Vérité formelle et vérité empirique

Il y a 8 heures, Neopilina a dit :

démontre que les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ne constitueraient pas un ensemble. Philosophiquement, à une exception près, la proposition s'entend de suite, va de soi. Alors pourquoi est-ce un problème pour les ensembles mathématiques ?

Je crois que c'est Russell. Ça ne correspond pas à l'intuition de ce qu'on entend par ensemble, i.e. une catégorie d'objets qu'on arrive à définir logiquement par un prédicat, e.g. l'ensemble des oiseaux, des  tomates, ou pour coller plus avec la matière, l'ensemble des nombre premiers, etc. 

Or on peut définir une catégorie d'objets regroupant ceux que ne s'appartiennent pas eux même. C'est donc un ensemble.

Mais est-ce que cet ensemble s'appartient lui même ?

S'il ne s'appartient pas lui même, alors il rentre dans la définition de l'ensemble, i.e. qu'il appartient à cet ensemble. Donc il s'appartient lui même

S'il s'appartient lui même, il contredit la définition de l'ensemble et ne peut pas appartenir à l'ensemble. Il ne s'appartient pas lui même. 

Il a donc fallu changer la définition de ce qu'on entend par ensemble pour que ça fonctionne. Mais des philosophes et mathématiciens comme Frege, qui construisaient ce que Frege appelait l'idéographie (un langage logique), basée sur une théorie des ensembles ont vu leur travaux ruinés pour ça. 

Il y a 7 heures, Neopilina a dit :

Précautions oratoires avant de poser ma question. Je suis une quiche en mathématiques (la vérité vraie, c'est qu'elles sont exclues de ma vie). En philosophie, ça va beaucoup mieux. Des infinis, il y en a des tas, et pas seulement mathématiques. Ces derniers ne m'intéressent pas. En philosophie, l'infini, les infinis, c'est incontournable quand on questionne une foule d'objets, de choses (absolument). Voilà. Ma question : qu'entends- tu par " l'axiome de l'infini " ? Si c'est spécifiquement mathématiques, faudra mettre la réponse à mon niveau en mathématiques (merci).

Du temps que j'y suis. Tout récemment j'ai lu un papier sur les théorèmes d'incomplétudes de Gödel, Neuman aurait complété ceux-ci, sauf erreur, si j'ai bien compris : il démontre que les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ne constitueraient pas un ensemble. Philosophiquement, à une exception près, la proposition s'entend de suite, va de soi. Alors pourquoi est-ce un problème pour les ensembles mathématiques ?

Je suis une quiche en mathématiques aussi donc je ne peux te fournir que cette réponse, renseigne toi par d'autres moyens si tu veux une réponse plus complète ; 

L’axiome de l’infini affirme qu’il existe au moins un ensemble infini, par exemple l’ensemble des entiers naturels. Dans les mathématiques modernes, il est formellement valide et ne crée pas de contradiction connue, les paradoxes classiques (comme celui de Russell) ayant été résolus par une définition rigoureuse des ensembles.

Certains cadres mathématiques ne postulent pas l’infini : ils ne disent ni qu’il existe ni qu’il n’existe pas, ils choisissent simplement de ne pas l’utiliser. Chaque cadre a sa logique interne, et les différences entre cadres ne constituent pas de contradictions.

Mathematiquement et philosophiquement, l’infini ne peut être observé ni prouvé directement de façon empirique, mais il peut être admis comme principe rationnel et cohérent dans un cadre donné.

il y a 28 minutes, Leverkuhn a dit :

Je crois que c'est Russell.

Tout récemment, j'ai vu Neumann. " Bon ", je réserve ma réaction, pour certaines choses, faut que ça infuse.

il y a 26 minutes, Fhink a dit :

L’axiome de l’infini affirme qu’il existe au moins un ensemble infini, par exemple l’ensemble des entiers naturels.

Merci pour ta réponse. C'est moi qui souligne :

il y a 26 minutes, Fhink a dit :

Certains cadres mathématiques ne postulent pas l’infini : ils ne disent ni qu’il existe ni qu’il n’existe pas, ils choisissent simplement de ne pas l’utiliser.

Il n'y a pas de mathématiques possibles sans usage manifeste ou pas de l'infini, d'infinis. Dans l'histoire des mathématiques, ils s'en rendent compte à peu près vers l'époque d'Euclide. Chez lui c'est complétement naturel, intégré.

Von Neumann intervient nettement plus tard que Russell dans l'étude de la théorie des ensembles. Cette théorie est clairement exposée, au début, par Cantor vers la fin du 19 ème siècle. Russell va rapidement relever de nombreux paradoxes dans cette théorie naissante. Il écrira un exposé, Principia Mathematica avec Whitehead en 1910/1913, vaste étude qui englobe la théorie des ensembles. En 1908 Zermelo développa une théorie axiomatique des ensembles, complétée en 1922 par Fraenkel. D'où le système ZF complété ensuite par l'axiome du choix, d'où le système ZFC.

Von Neumann va sortir une autre théorie des ensembles en 1925, dite Von Neumann-Bernays-Gödel qui reprend ZFC en l'élargissant. Cette théorie est aussi appelée théorie des classes. Gödel traite de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu. Quant aux théorème d'incomplétude de Gödel il s'agit là de pure logique mathématique.

Il y a 10 heures, Neopilina a dit :

Il n'y a pas de mathématiques possibles sans usage manifeste ou pas de l'infini, d'infinis. Dans l'histoire des mathématiques, ils s'en rendent compte à peu près vers l'époque d'Euclide. Chez lui c'est complétement naturel, intégré.

Je ne peux plus éditer, j'ajoute un petit truc : " dés lors la crise des irrationnels peut être considérer comme complétement terminée, digérée, par les mathématiques elles-mêmes ".