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Un mathématicien russe refuse un prix d'un million de dollars


Yavin

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VIP, Posté(e)
Yavin VIP 32 683 messages
Baby Forumeur‚
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Un mathématicien russe refuse un prix d'un million de dollars


Samedi 03 Juillet - 11:15

© KEYSTONE | La casse-tête résolu par le mathématicien, connu sous le nom de "conjecture de Poincaré", est un test permettant de dire si une forme quelconque est une sphère en trois dimensions.



MOSCOU | Le Russe Grigori Perelman avait trouvé la solution du problème de topologie posé en 1904 par le mathématicien français Henri Poincaré, sur lequel il avait travaillé pendant 7 ans.


AFP
Suite de l'article...
Source: 24heures.ch
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Membre+, N'a pas la haine, la distribue - Avocat du diable, 34ans Posté(e)
La Haine Membre+ 19 076 messages
34ans‚ N'a pas la haine, la distribue - Avocat du diable,
Posté(e)

Lien ne fonctionne pas Yavinou :rtfm:

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Membre, 49ans Posté(e)
tiwi Membre 2 015 messages
Baby Forumeur‚ 49ans‚
Posté(e)

Pour le coup, il aurait même droit à un prix d'honnêteté.

Si il la refuse, c'est qu'il est fou.

Vite, une prime à la casse !!!

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Membre, 34ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 34ans‚
Posté(e)

Je reposte l'explication que j'avais donnée précédemment, au cas où ça en intéresse quelques uns :

Aucune réaction ?

Ce que je trouve dommage c'est que l'article cité ne précise pas qu'est ce qui a été prouvé concrètement.

Bien entendu la preuve relève de mathématiques de très haut niveau et je pense que personne sur ce forum n'est en mesure de la comprendre (moi non plus bien entendu!), mais l'énoncé lui n'est pas si difficile à exposer.

Je vais essayer de vulgariser le sujet (je ne suis pas spécialiste mais ce domaine m'intéresse beaucoup).

Une 1-sphère est un cercle (seulement le cercle, pas son intérieur, sinon on parlerait d'un disque).

Une 2-sphère est la surface de la sphère "habituelle" en 3D.

Une 3-sphère est la "surface" (en 3D) de la sphère en 4D, c'est à dire l'ensemble {(x1,x2,x3,x4) | x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 = 1}

Et ainsi de suite, au sens général on parle donc d'une n-sphère.

Ce vocabulaire peut sembler contre-intuitif, car la "sphère en 3D" est appellé 2-sphère et non 3-sphère.

Mais en fait c'est tout à fait justifié : la Terre est un objet en 3D, mais pour se positionner sur sa surface, on a seulement besoin de deux coordonnées (latitude et longitude). Donc la Terre est "en 3D", mais sa surface est "en 2D".

Si je pose un élastique sur un ballon (une 2-sphère donc), je pourrai "resserrer" l'élastique autant que je veux, jusqu'à le rétrécir en un point.

Celà n'est pas le cas de toutes les surfaces, par exemple un élastique autour d'un tore (un "anneau" ou "donut") ne peut pas toujours être resserré en un point sans devoir "couper" le tore (si l'élastique passe par le "trou" au centre du "donut", je pourrai alors le faire circuler sur le "donut", mais pas le resserrer).

La 2-sphère a donc une propriété très spéciale : tout élastique que je met dessus peut-être resserré afin de ne former plus qu'un point.

On peut prouver que celà est pareil pour la 3-sphère, 4-sphère, 5-sphère, etc (mais pas pour la 1-sphère!). Bien entendu c'est plus difficile à s'imaginer, mais c'est la même idée. Tout ça est connu depuis très longtemps et pas très difficile à montrer.

Maintenant on peut se poser la question inverse : si je prend une "surface" (pas forcément "en 2D") quelconque, et que tout élastique sur cette surface peut-être resserré en un point, que peut-on déduire sur la "forme" de cette surface?

On savait déjà prouver qu'une surface en 2D, 4D, 5D ou plus ayant cette propriété doit être une 2-sphère, 4-sphère, 5-sphère, etc.

Par contre, pour le cas en 3D on ne possédait jusqu'à présent d'aucune preuve comme quoi la surface doit être une 3-sphère. De nombreux mathématiciens ont pendant presque un siècle cherché une preuve mais sans résultat, avant que Perelman ne finisse finalement par trouver la solution (qui est parait-il très complexe).

Maintenant on peut donc enfin affirmer ceci : si les élastiques qu'on pose sur une surface se comportent comme si on les avait posé sur une sphère, alors la surface en question est une sphère.

C'est une petite étape en plus dans le problème plus général de la classification des surfaces. Par exemple pour le cas 2D la classification est terminée (il me semble) : toute 2-surface est soit une sphère, soit une sphère avec des trous (un "donut", un "huit", etc), soit une somme d'espaces projectifs (plus difficiles à imaginer).

Pour le cas 3D je ne sais pas si la classification est maintenant finie mais la preuve de Perelman nous avance déjà beaucoup. Pour les cas de dimensions supérieures, on sait déjà qu'une classification est impossible.

Voilà en espérant que ça aura quand même intéressé quelques autres matheux du forum

Malheureusement la presse généraliste ne s'attarde que sur la personnalité un brin originale de Perelman et je pense que c'est justement ça qui l'énerve - on parle plus de lui que de sa preuve.

Si vous avez d'autres questions sur ce sujet, allez-y, car moi ce sujet me passionne.

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Membre, 49ans Posté(e)
tiwi Membre 2 015 messages
Baby Forumeur‚ 49ans‚
Posté(e)

Tu ne voudrais pas nous faire un dessin ?

Ce que je ne comprends pas trop, c'est l'élastique et le donuts coupé. J'aurais plutôt mis ça sur le compte de l'elasticité de la matière.

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Membre, 49ans Posté(e)
tiwi Membre 2 015 messages
Baby Forumeur‚ 49ans‚
Posté(e)

Je crois que c'est bon, je ne devais pas placer l'élastique dans le bon axe dans ma tête. Bien que si le donuts est un tuyau, ça ne marche plus non ?

Est-ce que ça ne serait pas une question de répartition des forces ?

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Membre, 34ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 34ans‚
Posté(e)

Il n'y a aucune notion de force ou d'élasticité en jeu! Ce n'est pas de la physique.

Quand je parle d'un élastique, c'est juste une image. Plutôt qu'un élastique sur une sphère, on pourrait aussi imaginer que tu dessines un cercle au marqueur sur la surface de la sphère, et que tu pourrais "faire rétrécir" ce cercle en un point, ce qui n'est pas possible avec d'autres formes (comme un donut par exemple).

C'est sans doute plus clair avec un dessin en effet :

400px-P1S2all.jpg

Ici on peut déformer le cercle noir sur la surface jusqu'à ce qu'il ne soit réduit qu'à un point.

Par contre, pour un tore (donut) :

150px-Torus_cycles.png

Aucun des deux cercles colorés ne peut être déformés en un point, tout au plus peut-on les faire circuler sur le tore, mais pas les "resserrer" sans "couper" le tore.

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Membre, 28ans Posté(e)
Akmdad Membre 85 messages
Baby Forumeur‚ 28ans‚
Posté(e)

très intéressant!!!

je ne vois pas a quoi ca peut servir...

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Membre, 34ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 34ans‚
Posté(e)

Il y a quelques applications de ce genre de trucs dans d'autres sciences. Par exemple en biochimie il me semble qu'on fait un peu de topologie (théorie des noeuds notamment) pour déterminer les propriétés possibles d'une molécule selon sa configuration géométrique. Ou alors en théorie des cordes, mais la théorie des cordes elle-même ne sert pas vraiment à grand chose pour le moment.

Mais sinon c'est surtout utilisé pour prouver d'autres choses en math, qui elles sont ensuite utilisées en science. La géométrie différentielle utilise beaucoup de résultats très abstraits de topologie, et cette géométrie est utilisée pour formuler de nombreux modèles en physique, aussi bien en relativité générale qu'en mécanique classique. Un autre exemple, on peut déterminer des propriétés qualitatives d'une solution d'une équation différentielle d'après la topologie de l'espace sur lequel l'équation est définie, et les équations différentielles sont omniprésentes en physique.

Par contre ce théorème précis qui vient d'être démontré par Perelman, je ne pense pas qu'on lui trouvera une utilité avant très longtemps, si un jour on lui en trouve une.

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Membre, 28ans Posté(e)
Akmdad Membre 85 messages
Baby Forumeur‚ 28ans‚
Posté(e)

ok mais sache que ayant 15 ans je ne comprend rien a ton charabia (a part de la fameuse théorie des cordes de einstein)

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Membre, 34ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 34ans‚
Posté(e)

Ah désolé je n'avais pas fait attention à ton âge :rtfm:

Par contre, la théorie des cordes n'a rien à voir avec Einstein.

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Membre, 28ans Posté(e)
pierre56bzh Membre 34 messages
Baby Forumeur‚ 28ans‚
Posté(e)

je veux pas t'emmerder akmdad mais ce que tu fais c'est un peu du troll. akarkop a un putain de sujet compliqué mais on sent que ça lui tient a coeur. donc logiquement tu vas pas sur le sujet si ça t'intéresse pas à la base.....

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Membre, 28ans Posté(e)
Akmdad Membre 85 messages
Baby Forumeur‚ 28ans‚
Posté(e)

ce sujet m'interressait, je ne pensait pas qu'il serait aussi compliqué

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Membre, 49ans Posté(e)
tiwi Membre 2 015 messages
Baby Forumeur‚ 49ans‚
Posté(e)

Ok, avec un dessin, c'est tout de suite plus clair.

Par contre, si l'elastique entoure le donuts au complet, on peut bien resserer l'elastique jusqu'à ce qu'il donne un point.

Ca me fait un peu l'impression d'un casse tête chinois ce truc.

Ou c'est peut-être que je n'ai pas toutes les conditions de la manip en tête. Certainement qu'il faut que l'élastique soit toujours en contact direct avec l'objet en tout point et toujours qu'il forme un cercle.

C'est un peu un système d'intégrale mais en plusieurs dimensions non ?

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Membre, 34ans Posté(e)
Akarkop Membre 228 messages
Baby Forumeur‚ 34ans‚
Posté(e)

Non même lorsque l'élastique entoure le tore au complet ce n'est pas possible (pas difficile à voir, sinon essaye de faire un dessin sur lequel tu dessines des élastiques de plus en plus "serrés" : tu n'arriveras pas à faire un point).

Un élastique qui fait le tour complet c'est donc celui "en haut" sur le dessin suivant :

150px-Torus_cycles.png

Par contre si on mettait un élastique "sur le côté" du tore, c'est à dire qui n'est ni "le long", ni "autour" du "tuyau" (donc aucun des deux cas sur le dessin), là en effet on pourrait le resserrer en un point (de la même manière que pour le cas de la sphère).

Mais ça ne change rien : on veut que tout élastique puisse être resserré en un point. Sur le tore on a trouvé deux positionnements possibles de l'élastique où on ne peut pas le resserrer en un point, la condition n'est donc pas remplie (tandis qu'elle l'est pour la sphère).

On considère en effet que l'élastique est toujours en contact direct avec la sphère (ou le tore ou autre chose), en gros l'élastique "colle" à l'objet, il ne pourrait pas "sauter" et tomber de l'objet. Et l'élastique forme toujours un cercle (en fait, en langage math, on dit un lacet).

Evidemment c'est très simplifié, "en vrai" on ne parle bien entendu pas d'un élastique, ce n'est qu'une analogie.

En langage math, ce que Perelman a prouvé c'est : "toute 3-variété fermée simplement connexe est homéomorphe à une 3-sphère". Bref du charabia pour la plupart des gens.

Par contre il n'y a pas d'intégrales en jeu. En fait il n'est même pas nécessaire d'utiliser les notions de "distance" et de "mesure" pour définir cette histoire d'élastique qui se resserre, et donc pas besoin des intégrales (qui sont d'une certaine manière des "mesures" de surfaces, volumes, etc). En gros on a juste besoin de la notion de "continuité", car on demande que l'élastique soit déformée "continûment", c'est à dire qu'on le resserre "petit à petit".

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