Découverte d’une régularité cachée dans la suite des nombres premiers

La répartition des nombres premiers semble aléatoire. Mais une propriété qui avait échappé jusqu'ici aux mathématiciens vient d'être mise en évidence : deux nombres premiers successifs se terminent par le même chiffre plus rarement qu'attendu.

Les nombres premiers occupent une place particulière parmi les nombres. Depuis des millénaires, les mathématiciens décortiquent les propriétés de ces nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. On les retrouve dans de nombreux domaines des mathématiques, et ils font l'objet de célèbres théorèmes ou conjectures, telles la conjecture de Goldbach ou l’hypothèse de Riemann. Ils jouent également un rôle clé dans les systèmes de chiffrage utilisés quotidiennement sur Internet. Les nombres premiers, et notamment leur répartition, sont encore entourés de nombreux mystères. Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver de l’université Stanford, aux États-Unis, viennent de découvrir une nouvelle propriété étonnante : il existe des liens entre les nombres premiers consécutifs.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… Euclide a montré qu’il existe un nombre infini de nombres premiers, qui se font de plus en plus rares à mesure que l’on avance dans la suite des nombres entiers, mais malgré cette tendance, la répartition des nombres premiers semble à première vue aléatoire. Il n’y a a priori pas de corrélation particulière entre les caractéristiques de nombres premiers voisins.

La suite sur : http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-decouverte-d-une-regularite-cachee-dans-la-suite-des-nombres-premiers-36713.php

Oui enfin j'ai l'impression que cet article ne donne pas grand chose à se mettre sous la dent : plus de détails techniques auraient été intéressants.

Et cette régularité ne provient-elle pas de la base employée (la base 10)?

Si on prend une base binaire, alors tous les nombres premiers (sauf 2) se terminent par 1!

Si on prend une base trois, alors tous les nombres premiers (sauf 2) contiennent un 1,

etc...

Désolée je n'ai pas trouvé mieux :/   Sinon tu as ici l'article  sur Nature : http://www.nature.com/news/peculiar-pattern-found-in-random-prime-numbers-1.19550?WT.mc_id=TWT_NatureNews

il y a 19 minutes, Théia a dit :

Désolée je n'ai pas trouvé mieux :/   Sinon tu as ici l'article  sur Nature : http://www.nature.com/news/peculiar-pattern-found-in-random-prime-numbers-1.19550?WT.mc_id=TWT_NatureNews

Merci

Comme les mathématiciens concernés ont l'air de bonne réputation, je pense que cela se reproduit peu importe les bases concernées, sinon ce serait un peu étrange, non?

Je poserai bien la question quand même : si en base 6 tous les nombres premiers plus grands que 3 finissent par 1 ou 5 (tiré de ton article), alors peut-on considérer qu'il y a plus souvent en base 6 alternance de ces deux terminaisons possibles, plutôt que deux nombres consécutifs finissant par un même chiffre? etc.. pour toutes les bases!

J'ignore si je suis clair, mais cette histoire de base gâche un peu mon plaisir mdr.

Attends, je sais ce que je peux faire pour t'aider : utiliser un joker. Appelons un amis ^_^

@Eventuellement ?

Ah mince suis-je bête j'ai lu en diagonale et voilà le résultat. C'est en fait écrit noir sur blanc dans la partie dont je parle en plus : "But the mathematicians found that the anti-sameness bias holds for any divisor."

Donc selon l'article c'est bien indépendant de la base.

En même temps, ça serait pas la 1er fois que les "théoriciens" qui pensent savoir "l'ultime" se retrouvent face à "l'incroyable mais vrai"...

Mais je vous laisse entre vous, vous allez l'air bien plus au fait des choses et je ne suis pas assez connaisseur pour tout comprendre

Après il y a le fait que ce biais ait été testé sur 400 milliards de nombres premiers alors qu'il y en a une infinité. Peut-être (mais ce serait étonnant) les nombres "restants" (au delà de ces 400 milliards) vont-ils compenser les probabilités pour les équilibrer? C'est vrai que c'est assez étonnant pour être signalé.

Le 29/12/2016 à 21:23, Théia a dit :

Attends, je sais ce que je peux faire pour t'aider : utiliser un joker. Appelons un amis ^_^

@Eventuellement ?

Je crois qu'Eventuellement est encore en train de plancher sur l'article, vu qu'il n'est pas théoricien des nombres!

Plus sérieusement, l'article se trouve en préprint ici :

https://arxiv.org/pdf/1603.03720v4.pdf

Je ne suis pas théoricien des nombres, n'ayant eu qu'un pauvre 12 en M2 dans cette discipline, mais il me semble que l'article ne fait que des conjectures. Pas grand chose n'est démontré... Il se pourrait qu'ils aient raison mais ce n'est pas près d'être prouvé, étant donné qu'ils se basent sur une sorte de conjecture d'Hardy-Littlewood modifiée, alors que ces dernières restent à l'heure actuelles ouvertes et loin d'avoir eu des avancées significatives, il me semble!

Il faudrait demander à un ancien forumeur de style Gallium, mais je ne pense plus qu'il passe par la, et il n'est pas théoricien des nombres non plus!

Dommage que Ramanujan soit mort si jeune, on en saurait probablement beaucoup plus sur les nombres premiers aujourd'hui.

Le 29/12/2016 à 21:23, Théia a dit :

Attends, je sais ce que je peux faire pour t'aider : utiliser un joker. Appelons un amis ^_^

@Eventuellement ?

Pardon, j'ai été à l'écart du forum ces derniers temps (pour mon plus grand bien ainsi que le vôtre). 

Malgré ce que dit Virtuose-en-carnage, je n'ai plus touché à l'arithmétique depuis des années et je n'ai donc pas la prétention de répondre à quelque question spécifique que ce soit touchant ce domaine, contrairement à lui

Le 04/01/2017 à 19:13, swam a dit :

Dommage que Ramanujan soit mort si jeune, on en saurait probablement beaucoup plus sur les nombres premiers aujourd'hui.

De son vivant, il a essentiellement effectué un travail de "reformulation", certes très intéressant parce que ça a permis d'exprimer certains nombres de façon plus élégante, mais je ne sais pas s'il aurait contribué intensivement à l'arithmétique dans toute sa généralité et sa vastité. Il avait un flair hors du commun concernant les séries infinies, et pouvait te pondre une formule en utilisant seulement son intuition. C'est le genre de mec qui te répond "je le sais, c'est tout" quand tu lui demandes comment il fait.

Par contre, il n'a fait presque que cela toute sa vie. Les domaines auxquels il s'est intéressé demeurent restreints.

Il y a 14 heures, Eventuellement a dit :

Pardon, j'ai été à l'écart du forum ces derniers temps (pour mon plus grand bien ainsi que le vôtre). 

Malgré ce que dit Virtuose-en-carnage, je n'ai plus touché à l'arithmétique depuis des années et je n'ai donc pas la prétention de répondre à quelque question spécifique que ce soit touchant ce domaine, contrairement à lui

Si je peux me permettre, l'article que Théia a donné par la suite répond totalement à mon interrogation d'origine, pour le moins si il s'inspire correctement de l'article en question ; voici le passage entier (pour ceux qui comprennent l'anglais):

At first glance, it would seem that this is because gaps between primes of multiples of 10 (20, 30, 100 and so on) are disfavoured. But the finding gets much more general — and even more peculiar. A prime’s last digit is its remainder when it is divided by 10. But the mathematicians found that the anti-sameness bias holds for any divisor. Take 6, for example. All primes have a remainder of 1 or 5 when divided by 6 (otherwise, they would be divisible by 2 or 3) and the two remainders are on average equally represented among all primes. But the researchers found that a prime that has a remainder of 1 when divided by 6 is more likely to be followed by one that has a remainder of 5 than by another that has a remainder of 1. From a 6-centric point of view, then, gaps of multiples of 6 seem to be disfavoured.

Paradoxically, checking every possible divisor makes it appear that almost all gaps are disfavoured, suggesting that a subtler explanation than a simple accounting of favoured and disfavoured gaps must be at work. “It’s a completely weird thing,” says Soundararajan.

Le 29/12/2016 à 20:23, Quasi-Modo a dit :

Et cette régularité ne provient-elle pas de la base employée (la base 10)?

Si on prend une base binaire, alors tous les nombres premiers (sauf 2) se terminent par 1!

Si on prend une base trois, alors tous les nombres premiers (sauf 2) contiennent un 1,

etc...

En fait, la transformation d'une base à l'autre est une fonction mathématique simple (et parfaitement réversible).

Donc s'il existe un lien dans une base, c'est bel et bien qu'il existe un lien, quel que soit la base considérée.

Effectivement la manifestation de ce lien, de voir des répétitions sur le dernier chiffre, est fortement lié à la base utilisée. Mais le lien lui même, s'il existe, peut être démonté quel que soit la base utilisé pour le montrer.

Pour ce qui est de la recherche elle même, je serais méfiant. N'oublions pas qu'il s'agit de statistiques. La distribution est supposés aléatoire ( sans que ça ai été prouvé pour l'instant ). Mais rien n'empêche non plus au hasard de fournir des suites qui semblent ordonnées. Il est improbable, mais possible, qu'en lançant un dès 6 fois de suite, vous obteniez : 1,2,3,4,5,6.

Trouver un semblant d'ordre peut être le début d'une piste à creuser. Mais méfions nous des effets d'annonces.

@Titsta

Tu te trompes Titsta, sur ce genre de relation il n'était pas du tout évident que cela ne dépende pas de la base (comme d'ailleurs l'article en parle). Nous ne parlons pas d'une équation standard! Il se pourrait simplement qu'il y ait moins de nombres premiers consécutifs espacés par des multiples de 10 (10, 20, 30, ..., 100) et cela suffirait à expliquer l'observation en base 10.

Une autre façon de l'expliquer serait de remarquer le fait suivant : que deux nombres finissent par le même chiffre dans une base ne signifie pas qu'ils finissent par le même chiffre dans une autre base! Et vice-versa, qu'un nombre A finisse par un chiffre différent du nombre B dans une base ne signifie pas qu'ils ne pourraient pas finir par le même chiffre dans une autre base.