Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Le 14/12/2017 à 20:30, Jedino a dit :

La démonstration a été faite en survolant auparavant, je n'ai donc pas besoin de m'y risquer après plusieurs années à ne pas faire la moindre démonstration par récurrence.

Oui et non.

Le 14/12/2017 à 20:30, Jedino a dit :

Si je saisis bien à la lecture du sujet le problème que tu soulèves par rapport à ça est de savoir si ce raisonnement n'est pas circulaire. De mémoire, la démonstration pose en quelque sorte un axiome, une conjecture qu'on fait pour citer quelqu'un qui semble bien mieux s'y connaître que moi, pour départ. En effet, on ne peut pas partir de rien, voilà pourquoi il faut supposer vrai le premier élément. De là ensuite on cherche à démontrer que le suivant, le suivant et le suivant encore sont vrais si on suppose le premier vrai, chose qui ne va pas de soi. Autrement dit, pour tout n, et donc n+1, ce qu'on veut démontrer est correct si on suppose que le premier l'est, ce qui est une condition nécessaire pour que la démonstration soit vraie.

Si il était question d'une chose concrète comme par exemple, si je pose une brique - qui sont toutes identiques - sur une pile, alors cette nouvelle pile est plus grande que la précédente, là je n'ai rien à contester, en revanche lorsque j'introduis une hypothèse et que je l'inocule dans le problème, je ne peux pas être complètement surpris de la voir resurgir plus tard, mais ma crainte c'est qu'elle le fasse sans faire de " vague ", sans contradiction, comment dès lors être certain que ce manque de rugosité ou d'entrave, soit une preuve de la justesse de l'hypothèse ?

Le 14/12/2017 à 20:30, Jedino a dit :

Faisons une analogie : supposons que je veuille te démontrer que le réel diffère de la vérité. Le raisonnement étant abstrait, et n'ayant donc aucune matière observable pour prouver ce que j'avance, il me faudra avancer ce qu'on pourrait appeler des axiomes, et qui sont en fait des définitions des concepts principaux que nous supposerons compris de la même manière (auquel cas, sinon, nous discuterons en théorie d'abord de cela afin de définir une base commune sur laquelle il est possible de développer). De fait, à partir de ces deux concepts que sont la vérité et le réel, je pourrai dérouler un raisonnement qui m'amènera à faire appel à d'autres concepts connexes jusqu'à aboutir à ma conclusion. Et donc, après avoir discuté des définitions, nous pourrons discuter des arguments et de si ils permettent vraiment d'aboutir à cette conclusion-ci.

Ça c'est ce qui se passe dans un système axiomatique en usitant des règles logiques non contestées, ce qui me chagrine c'est l'apport d'une pièce étrangère au problème, cette fameuse hypothèse, ça me fait étrangement songer au cinquième postulat d'Euclide !

Mais je rappelle aussi que le raisonnement par récurrence est aussi et avant tout une induction, or une induction n'a rien de logique ou de nécessaire, à l'inverse d'un raisonnement purement déduction ou hypothético-déductif ! Cela ressemble à un talon d'Achille ?

Le 14/12/2017 à 20:30, Jedino a dit :

Cette analogie est, je crois, ce qui rapproche en quelque sorte la philosophie de la mathématique, toutes deux étant dans un raisonnement qui est finalement assez abstrait et aux principes relativement semblables : d'abord, on définit ce qu'on suppose vrai, et cela est nécessaire pour obtenir une démonstration qui soit cohérente ; ensuite, on déroule une démonstration à partir de ces définitions ; enfin, on en tire la conclusion qui découle et que justifie nos arguments.

J'avoue que la première fois que je t'ai lu, j'ai plutôt songé à un jeu de dominos, les uns à côté des autres, on initie le processus, puis de proche en proche normalement on va du point de départ jusqu'à l'arrivée potentielle, mais qu'est-ce qui nous empêche d'imaginer justement un jeu circulaire, qui s'auto-entretient en quelque sorte ?

Le 14/12/2017 à 20:30, Jedino a dit :

Une différence existe toutefois et j'ai lu quelqu'un qui en faisait la remarque : la philosophie entend décrire le réel, la mathématique pas le moins du monde. C'est une construction purement intellectuelle qui trouve des applications concrètes, mais cela n'en fait pas un objet concret, voilà pourquoi elle se passe de l'étape qui existe finalement par ailleurs en science, à savoir la confrontation à ce qui est le seul juge : le réel.

Je crois que tu t'appuies sur moi, les math sont une épuration de la réalité, on ne prend que les éléments les plus saillants/remarquables/généraux, processus toujours en cours avec la physique d'ailleurs, les mathématiciens se sont appropriés des outils de physiciens, telle les distributions, les séries de Fourier ou les intégrales de chemin par exemples, il y en a surement bien d'autres, d'autant plus qu'avant l'époque contemporaine les savants étaient les deux bien souvent, il n'est pas à exclure que Newton ait développé ses infinitésimales sur des considérations physique, là où Leibniz lui l'aura fait de manière plus mathématique, de mémoire. 

Le 19/12/2017 à 19:50, Quasi-Modo a dit :

Les vérités mathématiques sont bien une sorte de vérité en général. L'admettre suffit (ainsi que les théorèmes d'incomplétude) pour conclure qu'il y a des vérités abstraites qui existent en tant que tel. Sinon comment connaîtrions-nous leur existence (puisqu'elles sont indémontrables) et leur caractère vrai?

Connaitre un chemin qui mène de A à B en passant par untel ou tel autre, ne nous dit rien, ni sur A, ni sur B, l'équivalence entre le chemin 1 et le chemin 2, est justement tout le travail du mathématicien, en plus de bien définir le point de départ et d'arrivée pour être sûr, mais c'est un circuit fermé qui ne fait référence qu'à lui-même, A ou B ne sont pas forcément vrais, ce sont des départs et destinations uniquement, la vérité n'est affaire que d'adéquation entre la réalité et ce que l'on rapporte de celle-ci.

Le 19/12/2017 à 19:55, Quasi-Modo a dit :

Cela dit je n'ai toujours pas compris l'intérêt profond de logiques alternatives à la logique classique bivalente

Parce que l'Homme lui-même n'est pas binaire, c'est plus complexe que ça, la vie est toujours plus raffinée que les simplifications que l'on fait sur son compte...

Citation

Le tiers-exclu, ce qui implique aussi le principe de non-contradiction par conséquent,

Qu'appelez-vous principe de non contradiction ? Dans leurs sens mathématiques, le tiers exclus et la non contradiction sont sans aucun lien (il existe des axiomatiques avec tiers exclus qui sont non contradictoires tout comme il existe des axiomatisations sans tiers exclus qui sont également non contradictoires).

Citation

Et il y a une passerelle entre les mathématiques et le monde réel, même si on se refuse à la voir !

Bref les math " classique " c'est bien joli, mais dans ma conception, c'est une Physique qui a dégénéré... Mais il est vrai qu'il n'est pas interdit de jouer, que ce soit aux échecs ou avec les maths ou des briques de Lego, chacun son trip.

D'autres disent qu'il y a une passerelle entre le monde réel (celui des concepts mathématiques) et le monde dégénéré de la physique.

Citation

Le 14/12/2017 à 20:01, aliochaverkiev a dit :

Au demeurant je ne vois absolument pas le rapport entre la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec le principe de récurrence. Expliquez moi. 

 

Parce que les entiers eux-mêmes sont construits de manière récurrente, non ?

Non, il n'y a globalement pas de lien. Et je n'avais jamais mentionné de lien. Il n'avait simplement pas compris.

A+

Le 19/12/2017 à 20:02, Spontzy a dit :

Demandez donc à Déjà-utilisé. Lui ne reconnait pas le tiers exclus "par principe philosophique", enfin si je le comprends. Il ne peut donc pas utiliser la logique classique.

C'est plus qu'un vague sentiment ou une position métaphysique, voire par choix personnel, c'est très pragmatique:

Dans la vie quotidienne on est confronté à l'échec de la binarité pour rendre compte de la complexité des phénomènes, par exemple, si nous tombons d'accord pour dire que l'avion - en opération - passe le plus clair de son temps dans les airs, le sous-marin - en opération - dans les profondeurs des mers, que dire alors du bateau - en opération aussi - qui lui se trouve à l'interface des 2 milieux ?

Est-il si inconcevable d'envisager 3 positions comme oui, non et autre-chose ? Ou encore oui, non et oui-et-non ?

Cette seconde approche est celle du bateau, la première serait représentative des enfants qui naissent avec une ambiguïté anatomique ou une apparence physiologique en désaccord avec leur génétique, ou encore l'hermaphrodisme qui n'est ni une reproduction sexuée, entendue avec partenaire et donc brassage génétique, ni asexuée, et donc sans brassage génétique. Il y a aussi le cas que j'ai déjà mainte fois évoqué de la porte entre-ouverte, elle n'est pas fermée parce que l'ouvrant ne touche plus le dormant, mais elle n'est pas pour autant ouverte parce que je ne peux pas la franchir, c'est donc, ni oui, ni non, mais un tiers état !

D'où sort notre logique bivalente, si ce n'est de la constatation systématique que le monde se comporte très souvent en apparence ( = en première approximation ), de cette manière, l'un ou l'autre ?

Ne pourrions-nous pas envisager un circuit électronique de base à trois entrées au lieu de deux, et concevoir tout un système informatique qui l'exploiterait, tout en gagnant du temps de calculs et de la place, car si dans le meilleurs des cas, un composant à 3 entrées pouvait être toujours converti en deux composants à deux entrées, on gagnerait une étape de traitement et l'emplacement dédié

Il y a 12 heures, deja-utilise a dit :

Connaitre un chemin qui mène de A à B en passant par untel ou tel autre, ne nous dit rien, ni sur A, ni sur B, l'équivalence entre le chemin 1 et le chemin 2, est justement tout le travail du mathématicien, en plus de bien définir le point de départ et d'arrivée pour être sûr, mais c'est un circuit fermé qui ne fait référence qu'à lui-même, A ou B ne sont pas forcément vrais, ce sont des départs et destinations uniquement, la vérité n'est affaire que d'adéquation entre la réalité et ce que l'on rapporte de celle-ci.

Mais la vérité comme "intersection" du discours et de la réalité supposerait que le vrai soit le produit d'un discours vrai, alors que ce serait plutôt le discours vrai qui serait le produit du vrai. Distinguer entre le vrai et le démontrable (ce que fait Gödel) va un peu dans le même sens.

Après tout, ce qui s'est déroulé sans laisser de traces connues (p.ex. durant les millénaires précédant l'existence du premier Homme) ne se serait-il pas vraiment déroulé?

Il y a 12 heures, deja-utilise a dit :

Parce que l'Homme lui-même n'est pas binaire, c'est plus complexe que ça, la vie est toujours plus raffinée que les simplifications que l'on fait sur son compte...

Je le concède bien volontiers. Mais il est plus question d'intérêt scientifique aux logiques non binaires : d'un points de vue pratique je ne connais aucun résultat obtenu dans une logique non binaire qui ne puisse être démontré ou retrouvé dans une logique binaire classique. Mais peut-être que ce sont les connaissances qui font défaut ici et j'en serai ravi si on me montrait que je me trompe à ce sujet!

Bonjour.

Je rejoins ce que dit Quasi-modo au dessus.

Et le plus rigolo reste quand même que si on refuse le tiers exclus comme axiome (position constructiviste), alors on reste obligé de l'accepter car il est alors démontrable (dans les axiomatiques les plus usuelles). Il passe du statut d'axiome au statut de théorème.

Je respecte ces questions, mais elles sont simplement théoriques (voire philosophique) et n'ont que peu d'impact sur la pratique. Exactement comme l'incompletude 

Le 13/12/2017 à 19:23, deja-utilise a dit :

Partons de l'ensemble N des entiers naturels auquel je retranche les éléments d'un autre ensemble - E par exemple - qui va de 0 à n, où n est un entier naturel, que l'on pourrait appelé E', que je compare à cet ensemble E.

Et bien pour n'importe quel - le fameux quel que soit - n je peux me convaincre facilement que E' - infini - est plus grand que E, j'avais pris soin de vérifier le rang 0, et maintenant je pose que c'est vrai à n et je vérifie que c'est vrai à n+1, c'est manifestement vrai tout le temps... sauf quand j'ai le vice de pousser le raisonnement jusqu'au bout, i.e. quand je fais tendre n vers l'infini, et bien dans ce cas, j'inverse totalement la donne, c'est E' qui tend vers l'ensemble vide, pendant que E tend vers N: il y a contradiction sur le principe de récurrence !

Si je peux me permettre le cardinal de E' sera nécessairement en le même que le cardinal de N sur l'exemple que tu donnes, et ce quel que soit n fixé, même très grand ou illisible le temps d'une vie humaine (il suffit vraiment qu'il soit fixé). Ne joues-tu pas ici sur l'ambiguïté de la notion de limite, au sens où lorsque n tend vers l'infini il n'est pas non plus égal à l'infini?

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Il ne s'agit pas de reconnaître ou pas le tiers exclus. Le tiers exclus est un principe de construction de l'arithmétique. Une décision. En mathématique nous décidons. Puis après avoir décidé des principes nous construisons.

Oui, et c'est bien en partie les reproches que j'ai à en faire, c'est un jeu avec ses propres règles arbitraires, non pas infondées mais sélectionnées par des raisons extérieures injustifiables, alors même qu'elle puise leur source inévitablement du réel, pourquoi ne pas le reconnaitre et l'assumer, l'arithmétique est une activité hautement intuitive dans son fondement, la notion de nombre est indissociable des éléments d'une collection d'objets qui ne sont autres que les objets du monde réel, c'est pour cela que j'ai osé dire que c'est une Physique dégénérée, comme l'humain qui ne voudrait pas reconnaitre qu'il est l'enfant, l'héritier des ces ascendants, de l'humanité, tu vois de quoi je veux parler hein ! On ne peut nier l'évidence... 

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Dans un premier temps l'arithmétique se fout du réel.

Non, justement, dans un second temps uniquement !

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Après si l'instrument que nous avons créé vous sert, vous les réalistes, tant mieux pour vous, nous on s'en fout : nous sommes des créateurs de mondes.

Oui enfin c'est oublié un peu vite la promiscuité avec les physiciens, qui restent de grands pourvoyeurs d'idées mathématiques, qui sont développées, généralisées et légitimées par la suite par les matheux, bien qu'aujourd'hui les autres sciences participent à cette alimentation, tout comme des phénomènes tout à fait ordinaires, que l'on songe à la théorie des jeux, ou plus récemment les graphes, voire les pavages du plan, etc...

La mathématique est à l'affût de tout se qui peut la nourrir, on peut même dire qu'elle est dépendante des autres branches du savoir pour continuer à prospérer, si l'on devait couper les ponts, tôt ou tard elle finirait par tourner en rond sur elle-même, sans plus innover, comme la branche de la géométrie en berne depuis l'avènement des géométries non-euclidiennes. 

Créateurs peut-être, mais il faut toujours une source d'inspiration, comme dit ailleurs, personne ne peut inventer quoi que ce soit sans s'appuyer sur ce qui préexiste, j'aurais beau le vouloir de toutes mes forces, je ne peux jamais produire qu'à partir de choses existantes, absolument jamais ex nihilo ! 

https://issuu.com/jean-marcbuzzo-gayraud/docs/le_journal_de_saclay_-_n___50_-_au_

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Mais nous pouvons très bien créer aussi des mondes où il y aurait d'autres principes.

Oui, on le peut, j'ai même parlé moi-même très récemment sans être en mesure de les créer, de " nombres fractals " qui serait le pendant des figures de dimension fractale !

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Par exemple le tiers, ou le quart pourquoi pas, ne serait pas exclus, le principe de contradiction ne serait pas non plus exclus.

Je crois qu'il y a confusion étymologique entre tiers - dans tiers-exclu - et le tiers qui représente la fraction de 1 divisé par 3, du coup il ne peut il y avoir de quart-exclu ! Mais que des tiers-exclus, tous ceux qui ne sont pas du groupe ou des groupes en question ou envisagés.

Enfin je te comprends, c'est pour te montrer que ce qui prime n'est pas tant ce qui est écrit, que ce que l'on veut signifier ! 

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Ou même délirants (à vos yeux) ; ne considérez-vous pas d'ailleurs que Gödel était fou lorsqu'il parla de la glande pinéale ?

C'est le problème des génies en général, il frisent avec la folie plus ou moins douce !

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Avez-vous déjà rencontré un mathématicien qui soit raisonnable ?

Oui, Poincaré !

Archimède, Euclide, Gauss, Euler, Cauchy ou Weieirtrass aussi.

Le 20/12/2017 à 09:15, aliochaverkiev a dit :

Et nous sommes heureux de constater, que nos créations, parfois, vous sont utiles et même nécessaires pour comprendre le monde physique.

Ce ne sont que des outils, certes utiles comme le marteau ou le tournevis, mais ils sont bien souvent issus des principaux intéressés. Ça me fait songer à un ingénieur français qui a inventé une nouvelle méthode de résolution d'optimisation des contraintes sur pièces mécaniques en partant de petits éléments indépendants soumis à l'influence de ces voisins pour obtenir un effet global optimal, comme dans les hélices d'une turbine/éolienne ou la forme d'un échangeur de chaleur par exemple, mais je ne me souviens plus du nom de cet inventeur, ni le nom de sa méthode qui avait du mal à l'époque à se faire connaitre du monde des physiciens/ingénieurs ou des mathématiciens...  

Si il n'y avait pas besoin de quantifier nos mesures ou grandeurs, l'outil mathématique n'aurait jamais eu l'impact qu'il a, il faut donc bien dissocier l'activité mathématique des formules employées pour quantifier les expériences, ce qui ne sert bien souvent qu'à prédire et reproduire, pas de les comprendre, ni d'utiliser nos trouvailles.

Bien qu'il fût rarement expérimentateur, Poincaré reconnaît et défend l'importance primordiale de l'expérimentation, qui doit rester un critère de la méthode scientifique en physique. Autrement dit, les mathématiques ne doivent pas ramener à elles la physique, mais s'y développer comme un atout. Cet atout serait d'abord un outil : aux dires de Poincaré, les mathématiques sont « la seule langue que [les physiciens] puissent parler » pour se comprendre et se faire comprendre. Ce langage du nombre semble d'ailleurs révéler une unité cachée des choses naturelles, quand bien même seule une partie des mathématiques s'applique à la physique théorique. L'objectif premier de la physique mathématique n'est pas l'invention ou la découverte, mais la reformulation. C'est une activité de synthèse, qui permet de s'assurer de la cohésion des théories qui ont cours à un moment donné. À un moment donné, car Poincaré reconnaît qu'il est impossible de systématiser toute la physique en une seule théorie axiomatique, à une époque donnée. Les idées de Poincaré sur l'espace et ses trois dimensions vont dans ce sens.

Quels sont les rapports qu'entretiennent physique et mathématiques ? Poincaré avance que les mathématiques (l'analyse) et la physique ont un même esprit, que les deux disciplines partagent un même but esthétique et qu'elles peuvent toutes deux libérer l'homme de sa simple condition. De façon plus pragmatique, ses arguments vont dans le sens d'une interdépendance, à l'image de celle mise à jour entre intuition et analyse. Le langage mathématique permet non seulement d'exprimer l'avancée scientifique, mais aussi de prendre du recul par rapport à l'étude de la Nature. Les mathématiques montrent l'étendue des découvertes ponctuelles et limitées qui sont faites par les physiciens. À l'inverse, la physique joue un rôle moteur pour le mathématicien, un rôle créatif en tant qu'elle pose des problèmes atypiques ancrés dans la réalité. De plus, elle suggère des solutions et des raisonnements - ainsi, le développement du calcul infinitésimal par Newton dans le cadre de la théorie de la Gravitation.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/La_Valeur_de_la_Science

il y a 26 minutes, Spontzy a dit :

Et le plus rigolo reste quand même que si on refuse le tiers exclus comme axiome (position constructiviste), alors on reste obligé de l'accepter car il est alors démontrable (dans les axiomatiques les plus usuelles). Il passe du statut d'axiome au statut de théorème.

J'avoue que c'était quand même bien vu pour le théorème de Diaconescu (je ne connaissais pas du tout).

Le 21/12/2017 à 08:52, aliochaverkiev a dit :

Tout de même savoir que "déjà utilisé" n'est pas un spécialiste des maths et constater que lui seul soulève un vrai problème est remarquable.  Bravo. "Déjà utilisé' va pouvoir dire à son fils que l'enseignement du secondaire fait  une erreur de logique ! Cela dit qu'il n'aille pas critiquer son enseignant ! Celui-ci fait ce qu'il peut avec les programmes écrits comme ils sont écrits.

Je te remercie de cette touchante remarque, bien que je n'en sois pas le seul auteur, et moi aussi je continue à chercher et à approfondir de mon côté, je (re)découvre que Poincaré l'a fait bien mieux que je ne saurais le faire:

Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres.

On pourra passer facilement d’un énoncé à l’autre et se donner ainsi l’illusion qu’on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence. Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage.

On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction.

Cette règle ne peut non plus nous venir de l’expérience ; ce que l’expérience pourrait nous apprendre, c’est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite.

Or, s’il ne s’agissait que de cela, le principe de contradiction suffirait, il nous permettrait toujours de développer autant de syllogismes que nous voudrions, c’est seulement quand il s’agit d’en enfermer une infinité dans une seule formule, c’est seulement devant l’infini que ce principe échoue, c’est également là que l’expérience devient impuissante. Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie.

Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience.

Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1, du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite, la loi est manifeste, disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité.

On ne saurait méconnaître qu’il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même.

https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l’Hypothèse/Chapitre_1

Sinon pour une présentation différente du principe, on peut jeter un œil à ceci, orienté pédagogie, et qui n'enlève rien au problème, uniquement de mieux s'en servir, et qui pourrait aussi t'éviter de refaire ce travail colossal:

http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/88/88x3.pdf

Il y a 16 heures, Spontzy a dit :

On peut faire tendre n vers l'infini. n étant un entier. Mais l'infini n'est pas un entier (regardez les différentes définitions des entiers, les plus courantes étant celles qui définissent les entiers comme successeur d'un autre entier. "infin-1" n'a pas de sens et l'infini ne succède à personne). On ne peut donc pas remplacer "n" par l'infini dans votre raisonnement.

Bonjour,

je suis désolé, ça m'échappe encore, dans mon livre L1 ( éd. Pearson ) on se réfère aux axiomes de Peano:

N est un ensemble ordonné vérifiant les propriétés suivantes:

1) N admet un plus petit élément noté 0

2) L'ordre < ou = est total sur N

3) Tout entier n admet un unique successeur noté n+1

4) Tout entier n différent de 0 admet un unique prédécesseur noté n-1

5) Le principe de récurrence. Soit, pour tout n dans N, HR(n) une propriété dépendant de n. Si HR(n) est vraie et si, pour tout n élément de N, l'implication HR(n) => HR(n+1) est vraie, alors HR(n) est vraie pour tout n dans N.

http://bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./p/peanoarithm.html

Qu'est-ce que cela signifie ?: que la collection d'éléments est ( bien ) ordonnée du plus petit au plus " grand " ( points 2, 3 et 4 ), qu'il y a un premier élément de départ, le plus petit ( point 1 ), mais qu'il n'y a pas de plus grand - absolu - élément, l'ensemble n'est pas borné ( semi-borné ), à cela on rajoute la notion de récurrence par définition.

Un " n " quelconque peut donc prendre n'importe quelle valeur entre 0 et l'infini, il ne bute sur aucune frontière haute.   

******

Le “nombre entier” est un concept qui répond à deux besoins : celui d’ordonner un ensemble d’éléments, et celui de comparer “en puissance” des ensembles

https://www.naturelovesmath.com/mathematiques/quest-ce-quun-nombre-episode-1-les-nombres-entiers-naturels/

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Encore une fois, en Analyse, le " n " pris arbitrairement est ensuite projeté à l'infini, aujourd'hui personne ne s'en offusque, il faut bien comprendre que je ne me situe pas dans la droite ligne du logicisme, sinon je serais en contradiction nécessairement, comme je ne peux pas critiquer le langage autrement qu'en usant du langage ou rendre Justice autrement qu'en utilisant le droit, au contraire, je tente de me placer dans une " alternative " qui est celle, plus familière pour moi, de l'Analyse et qui repose sur des bases solides, au moins intuitivement selon ma conception.

Je ne peux pas d'un côté, user de ce stratagème dans la diagonale de Cantor et de l'autre le refuser parce que cela m'incommode dans un " contre-exemple " ! 

J'ai essayé avec mes mots ( je ne maitrise pas/plus assez le formalisme mathématique pour le retranscrire formellement ) de dire qu'il y avait une " course " dans l'usage des infinis qui se joue au loin, et qui échappe à notre regard,  tout en restant nous à notre place, ce qui s'apparente selon moi à un mirage, comme lorsque l'on regarde deux routes parallèles se " rejoindre " à l'horizon, voire même pourquoi pas envisager qu'elles se coupent puisqu'elles se rapprochent sans cesse du point de vue où je suis, alors que localement je peux m'assurer qu'elles sont bien parallèles aux erreurs de mesures près.

Une sommation de termes alternés ( +, - ) est aisée à calculer lorsque leur nombre est fini, en revanche on est obligé de dire par capitulation dans certains cas, qu'elle n'a pas de sens lorsqu'elle devient infinie ! Il y a donc un malaise propre aux infinis, je suis peut-être maladroit dans mes explications, mais ce n'est jamais facile de faire entendre une chose qui contrevient au consensuel, à ce qui est admis, et pas plus aisé de l'expliquer, puisqu'il faut le faire en dehors du cadre admis justement ! Comme il est absurde de montrer la qualité supérieure d'une télévision à travers l'écran d'un autre poste de télévision, de moins bonne facture !!!

Le 22/12/2017 à 10:11, Spontzy a dit :

Hypothèses :

 

-          Nous avons P(n0) vraie. C’est l'initialisation.

 

-          Nous avons démontré que l’implication de n à n+1 est vraie. (pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n+1) est vraie). C’est l’hérédité.

 

Nous voulons montrer que P(n) ne peut pas être fausse pour au moins un rang donné. Procédons par l’absurde en faisant donc l’hypothèse contraire à ce que l’on veut démontrer :

Supposons qu’il existe au moins un rang j tel que P(j) est fausse.

Notons i (nombre entier, comme n) le plus petit rang pour lequel la proposition P est fausse. Soit P(i) est faux.

Comme P(n0) est vraie (initialisation), alors i>n0. Il est donc possible de regarder ce qui se passe au rang i-1.

L’hérédité nous permet d’écrire : P(i-1)=>P(i) est vraie (car i>n0).

Or P(i) est fausse par hypothèse (bleue).

Donc P(i-1) est fausse. (je passe le détail de la table de vérité que vous maitrisez).

Nous aboutissons immédiatement à une contradiction : nous avons défini i comme étant le plus petit rang pour lequel la proposition P est fausse et nous arrivons à la conclusion que P est également fausse au rang inférieur. Notre hypothèse bleue est donc erronée (démonstration par l’absurde).

On démontre donc bien que si initialisation il y a, si hérédité il y a, alors la récurrence fonctionne. On se moque que la proposition P soit vraie ou pas. Je n’utilise nulle part cela dans la démonstration, au contraire, j’envisage tous les cas dans ma table de vérité.

Je pense que ta démonstration est correcte, et me demande à présent comment il est possible de penser que le principe de la démonstration par récurrence est indémontrable.

Le seul à priori semble bien être la démonstration par l'absurde, soit le principe du tiers exclu. Bref comme toi je ne vois pas le problème.

Il y a 3 heures, Quasi-Modo a dit :

Mais la vérité comme "intersection" du discours et de la réalité supposerait que le vrai soit le produit d'un discours vrai, alors que ce serait plutôt le discours vrai qui serait le produit du vrai. Distinguer entre le vrai et le démontrable (ce que fait Gödel) va un peu dans le même sens.

On peut dire que c'est la première topique de Wittgenstein cette façon d'aborder le problème, or dans sa deuxième il dit que le formalisme langagier n'est pas réductible à la réalité, ni logiquement, ni sémantiquement.

Il nous faut bien découpler le support du langage quel qu'il soit, naturel ou mathématique, et sa signification qui transcende sa représentation symbolique, je dis souvent qu'un proverbe ou une expression, n'est jamais à prendre au pied de la lettre, la composition et l'agencement des mots qui le/la contienne ne donne pas son sens général, ce sens est hors du contenu manifeste/explicite/exposé.

Il vient donc, que le vrai doit être entendu comme ce qui fait référence à ce qui a été, qu'il est adapté ou en adéquation avec le réel, il n'a pas besoin d'être exhaustif, juste de renvoyer aux faits tels qu'ils se sont produits, et on été captés, peu importe l'interface communicante, ce qui compte c'est la signification du rapport avec l'évènement, le support de communication est secondaire, par exemple de dire " j'en veux plus ", se comprend parfaitement même si il manque la négation pourvu que l'on soit immergé un tant soit peu dans l'environnement en question, a contrario, elle peut être prise complètement à l'opposée; la vérité donc n'est pas dans la formulation, mais dans sa signification et son lien avec la réalité.

C'est une des raisons pour laquelle j'ai essayé de te dire que ce qui est compris et interprété en mathématique, s'applique essentiellement et surtout dans cette discipline, ce n'est pas transposable stricto sensu vers le monde réel, sans précaution, pas plus que les expériences de laboratoire n'épuisent la complexité du réel, et qui sont donc fortement modulées lors de réactions réelles attendues, ou encore dans un autre registre de ne pas être surpris que la scolarité forme les élèves avant tout à réussir à l'école, comme l'a dit un psychologue je crois " à former des enseignants " et non à affronter l'existence et toutes ses subtilités et dimensions, pour le dire autrement elle ne forme pas, elle déforme nos besoins effectifs.      

Le vrai serait plus à rapprocher de l'observationnel que du démontrable, ou dit autrement, au montrable si je puis dire !

Si je dis par exemple que ma voiture est en panne et que je n'ai pas pu te rejoindre hier comme prévu, il suffit que tu vois la voiture chez le macano, ou que tu viennes chez moi et que tu tentes de la faire partir. Ou si je dis que l'arbre devant ma fenêtre me fait de l'ombre le midi l'été, il te suffit de venir voir par toi-même à l'heure du déjeuner en période estivale qu'il en est bien ainsi, tes sens te suffisent à montrer la vérité, il n'y a aucune démonstration abstraite à faire, aucun raisonnement hypothético-déductif à entreprendre, juste de constater.

Au contraire, comme nous l'a rappelé Aliochaverkiev on peut fort bien avoir un syllogisme qui tient la route, être logiquement bon, mais faux, entre sa forme architecturale qui respecte les règles d'assemblage et son rapport à la réalité, aux faits, entre la construction et son sens, comme dans le monde physique je peux construire des objets qui ne servent strictement à rien, qui n'ont aucune fonction, qui vont même m'empoisonner la vie, par exemple je peux faire une maison sans porte et sans fenêtre ! Je le peux mais c'est stupide ou inutile. Pouvoir est une chose, mais sa signification en est une autre.

Citation

Après tout, ce qui s'est déroulé sans laisser de traces connues (p.ex. durant les millénaires précédant l'existence du premier Homme) ne se serait-il pas vraiment déroulé?

Mon propos n'était pas là, je ne dis pas que ce dont on ne peut faire de rapport n'aurait pas d'existence, je dis que ce que l'on appelle la vérité, n'est autre que le rapport adéquat entre ce qui rapporté et ce qui s'est produit ou ce qui est réellement, même si ce compte-rendu n'est que partiel et spéciste ( propre à l'humain ), si n'importe quel humain en possession de ses facultés mentales peut constater par/de lui-même que c'est bien ainsi sur la partie rapportée, alors ce que le premier avait dit est tout bonnement vrai, ce n'est pas la chose exhibée, qui est vraie ou fausse, juste le rapport qui est fait.

Citation

Je le concède bien volontiers. Mais il est plus question d'intérêt scientifique aux logiques non binaires : d'un points de vue pratique je ne connais aucun résultat obtenu dans une logique non binaire qui ne puisse être démontré ou retrouvé dans une logique binaire classique. Mais peut-être que ce sont les connaissances qui font défaut ici et j'en serai ravi si on me montrait que je me trompe à ce sujet!

La science ne s'arrête fort heureusement pas avec celles dites dures, il faut aussi y inclure celles dites molles, donc notre propre psychologie ou fonctionnement d'être " spirituel ".

Je peux être à la fois heureux et malheureux, en la même personne ressentir des émotions antagonistes, par exemple la femme dont je suis éperdument amoureux me déclare aussi sa flamme, et en même temps j'apprends le décès de mon père ou de ma mère ! C'est l'un et l'autre et non l'un ou l'autre.

Mais tu arriveras sans doute à objecter que les évènements peuvent être découplés, temporellement ou parce que ça ne s'applique pas aux mêmes personnes par exemples, que l'on peut créer des cases distinctes dans notre esprit, alors imaginons une situation plus profonde, tu chéries viscéralement ton enfant unique mais celui-ci crée par colère un accident fatal à sa mère, qui est aussi ton alter-ego sentimental, ta moitié, tu te trouves déchiré à détester et aimer en même temps, la même personne ton fils ou ta fille, les deux sentiments se chevauchent temporellement et " spatialement ", tu vis l'un et l'autre simultanément... À méditer !   

Tant que l'on n'envisage que la binarité, et bien on ausculte le monde sous ce seul scalpel, mais dès que l'on franchit le Rubicon, en rejetant le tiers-exclu, le monde s'éclaire différemment...

Biz

Il y a 3 heures, Quasi-Modo a dit :

Si je peux me permettre le cardinal de E' sera nécessairement en le même que le cardinal de N sur l'exemple que tu donnes, et ce quel que soit n fixé, même très grand ou illisible le temps d'une vie humaine (il suffit vraiment qu'il soit fixé). Ne joues-tu pas ici sur l'ambiguïté de la notion de limite, au sens où lorsque n tend vers l'infini il n'est pas non plus égal à l'infini?

E' n'est-il pas lui-même un ensemble construit ? Et qui a donc les propriétés résiduelles de sa conception.

Pour tout n ce que tu dis est vrai, mais ce qui m'intéresse c'est le passage à la limite comme ce que l'on fait par construction avec N également, quand les ensembles s'entrechoquent loin de notre regard, tout là-bas dans cet infini inaccessible à l'esprit humain, qui pourtant le manipule sans vergogne et en tire des conclusions.

Ce qui m'intéresse c'est de montrer que les ensembles infinis restent paradoxaux même sans avoir recours aux ensembles d'ensembles " trop gros ", ils le sont intrinsèquement.

Comme dit à toi et redit à Spontzy, c'est comme une course, la question revient à se demander lequel va le plus vite ! N, E ou E' quand je fais tendre n vers l'infini ?

Je reviens vite fait sur la diagonale de Cantor, il présuppose des suites Uij issus de N qui donneraient tous les nombres réels entre 0 et 1, et par sa diagonalisation il exhibe potentiellement un nombre qui n'en fait pas parti, cela veut dire qu'il a fixé d'abord l'ensemble des Uij, puis ensuite il la prend de court en forçant une construction à dépasser n'importe lequel. Pourtant on pourrait prendre son argument à " l'envers ", lorsqu'il pense avoir exhibé un tel nombre qui n'est pas dans la liste, de créer la liste ( basée sur N ) au fur et à mesure que je trouve de tels nombres ( les réels ) plus vite qu'ils ne sont présentés, cette fois-ci je prendrais de court toute proposition donnée d'avance en étendant ma liste ( l'ensemble des éléments construits à partir de N ) en tant que de besoin ( je prends en quelque sorte les " nombres diagonaux " en premier; on prend n'importe quelle liste aussi grande que je veux de nombres réels - entre 0 et 1 toujours - et je trouve un moyen de les construire tous à partir de N ) ! Tu vois ce que je veux dire ? Je sais ce n'est peut-être pas des plus clair, ce qu'il faut c'est sentir l'idée ( de course ) plus que de s'en tenir à ce que j'écris maladroitement sans doute.

*******

Ne conçoit-on pas que 0,9999...n soit égal à 1 quand " n " tende vers l'infini ? Il y a une histoire de convergence là-dedans, non ? Ne puis-je pas envisager que les ensembles que j'ai construits ne (di)convergent-ils pas eux aussi, comme N ou l'ensemble vide, ce qui est vrai pour un nombre isolé, ne se peut-il pas pour une collection ou un ensemble ( même si la notion de convergence est là aussi sans doute impropre mais c'est l'idée qu'il faut saisir ) Si je suis en mesure de créé N, ni puis-je pas construire ce qui l'annihile, on peut construire comme on peut déconstruire, non ? 

Le ‎22‎/‎12‎/‎2017 à 19:52, contrexemple a dit :

Attention, l'implication ici utiliser est fausse, en effet on a 1>-0.5 et pourtant on n'a pas 1<-2...

Donc il faut prendre en considération le signe de la quantité à inverser, ce qui fait capoter ton raisonnement.

Bien sûr ! Mais je détecte cela en donnant des valeurs à n. C'est ce que je veux dire, pour détecter une erreur, je dois tout de même analyser la vérité ou pas de mes propositions ! Vous estimez, vous, qu'on s'en fout ! Qu'on peut tout dire sans se soucier de la vérité des propositions !

Bon je vois que j'ai du mal à me faire comprendre. Je vais prendre un exemple radical.

Soit la proposition P(n) suivante :

n= 0 (sans rien supposer sur n, donc je pose cette proposition pour toute valeur de n)

Bon elle est manifestement fausse mais, pour vous, ça vous est complètement égal de considérer qu'une proposition est vraie ou fausse dès lors que vous pouvez démontrer que P(n) permet de déduire P(n+1).

Allons-y

Initialisation à 0.

Pour n = 0, 0=0, ca marche.

Je pose alors n= 0 , "n" étant donc quelconque et je vais démontrer que la proposition est vraie pour n +1.

n = 0 d'après ma proposition farfelue (mais on s'en fout qu'elle soit farfelue)

Pour n = 1, n= 0 ( puisque ma proposition on s'en fout qu'elle soit farfelue et que quand j'écris que n = 0, je l'entends pour toute valeur de n, je sais c'est farfelu, mais on s'en fout n'est ce pas ?, on ne préjuge en rien de la vérité ou de la fausseté de P(n)).

Donc n + 1 = 0

Donc n = 0 implique n+1 = 0, donc l'implication est vraie.

Donc n = 0 quelque soit n.

A partir du moment où on se fout de savoir si une proposition est vraie ou fausse, on peut tout affirmer. Vous pensez, vous, que, parce qu'une proposition est vraie pour n = 0, alors ça suffit pour penser qu'elle est vraie pour tout n dès lors que nous pouvons démontrer que p(n) conduit, par un raisonnement, à p(n+1)

Quand à votre remarque que nous supposons que p(n) est vraie dans l'hérédité, et que même si l'on voit cela dans les épreuves de l'agrégation, c'est que, selon vous, c'est pour faciliter la compréhension des étudiants, alors cela signifie que vous êtes très largement au delà de l'agrégation ! Bravo. Vous êtes maitre de conférences ? Félicitations.

Formalisons tout cela :

Soit une proposition P(n) vraie pour n = 0, mais fausse pour tout autre valeur de n.

Etes vous sûr qu'il est alors impossible de trouver un raisonnement qui partant de p(n) en dérive p(n+1) ? 

Je vous aider :

Posons 

[P(n) n'implique pas P(n+1)] comme n'étant pas démontrable (pour vous, dans votre esprit il est évident que p(n+1) est démontrable à partir de P(n), quelque soit n, dès lors que P(n) est vérifié pour n = 0), et pour simplifier appelons I la proposition [P(n) n'implique pas P(n+1)]. 

Soit la proposition suivante :  "I n'est pas démontrable"

Si vous me prouvez qu'elle est assurément pas démontrable, alors vous aurez gagné.

Le cinquième axiome de Peano est le suivant (sur lequel est construit la récurrence) :

Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de SES éléments alors cet ensemble est égal à N. 

Le ‎24‎/‎12‎/‎2017 à 11:10, Quasi-Modo a dit :

Je pense que ta démonstration est correcte, et me demande à présent comment il est possible de penser que le principe de la démonstration par récurrence est indémontrable.

Le seul à priori semble bien être la démonstration par l'absurde, soit le principe du tiers exclu. Bref comme toi je ne vois pas le problème.

Si vous pensez que le cinquième axiome de Peano est démontrable, alors bravo. Ce n'est plus un axiome, c'est un théorème. Il faut avertir la presse. La médaille Fields vous est acquise.

Trêve de plaisanterie.

Dans l'axiomatique de Peano la récurrence est un axiome. Un axiome NE SE DEMONTRE PAS, sinon c'est un théorème (il se déduit alors d'autres axiomes).

Il faut compléter l'axiomatique de Peano et passer à l'axiomatique ordinale. Alors la récurrence est démontrable, mais dans la démonstration nous partons de l'hypothèse que P(n) appartient bien à l'ensemble P(0), P(1), P(2) etc. autrement dit nous partons de l'hypothèse que P(n) est vrai [voir les raisonnements mathématiques de D.J. Mercier, page 97 ] 

Le ‎24‎/‎12‎/‎2017 à 09:51, deja-utilise a dit :

Je te remercie de cette touchante remarque, bien que je n'en sois pas le seul auteur, et moi aussi je continue à chercher et à approfondir de mon côté, je (re)découvre que Poincaré l'a fait bien mieux que je ne saurais le faire:

 

Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres.

On pourra passer facilement d’un énoncé à l’autre et se donner ainsi l’illusion qu’on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence. Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage.

On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction.

Cette règle ne peut non plus nous venir de l’expérience ; ce que l’expérience pourrait nous apprendre, c’est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite.

Or, s’il ne s’agissait que de cela, le principe de contradiction suffirait, il nous permettrait toujours de développer autant de syllogismes que nous voudrions, c’est seulement quand il s’agit d’en enfermer une infinité dans une seule formule, c’est seulement devant l’infini que ce principe échoue, c’est également là que l’expérience devient impuissante. Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie.

Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience.

Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1, du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite, la loi est manifeste, disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité.

On ne saurait méconnaître qu’il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même.

https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l’Hypothèse/Chapitre_1

 

Sinon pour une présentation différente du principe, on peut jeter un œil à ceci, orienté pédagogie, et qui n'enlève rien au problème, uniquement de mieux s'en servir, et qui pourrait aussi t'éviter de refaire ce travail colossal:

http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/88/88x3.pdf

 

En fait je dois te dire que je profite un peu de cette polémique pour entrer plus profondément dans la pensée de Gödel (que je ne connais pas). Le combat me stimule ! Mais, tu as raison, je suis en train de me coltiner tout le raisonnement de Poincaré et de Gödel, en étudiant maintenant la "Logique mathématique" du niveau Licence/Master. Mais je vais avoir un problème de temps. Je suis embarqué dans un "truc" trop long.

Tu poses en plus une question que je me posais : de toute façon on tombe toujours sur des axiomes, et cela nous le savons sans Poincaré, ni Gödel. Avant même que ces hommes réfléchissent à la question, nous savions tous que les axiomes sont indémontrables, et même indécidables, et pourtant nous les prenons comme étant vrais (mais le cinquième postulat d'Euclide n'a bizarrement jamais emporté la conviction qu'il fut vrai, au contraire des autres postulats d'Euclide). Mais au nom de quoi les pensons nous d'évidence vrais ? Sans doute touchons-nous là les fameux jugements synthétiques a priori dont tu parles (et que Kant mentionne).

En définitive décrypter à fond la pensée de Gödel ne m'apportera sans doute pas grand chose de nouveau. Les mathématiques se sont toujours appuyées sur des fondements indémontrables, voire indécidables.

Je n'étais pas jusque là satisfait de ma manière de démontrer à mes contradicteurs  que, ne rien supposer sur la véracité ou pas de la proposition P(n), dans le raisonnement par récurrence, était absurde. J'ai en face de moi des habitués de pensées enracinées et je n'avais pour moi  que mon intuition mathématique.

Pour étayer mon intuition il m'a tout de même fallu étudier, un peu,  la  "Logique mathématique", discipline qui n'est pas vraiment prisée par nos mathématiciens.

Bon j'ai fini par trouver dans un cours de Master ce que je cherchais et je comprends du coup pourquoi l'implication a soudain disparu de l'enseignement secondaire, même si beaucoup de prof continuent de l'utiliser, faisant fi des nouveaux programmes.

L'erreur des mathématiciens endormis par les habitudes, c'est d'assimiler l'implication au raisonnement, c'est de croire que l'implication est la traduction d'une relation de cause à effet.

Dans l'implication nous avons d'abord deux propositions, et nous étudions la véracité ou pas de ces deux propositions, puis nous en déduisons la véracité ou pas de l'implication.

Pour les profanes il faut savoir que  "P implique Q" n'est pas le résultat d'un raisonnement, même si les profs le croient.

P implique Q  se traduit par cette autre formule  : non P ou Q

Le connecteur "ou" entre deux propositions A et B (A ou B) donne la table de vérité suivante : si A est vraie, (A ou B) est vraie, si B est vraie (A ou B) est  vraie, si A et B sont vraies (A ou B) est vraie et enfin si A et B sont faux (A ou B) est faux. Ce n'est pas un "ou" exclusif. Par exemple (deux impair ou trois impair) est une proposition vraie (il suffit en fait que l'une des deux propositions soit vraie pour que l'ensemble soit vrai). Mais (deux impair ou quatre impair) est faux car les deux propositions sont fausses.

A partir de là on établit la table de vérité de l'implication P implique Q en la traduisant par sa formule de base (non P ou Q), non P étant le contraire de P. 

  cela nous donne ceci :

 P                 Q               (non P ou Q) équivalent à ( P implique Q)

V                 V                       V                                     V

V                F                        F                                      F    car non P est alors faux et Q est aussi faux      

F                 V                       V                                     V  (car non P est alors vraie)

F                F                         V                                     V           

Ce qu'il faut retenir de cette table de vérité c'est que la vérité de la relation globale (P implique Q) est déduite des vérités sur P et Q.

Quand nous faisons un raisonnement (qui est autre chose que l'implication) nous pouvons par exemple à partir d'une proposition P en déduire la proposition Q. Dès lors qu'il y a un raisonnement nous traduisons cela immédiatement par : alors l'implication est vraie. Ce qui est totalement faux. En effet l'implication N'EST PAS LE RAISONNEMENT, la justesse d'un raisonnement n'entraine pas la justesse de l'implication. Si Q est vraie, que ce soit d'ailleurs à l'issue d'un raisonnement ou à l'issue d'une simple constatation en soi, cela NE PERMET PAS de nous prononcer sur la vérité ou pas de l'implication. Nous ne pouvons rien dire sur l'implication. Car l'implication ne traduit pas une relation de cause à effet. Cela va tellement contre les habitudes des mathématiciens, et même de certains mathématiciens chevronnés que ça parait inouï ce que j'écris là (je rassure mes contradicteurs j'ai les références des cours qui prouvent ce que j'écris). En effet pour inférer de la vérité de Q celle de l'implication il faut que je me prononce sur la vérité ou pas de P.  Si P est faux alors l'implication est fausse, si P est vraie alors l'implication est vraie. Or dans le raisonnement par récurrence je dois me prononcer sur la vérité de l'implication. Si donc j'ai démontré que P (n+1) est vraie, même à l'issue d'un raisonnement, je dois me prononcer sur la vérité ou pas de la proposition P(n). Nous sommes habitués à confondre raisonnement et implication parce que, dans toutes nos démonstrations depuis le primaire et jusqu'à l'université nous partons toujours d'hypothèses ou vraies ou fausses. Toujours, même quand on finit par ne même plus le voir. Ce qui nous permet de toujours décider de la vérité ou pas de l'implication, sans même que nous prenions conscience de ce que nous faisons.

Un raisonnement peut me prouver que Q est vraie, mais ce n'est pas parce que le raisonnement est vraie que l'implication est vraie, car l'implication n'a aucun RAPPORT avec le raisonnement. 

Si j'écris "la terre est ronde" implique "les poules n'ont pas de dents" c'est vrai !

Mieux si j'écris "la terre est plate" implique "les poules ont des dents" c'est vrai aussi !

Prenons un exemple relatif à la récurrence.

Nous posons que la somme des n premiers termes est égale à n(n+1)/2. Nous initialisons, puis nous posons

P(n) sans nous soucier de savoir si cette proposition est vraie ou fausse.

Nous savons que nous pouvons démontrer que P(n+1) est vraie à la suite d'un raisonnement partant de P(n). (En plus rien ne nous dit, et je persiste là dessus, qu'un raisonnement juste aboutit forcement à une vérité, mais bon, passons, je démontrerai cela plus tard, si c'est démontrable). Et comme nous avons fait un raisonnement juste, hop ! tout de suite nous disons :

Alors l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie.

Et bien non, nous ne pouvons pas le dire. Pour que l'implication soit vraie il faut encore que nous supposions que P(n) est vraie. Car l'implication ne dépend pas du raisonnement, elle n'illustre pas le raisonnement, elle dépend de la vérité ou pas de P(n) et de P(n+1).

Le 23/12/2017 à 20:24, deja-utilise a dit :

Oui et non.

En relisant ma phrase que tu cites j'espère que le sens n'a pas été mal compris, je disais bien ici qu'en survolant un peu le sujet j'ai eu l'impression que démonstration avait été faite, pas que ça avait été fait superficiellement.

Le 23/12/2017 à 20:24, deja-utilise a dit :

Si il était question d'une chose concrète comme par exemple, si je pose une brique - qui sont toutes identiques - sur une pile, alors cette nouvelle pile est plus grande que la précédente, là je n'ai rien à contester, en revanche lorsque j'introduis une hypothèse et que je l'inocule dans le problème, je ne peux pas être complètement surpris de la voir resurgir plus tard, mais ma crainte c'est qu'elle le fasse sans faire de " vague ", sans contradiction, comment dès lors être certain que ce manque de rugosité ou d'entrave, soit une preuve de la justesse de l'hypothèse ?

Tu ne l'inocules pas vraiment puisque ta démonstration part bien de là et s'appuie dessus. Si cette itération fonctionne pour tout n et son n+1, alors tu sais que cela se fait sans contradiction. S'il n'y a pas de contradiction, c'est donc que ton hypothèse est justement bonne. Sa récurrence pour tout n en est la preuve.

Le 23/12/2017 à 20:24, deja-utilise a dit :

Ça c'est ce qui se passe dans un système axiomatique en usitant des règles logiques non contestées, ce qui me chagrine c'est l'apport d'une pièce étrangère au problème, cette fameuse hypothèse, ça me fait étrangement songer au cinquième postulat d'Euclide !

Mais je rappelle aussi que le raisonnement par récurrence est aussi et avant tout une induction, or une induction n'a rien de logique ou de nécessaire, à l'inverse d'un raisonnement purement déduction ou hypothético-déductif ! Cela ressemble à un talon d'Achille ?

Le raisonnement par récurrence est de l'induction, en effet. Mais une induction que tu fais pour tout n, donc pour tous les entiers, et en cela ton raisonnement n'a aucun cas particulier qui pourrait fausser ton raisonnement. En cela, il n'est pas moins fiable qu'un raisonnement déductif. Si maintenant tu ne pouvais le démontrer que sur une partie des entiers naturels, là, en effet, ton raisonnement serait bancal sur une partie de l'ensemble et cela perdrait de son intérêt.

Le 23/12/2017 à 20:24, deja-utilise a dit :

 

J'avoue que la première fois que je t'ai lu, j'ai plutôt songé à un jeu de dominos, les uns à côté des autres, on initie le processus, puis de proche en proche normalement on va du point de départ jusqu'à l'arrivée potentielle, mais qu'est-ce qui nous empêche d'imaginer justement un jeu circulaire, qui s'auto-entretient en quelque sorte ?

Rien n'empêche d'avoir une certaine circularité dans le processus. Mais lorsque tu inities un raisonnement, tu as tout de même le souhait d'en avoir une sortie, indépendamment de la complexité du traitement fait entre-temps. Typiquement, sur un algorithme, le processus circulaire est une "boucle infinie", une boucle qui jamais n'a d'issue et donc ne s'auto-entretient pas véritablement mais s'égare plutôt à tenter de trouver une sortie.

Si maintenant, en revanche, ton raisonnement n doit nourrir ton raisonnement n+1, tu ajoutes davantage un étage qu'une boucle, sans quoi tu tournes en rond : par exemple, ma sortie en n peut devenir l'une des entrées de mon raisonnement en n+1 qui, lui, englobe plusieurs traitements différents et s'en nourrit.

Le 23/12/2017 à 20:24, deja-utilise a dit :

Je crois que tu t'appuies sur moi, les math sont une épuration de la réalité, on ne prend que les éléments les plus saillants/remarquables/généraux, processus toujours en cours avec la physique d'ailleurs, les mathématiciens se sont appropriés des outils de physiciens, telle les distributions, les séries de Fourier ou les intégrales de chemin par exemples, il y en a surement bien d'autres, d'autant plus qu'avant l'époque contemporaine les savants étaient les deux bien souvent, il n'est pas à exclure que Newton ait développé ses infinitésimales sur des considérations physique, là où Leibniz lui l'aura fait de manière plus mathématique, de mémoire. 

Tout à fait possible oui !

Il y a une sorte d'exultation, pour moi, à avoir compris l'erreur de raisonnement relative à l'implication. Que l'erreur que je relève plus haut soit aussi courante, même chez des mathématiciens chevronnés, peut paraître étonnant. Mais cette erreur provient  de cette constatation, je cite :

"La logique est, en France, une discipline traditionnellement négligée dans les études scientifiques universitaires".  "La logique part, en effet, d'une réflexion sur l'activité mathématique, et une réaction épidermique courante du mathématicien est de dire "A quoi bon tout cela?" [Préface de Jean-Louis Krivive, Logique mathématique, Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats" Licence-master, par René Cori et Daniel Lascar,  éditions Dunod]

Curieusement les erreurs de logique commises par des mathématiciens émérites ne sont pas commises par des personnes beaucoup moins ferrées dans les mathématiques comme "Déjà utilisé". Pourquoi ? Parce que la logique ne fait pas appel à des instruments mathématiques savants et complexes. Elle fait appel à l'esprit pur (ce que moi j'appelle, faute d'être sûr que l'esprit existe, le cerveau dans son acticité inconsciente).

Mais ce qui est étrange c'est que, moi même, je pensais que c'était pour avoir raison dans la dispute contre mes contradicteurs que je cherchais leur erreur. Maintenant que j'ai trouvé l'erreur, je me rends compte, que, même s'ils continuent de vouloir avoir raison contre moi, je m'en fous. En vérité c'était par rapport à moi-même que je m'énervais. J'ai toujours "senti" depuis mes études secondaires, que quelque chose n'allait pas dans le raisonnement par récurrence. Mais impossible d'exprimer ce malaise : les prof assènent leur vérité, c'est comme ça. Idem pendant les études universitaires, je me disais, ça ne va pas, je sens que ça ne va pas, mais idem, les profs "c'est comme ça, vous comprendrez plus tard, quand vous aurez le temps" [soit dit en passant ce genre de remarque m'a toujours halluciné ! quand je pense que certaines personnes qui n'ont pas fait d'études, pensent que les universitaires en savent beaucoup plus qu'eux, je me dis : s'ils savaient ! l'écrasante majorité des universitaires acquièrent des savoirs qu'ils...ne comprennent pas ! simplement ils savent que dans tel ou tel cas c'est tel ou tel raisonnement qu'il faut tenir].

Donc mon énervement était dirigé contre moi-même, car maintenant que je suis en harmonie avec moi-même, brusquement les humeurs de mes adversaires ne comptent plus.

Mais tout cela pose deux questions : 1/ pourquoi je "sens" qu'il y a une faille depuis toujours dans le raisonnement par récurrence et que tant d'autres (mathématiciens) ne la voit pas ? 2/Quel rôle peut donc jouer un instrument tel que le forum quant à un esprit comme le mien, pour lequel l'imaginaire est efficace dans sa saisie du réel ?