petit problem de math

Je suppose que tous les êtres humains sont féminins, j'en déduis que le premier être humain était une femme ?

Non, il démontre que si on sait que "tout les êtres humains naissent de + en + féminins implique que le prochain être humain à naitre sera encore + féminin" on en déduit que "tout les êtres humains sont féminins". Ce qui nous fait douter, c'est le fait que le premier soit féminin.

Contradiction, et conclusion : P(n) est fausse ?

Non, la contradiction ici indiquerais qu'il n'existe pas x tel que non P(x), en raisonnement pas l'absurde sur la dernière partie de sa démonstration.

En fait, il a raison. Sa relation de récurrence est vraie sur un ensemble bien fondé (ça veut dire qui a entre autres une valeur limite minimale), dans ce cas, et parce que la récurrence est forte (= implique l'ensemble les éléments de rang inférieurs), la clause d'initiation est incluse dans l'héréditée de rang minimale.

voir le commentaire de wikipedia sur les relations bien fondés : http://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_bien_fondée

sinon pour reprendre l'exemple de feuille sur les être humains :

Si la première implication que j'aie doublecotée est vérifiée, elle inclut le premier être humain. Lui aussi avait une part de féminité, qu'on a pu comparer à celle des suivants. Si ça n'avait pas été le cas, on aurai pas pu démontrer la première implication. (bon il y a des inexactitudes dans l'image, mais ça illustre bien l'articulation de l'idée sur laquelle on bute)

Bon, j'arrive pas à te suivre, Miq. Enfin si, sur l'idée, donc merci pour les analogies. Même si j'ai encore du mal à saisi le concept. :blush:

M'enfin, c'est pas grave... ce que j'en retiens, c'est que Grenouille proposait la récurrence forte pour éviter de faire une initialisation puis une hérédité, par simplicité... seulement, j'ai l'impression que la démonstration est plus complexe, du coup ? Et j'ai du mal à comprendre en quoi c'est plus simple... ou alors, j'ai mal compris ce que Grenouille voulait dire.

Hypothèse : On suppose qu'on a déjà montré l'hérédité, donc qu'on a montré ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) ).

On considère le cas particulièr où n=0.

On a donc : [∀k<0 P(k)] ⇒ P(0)

La propriété ∀k<0 P(k) signifie "non (Existe k <0 non P(k)).

Or, il n'existe pas de nombre naturel strictement négatif.

Cette propriété est donc toujours vraie (quelque soit la propriété P considérée).

On en déduit donc que [∀k<0 P(k)] ⇒ P(0) est équivalent à Vrai ⇒ P(0)

Le vrai ne pouvant impliquer que le vrai, cela est donc équivalent à P(0)

Conclusion : P(0)

Imaginons... alors voila...

J'ai l'hérédité suivante :

∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Avec P(n) la propriété telle que n=n-1

L'héridité se vérifie :

Par succession d'égalité,

n-2=n-3

n-3=n-4

...

1=0

or : n=n-0=n-1 puisque 1=0...

donc...

Si pour tout k<n k=k-1, alors n=n-1.

c'est une récurrence forte. L'hérédité est démontrée.

En applicant le théorème de grenouille (cité et "démontrée" par la grenouille en personne...) que je recite :

Si ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Alors P(0)

Donc comme pour tout k<n k=k-1, alors n=n-1.

Alors 0=1

Bravo Grenouille... (je t'imagines déjà entrain de faire "Quoi ??" ... ps : c'est pas méchant :blush: )

De plus... Tu utilise la notion de récurence forte. Or, la récurence forte est un théorème qui se démontre via le théorème de récurrence simple. Donc, comme la récurrence simple nécessite une initialisation, la récurrence forte aussi. Donc ta démonstration est fausse... pour la deuxième fois ...

Là j'ai un gros doute : "On suppose qu'on a déjà montré cela : ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )".

J'aurai plutôt dit, pour n dans N (fixé) on suppose montré ( [∀k<n P(k)] ⇒ P n) )

Heu non, l'hérédité doit être montrée pour tout n, et pas uniquement pour un seul.

Dans le cas de la récurrence simple, il faut montrer que :

• P(0) est vraie
  
• ∀n, P(n) ⇒ P (n+1)
  

L'idée sous-jacente à la récurrence c'est que P(0) est vraie, et en prennant n=0 on a que P(0) ⇒ P(1), donc P(1) aussi est vraie, etc...

Pour montrer la deuxième propriété (hérédité), on prend un n quelconque, on suppose P(n) et on montre P(n+1). Par la règle d'introduction du quantificateur universel, on en déduit ∀n, P(n) ⇒ P (n+1).

C'est le même raisonnement que quand on veut montrer ∀x, P(x). On prend un x quelconque, et on montre P(x).

Il faut commencer ta récurrence quelque part.

Mais il faut bien montrer P(0)=>P(1) donc vérifier que P(0) est vrai à l'écart.

• Vrai ⇒ P(0)
  
• P(0) ⇒ P(1)
  
• P(0) et P(1) ⇒ P(2)
  
• P(0) et P(1) et P(2) ⇒ P(3)
  
• P(0) et P(1) et P(2) et P(3) ⇒ P(4)
  

On montre donc bien que P(0) est vrai, que P(1) est vrai, etc...

la clause d'initiation est incluse dans l'héréditée de rang minimale.

Exactement.

J'utilise la ruse qui dit que toute propriété qui commence par "Pour tout x appartenant à l'ensemble vide..." est vraie.

Dans l'article de Wikipédia que tu as mis en lien, ils donnent sous une autre formulation le même principe de récurrence généralisé : Soit P une partie de E contenant, pour tout j, tous les x∈E de rang j dès qu'il contient tous les x de rang < j. Alors P est l'ensemble E tout entier.

Je suppose que tous les êtres humains sont féminins, j'en déduis que le premier être humain était une femme ?

Seulement, la supposition de départ est fausse...

Bref, si l'hérédité que tu supposes est fondée sur qqch de vrai, ça fonctionne. Si elle ne l'est pas, ça ne fonctionne pas. Et l'initialisation permet de vérifier si ce que l'on avance est vrai ou pas...

Si l'hérédité est fausse, le raisonnement par récurrence npeut donner une conclusion fausse.

Qu'il y ai ou non une initialisation ne change rien à cet état de fait.

Exemple :

Initialisation (correcte) : 0 n'est pas premier

Hérédité (fausse) : Si n n'est pas premier, alors n+1 n'est pas premier.

Conclusion : Aucun entier n'est premier.

L'initialisation est juste, mais l'hérédité fausse. La conclusion finale est elle aussi fausse.

Quelque soit le type de récurrence, il faudra toujours que l'hérédité soit juste pour que ça fonctionne. Ce n'est pas une spécificité de la récurrence généralisée.

Contradiction, et conclusion : P(n) est fausse ?

Lors d'un raisonnement par l'absurde, quand on arrive à une contradiction, on en déduit que l'hypothèse du raisonnement par l'absurde est fausse.

Je te laisse donc corriger ton erreur.

Solution :

Imaginons... alors voila...

J'ai l'hérédité suivante :

∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Avec P(n) la propriété telle que n=n-1

L'héridité se vérifie :

Par succession d'égalité,

n-2=n-3

n-3=n-4

...

1=0

or : n=n-0=n-1 puisque 1=0...

donc...

Si pour tout k<n k=k-1, alors n=n-1.

c'est une récurrence forte. L'hérédité est démontrée.

En applicant le théorème de grenouille (cité et "démontrée" par la grenouille en personne...) que je recite :

Si ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Alors P(0)

Donc comme pour tout k<n k=k-1, alors n=n-1.

Alors 0=1

Bravo Grenouille... (je t'imagines déjà entrain de faire "Quoi ??" ... ps : c'est pas méchant :blush: )

De plus... Tu utilise la notion de récurence forte. Or, la récurence forte est un théorème qui se démontre via le théorème de récurrence simple. Donc, comme la récurrence simple nécessite une initialisation, la récurrence forte aussi. Donc ta démonstration est fausse... pour la deuxième fois ...

Dans ta preuve, tu as implicitement supposé que n était supérieur ou égal à 2.

Tu n'as donc pas montré l'hérédité ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Tu as juste montré ∀n>=2 ( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

Il faudrait encore que tu le montres pour n=1 et pour n=0, mais ce n'est pas possible.

Le point qui cloche est le suivant :

Par succession d'égalité,

n-2=n-3

n-3=n-4

...

1=0

En fait, qu'est-ce que cela veut vraiment dire ?

Tu utilises là l'hypothèse de récurrence.

C'est équivalent à dire :

P(n-2)

P(n-3)

...

P(1)

Ensuite, tu jettes les propriété P(n-2), P(n-3)... pour ne garder que P(1).

Il est donc inutile de mentionner les autres propriétés, ton argument peut donc être simplifié en cela :

Par hypothèse de récurrence : P(1)

Et cela, tu n'as le droit de le faire que si n est supérieur ou égal à 2..

Quand n=1, tu peux utiliser P(0) comme hypothèse de récurrence, mais pas P(1).

... si tu veux...

Même chose avec n=n+1 pour n < ou = 0 ...

Heu non, l'hérédité doit être montrée pour tout n, et pas uniquement pour un seul.

Je suis tout à fait d'accord, d'ailleurs je parle de N fixé, et non n.

Dans le cas de la récurrence simple, il faut montrer que :

P(0) est vraie

∀n, P(n) ⇒ P (n+1)

L'idée sous-jacente à la récurrence c'est que P(0) est vraie, et en prennant n=0 on a que P(0) ⇒ P(1), donc P(1) aussi est vraie, etc...

Pour montrer la deuxième propriété (hérédité), on prend un n quelconque, on suppose P(n) et on montre P(n+1). Par la règle d'introduction du quantificateur universel, on en déduit ∀n, P(n) ⇒ P (n+1).

C'est le même raisonnement que quand on veut montrer ∀x, P(x). On prend un x quelconque, et on montre P(x).

Nous sommes d'accord, je connais le principe de récurrence. Le modèle de récurrence simple est d'ailleurs celui que j'ai proposé au départ, avant que la discussion s'intéresse qu'à la récurrence forte. Et personnellement c'est celui que je préfère, et que j'ai toujours utilisé dans mes études ...

... si tu veux...

Même chose avec n=n+1 pour n < ou = 0 ...

....

:blush:

....

Tu veux dire que tu parles des entiers négatifs ?

:coeur:

... si tu veux...

Même chose avec n=n+1 pour n < ou = 0 ...

En fait, en maths on ne peut pas prouver que ça marche dans "presque" tous les cas, et en déduire que s'est bon.

Prend le raisonnement que tu fais pour n quelconque, et regarde ce que ça donne pour n=0.

Tu verras immédiatement le problème.

En maths, on ne s'autorise pas à écarter les cas particuliers qui posent problème. Ici, le cas 0 est crucial, puisque c'est à partir de ce cas que tout commence.

Tu ferais comment avec ton principe de "récurrence forte généralisée" ? (pour voir concrètement, parce que j'ai du mal à m'en faire une idée).

Tu ferais comment avec ton principe de "récurrence forte généralisée" ? (pour voir concrètement, parce que j'ai du mal à m'en faire une idée).

Dans ce cas là, je pense que ça n'apporterait rien, en effet, il faudrait distinguer le cas n=0 et n>0.

Si n=0, on fait comme dans le cas de l'initialisation.

Si n>0, on utilise l'hypothèse de récurrence sur n-1.

La récurrence généralisée n'a d'intérêt que quand on veut montrer quelque chose où on a besoin de l'hypothèse de récurrence sur autre chose que n-1. Par exemple, pour montrer que tout entier supérieur ou égal à deux possède un diviseur premier, il est pratique d'utiliser une récurrence forte.

Rappel : un nombre est premier si il est différent de 1 et qu'il n'est divisible que par 1 et lui-même.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

On suppose (hypothèse de récurrence) que pour tout entier k<n, si est supérieur ou égal à 2, alors il a un diviseur premier.

1er cas : n est premier.

2ème cas : n n'est pas premier, or n est différent de 1, donc il existe n=dd' avec d et d' différents de 1.

n est non nul, donc d et d' sont non-nuls.

Donc d et d' sont supérieurs ou égaux à 2 et sont strictement plus petits que n.

Donc l'hypothèse de récurrence s'applique sur d (et sur d', mais on n'en a pas besoin).

Donc il existe un nombre premier p qui divise d.Donc il existe un nombre p qui divise n.

En fait, en maths on ne peut pas prouver que ça marche dans "presque" tous les cas, et en déduire que s'est bon.

Prend le raisonnement que tu fais pour n quelconque, et regarde ce que ça donne pour n=0.

Tu verras immédiatement le problème.

En maths, on ne s'autorise pas à écarter les cas particuliers qui posent problème. Ici, le cas 0 est crucial, puisque c'est à partir de ce cas que tout commence.

C'est à toi que tu devrais dire cela :blush:

Je vais te démontrer que ton raisonnement est faux.

Tout simplement puisque qu'une récurrence forte est aussi une récurrence simple.

Tu proposes :

Hypothèse : On suppose qu'on a déjà montré l'hérédité, donc qu'on a montré ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) ).

On considère le cas particulièr où n=0.

On a donc : [∀k<0 P(k)] ⇒ P(0)

La propriété ∀k<0 P(k) signifie "non (Existe k <0 non P(k)).

Or, il n'existe pas de nombre naturel strictement négatif.

Cette propriété est donc toujours vraie (quelque soit la propriété P considérée).

On en déduit donc que [∀k<0 P(k)] ⇒ P(0) est équivalent à Vrai ⇒ P(0)

Le vrai ne pouvant impliquer que le vrai, cela est donc équivalent à P(0)

Conclusion : P(0)

Tu as une proposition P(n) Pour tout n de IN

Cette proposition est vrai à condition que P(k) Pour tout k de IN et k<n soit vraie (hérédité forte)

Tu en conclus que P(0) est vraie.

N'est ce pas ?

Bon...

Soit Q la proposition telle que

Q(n) = "Pour tout k< ou = n de IN P(k)" .

Q(0) est donc : " Pour tout k < ou = 0 de IN P(k)" donc, Q(0) = P(0)

Or, par hérédité forte sur P on a

SI pour tout k < ou = n P(k) vraie, ALORS P(n+1) vraie et ALORS pour tout h < ou = n+1 P(h) vraie

Donc d'après ce que je pose :

SI Q(n) vraie ALORS Q(n+1) vraie

C'est donc une récurrence simple sur Q

D'après ton "théorème"

Si l'hérédité forte est montrée, alors P(0) vraie.

Or si l'hérédité forte de P est montrée, alors l'hérédité simple de Q est montrée. Et comme Q(0) = P(0)

Q(0) est vraie...

Donc en somme tu viens de démontrer qu'il existe des récurrence simple qui n'ont pas besoin d'être initialisée dans la mesure ou la démonstration de l'hérédité simple suffit à montrer que l'initialisation est vraie...

Grenouille, c'est complètement absurde... cela m'étonne beaucoup de toi là ...

Au passage, la méthode que j'emploie ici est très fortement inspirée de la démonstration du théorème de récurrence forte. Il se démontre en effet en posant un récurrence simple de la forme que j'ai présenté ici... et nécessite une initialisation...

Tu confonds, dans ton raisonnement A implique B et B implique A.

Donc d'après ce que je pose :

SI Q(n) vraie ALORS Q(n+1) vraie

C'est donc une récurrence simple sur Q

C'est un "donc" en rouge gras, et pas un "si et seulement si".

En fait, ce que tu as montré c'est que :

"Si on a l'hérédité forte sur P, alors on a l'hérédité simple sur Q".

Et ça, c'est vrai.

Mais, on n'a pas que l'hérédité faible sur Q, non, sur Q on a deux choses :

• L'hérédité faible
  
• Q(0)
  

oui on a Q(0) vrai non pas parce que c'est vérifier mais parce que ton théorème l'impose quelque soit la proposition P. Ors le principe de l'initialisation est justement qu'elle n'est un cas particulier qui ne se démontre pas par ailleurs. Il n'existe pas de récurence simple dont l'initialisation est montrée par avance.

En somme, si tu me dis que dans ma récurence je donne k'hérédité ET Q(0), alors je te dis que tu en fait de même sur le cas de récurrence forte. Puisque c'est la même chose. En gros (P(n) et Q(n) signifie "hérédité forte" et "faible" ):

P(n) => P(0)

Or

P(n) => Q(n)

et donc

Q(n) => P(0)

comme P(0)=Q(0)

Q(n) => Q(0)

Une hérédité simple ne peut pas impliquer sa propre initialisation...

oui on a Q(0) vrai non pas parce que c'est vérifier

Si Q(0) est vérifié. Il suffit de considérer le cas n=0 dans l'hérédité forte, et tu as Q(0).

En fait, tout le problème est là : tu devrais prendre la formule de l'hérédité forte, et regarder ce que ça donne pour n=0. Si tu y arrives, on pourra discuter, sinon, on parle sur du vent.

Une hérédité simple ne peut pas impliquer sa propre initialisation...

En effet, si on a l'hérédité forte pour P, par définition, on : ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

C'est vrai POUR TOUT n.

C'est donc vrai en particulier pour n=0.

Et dans le cas où on prend n=0, on trouve bien P(0).

Dans le cas où on prend n=1, on trouve P(0) => P(1).

Dans le cas où on prend n=2, on trouve [P(0) et P(1)] => P(2).

etc...

Si Q(0) est vérifié. Il suffit de considérer le cas n=0 dans l'hérédité forte, et tu as Q(0).

En fait, tout le problème est là : tu devrais prendre la formule de l'hérédité forte, et regarder ce que ça donne pour n=0. Si tu y arrives, on pourra discuter, sinon, on parle sur du vent.

J'ai très bien compris ton raisonnement grenouille. Mais pour moi il est faux... Simplement parce que tu considère que quand n=0, comme il n'existe pas de terme précédent, c'est comme si les termes précédents étaient vrai... or, cela, tu ne le démontre pas... d'autant que ce n'est pas vrai...

C'est vrai, mais l'hérédité forte implique l'initialisation.

Non... jamais...

En effet, si on a l'hérédité forte pour P, par définition, on : ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) )

C'est vrai POUR TOUT n.

A condition que ce soit vrai pour tout les termes précédents... ce qui reste à démontrer...

C'est donc vrai en particulier pour n=0.

Et dans le cas où on prend n=0, on trouve bien P(0).

Non, on trouve P(0) à conditions que tous les terme précédents soient vrais... mais il n'existe pas de termes précédents... Il ne sont donc pas faux... mais ils ne sont pas vrais non plus... il n'existe pas...

Dans le cas où on prend n=1, on trouve P(0) => P(1).

Dans le cas où on prend n=2, on trouve [P(0) et P(1)] => P(2).

etc...

Merci je connais la définition d'une récurrence... je connais même la démonstration des théorèmes de récurrences fortes et simples... et elles passent par une initialisation...

Plusieurs contre exemple ont déjà été donnés grenouille... je t'en donne un autre.

J'ai un paquet de cigarettes. Il y en a 20 dedans. Ces cigarettes ont été fabriqué par une machine qui, s'il met du tabac dans l'une, elle met du tabac dans l'autre. Si elle met du chocolat dans l'une, elle met du chocolat dans la suivante (puisqu'elle met ce qu'il y a dans son réservoir non...)... donc si toutes les cigarettes fabriquées par cette machine sont avec du chocolat, alors la suivante sera en chocolat, nécessairement.

C'est une récurrence forte...

Comme d'après toi une récurence forte implique son initialisation, alors ke fume des cigarettes en chocolat.

Mais si je remplace chocolat par tabac, alors je fume du tabac... si je remplace tabac par rien, alors je ne fume pas... faudrais savoir... :blush:

Plus sérieusement (c'était d"jà sérieux mais bon... ca fait classe de dire ca alors...)

Ton truc... comment se comporte t il pour une suite qui s'initialis à un rang n0 strictement > 0 ?

Non, on trouve P(0) à conditions que tous les terme précédents soient vrais... mais il n'existe pas de termes précédents... Il ne sont donc pas faux... mais ils ne sont pas vrais non plus... il n'existe pas...

En maths, une formule est soit vraie soit fausse.

Dans le cas de ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) ), c'est soit vrai soit faux.

Si c'est vrai, alors, en particulier, la proposition suivante est vraie : [∀0<n P(k)] ⇒ P(0)

Maintenant, la question est, est ce que ∀0<n P(k) est vrai ?

Et là on fait des maths, pas de la philo de comptoir. La formule est bien définie. C'est donc soit vrai, soit faux.

Tu dis quoi ? Que c'est vrai ? Que c'est faux ?

Plusieurs contre exemple ont déjà été donnés grenouille... je t'en donne un autre.

J'ai un paquet de cigarettes. Il y en a 20 dedans. Ces cigarettes ont été fabriqué par une machine qui, s'il met du tabac dans l'une, elle met du tabac dans l'autre. Si elle met du chocolat dans l'une, elle met du chocolat dans la suivante (puisqu'elle met ce qu'il y a dans son réservoir non...)... donc si toutes les cigarettes fabriquées par cette machine sont avec du chocolat, alors la suivante sera en chocolat, nécessairement.

C'est une récurrence forte...

Tu n'as pas prouvé que la formule [∀0<n P(k)] ⇒ P(0) était vraie.

Par conséquent, tu n'as pas la récurrence forte.

En fait, tout le problème est là. Dans tes exemples, tu ne fais jamais la démonstration. Sinon, tu verrais immédiatement ton erreur.

J'attends que tu montres, dans le cas des cigarettes, la formule [∀0<n P(k)] ⇒ P(0) . J'aimerais bien voir comment tu t'y prends :blush:

En maths, une formule est soit vraie soit fausse.

Soit non définie ...

Dans le cas de ∀n( [∀k<n P(k)] ⇒ P(n) ), c'est soit vrai soit faux.

Si c'est vrai, alors, en particulier, la proposition suivante est vraie : [∀0<n P(k)] ⇒ P(0)

oui...

Maintenant, la question est, est ce que ∀0<n P(k) est vrai ?

Et là on fait des maths, pas de la philo de comptoir. La formule est bien définie. C'est donc soit vrai, soit faux.

Tu dis quoi ? Que c'est vrai ? Que c'est faux ?

Ce n'est pas défini. Puisque n<0 n'existe pas. Nous sommes hors de l'ensemble de définition de ta proposition. Elle n'est pas défini. Donc ni fausse, ni vrai.

Par exemple :

Je te dis

pour tout

1/x < 1/(x-1)

Ce n'est pas défini pour x=0... Ca ne signifie pas que c'est faux pour x=0, ni que c'esst vrai.

Tu devrais savoir, si tu ne veux pas faire de philosophie de comptoir qu'une démonstration de la valeur logique (vrai ou fausse) d'une propriété commence par la démonstration de l'existence de la proposition...

Des exemples faux. Dans ton dernier exemple, tu disais "par hypothèse de récurrence P(1), ce qui était bidon, car ça ne marche que pour n >

1.

Gnnééé ?? de quoi tu parles ?? si tu as un problème avec une propriété P qui commence au rang n0 >1 t'as qu'a prendre la propriété pour tout n>n0 Q(n) = P(n-n0).

Soit par changement de variable (translation de repère dans ce cas) :

Pour tout N >= 0 P(N)...

Vala... prblème réglé... qu est ce qui est bidon ?

Non.

Tu n'as pas prouvé que la formule [∀0<n P(k)] ⇒ P(0) était vraie.

Mais je me tue à te dire depuis je sais pas combien de temps que cette proposition n'existe pas... elle n'est ni fausse ni vraie, elle n'esst pas défini puisque "Pout tout entier positif négatif" est l'ensemble vide... Dans l'ensemble bide, la proposition P(k) n'est pas défini... Parceque franchement niveau philosophie de comptoir, tu peux parler avec tes :

"pour tout k de l'ensemble vide, P(k) vraie..."

Franchement grenouille... tu t'enfonce sérieusement là... je comprends pas pourquoi tu t'obstine à ce point ??...

Par conséquent, tu n'as pas la récurrence forte.

C'est quoi, pour toi, le théorème et la définition de la récurrence forte ?

En fait, tout le problème est là. Dans tes exemples, tu ne fais jamais la démonstration. Sinon, tu verrais immédiatement ton erreur.

J'attends que tu montres, dans le cas des cigarettes, la formule [∀0<n P(k)] ⇒ P(0) . J'aimerais bien voir comment tu t'y prends :blush:

C'est un comble... je te dis que c'est du n'importe quoi, et maintenant, il faudrait que je démontre ce n'importe quoi... Comment je m'y prend... je m'y prend pas... Je lis, avec des mots, ce que tu écris dans un langage que je me demande si tu sais que je comprends...

textuellement :

si pour tout entier k positif et strictement négatif (en même temps) la proposition P(k) est vraie, alors la propositio P(0) est vraie... bien, choisi une proposition au hasard grenouille, celle que tu voudras... et écrit moi cette proposition pour un entier positif et strictement négatif à la fois... et ose conclure que P(0) existe...

Ensuite, tu met tout cela sur papier, tu l'envoie à n'importe quel média histoire qu'on puisse retrouver cela sur une perle quelconque...

Ta condition n'est ni fausse, ni juste... elle n'existe pas...

C'est tout...

EDIT : non c'est pas tout...

C'est comme on disait : les éléphants rose parlent français... ce n'est ni vrai ni faux... puisque les éléphants roses n'existent pas...

Ou comme si on disait, les poules qui ont des dents sont vertes... ce n'est ni vrai ni faux... ca n'existe pas...

Là... c'est tout...

Soit non définie ...

En effet. Cependant, les forumules sont toutes définies par définitions.

De plus, si le cas n=0 était non définit comme tu le prétends, l'hérédité généralisée le serait aussi et donc ton raisonnement dessus serait faux.

Ce n'est pas défini. Puisque n<0 n'existe pas. Nous sommes hors de l'ensemble de définition de ta proposition. Elle n'est pas défini. Donc ni fausse, ni vrai.

Non. E maths elle est définie.

Pour une raison très simple, que signifie ∀k<n ?

Mais bon, tu peux réécrire la récurrence généralisée de cette manière :

∀n( [∀k ( k<n ⇒ P(k) )] ⇒ P(n) )

C'est équivalent. Avec cette nouvelle forme, le cas n=0 est évident, et il est aussi évident qu'il n'est pas "vrai" dans tes exemples.

Elle n'est pas défini.

Peux-tu le montrer ?

Pour le montrer, il faut faire appel à la définition de "∀x<y".

Tout le problème est là.

Au passage, j'ai créé un autre sujet sur un thème connexe : Pour tout x appartenant à l'ensemble vide

Peux-tu le montrer ?

Oui.

Si une propriété est vrai, alors elle existe. Puisqu'en mathématique on ne démontre jamais la véracité sans démontrer l'existence en premier lieu.

Donc, si pour k donné P(k) est vrai alors P(k) existe.

Supposons que

Pour tout k¿IN k<0 P(k) vraie.

k appartien à l'ensemble vide

Alors P(k) existe.

Or, P(k) si P(k) existe, alors k existe.

Donc k existe et k ¿ ensemble vide.

Donc l'ensemble vide n'est pas vide, ce qui est absurde.

Démonstration par l'absurde complétée.

Par conséquent

Pour tout k¿IN k<0 P(k) vraie.

Est une proposition fausse.

On fait de même avec :

Pour tout k¿IN k<0 P(k) fausse.

Même résultat : cette proposition est fausse.

Donc la proposition n'est pas définie.

CQFD

"Mais bon, tu peux réécrire la récurrence généralisée de cette manière :

∀n( [∀k ( k<n ⇒ P(k) )] ⇒ P(n) )

C'est équivalent."

Non, ce qui est rigoureusement faux... il faudrait écrire :

∀n¿IN, n>0 ( [∀k¿IN ( k<n ⇒ P(k) )] ⇒ P(n) )

Ce qui est la véritable écriture d'une récurrence forte.