Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Bonsoir Deja-utilise.

Toutes ces histoires de logiques sont bien compliquées pour pas grand chose.

Il y a bien qq différences mais globalement utiliser ZFC est bien pratique.

Par exemple, en logique constructiviste, le tiers exclus n'est pas un axiome (par choix philosophique) mais reste simplement un théorème (Diaconescu - orthographe ?) pour peu qu'on accepte l'axiome du choix. C'est pas franchement révolutionnaire comme différence.

A+

il y a 12 minutes, deja-utilise a dit :

Quand j'ai parlé d'ensemble, c'était pour illustrer les limitations des mathématiques, cela n'avait pas trait directement aux théorèmes d'incomplétude ou de complétude, en revanche cela permettait de faire un parallèle avec l'astuce utilisée par Gödel et transposée dans sa codification pour sa démonstration, à savoir qu'il utilise le paradoxe du menteur, dont j'ai également touché un mot, les deux se rejoignent sur l'auto-référencement, d'où mon allusion aux ensembles.

 

Étant donné que je suis à la fois intuitionniste et constructiviste, je ne peux pas me satisfaire des mathématiques " classiques ", entre autre, du principe de tiers-exclu et de l'usage inconsidéré du raisonnement par l'absurde corrélativement. 

 

Comment 1/3 pourrait avoir une infinité de décimales en mathématique et en même temps de pouvoir exhiber un objet fini du monde réel qui est le tiers d'un ensemble ? Comment me serait-il possible de donner indéfiniment ( aussi précisément que je le voudrais ) une valeur à Pi de manière purement empirique, sachant que tôt ou tard je buterai sur une apparence fractale/discrète de la matière, à quoi peut bien correspondre les milliards de décimales si je suis incapable d'aller en dessous disons de la distance interatomique de la matière, car tant que je suis - suivre - la matière, je peux mesurer la ligne matérialisée par ses constituants, mais en deçà de cette échelle je suis dans le " vide ", dois-je y aller en ligne droite, avec une courbe et de quelle rayon de courbure ?, et les atomes ne sont pas nécessairement bien positionnés sur une ligne définie théoriquement. L'infini est un mot vide de sens tout simplement ! 

Les mathématiques sont comme un jeu de construction à partir de briques " bien " ( suffisamment pour jouer ) définies, pouvons-nous soutenir que ce jeu même si il s'inspire de la réalité, corresponde à la réalité ? Comme n'importe quel jeu de société n'est pas non plus la réalité. Dans un autre domaine, le sport est-il la vraie vie dans son entièreté, ou qu'un succédané, un ersatz ou un simulacre, bien que prenant racine en elle ? 

 

Par exactement: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_(mathématiques)

 

 

Ça me fait plaisir que tu mettes ceci sur le tapis, car j'ai justement des griefs contre le raisonnement par récurrence.

Tout d'abord, il y a le contre-exemple du tas de sable, si je pars d'un tas de sable constitué, le rang 1, puis que j'enlève un grain de sable, j'ai toujours un tas de sable, et ce à partir de n'importe quel grain de sable, de n vers n+1, c'est donc vrai, pourtant on sait bien que cette itération a une limite, au pire quand il ne reste plus qu'un seul grain de sable !

De plus, l'autre jour mon fils avait un exo de math qui réclamait ce principe, il faut pourtant bien avoir à l'esprit, que le raisonnement n'est pas formel ( le principe n'est pas mauvais en soi, c'est dans son application que le bât blesse je trouve ), mais part d'une intuition, d'un pressenti, l'élève pense que la formule qu'il cherche est celle-ci, puis en l'intégrant dans son raisonnement à partir du rang n, il cherche à trouver l'expression au rang n+1 en s'appuyant sur les données de l'exercice, qui doit normalement le reconduire à la formule devinée mais avec l'indice n+1 cette fois, il vient donc deux questions, la première comment s'assurer que la formule extrapolée ne soit pas fausse et donne malgré tout un résultat conforme aux attentes, la seconde, plus sérieuse je trouve, comment peut-on partir d'une formule que l'on pense être la solution, l'incorporée dans les calculs et se féliciter de la retrouver en fin de parcours, n'est-ce pas là utiliser la " réponse " pour prouver la... réponse ?

Par exemple, incomplet, il était parti de l'hypothèse que sa suite devait s'exprimer ainsi Vn = 1/2exp(n), pourtant avant aucun calcul on voit de suite que V(n+1) = 1/2exp( n+1) ? Ce sur quoi il retombe après une page de calculs et de développement ! Et son prof a dit bingo    Pour moi c'est une simple tautologie ? ( je suis un peu fatigué en ce moment, peut-être que je suis à côté de la plaque, ce qui est plus que probable cela dit en passant, mais je pense que d'en discuter cela devrait me permettre de mieux cerner ce problème - de raisonnement par récurrence - qui me turlupine quelque peu, j'attends donc tes remarques... )

 

 

Il y a quelque chose qui ne va pas dans votre présentation, ou plutôt il y a quelque chose d'incomplet. 

La suite doit avoir une expression générale dont il faudrait que vous me donniez l'énoncé.

Puis, étant donné cette expression de base, il faut sans doute démontrer, par récurrence, que Vn= 1/2 de exp(n)

[Vous faites une confusion entre l'indice n (qui indice le rang d'un terme de la suite) et l'exposant n qui indique une puissance]

A déjà utilisé

Supposez que vous deviez démontrer par récurrence que :

2^n (2 puissance n) > (ou égal )  à n²

Si au lieu d'écrire 2^n vous écrivez Vn, cela devient Vn > n².

Si vous partez de cette écriture bien sûr il ressort que V(n+1) > (n + 1)²

Mais vous n'avez rien démontré !

Il faut partir de l'expression générale de Vn (ici 2^n)

Partons d'ailleurs de cette inégalité 2^n > n² et démontrons la par récurrence.

Il faut l'initialiser. Ici nous l'initialisons à n= 4 (car la proposition n'est pas vérifiée pour n = 3).

Nous avons bien 2^4 > (ou égal) à 4²  Maintenant nous la supposons vraie pour n et nous devons la démontrer pour (n+1) [hérédité]

Nous savons bien sûr que nous devons arriver à 2^(n+1) > (n+1)² (je laisse tomber le "ou égal" par commodité d'écriture)

Mais nous ne devons surtout pas partir de cette expression ! Nous devons la démontrer.

Comment ?

En partant de notre hypothèse supposée vraie : 2^n > n²

Nous avons donc 

2^n > n²

2^n x 2 > 2n²

2^(n+1) > n² + n²  ;  mais n(n-2) > 1 car n est plus grand  ou égal à 4, soit n² -2n > 1 et n² > 2n + 1

d'où 2^(n+1) > n² + 2n + 1 > (n + 1)²

Et là nous avons effectué une démonstration.

@Jedino : En fait il y a semble-t-il une "erreur" dans la vulgarisation de sciencetonnante lorsqu'il affirme que cohérence et complétude sont incompatibles, ce qui peut porter à confusion, ma première réaction était donc fondée semble-t-il, le premier théorème d'incomplétude montre seulement que l'incomplétude est une implication de la cohérence, sans pour autant que la preuve de l'incomplétude soit la preuve de la cohérence. L'implication semble n'aller que dans un sens. Sinon effectivement la preuve de l'indécidabilité de l'hypothèse du continu dans ZFC aurait déjà prouvé la cohérence de ZFC depuis belle lurette!

Je reviendrai lire les messages précédents, alors soyez sages! 

Il y a 1 heure, deja-utilise a dit :

Comment 1/3 pourrait avoir une infinité de décimales en mathématique et en même temps de pouvoir exhiber un objet fini du monde réel qui est le tiers d'un ensemble ? Comment me serait-il possible de donner indéfiniment ( aussi précisément que je le voudrais ) une valeur à Pi de manière purement empirique, sachant que tôt ou tard je buterai sur une apparence fractale/discrète de la matière, à quoi peut bien correspondre les milliards de décimales si je suis incapable d'aller en dessous disons de la distance interatomique de la matière, car tant que je suis - suivre - la matière, je peux mesurer la ligne matérialisée par ses constituants, mais en deçà de cette échelle je suis dans le " vide ", dois-je y aller en ligne droite, avec une courbe et de quelle rayon de courbure ?, et les atomes ne sont pas nécessairement bien positionnés sur une ligne définie théoriquement. L'infini est un mot vide de sens tout simplement ! 

Si nous prenions une base 3 alors 1/3 s'écrirait 0.1 et donc sans infinité de décimales! Tu confonds le fond et la forme sur cet exemple.

Par rapport à Pi, il existe une procédure qui permet de calculer la i-ème décimale, donc je ne vois pas pourquoi ce serait vide de sens de parler d'infini en l'occurrence!

Mais sans doute essayes tu de dire qu'un cercle parfait n'existe pas?

Il y a 1 heure, deja-utilise a dit :

Par exactement: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_(mathématiques)

Je t'avoue être peu sûr de savoir où tu veux en venir en me donnant ce lien

Il y a 1 heure, deja-utilise a dit :

Tout d'abord, il y a le contre-exemple du tas de sable, si je pars d'un tas de sable constitué, le rang 1, puis que j'enlève un grain de sable, j'ai toujours un tas de sable, et ce à partir de n'importe quel grain de sable, de n vers n+1, c'est donc vrai, pourtant on sait bien que cette itération a une limite, au pire quand il ne reste plus qu'un seul grain de sable !

Il faudrait préalablement définir ce qu'est un tas de sable dans ce cas! Mathématiquement il ne suffira jamais de se contenter d'une notion mais tout doit être défini rigoureusement.

Il y a 1 heure, deja-utilise a dit :

Par exemple, incomplet, il était parti de l'hypothèse que sa suite devait s'exprimer ainsi Vn = 1/2exp(n), pourtant avant aucun calcul on voit de suite que V(n+1) = 1/2exp( n+1) ? Ce sur quoi il retombe après une page de calculs et de développement ! Et son prof a dit bingo    Pour moi c'est une simple tautologie ? ( je suis un peu fatigué en ce moment, peut-être que je suis à côté de la plaque, ce qui est plus que probable cela dit en passant, mais je pense que d'en discuter cela devrait me permettre de mieux cerner ce problème - de raisonnement par récurrence - qui me turlupine quelque peu, j'attends donc tes remarques... )

Il serait parfaitement possible qu'une démonstration par réccurence montre la fausseté d'une formule!

En fait c'est une façon pratique de parcourir une infinité de cas avec un nombre fini d'étapes de raisonnement. C'est vraiment le fondement de l'arithmétique!

Il y a 12 heures, Quasi-Modo a dit :

Dans la théorie de ZFC majoritairement plébiscitée de nos jours il n'y a toutefois pas d'ensemble qui se contienne lui-même, donc nous pourrions prendre les choses à l'envers et supposer qu'une contradiction dans la théorie (comme le paradoxe de Russell fût une contradiction dans la théorie des ensembles naïve) implique une absence de rapport à la réalité. En d'autres termes il n'y a pas de différence entre théorie et pratique. Si il y en a une c'est seulement que la théorie est mal conçue

Il me semble que c'est déjà le cas, les mathématiciens procèdent de façon constructive et récursive, dans le raisonnement par récurrence qui est le fondement de l'arithmétique. Sans raisonnement par récurrence (qui procède de façon constructive : si P est vrai au rang 1 et que la vérité de P au rang n implique la vérité de P au rang n+1 alors c'est vrai de tout n). Sans ce principe de récurrence les mathématiques seraient réduites à néant (pour le moins l'arithmétique!).

 

Il y a bien des approximations sur ce fil ! Bon je vais plutôt me concentrer sur la raisonnement par récurrence.

Si P est vrai au rang 1...etc.

En fait il y a un réel problème. Par exemple dans l'initialisation de l'inégalité 2^n > n² nous voyons que ça marche pour n = 0 , n = 1, n = 2, mais pas n =3 !

Si j'initialise à n = 1 alors ? 

Et si je dois initialiser à 2, 3, 4 , quand suis-je sûr que mon initialisation est enfin la bonne ?

Enfin les hommes ne connaissaient pas avant "il y a peu" le raisonnement par récurrence, et pourtant ils utilisaient l'arithmétique. N'oubliez pas que les maths, in fine, c'est pour agir que nous les utilisons, pas pour s'allonger à rien faire d'autre que de chercher éternellement des failles; tant que ça marche, ça marche. 

Bon, par ailleurs Gödel n'apporte rien de nouveau. Depuis l'antiquité tous avaient remarqué que les axiomes de base n'étaient pas démontrés. C'est plutôt l'approfondissement des maths et, paradoxalement, l'étude du cinquième postulat d'Euclide, indémontrable parmi les indémontrables, qui a poussé à aller plus loin dans la construction des maths. Construction dont tout le monde savait qu'elle n'était pas achevée. Ce que Gödel nous dit, c'est que nous ne pourrons pas achever cette construction. C'est à dire que quoi que nous fassions nous nous retrouverons dans la situation qui prévalait avant 1850 environ après avoir quand même repoussé les limites connues des maths. Situation qui n'a pas empêché la révolution industrielle, ni les avancées de la physique. Car s'il y a les hommes qui regardent, les spectateurs, qui disent : ouille ouille, c'est pas démontré", ouille, ouille, mon avion peut s'écraser, il y a les acteurs, qui font le monde, agissent et se fondent sur l'expérience et la conquête, pas sur le "ouille" ouille" " ouille, je ne suis pas sûr de tout, ouille, ouille je n'ai pas la certitude sur tout !" 

Non, nous ne serons jamais sûrs de tout, jamais, le monde est sans cesse à explorer, à conquérir, à construire. C'est à coup d"hypothèses que nous avançons, pas à coups de certitudes, il n'existe aucune certitude.

Je vous ferai remarquer que rien ne vous assure non plus que le monde existera encore demain. Rien, rien, absolument rien n'est démontré !!! 

Vous avez un besoin de sécurité très intense dites moi !

il y a 24 minutes, Quasi-Modo a dit :

Si nous prenions une base 3 alors 1/3 s'écrirait 0.1 et donc sans infinité de décimales! Tu confonds le fond et la forme sur cet exemple.

Par rapport à Pi, il existe une procédure qui permet de calculer la i-ème décimale, donc je ne vois pas pourquoi ce serait vide de sens de parler d'infini en l'occurrence!

Mais sans doute essayes tu de dire qu'un cercle parfait n'existe pas?

Je t'avoue être peu sûr de savoir où tu veux en venir en me donnant ce lien

Il faudrait préalablement définir ce qu'est un tas de sable dans ce cas! Mathématiquement il ne suffira jamais de se contenter d'une notion mais tout doit être défini rigoureusement.

Il serait parfaitement possible qu'une démonstration par réccurence montre la fausseté d'une formule!

En fait c'est une façon pratique de parcourir une infinité de cas avec un nombre fini d'étapes de raisonnement. C'est vraiment le fondement de l'arithmétique!

Hum je vois que mes doués en math ne parviennent pas à répondre à "déjà utilisé" ! Mes doués en maths ne voient même pas que "déjà utilisé" se goure dans l'expression de sa suite ! 

Bon vous recopiez des textes entiers piqués sur internet...comme d'habitude.

Parler savamment des maths et ne pas voir l'absurdité d'un énoncé pourtant évidente à détecter est assez navrant.

il y a 22 minutes, aliochaverkiev a dit :

Si j'initialise à n = 1 alors ? 

Et si je dois initialiser à 2, 3, 4 , quand suis-je sûr que mon initialisation est enfin la bonne ?

Je suis tenté de vous répondre que la bonne initialisation sera celle qui vous permet de montrer ce que vous désirez montrer!

Dans tous les cas le raisonnement par récurrence traite une infinité de cas à l'aide d'un raisonnement fini.

Certains y ont même vu une forme de jugement synthétique à priori

il y a 1 minute, aliochaverkiev a dit :

Hum je vois que mes doués en math ne parviennent pas à répondre à "déjà utilisé" ! Mes doués en maths ne voient même pas que "déjà utilisé" se goure dans l'expression de sa suite ! 

Bon vous recopiez des textes entiers piqués sur internet...comme d'habitude.

Parler savamment des maths et ne pas voir l'absurdité d'un énoncé pourtant évidente à détecter est assez navrant.

Vous pouvez penser ce que vous voulez, je n'ai rien recopié de nulle part en particulier

Et mes capacités de compréhension vont très bien, donc merci d'éviter les attaques injustifiées.

Parfois les soit disant erreurs de fond sont seulement des erreurs de forme. Si vous avez une question ou quelque chose à apporter merci de le préciser, jouer à qui possède la plus grosse n'a jamais été constructif

il y a 29 minutes, aliochaverkiev a dit :

Bon, par ailleurs Gödel n'apporte rien de nouveau.

C'était la blague du jour, vous pouvez reprendre une activité normale 

Par ailleurs concernant les implications philosophiques des théorèmes d'incomplétude de Gödel il semble que pour certains (Lucas et Penrose) il permette de réfuter le computationnalisme, tandis que pour d'autres (Marchal ou Webb) il n'en est rien.

Selon Lucas le théorème d'incomplétude démontre que l'homme n'est pas une machine, puisqu'il peut percevoir que la proposition vraie et indécidable construite par Gödel est vraie, bien que non atteignable depuis les axiomes.

Il y a 22 heures, Quasi-Modo a dit :

Et bien si dans un système d'axiome où les théorèmes d'incomplétude s'applique, vous pouvez trouver une seule proposition indécidable, cela signifie qu'elle peut être vraie ou que son contraire peut être vrai. Donc vous pouvez ajouter cette proposition (ou son contraire) en tant qu'axiome. Et on en déduit d'emblée l'existence d'une autre proposition indécidable liée à ce nouveau système d'axiome. Et vous pourrez à nouveau ajouter cette nouvelle proposition indécidable (ou son contraire) au nouveau système d'axiome. Donc il est possible de rajouter indéfiniment des axiomes portant sur des propositions vraies bien qu'elles soient indécidables.

@Spontzy : Ceci montre bel et bien qu'il y a une infinité de propositions à la fois indécidables ET vraies dans une théorie dotée d'un système d'axiome suffisamment puissant pour exprimer l'arithmétique. Ou alors in extremis il faudrait admettre que nous racontons des conneries sur l'arithmétique depuis toujours

En effet, la vérité indécidable que nous pourrions construire et ajouter récursivement comme axiome dans le système d'axiome considéré appartient bien toujours à la même théorie. C'est pourquoi selon certains comme Lucas par exemple, une machine ne pouvant jamais énumérer toutes les vérités auxquelles un humain aura accès en procédant mécaniquement depuis les axiomes, cela montre la fausseté du computationnalisme selon lequel la pensée humaine serait un calcul.

Bonjour.

Citation

ajouter récursivement comme axiome dans le système d'axiome considéré appartient bien toujours à la même théorie

Sauf erreur de ma part, ajouter un axiome à une théorie fait qu'on modifie la théorie. Par exemple, on passe de ZF à ZFC qui sont deux théorie axiomatiques distinctes.

Du coup, Godel montre qu'il existe au moins une proposition indécidable par théorie, pas une infinité.

A+

il y a une heure, Spontzy a dit :

Bonjour.

Sauf erreur de ma part, ajouter un axiome à une théorie fait qu'on modifie la théorie. Par exemple, on passe de ZF à ZFC qui sont deux théorie axiomatiques distinctes.

Du coup, Godel montre qu'il existe au moins une proposition indécidable par théorie, pas une infinité.

A+

Et bien je comprends ton raisonnement, et c'est vrai que j'avais très mal formulé l'idée, mais bien qu'indécidable nous savons que cette proposition (à priori unique) construite par Gödel est vraie (c'est ça qui est diabolique)

En gros si tu démontres qu'il y a une seule proposition vraie et indécidable dans un système d'axiome, tu démontres tu même coup qu'il y en a une infinité, puisque tu pourras toujours ajouter cette proposition vraie et reconstruire une autre proposition (tout aussi vraie) dans cette nouvelle théorie.

Mais même après 2 ou 3 itérations, la méthode de Gödel pour construire la proposition appartiendra toujours à la théorie d'origine en étant vraie. Ou alors il faut supposer que du vrai on puisse déduire du faux.

NB : OU alors nous nous sommes trompés sur l'arithmétique jusqu'à présent

Citation

cette proposition (à priori unique)

Je n'ai pas dit unique ! J'ai dit au moins une. Dans ZFC, il y a plusieurs proposition indécidables connues.

J'ai surtout dit, "pas une infinité". Enfin à ma connaissance.

Citation

En gros si tu démontres qu'il y a une seule proposition vraie et indécidable dans un système d'axiome, tu démontres tu même coup qu'il y en a une infinité, puisque tu pourras toujours ajouter cette proposition vraie et reconstruire une autre proposition (tout aussi vraie) dans cette nouvelle théorie.

Disons que vous exhibiez une proposition indémontrable dans une théorie axiomatique. Vous pouvez la poser en axiome dans une autre théorie axiomatique. Donc on peut dire qu'il existe une infinité de propositions indécidables dans toutes les théories axiomatiques. Mais cela n'a aucun intérêt. Quand on fait des maths, on choisit une théorie axiomatique et on travaille dedans. On ne travaille pas dans plusieurs théories en même temps.

Citation

Mais même après 2 ou 3 itérations, la méthode de Gödel pour construire la proposition appartiendra toujours à la théorie d'origine en étant vraie. Ou alors il faut supposer que du vrai on puisse déduire du faux.

Faux. Si vous avez ajouté 2 ou 3 axiomes à la théorie d'origine, vous n'êtes plus dans la théorie d'origine. Vous êtes dans une autre théorie axiomatique, dans laquelle vous pouvez encore trouver une proposition indécidable.

A+

Le ‎10‎/‎12‎/‎2017 à 04:20, Quasi-Modo a dit :

Bonjour,

 

Pour faire un points rapide, nous savons depuis les travaux de Kurt Gödel, non seulement que dans toute théorie récursivement axiomatisable et suffisamment puissante pour exprimer l'arithmétique, la complétude et la cohérence sont incompatibles, mais nous savons également, ce que peu auront compris, qu'il existe une infinité de vérités mathématiques indémontrables! Non seulement elles sont indémontrables mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies.

J'y vois une implication dramatique (si ce n'est un coup de grâce) pour les partisans du nominalisme d'Ockham (ainsi qu'au formalisme mathématique en philosophie des sciences), et en faveur des réalistes dans la querelle des universaux : si il existe bien une infinité de vérités indémontrables, cela montre non seulement que toutes les vérités ne peuvent pas être construites à l'aide de l'application mécanique d'axiomes et de règles d'inférences ou de grammaires, et donc qu'il faudra bien accorder une existence aux vérités en général qui soit indépendante des vérités empiriques particulières.

Pire encore, le seconde théorème d'incomplétude du même Gödel aura mis en évidence que la cohérence (càd l'absence de contradiction interne) des mathématiques fait partie des propositions indécidables. Cela signifie qu'il sera à jamais impossible de prouver que les mathématiques sont exemptes d'incohérences, et donc que toute affirmation scientifique fondée sur des calculs mathématiques est indémontrable en dernière instance. Donc si vous croyez qu'une éclipse aura lieu à telle heure, tel ou tel jour, ce qui s'est toujours vérifié jusqu'à présent, vous ne pourrez pas démontrer que les mathématiques qui auront permis de mettre en évidence la présence d'une eclipse (probablement à l'aide des équations de Newton) sont non contradictoires.

Une implication de tout ça c'est me semble-t-il que le scientisme est un leurre, puisque la validité des résultats dans les disciplines qui utilisent les mathématiques repose sur le présupposé que les mathématiques sont exemptes de contradictions. En effet, si une vérité et son contraire étaient vraies alors tout serait considéré comme démontrable dans ledit système. Il n'y a donc aucune preuve irréfutable (et il n'y en aura jamais), ni que les éclipses se dérouleront bien quand nous les avons anticipées, ni que les avions que nous prenons ne vont pas s'écraser au sol, etc... puisqu'il n'y a et qu'il n'y aura jamais de preuve que les mathématiques sont sans contradictions.

J'ouvre donc ce topic pour faire le points sur les implications philosophiques des théorèmes de Gödel. Je vois d'autres implications mais je ne veux pas faire trop lourd pour un premier message

Ce texte est un tel mélange d'idées incohérentes entre elles qu'il laisse d'abord pantois. 

Mais dans une seconde lecture ce texte exprime tout l'inconscient désordonné d'une majorité de personnes.

C'est le règne, dans ce texte, non pas des vérités, mais des opinions.

Avec, en arrière plan, des angoisses récurrentes.

Finalement ce texte vaut la peine d'être étudié, comme symptôme des opinions les plus éculées. Après tout nous sommes tous les jours confrontés à ce genre de discours incohérent. 

Mais l'incohérence même de ces discours est justement l'expression d'angoisses profondes 

Cela vaut la peine de déceler la nature de ces angoisses.

Il y a aussi cette fascination d'enfant pour des notions qui dépassent le locuteur. Comme si la complexité de certaines locutions recelait des vérités extraordinaires. Il y a là toute la crédulité courante du grand public, crédulité un peu pathétique.

J'aurais bien aimé que le fils de "déjà utilisé" me dicte l'énoncé de son problème !!! Je suis curieux de connaitre l'énoncé de la suite considérée.

il y a 27 minutes, Spontzy a dit :

Faux. Si vous avez ajouté 2 ou 3 axiomes à la théorie d'origine, vous n'êtes plus dans la théorie d'origine. Vous êtes dans une autre théorie axiomatique, dans laquelle vous pouvez encore trouver une proposition indécidable.

Selon ce que je comprends justement, nous pourrions nous amuser à rajouter directement dans le système d'origine, en tant qu'axiome, le résultat que nous obtenons après la n-ème itération uniquement, sans pour autant avoir préalablement ajouté les résultats des itérations précédentes.

Par ailleurs en admettant une proposition indécidable comme vraie (donc en la prenant pour axiome) nous aurons forcément une infinité d'autres propositions indécidables (toutes celles qui s'appuyent sur cet axiome!).

Ou alors quelque chose m'échappe parce que sur ce dernier raisonnement je suis un peu fébrile.

Nous pourrions il me semble en théorie nous amuser à ajouter comme axiome n'importe quelle implication d'une proposition indécidable appartenant à la théorie.

Tout ce que je veux dire, Quasi-Modo, c'est que lorsque vous changez de théorie (par exemple en ajoutant un axiome) vous changez de théorie. Vous y trouverez une nouvelle proposition indécidable. Dans la théorie initiale, il n'y a pas de nouvel axiome. Dans la théorie initiale, la nouvelle proposition indécidable n'existe pas. Elle a été établie avec un axiome de plus. Dans la théorie initiale, il n'y a toujours qu'une proposition indécidable. La nouvelle que vous avez établi dans la nouvelle théorie n'a pas de valeur dans la première théorie. Donc pas une infinité de propositions indécidables dans la première théorie.

Je ne sais pas trop comment l’écrire autrement.

A+

il y a 4 minutes, Spontzy a dit :

Tout ce que je veux dire, Quasi-Modo, c'est que lorsque vous changez de théorie (par exemple en ajoutant un axiome) vous changez de théorie. Vous y trouverez une nouvelle proposition indécidable. Dans la théorie initiale, il n'y a pas de nouvel axiome. Dans la théorie initiale, la nouvelle proposition indécidable n'existe pas. Elle a été établie avec un axiome de plus. Dans la théorie initiale, il n'y a toujours qu'une proposition indécidable. La nouvelle que vous avez établi dans la nouvelle théorie n'a pas de valeur dans la première théorie. Donc pas une infinité de propositions indécidables dans la première théorie.

Je ne sais pas trop comment l’écrire autrement.

A+

Je suis sûr que tu as compris où je voulais en venir toi aussi.

Mais cette preuve fameuse d'une proposition à la fois vraie et indécidable pour tout système d'axiomes arithmétiques, apportée par Gödel, est une simple implication des axiomes de la théorie de base (à l'itération 0). La seule chose qu'indécidable signifie c'est qu'on ne peut pas la dériver des axiomes de façon mécanique dans la théorie de base! Mais elle est néanmoins vraie!

Donc il y en a bien une infinité dans la théorie de base elle-même (à l'itération 0) : celle construite directement par Gödel comme toutes celles que nous pourrions dériver de celle-ci en la prenant pour hypothèse

Citation

Donc il y en a bien une infinité dans la théorie de base elle-même (à l'itération 0) : celle construite directement par Gödel comme toutes celles que nous pourrions dériver de celle-ci en la prenant pour hypothèse

Chiche : vous me montrez comment on fait ? Parceque moi, je ne vois pas.

A+

PS: et arrêtez avec votre proposition "vraie". Le "vrai" n'a aucun intérêt. Vous pouvez le remplacer par "faux" et tout reste identique. Et cela pour la simple et bonne raison, c'est que ce statut de vérité est déterminé en dehors de la théorie. par un jugement qui peut être arbitraire.

il y a 21 minutes, Spontzy a dit :

Chiche : vous me montrez comment on fait ? Parceque moi, je ne vois pas.

Gros malin va, il vous suffira de consulter la preuve de Gödel et notamment son fameux codage de Gödel. 

il y a 22 minutes, Spontzy a dit :

PS: et arrêtez avec votre proposition "vraie". Le "vrai" n'a aucun intérêt. Vous pouvez le remplacer par "faux" et tout reste identique. Et cela pour la simple et bonne raison, c'est que ce statut de vérité est déterminé en dehors de la théorie. par un jugement qui peut être arbitraire.

Bien au contraire, Gödel démontre ou bien que la théorie est incohérente, ou bien que la phrase particulière qu'il a construite est vraie et indémontrable. Le caractère vrai et indémontrable de la proposition qu'il construit pour tout système d'axiome est donc incontournable pour comprendre la profondeur de cette théorie.