un mathématicien absolument pas ! d'autant que les mathématiciens vont trouver des suites de ce type qui vont être vraies pour l'indice n et pas pour l'indice (n+1) !

Le problème des mathématiciens c'est celui-là : est ce qu'une proposition vraie pour l'indice n= 0, n = 1, n = 2, n = n est vraie pour l'indice n+1 ? Pour vous c'est évident mais pour un mathématicien pas du tout ! D'autant que vous avez des suites qui sont vraies pour n = 1, n= 2, etc. et qui ne sont pas vraies soudain pour certaines valeurs de l'indice. Avec votre sens de l'évidence en maths c'est pour le coup que nous ne serions pas sûrs que l'avion qui part de Paris à 12 heures  arrivera bien à Marseille à 13 heures !

 

Votre erreur est la suivante :

Vous tenez pour vraie l'égalité V(n) = 1/2^n.

Or nous ne savons pas si elle est vraie !

Si vous partez de l'idée qu'elle est vraie en soi, bien sûr V(n+1) = 1/2^(n+1).

Il faut que nous prouvions qu'elle est vraie. Vous passez allègrement par dessus l'exigence de démonstration !

 

Cela dit la récurrence pose problème à beaucoup de lycéens de terminales S je vous rassure, c'est une notion complexe. 

 

 

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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Il y a 19 heures, deja-utilise a dit :

 

 

 

 

 

 

 

Partons de l'ensemble N des entiers naturels auquel je retranche les éléments d'un autre ensemble - E par exemple - qui va de 0 à n, où n est un entier naturel, que l'on pourrait appelé E', que je compare à cet ensemble E.

Et bien pour n'importe quel - le fameux quel que soit - n je peux me convaincre facilement que E' - infini - est plus grand que E, j'avais pris soin de vérifier le rang 0, et maintenant je pose que c'est vrai à n et je vérifie que c'est vrai à n+1, c'est manifestement vrai tout le temps... sauf quand j'ai le vice de pousser le raisonnement jusqu'au bout, i.e. quand je fais tendre n vers l'infini, et bien dans ce cas, j'inverse totalement la donne, c'est E' qui tend vers l'ensemble vide, pendant que E tend vers N: il y a contradiction sur le principe de récurrence !

 

Un autre exemple plus physique cette fois-ci, supposons que l'on veuille peser de la terre à partir d'une balance parfaite ( en solidité, en taille et tutti quanti ), je commence à mettre une pelletée dedans je vois le plateau s'incliner, on peut aussi par esprit de simplification supposer que le Terre est homogène, ce qui fait que j'ai graduellement pour un volume de terre donné un poids qui augmente d'autant proportionnellement, on peut donc par itération successives imaginer qu'il en ira toujours ainsi, c'était vrai au premier rang, c'est vrai les millions d'autres étapes suivantes, sauf qu'à un moment de mon travail il y aura autant de terre dans la balance que ce qui la supporte encore ( oui c'est un travail titanesque, mais bon, c'est une expérience de pensée on ne peine pas trop ), et là on aura atteint le maximum " pesant ", et si je continue, je reviendrais à avoir la balance posée à l'envers sur la Terre. Si j'avais modélisé par une loi les premiers instants, j'aurais tout faux à la fin de l'entreprise, les maths et la réalité font deux.

 

Je pourrais aussi prendre le cas typique de la Vie, mon enfant est né de moi, moi je suis né de mon père, et mon père du sien, il semble bien, de toute évidence, qu'il n'y a que la vie qui engendre la vie, c'était vrai au rang 1, la loi est fixée, cela signifie que même avant la naissance de l'univers lui-même la vie existait à ce petit jeu !?

 

On pourrait s'attarder aussi sur le gaz parfait, où si l'on descend sans cesse la température purement mathématiquement, j'en viendrais à avoir un volume négatif !

 

*********

Ce dont nous discutons me fait inexorablement penser à la gravitation Newtonienne, avec ses effets à distance instantanés, ce n'est pas le monde réel qui est contradictoire, mais bien le modèle, la théorie, et bien, il en va de même avec les mathématiques qui ne sont qu'une approximation du réel, c'est pour cela qu'ils finissent par se mordre la queue, où l'usage immodéré des infinis, l'exclusion du tiers-exclu et le recours à un langage qui souffre des mêmes difficultés que celui naturel sont la source unique de l'embarras dans lequel est plongé la mathématique, non le monde physique lui-même.

 

 

 

 

 

Vous confondez beaucoup de notions. Vous confondez la notion de vérité d'une égalité (telle fonction, telle suite prend telle valeur pour telle valeur de la variable) et la notion de limite. Faisons simple, prenons une suite géométrique de premier terme 1  et de raison q= 1/2. Chaque terme de la suite est définie. V(n) = (1/2)^q. Mais la suite tend vers 0, c'est-à-dire qu'à l'infini V(n) = 0. Dans le premier cas nous donnons la valeur numérique d'un élément de la suite, dans le second cas nous étudions une limite. Vous faites confusion de notions.

Par ailleurs les mathématiques travaillent sur des objets précis, des nombres en arithmétique, des points en géométrie. Les mathématiciens ne prétendent pas du tout travailler sur des lois, sur des notions comme la vie, ou je ne sais quoi. Ils n'ont pas cette prétention.

 

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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Il y a 11 heures, deja-utilise a dit :

Pour ce qui concerne la résolution de cet exercice en particulier, bien que mon propos était de l'utiliser à titre illustratif, on aurait pu se rendre compte, que la suite Vn pouvait s'écrire autrement formellement et en toute rigueur, et non pas par devinette, à partir des données de l'énoncé:

Vn = ( n+1 ) Un où U0 = 1, cela donne V0= 1 aussi ( soit Un = Vn/( n+1 ) )

 

écrivons littéralement Vn+1, puis développons:

Vn+1 = ( (n+1) + 1 ) Un+1 = ( n+2 ) . ( n+1 )/( 2n + 4 ) . Un = ( n+2 )( n+1 )/2( n+2 ) . Un

= ( n+1 )/2 . Un = 1/2 Vn

il vient tout de suite que Vn+2 = ( 1/2 )2 Vn ou que Vn+p = (1/2)P Vn, en prenant n=0, on obtient Vp = 1/2P directement, et ainsi avoir l'expression à calculer sans itération de notre suite Un = 1/( n+1 ) . 1/2n

 

*********

Ce qui m'intéresse encore une fois, ce n'est pas l'exo en lui-même, qui ne présente pas de difficulté particulière, mais l'usage du raisonnement par récurrence en tant que principe ! Ou en tant que méthode, quelle en est alors sa légitimité ? Uniquement ça marche, alors on continue comme ça ou y a-t-il une démonstration de sa validité, d'en faire un " théorème " ? ( Voir mes " contre-exemples " donnés à Quasi-modo )

Poincaré était confiant dans ce principe, alors qu'il était intuitionniste, mais les mathématiciens ont-ils raison de faire confiance à ce guide ? Combien de fois dans l'histoire des mathématiques il y a eu des retournements de situation, comme la fois où l'on prenait pour évident que toute fonction continue était dérivable, il aura fallu attendre qu'un mathématicien arrive à montrer que c'était faux à partir d'un " exemple ", ou que l'on a cherché, persuadé mais en vain, l'expression par radicaux les solutions aux équations algébriques jusqu'à E. Galois.

 

En science on est confiant dans le principe de moindre action ( trouvé empiriquement/par tâtonnement cela dit en passant, et émis par Fermat je crois de mémoire ) également, mais il est posé comme point de départ à appliquer, non comme la résultante d'autres critères/phénomènes plus fondamentaux, comme les forces ou l'énergie, là on est bien dans " ce principe n'a jamais été pris en défaut alors on continue ", mais c'est issu de l'expérience, ce qui est normal et un prérequis en science, en est-il de même en mathématique finalement, contrairement à ce que l'on voudrait - nous faire - croire, sur la grande rigueur/perfection exigée/attendue en math ? 

 

Merci de ta participation et du temps consacré.

 

Oui en effet on pouvait aussi démontrer que la suite Vn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme = 1. Il s'en suit directement que V(n) = 1/2^n. Et là c'est vrai et du coup en effet V(n+1) = 1/2^(n+1).

Cet exo de maths est un peu limite. Le prof a surtout voulu trouver un énoncé pour forcer les élèves à utiliser la récurrence. Mais il était possible de ne pas utiliser la récurrence pour répondre à la question.

Revenons au raisonnement par récurrence.

 

Il consiste à démontrer la vérité d'une proposition mathématique qui est elle-même formulée en fonction de n (nombre naturel).

Par exemple démontrer que la somme des carrés des n premiers nombres (naturels) = n(n+1)(n+2)/6

Appelons cette somme V(n). Si je la tiens pour vraie en soi bien sûr j'en déduis V(n+1).

Mais justement est elle vraie ?

Je vais la supposer vraie. Bon, vous me dites, ah mais si vous la supposez vraie vous en déduisez aussitôt V(n+1) !

Non, je ne vais pas procéder ainsi, je vais supposer qu'elle est vraie pour n et je vais utiliser la définition de la suite pour voir à quoi est égale la somme des (n+1) premiers termes. Et si je trouve que la somme des (n+1) premiers termes est égale à (n+1) (n+2)(2 (n+1) +1)/6 alors je pourrai dire que la proposition est vraie pour (n+1) et je dirai ensuite que la proposition est vraie pour tout n, pourquoi ? parce que j'aurais initialisé la proposition pour n= 0.

Regardez bien l'effet de l'initialisation. J'ai démontré que la proposition est vraie pour n= 0, puis je démontre que si elle est vraie pour  n et qu'elle est vraie alors pour (n+1) elle est vraie pour tout n. Supposons que n= 0. Je démontre que la proposition est vraie pour n +1 soit ici 1. Je trouve que la proposition est vraie. Et ainsi de proche en proche. Je sais que la proposition est vraie pour 1 maintenant, je prouve qu'elle est vraie pour 2, sachant qu'elle est vraie pour 1. Etc. Au fond il suffit de prouver qu'elle est vraie pour (n+1) sachant qu'elle est vraie pour n et d'utiliser cette démonstration de proche en proche à partir de l'initialisation pour démontrer qu'elle est vraie pour tout n.

C'est génial, sauf que le doute s'installe. Et si la proposition était fausse pour n ?  Logiquement dans mon calcul de (n+1) je devrais avoir un problème, car je vais partir d'une proposition fausse pour ma démonstration. Et en effet dans ma démonstration je vais trouver que la proposition n'est pas vraie pour tout n, et je devrais faire des restrictions (en général dans ces cas là l'initialisation doit être faite, à 2, 3 ou 4).

Bon prenons une suite V(n) quelconque qui est vraie pour n= 1 par exemple mais qui est fausse pour n= 5 et mettons que je ne le vois pas. J'initialise correctement pour n= 1.

Maintenant je suppose qu'elle est vraie pour n et je démontre que, si elle est vraie pour n elle est vraie pour (n+1). Verrai je qu'elle est fausse pour n = 5. Oui car n prend toutes les valeurs possibles dont la valeur 1 pour laquelle la proposition est vraie. Mais n prend aussi la valeur 4 qui est encore vraie. Je vais donc trouver pour n+1 des conditions de vérité dans ma démonstration. Je trouverai que pour n = 4, oui la proposition est vraie mais je serai incapable de démontrer que c'est vraie pour n= 5 (puisque c'est faux !). Mais je n'aurai pas besoin de remplacer n par 4 pour le voir. Car comme  n prend toutes les valeurs possibles, forcement dans ma démonstration, mon raisonnement me conduira à des contradictions pour telle ou telle valeur de n. J'aurais une expression finale, fonction de n, qui n'apparaitra pas vraie pour toutes les valeurs de n. 

 

 

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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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La question est tout de même celle-ci :

Et si la proposition que je suppose vraie pour n, avant de démontrer qu'elle est vraie pour (n+1) était fausse ? Suis-je sûr que, d'une proposition fausse, je ne peux déduire qu'une proposition fausse ? Ce n'est pas sûr. Et c'est tout le problème de l'implication.

Qu'une "proposition fausse implique une proposition vraie" est elle-même une proposition vraie, c'est vérifié dans la table de vérité de l'implication. 

Il y a quand même un doute sur la récurrence.

Mais comment démontrer qu'une proposition est fausse ? En trouvant un cas qui l'infirme. 

Il est possible que les logiciens se soient emparés de ce problème et aient démontré que le raisonnement par récurrence ne pouvait pas être faux. Mais il me semble que c'est un axiome. Donc il est impossible que quinconce ait pu démontrer que la récurrence pouvait être fausse.

Bon la question est ouverte, mais c'est trop long, pour moi, de m'attaquer à ce problème.

Toujours est-il que personne pour le moment n'a pu citer un seul cas qui mettrait en défaut la récurrence.

  • Merci 1
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aliochaverkiev Membre 1 978 messages
Baby Forumeur‚
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Oui c'est bien un axiome de Peano ce principe de récurrence encore que ce soit en fait un mathématicien du 16 siècle  qui l'a émis la première fois, Francisco Maurolico.

Il y a quelque chose de circulaire dans ce principe. Si la proposition P(0) est vraie et si la proposition  : "P(n) implique P(n+1)" est vraie alors P(n) est vraie selon ce principe. Mais, pour démontrer l'implication nous supposons que P(n) est vraie ! Donc nous supposons que P(n) est vraie pour démontrer que P(n) est vraie.

La question est : que se passe-t-il quand, supposant que P(n) est vraie,  celle-ci est en fait fausse ? Sommes nous sûrs, que dans TOUS LES CAS nos arriverons à des aberrations de raisonnement ? 

 

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Invité Spontzy
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Invité Spontzy
Invité Spontzy Invités 0 message
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Oui nous en sommes sûrs, sauf à refuser le tiers exclus.

Mais comme on le sait bien, ce tiers exclus n'est maintenant plus discutable dans ZFC.

A+

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