Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Le 25/01/2018 à 12:31, Quasi-Modo a dit :

Certes, mais ledit système permettant alors de démontrer ce qui était indécidable à l'origine comportera lui aussi une vérité indécidable.

Si c’est indécidable ce n’est pas une vérité

Citation

Les propositions indécidables successivement construites par Gödel puis ajoutées (elles mêmes ou leur contraire) dans le système d'axiome d'origine sont bien écrites dans le langage de la théorie initiale, c'est à dire à l'itération zéro (cf. codage de Gödel). Même après la troisième, quatrième, ou n-ème itération par laquelle on ajouterait la proposition indécidable construite par Gödel (ou son contraire) en tant qu'axiome, ces nouvelles propositions indécidables restent écrites dans le langage de la première théorie.

Ce qui ne change rien à mon propos , même s’il existe une vérité indémontrable dans un système rien n’empêche de la démontrer par un autre système . Dixit Gödel ...

D’oú l’interet De penser “hors de la boîte “. 

Citation

Il existe une règle qui s'appelle ex falso quod libet, c'est à dire que du faux il est possible de tout déduire.

Tu as sans doute  si on arrive à À => !A ca sent le gaz . Je me suis vautre sur le fait qu’il existait bien des vérités dans l’ensemble mais la question est sont elles décidables . Aurais tu le théorème démontrant qu’à partir d’une connexion paradoxale on peut rendre paradoxale toutes les autres , après réflexion ça ne me paraît pas évident ....

Ta règle ne vaut rien elle n’est pas démontrée et tous les systèmes ne la prennent pas pour axiome !

Citation

 

 suis prêt à tout entendre dès l'instant où cela resterait justifié bien sûr!

Je suis même prêt à entendre que je dis de la merde depuis le début. Mais si on m'apporte des arguments uniquement!

Tu affirmes tu démontres , c’est la règle .

La merde c’est inutile dans une démo

Serieux pas de ca entre nous, je lis et j’ai des objections aimant bien les maths je me permets donc en petit scarabée de te soumettre mes naïves objections afin de mieux comprendre . En béotien ce que j’ai retenu de Gödel c’est qu’on ne se démontre pas soi même et que Russel s’est fait mal pour rien , un mal de chien pour supprimer l’autoreference Et patatras Gödel lui a mité le système façon gruyère

A chacun sa théière ^^

Le 29/01/2018 à 21:53, DroitDeRéponse a dit :

Si c’est indécidable ce n’est pas une vérité

C'est plus vicieux que je l'ai laissé entendre : en réalité les indécidables construits par Gödel sont nécessairement vrais, ou alors c'est que toute la théorie est foireuse (incohérente)!

Pour dire les choses clairement, Gödel a réussi à démontrer qu'il existait une proposition P pour laquelle, la véracité implique la non-démontrabilité.

Cela reste perturbant et porte volontiers à la confusion, mais c'est bien ce qu'il a montré!

Le 29/01/2018 à 22:08, DroitDeRéponse a dit :

Tu as sans doute  si on arrive à À => !A ca sent le gaz . Je me suis vautre sur le fait qu’il existait bien des vérités dans l’ensemble mais la question est sont elles décidables . Aurais tu le théorème démontrant qu’à partir d’une connexion paradoxale on peut rendre paradoxale toutes les autres , après réflexion ça ne me paraît pas évident ....

Ta règle ne vaut rien elle n’est pas démontrée et tous les systèmes ne la prennent pas pour axiome !

A ce sujet j'avoue que je reprends simplement le principe d'explosion (ex falso quodlibet) sans réfléchir plus loin à son domaine d'application.

En fait tu peux même oublier mon dernier message (qui approximait et considérait que la proposition de Gödel pouvait être fausse) et te concentrer sur le fait que les propositions construites par Gödel sont vraies et indémontrables. La démonstration qu'il met en oeuvre utilise la divisibilité et consiste à coder chaque axiome à l'aide de nombres premiers il me semble.

Il faudrait que je la lise et analyse correctement mais je n'en ai pas eu le temps jusqu'ici : ce serait la seule façon de faire vraiment la part des choses

Finalement en y regardant bien ce n'est pas tant que Gödel montre l'incomplétude des mathématiques, mais il montre que si nos théories actuelles sont cohérentes, alors elles sont incomplètes. Il y a toujours à rajouter derrière "Les mathématiques sont incomplètes", la périphrase suivante : "... SI jusque là nous ne nous n'avons pas été incohérents!"

Le 29/01/2018 à 22:08, DroitDeRéponse a dit :

Aurais tu le théorème démontrant qu’à partir d’une connexion paradoxale on peut rendre paradoxale toutes les autres , après réflexion ça ne me paraît pas évident ....

Je viens de trouver sur wikipédia une démonstration qui peut-être te convaincra du bien fondé du principe d'explosion (source):

Citation

 

Prenons deux affirmations contradictoires, qui nous serviront de point de départ:

• Tous les citrons sont jaunes et
• certains citrons ne sont pas jaunes.

À partir de ces deux affirmations, supposées toutes deux vraies, nous allons montrer que Le Père Noël existe, de la manière suivante :

1. Nous savons que tous les citrons sont jaunes, par hypothèse.
2. Nous déduisons (2) Tous les citrons sont jaunes ou le père Noël existe. Sa première partie étant vraie, nous n'avons pas besoin de vérifier la seconde partie car il suffit qu'au moins l'une des deux parties soient vraies pour que la phrase le soit. Pour que "A ou B" soit vrai, il suffit que A soit vrai ou que B soit vrai.
3. Cependant, si certains citrons ne sont pas jaunes, ce qui est aussi vrai par hypothèse, cela invalide la première partie de la déduction (2).
   Nous l'avons déduite à partir d'une règle de déduction valide, elle est donc montrée vraie dans notre raisonnement. Sa première alternative étant contradictoire avec notre hypothèse, la seconde alternative, le père Noël existe, doit donc nécessairement être vraie pour que l'affirmation soit vérifiée.

 

Il y a 1 heure, Quasi-Modo a dit :

Je viens de trouver sur wikipédia une démonstration qui peut-être te convaincra du bien fondé du principe d'explosion (source):

 

Ca ne marche pas car tu pars d’une axiomatique basé sur le connecteur ou . Je cherche une preuve générale . Gödel n’a pas fait sa démo pour un système ...

Ton système présuppose que la transitivité soit vraie .

Par ailleurs la démo est bancale , la proposition certains citrons ne sont pas jaunes est vrai aussi donc le père Noël n’existe toujours pas .

Je cherche une preuve mathématique formelle