Pourquoi aucun raisonnement n'est valide pour toujours

La promesse de la logique

La logique nous promet quelque chose de magnifique : des raisonnements valides pour l'éternité. Si nous partons de prémisses vraies et que nous raisonnons correctement, la conclusion sera vraie pour toujours.

C'est cette promesse qui fait la force des mathématiques et de la pensée rationnelle.

Mais cette promesse est-elle tenable ?

L'exemple d'Euclide : quand l'impossible devient possible

Prenons un cas historique fascinant. Euclide, dans ses Éléments, prouve que si deux points sont distants de r et qu'on trace deux cercles de rayon r centrés sur ces points, alors ces cercles se coupent forcément.

À l'époque d'Euclide, ce raisonnement semblait parfaitement rigoureux.

Mais aujourd'hui, nous savons qu'il est incomplet. Pourquoi ?

Parce que nous avons inventé les produits cartésiens d'ensembles, qui nous permettent de concevoir le "plan rationnel" (ℚ×ℚ) - un plan où seuls les points à coordonnées rationnelles existent. Dans ce plan, deux cercles qui "devraient" se couper peuvent très bien ne pas avoir de point d'intersection !

Le point crucial

Euclide ne pouvait pas imaginer ce contre-exemple. Non pas parce qu'il manquait d'intelligence, mais parce que ce contre-exemple était impossible à concevoir avec les concepts mathématiques de son époque.

Ce qui était impossible hier est devenu possible aujourd'hui.

L'invention des produits cartésiens d'ensembles a élargi le champ des possibles. Soudainement, nous pouvons construire des objets mathématiques (comme ℚ×ℚ) qui étaient tout simplement inconcevables auparavant.

Et cet élargissement du champ des possibles force à revoir les raisonnements logiques qu'on croyait parfaits.

Un monde conceptuellement instable

Voilà le problème fondamental : nous vivons dans un monde conceptuellement instable.

• De nouveaux concepts mathématiques sont inventés
• De nouvelles technologies sont créées
• Notre compréhension de ce qui est "possible" évolue constamment

Dans un tel monde, la promesse de la logique - des raisonnements valides pour toujours - devient intenable.

Un raisonnement ne peut être garanti valide que dans l'univers conceptuel où il a été formulé. Mais cet univers change, s'élargit, se transforme.

Mais peut-être dans les systèmes formels clos ?

On pourrait penser : "D'accord, mais au moins dans un système formel totalement clos et abstrait, où l'on a figé les définitions une fois pour toutes - comme les échecs ou les dames - là au moins, les raisonnements restent valides pour toujours, non ?"

Non. Même là, il y a des implicites.

Le damier à cristaux liquides : l'impossible qui devient possible

Prenons les règles du jeu de dames.

Les règles des dames peuvent-elles contenir des implicites ? C'est impossible, n'est-ce pas ? C'est un simple jeu de plateau avec des règles parfaitement claires, explicites, figées depuis des siècles.

Vraiment ?

Imaginons maintenant que nous vivions à une époque où l'on peut fabriquer des plateaux de jeu à cristaux liquides. D'un instant à l'autre, toutes les cases noires peuvent devenir blanches, et toutes les blanches devenir noires. On reste toujours sur un damier, mais les couleurs s'inversent.

Avant cette technologie : un tel damier était impossible.

Aujourd'hui : c'est possible.

Maintenant, essayons de jouer aux dames sur ce plateau.

La règle dit : "les pions se déplacent toujours sur des cases de même couleur" (traditionnellement les cases noires).

Question : Quand les couleurs s'inversent pendant la partie, que se passe-t-il ?

• Les pions doivent-ils suivre la couleur (et donc "sauter" vers d'autres cases physiques) ?
• Ou doivent-ils rester sur les mêmes cases physiques, peu importe leur couleur ?

Soudainement, les règles deviennent ambiguës.

Même les systèmes "clos" ne sont pas à l'abri

Ce que révèle cet exemple est vertigineux :

Même dans un système de règles que l'on croyait parfaitement clos, explicite et figé, il existe des implicites.

Ces implicites restent invisibles tant que certaines situations restent impossibles.

Mais dès qu'une nouvelle technologie (écrans LCD) ou un nouveau concept rend possible ce qui était impossible, les implicites se révèlent.

Pour que le jeu reste jouable sur ce nouveau type de damier, il faut expliciter quelque chose qu'on n'avait jamais eu besoin d'expliciter avant :

"Les pions occupent des cases physiques spécifiques du plateau, indépendamment de la couleur que ces cases peuvent afficher à un moment donné."

Cette précision était inutile quand seuls les damiers en bois ou en carton existaient. Elle était tellement évidente, tellement inscrite dans la nature même de ce qu'est "un damier", qu'elle n'était même pas pensable comme une règle.

Mais elle était là, implicite, cachée dans les règles du jeu.

La leçon générale : l'impossible d'hier est le possible de demain

Ce que montrent ces exemples, c'est quelque chose de vertigineux :

Tout système de règles, aussi rigoureux et clos soit-il, repose sur des hypothèses implicites liées à ce qui est actuellement possible ou concevable.

Ces implicites ne sont pas des "erreurs" ou des "oublis". Ils sont littéralement inconcevables avec les concepts et technologies de notre époque.

• Euclide ne pouvait pas concevoir le plan rationnel ℚ×ℚ
• Les inventeurs des dames ne pouvaient pas concevoir des damiers dont les cases changent de couleur
• Nous aujourd'hui ne pouvons pas concevoir les concepts et technologies que le futur inventera

Ce n'est que lorsque l'impossible devient possible - par l'invention de nouveaux concepts ou de nouvelles technologies - que ces implicites se révèlent.

Et quand ils se révèlent, le champ des possibles s'élargit, forçant à revoir les raisonnements logiques qu'on croyait définitifs.

La promesse impossible de la logique

La logique promet des raisonnements valides pour toujours, dans tous les mondes possibles.

Mais nos raisonnements sont toujours formulés dans un univers conceptuel et technologique limité, qui définit ce qui est "possible" et ce qui est "impossible".

Quand cet univers s'élargit - et il s'élargit constamment :

• De nouveaux possibles émergent
• Des implicites se révèlent
• Ce qui semblait parfaitement rigoureux devient incomplet ou ambigu

Un raisonnement correct aujourd'hui n'est pas garanti d'être correct pour toujours.

Même en mathématiques. Même dans les règles d'un jeu de dames. Même dans les systèmes les plus "clos" que nous puissions imaginer.

Ce n'est pas que la logique soit "fausse". C'est que sa promesse fondamentale - la validité éternelle dans tous les mondes possibles - est inatteignable en pratique.

Nous vivons dans un monde conceptuellement instable, où l'impossible d'hier devient le possible de demain.

Et chaque fois que l'impossible devient possible, nous découvrons de nouveaux implicites dans nos raisonnements les plus rigoureux.

Conclusion : l'humilité face à l'instabilité conceptuelle

Cette limite n'est pas une raison d'abandonner la rigueur ou le raisonnement logique. C'est une invitation à l'humilité épistémologique :

Nos raisonnements les plus rigoureux sont les meilleurs que nous puissions produire avec les concepts et technologies d'aujourd'hui, dans le champ des possibles actuel.

Mais demain, de nouveaux concepts ou technologies élargiront ce champ des possibles.

Et cet élargissement révélera peut-être des implicites que nous ne pouvons même pas imaginer maintenant.

La certitude absolue et éternelle reste un horizon qui recule à mesure que notre univers conceptuel s'élargit.

Modifié il y a 22 heures par Dattier7

Pourquoi Dattier7 poste ce sujet en Religion et Culte ?

il y a 56 minutes, Répy a dit :

Pourquoi Dattier7 poste ce sujet en Religion et Culte ?

Inch Allah!

Mais l'exemple fourni concernant le damier à cristaux liquides de @Dattier7est foireux.  Ce damier qui subit des changements de couleurs n'est plus le système clos qu'il décrit puisqu'il subit des interventions extérieures

Le système clos d'un damier intervertissant cases noires et blanches doit inclure le système de changement des couleurs et comportant les règles régissant ce changement

La logique des uns est l’illogique des autres... En cela nous comprenons que la logique d’un raisonnement s’appuie toujours sur la connaissance et l’expérience de celui, ou celle qui raisonne, mais comme la connaissance et l’expérience est propre à chaque individu, en toute logique rien n’est vraiment logique... Voilà pourquoi, d’ailleurs nous admettons des axiomes pour étayer certaines théories et ainsi les rendre praticables par la majeur partie...

En cela je suis complètement d’accord avec ce que tu avances.

A chaque instant, même si changement, l'écran LCD reste un damier (alternance de cases blanches et noirs), n'est ce pas ?

@Répy : il arrive que quand je poste des sujets trop subversif, on ne veuille pas que je l'ouvre dans science, c'est pour cela, que maintenant, je poste systématiquement dans Religion. 

Il y a 2 heures, Répy a dit :

Pourquoi Dattier7 poste ce sujet en Religion et Culte ?

Car l'axiomatique, c'est un culte de l'axiome probablement.

Il y a 1 heure, Dattier7 a dit :

A chaque instant, même si changement, l'écran LCD reste un damier (alternance de cases blanches et noirs), n'est ce pas ?

@Répy : il arrive que quand je poste des sujets trop subversif, on ne veuille pas que je l'ouvre dans science, c'est pour cela, que maintenant, je poste systématiquement dans Religion. 

Ce qui ne répond pas du tout à mon objection. Ton système à damier qu'on change de couleurs n'est pas clos, il y a une action externe qui vient le perturber.

Modifié il y a 18 heures par hybridex

Pourquoi aucun raisonnement n'est valide pour toujours

La promesse de la logique

La logique nous promet quelque chose de magnifique : des raisonnements valides pour l'éternité. Si nous partons de prémisses vraies et que nous raisonnons correctement, la conclusion sera vraie pour toujours.

C'est cette promesse qui fait la force des mathématiques et de la pensée rationnelle.

Mais cette promesse est-elle tenable ?

L'exemple d'Euclide : quand l'impossible devient possible

Prenons un cas historique fascinant. Euclide, dans ses Éléments, prouve que si deux points sont distants de r et qu'on trace deux cercles de rayon r centrés sur ces points, alors ces cercles se coupent forcément.

À l'époque d'Euclide, ce raisonnement était parfaitement rigoureux et impeccable.

Mais aujourd'hui, nous savons qu'il est incomplet. Pourquoi ?

Parce que nous avons inventé les produits cartésiens d'ensembles, qui nous permettent de concevoir le "plan rationnel" (ℚ×ℚ) - un plan où seuls les points à coordonnées rationnelles existent. Dans ce plan, deux cercles qui "devraient" se couper peuvent très bien ne pas avoir de point d'intersection !

Le point crucial

Euclide ne pouvait pas imaginer ce contre-exemple. Non pas parce qu'il manquait d'intelligence, mais parce que ce contre-exemple était impossible à concevoir avec les concepts mathématiques de son époque.

Ce qui était impossible hier est devenu possible aujourd'hui.

L'invention des produits cartésiens d'ensembles a élargi le champ des possibles. Soudainement, nous pouvons construire des objets mathématiques (comme ℚ×ℚ) qui étaient tout simplement inconcevables auparavant.

Et cet élargissement du champ des possibles force à revoir les raisonnements logiques qu'on croyait parfaits.

Incomplet signifie faux

On pourrait penser : "D'accord, le raisonnement d'Euclide est incomplet, mais pas vraiment faux..."

Si. Incomplet signifie faux en toute généralité.

Prenons une analogie simple. Si je dis :

"Tous les quadrilatères ont leurs côtés parallèles"

Cette affirmation est fausse. Elle n'est vraie que si je précise : "Tous les quadrilatères qui sont des parallélogrammes ont leurs côtés parallèles deux à deux."

De même, quand Euclide dit :

"Deux cercles de rayon r centrés sur deux points distants de r se coupent"

Cette affirmation est fausse en toute généralité. Elle n'est vraie que si on précise : "... dans un plan complet comme ℝ²."

Le fait qu'Euclide ne pouvait pas concevoir d'autres types de plans ne change rien : son énoncé, pris littéralement, était une généralisation excessive.

La vérité a changé

Mais voici quelque chose d'encore plus vertigineux :

Le raisonnement d'Euclide était impeccable à son époque. Il ne l'est plus maintenant.

Ce n'est pas qu'on a découvert qu'il était déjà faux. C'est que la validité elle-même dépend de l'univers conceptuel du moment.

• À l'époque d'Euclide : l'univers des possibles contenait seulement les plans "naturels" (ce qu'on appellerait ℝ²). Son raisonnement était valide dans cet univers. Statut : VRAI.

• Aujourd'hui : l'univers des possibles inclut ℚ², les espaces non-complets, etc. Le même raisonnement est invalide dans cet univers élargi. Statut : FAUX (ou incomplet, donc faux en toute généralité).

La vérité n'est pas une propriété intemporelle des énoncés. Elle change avec l'univers conceptuel.

Un monde conceptuellement instable

Voilà le problème fondamental : nous vivons dans un monde conceptuellement instable.

• De nouveaux concepts mathématiques sont inventés
• De nouvelles technologies sont créées
• Notre compréhension de ce qui est "possible" évolue constamment

Dans un tel monde, la promesse de la logique - des raisonnements valides pour toujours - devient intenable.

Un raisonnement peut être parfaitement valide aujourd'hui et ne plus l'être demain, quand de nouveaux concepts élargiront le champ des possibles.

Mais peut-être dans les systèmes formels clos ?

On pourrait penser : "D'accord, mais au moins dans un système formel totalement clos et abstrait, où l'on a figé les définitions une fois pour toutes - comme les échecs ou les dames - là au moins, les raisonnements restent valides pour toujours, non ?"

Non. Même là, il y a des implicites.

Le damier à cristaux liquides : l'impossible qui devient possible

Prenons les règles du jeu de dames.

Les règles des dames peuvent-elles contenir des implicites ? C'est impossible, n'est-ce pas ? C'est un simple jeu de plateau avec des règles parfaitement claires, explicites, figées depuis des siècles.

Vraiment ?

Imaginons maintenant que nous vivions à une époque où l'on peut fabriquer des plateaux de jeu à cristaux liquides. D'un instant à l'autre, toutes les cases noires peuvent devenir blanches, et toutes les blanches devenir noires. On reste toujours sur un damier, mais les couleurs s'inversent.

Avant cette technologie : un tel damier était impossible.

Aujourd'hui : c'est possible.

Maintenant, essayons de jouer aux dames sur ce plateau.

La règle dit : "les pions se déplacent toujours sur des cases de même couleur" (traditionnellement les cases noires).

Question : Quand les couleurs s'inversent pendant la partie, que se passe-t-il ?

• Les pions doivent-ils suivre la couleur (et donc "sauter" vers d'autres cases physiques) ?
• Ou doivent-ils rester sur les mêmes cases physiques, peu importe leur couleur ?

Soudainement, les règles deviennent ambiguës.

Même les systèmes "clos" ne sont pas à l'abri

Ce que révèle cet exemple est vertigineux :

Même dans un système de règles que l'on croyait parfaitement clos, explicite et figé, il existe des implicites.

Ces implicites restent invisibles tant que certaines situations restent impossibles.

Mais dès qu'une nouvelle technologie (écrans LCD) ou un nouveau concept rend possible ce qui était impossible, les implicites se révèlent.

Pour que le jeu reste jouable sur ce nouveau type de damier, il faut expliciter quelque chose qu'on n'avait jamais eu besoin d'expliciter avant :

"Les pions occupent des cases physiques spécifiques du plateau, indépendamment de la couleur que ces cases peuvent afficher à un moment donné."

Cette précision était inutile quand seuls les damiers en bois ou en carton existaient. Elle était tellement évidente, tellement inscrite dans la nature même de ce qu'est "un damier", qu'elle n'était même pas pensable comme une règle.

Mais elle était là, implicite, cachée dans les règles du jeu.

Même les systèmes formels ont des implicites profonds

On pourrait encore objecter : "Mais dans un système formellement et complètement axiomatisé, où tout est explicite, ce problème disparaît, non ?"

Non. Même là, il y a des implicites fondamentaux.

L'exemple des symboles et des transformations

Prenons quelque chose d'encore plus basique : le symbole "A".

Dans tous nos systèmes formels, nous supposons implicitement que :

Deux occurrences du symbole 'A' désignent la même chose, quelle que soit leur position sur la page.

Cet implicite repose sur le fait que nous considérons que seule la forme du symbole compte, pas sa position spatiale ou sa taille (dans certaines limites raisonnables).

Pourquoi ?

Parce que, dans notre pratique actuelle, nous avons implicitement décidé que la translation (déplacement spatial) d'un symbole ne change pas son identité.

Et si on changeait l'invariance ?

Mais imaginons un système où :

• Les symboles sont invariants par rotation mais pas par homothétie (changement de taille)
• Alors A (grand) ≠ A (petit)
• Mais A = A tourné de 90°

Ou encore plus radical :

• Les symboles sont invariants par homothétie mais pas par translation
• Alors A en haut de la page ≠ A en bas de la page
• Mais A (grand) = A (petit)

Avant qu'on puisse concevoir de tels systèmes, cet implicite était invisible.

D'autres implicites qu'on ne pense jamais à axiomatiser

• L'ordre temporel d'écriture ne compte pas : "A + B" écrit de gauche à droite = même chose que si j'écris d'abord B puis A
• Le support physique ne compte pas : "A" écrit sur papier = "A" écrit sur écran = "A" dit à voix haute
• La couleur ne compte pas : A en noir = A en rouge
• La personne qui écrit ne compte pas : A écrit par moi = A écrit par vous

Pour axiomatiser complètement un système, il faudrait expliciter des choses qu'on ne peut même pas imaginer avoir besoin d'expliciter.

Mais comment savoir quand on a fini ?

On ne peut pas ! Parce qu'il y a toujours de nouveaux types de transformations, de nouveaux types de contextes, de nouvelles technologies qui révéleront de nouveaux implicites.

L'instabilité conceptuelle va tout en bas.

La leçon générale : l'impossible d'hier est le possible de demain

Ce que montrent ces exemples, c'est quelque chose de vertigineux :

Tout système de règles, aussi rigoureux et clos soit-il, repose sur des hypothèses implicites liées à ce qui est actuellement possible ou concevable.

Ces implicites ne sont pas des "erreurs" ou des "oublis". Ils sont littéralement inconcevables avec les concepts et technologies de notre époque.

• Euclide ne pouvait pas concevoir le plan rationnel ℚ×ℚ
• Les inventeurs des dames ne pouvaient pas concevoir des damiers dont les cases changent de couleur
• Nous aujourd'hui ne pouvons pas concevoir les concepts et technologies que le futur inventera

Ce n'est que lorsque l'impossible devient possible - par l'invention de nouveaux concepts ou de nouvelles technologies - que ces implicites se révèlent.

Et quand ils se révèlent, le champ des possibles s'élargit, forçant à revoir les raisonnements logiques qu'on croyait définitifs.

L'impossibilité de fixer la vérité

Mais voici quelque chose d'encore plus troublant :

On ne peut même pas dater précisément quand un concept apparaît.

Les concepts émergent de manière :

• Graduelle : ils se développent progressivement
• Diffuse : ils se propagent inégalement dans différentes communautés
• Floue : il n'y a pas de moment précis où "le concept existe"

La géographie conceptuelle

À un même moment historique, différentes personnes vivent dans des univers conceptuels différents !

En 1920 :

• Un mathématicien à Göttingen connaît la théorie des ensembles
• Un professeur de géométrie dans un lycée français enseigne encore Euclide de manière "classique"
• Un artisan qui construit des damiers n'a jamais entendu parler de ℚ×ℚ

Pour lequel d'entre eux le raisonnement d'Euclide est-il valide ?

La vérité devient radicalement locale

La vérité ne dépend pas seulement du temps, mais :

• De la communauté épistémique (qui connaît quels concepts)
• Du contexte géographique (diffusion inhomogène)
• Du niveau d'expertise (un expert vs. un débutant)
• Du domaine de pratique (mathématiques vs. artisanat)

Le raisonnement d'Euclide peut être simultanément :

• Valide pour un artisan qui fait des damiers en 2025
• Invalide pour un mathématicien qui connaît ℚ×ℚ en 2025
• Et ils vivent à la même époque !

Il n'existe pas de réponse objective à la question : "Le raisonnement d'Euclide est-il valide ?"

La réponse dépend de qui pose la question, de qui y répond, et de quel univers conceptuel ils habitent.

La promesse impossible de la logique

La logique promet des raisonnements valides pour toujours, dans tous les mondes possibles.

Mais nos raisonnements sont toujours formulés dans un univers conceptuel et technologique limité, qui définit ce qui est "possible" et ce qui est "impossible".

Quand cet univers s'élargit - et il s'élargit constamment :

• De nouveaux possibles émergent
• Des implicites se révèlent
• Ce qui semblait parfaitement rigoureux devient incomplet ou ambigu
• Un raisonnement qui était valide cesse de l'être

Un raisonnement correct aujourd'hui n'est pas garanti d'être correct pour toujours.

Même en mathématiques. Même dans les règles d'un jeu de dames. Même dans les systèmes formels les plus rigoureux. Même au niveau des symboles eux-mêmes.

Ce n'est pas que la logique soit "fausse". C'est que sa promesse fondamentale - la validité éternelle dans tous les mondes possibles - est inatteignable en pratique.

Nous vivons dans un monde conceptuellement instable, où l'impossible d'hier devient le possible de demain.

Et chaque fois que l'impossible devient possible, nous découvrons de nouveaux implicites dans nos raisonnements les plus rigoureux.

Ces implicites ne sont pas des erreurs qu'on aurait pu éviter. Ils sont structurellement inévitables, car on ne peut pas anticiper des concepts qu'on ne peut même pas concevoir.

Conclusion : l'humilité face à l'instabilité conceptuelle

Cette limite n'est pas une raison d'abandonner la rigueur ou le raisonnement logique. C'est une invitation à l'humilité épistémologique :

Nos raisonnements les plus rigoureux sont les meilleurs que nous puissions produire avec les concepts et technologies d'aujourd'hui, dans le champ des possibles actuel.

Ils sont valides maintenant, dans notre univers conceptuel.

Mais demain, de nouveaux concepts ou technologies élargiront ce champ des possibles.

Et cet élargissement révélera peut-être des implicites que nous ne pouvons même pas imaginer maintenant.

La validité d'un raisonnement n'est pas une propriété intemporelle. Elle dépend de l'univers conceptuel dans lequel on l'évalue.

Et cet univers change, se diffuse de manière inhomogène, impossible à dater ou à fixer objectivement.

La certitude absolue et éternelle reste un horizon qui recule à mesure que notre univers conceptuel s'élargit.

Tout système logiquement clos butera sur le mur de sa propre logique parce qu'il est logiquement clos, seule son ouverture le libérera de la confrontation à son propre mur afin qu'il puisse se confronter à un autre mur libérateur dont il appartiendra de se libérer, telle est la clause logique qui nous amènera à se taper notre tête contre le mur ; moralité, no système ...

Modifié il y a 13 heures par BadKarma

Un système ne peut être à la fois complet et cohérent (= clôt donc sans indécidable) à partir du moment où il devient suffisamment complexe pour intégrer l'arithmétique de Robinson.

Cela signifie qu'aucun système complexe n'est clôt ou complet, il y existe forcément des propositions indécidables 

C'est le premier point.

En revanche, on peut parfaitement avoir une proposition mathématique qui soit vraie dans un système axiomatique donné et qui soit fausse ... dans une autre axiomatique 

Il n'y a aucun mystère la dedans ni contradiction puisque l'axiomatique étant différente, les conséquences le sont également 

C'est par exemple l'axiome des parallèles d'Euclide 

Et ici il y a des confusions faites sur ce fil

En géométrie euclidienne, n'importe quel théorème reste vrai pour l'éternité...

En revanche ce qui a été découvert au fur et à mesure de l'avancée des mathématiques 

C'est que cet axiome est indépendant du reste des axiomes et peut être modifié de la géométrie euclidienne à la géométrie hyperbolique ou encore elliptique 

Donc des géométries totalement différentes ou une même proposition aura des conséquences différentes 

La généralisation de la géométrie elliptique définit elle même la géométrie de Riemann sur lequel repose la relativité 

Bref...

Il y a 16 heures, Dattier7 a dit :

que nous avons inventé les produits cartésiens d'ensembles,

Donc les prémices ont changé et si les prémices changent, la conclusion risque fort de changer aussi. C'est une logique imparable et éternelle.

Euclide n'avait pas tort et sa conclusion est toujours inchangée pour les prémices qu'il a énoncés. 

Il y a 2 heures, Phylou a dit :

Euclide n'avait pas tort et sa conclusion est toujours inchangée pour les prémices qu'il a énoncés. 

Pas tout à fait, si on regarde la preuve d'Euclide avec nos concepts, actuels, il a tord, un contre exemple existe.

Mais ce contre exemple était inconcevable à l'époque d'Euclide, donc à son époque le raisonnement d'Euclide était parfaitement exacte.

De la même façon, que tant que les damiers LCD étaient impossible, les régles du jeu de dames étaient bonnes, mais avec cette possibilité, il faut ajouter des précisions dans les régles, n'est ce pas ?

Il y a 8 heures, zenalpha a dit :

Et ici il y a des confusions faites sur ce fil

En géométrie euclidienne, n'importe quel théorème reste vrai pour l'éternité...

Non, je pense que tu n'as pas bien compris, mon exemple, je laisse parler quelqu'un de plus expert que moi sur ce sujet.

à 1:30

il y a 2 minutes, Dattier7 a dit :

Pas tout à fait, si on regarde la preuve d'Euclide avec nos concepts, actuels, il a tord, un contre exemple existe.

Aucun contre exemple n'existe en géométrie euclidienne 

Un seul suffirait à effondrer cet édifice mathématique

il y a 3 minutes, Dattier7 a dit :

Mais ce contre exemple était inconcevable à l'époque d'Euclide, donc à son époque le raisonnement d'Euclide était parfaitement exacte.

Son raisonnement est toujours exact mais limité

Ce que n'avait pas compris Euclide, c'est que l'axiome des parallèles est un indécidable, il peut prendre différentes valeurs

Donc que la négation de l'axiome "a un point extérieur à une droite ne passe qu'une parallèle à cette droite" ne débouche pas sur une contradiction mais sur des nouvelles propositions débouchant sur des nouveaux types de géométrie qu'en effet il ne pouvait conceptualiser car très abstraits

Un axiome par définition ne se démontre pas mais ne peut prendre qu'une valeur de vérité qui est VRAIE

Ce qu'il n'a pas vu c'est que son système axiomatique n'était pas le seul possible donc que la géométrie euclidienne n'est pas la seule géométrie 

Ça c'est totalement vrai.

@zenalpha: je te conseille de regarder l'extrait de la vidéo, c'est Pierre Cartier qui y parle, et cela ne dure que quelques minutes.

il y a 8 minutes, Dattier7 a dit :

Non, je pense que tu n'as pas bien compris, mon exemple, je laisse parler quelqu'un de plus expert que moi sur ce sujet.

à 1:30

Oui c'est parfait

Du reste le programme de Hilbert dont il parle partait du principe qu'on parviendrait à une seule axiomatique mathématique qui capterait la totalité des vérités mathématique 

Un système complexe cohérent et complet 

Godel a démontré que c'était impossible 

En ce sens tu as raison 

il y a 4 minutes, zenalpha a dit :

Oui c'est parfait

Du reste le programme de Hilbert dont il parle partait du principe qu'on parviendrait à une seule axiomatique mathématique qui capterait la totalité des vérités mathématique 

Un système complexe cohérent et complet 

Godel a démontré que c'était impossible 

En ce sens tu as raison 

Non, tu n'as pas regardé la vidéo, ou en tout les cas pas l'extrait que j'ai pointé.

Regarde, cela te prendra moins de 5 minutes.

il y a 1 minute, Dattier7 a dit :

Non, tu n'as pas regardé la vidéo, ou en tout les cas pas l'extrait que j'ai pointé.

Regarde, cela te prendra moins de 5 minutes.

Ok 30 secondes m'ont suffit mais j'y ai plaqué ce que...je sais déjà

Je vais te faire ce plaisir

à 1:30

c'est au tout début.

Modifié il y a 3 heures par Dattier7

il y a 7 minutes, Dattier7 a dit :

à 1:30

c'est au tout début.

Oui j'ai écouté les 6 premières 

Et bien je ne vois rien d'extraordinaire 

Hilbert s'intéresse à la refondation mathématiques en commençant par la géométrie 

Les géométries non euclidienne découvertes au 19eme siècle gardent un aspect "marginal" car non attachées à un bloc axiomatique complet, les mathématiques sont fragmentées ce qui chagrine Hilbert 

Et eu égard à ces découvertes, on se rend compte que certains postulats de la géométrie euclidienne décrétés a priori et intuitivement dans l'axiomatique sont naïfs et peuvent être démontré plus formellement quand d'autres sont incomplets comme l'hypothèse de continuité.

Oui certes

Le point important...qui va déboucher de tout cela...ce sont les 2 théorèmes de Gödel démontrant que le rêve de mathématiques à la fois complètes et cohérentes est impossible 

Bien

Quel est le problème ?