Factoriser un nombre peut être utile pour différentes choses, pour simplifier une fraction ou bien retenir un nombre.
Pour reconnaitre la présence d'un facteur dans un nombre (savoir s'il est divisible par un facteur) certaines observations simples du nombre nous donnent beaucoup d'information.
Par exemple, le nombre peut se terminer par :
- 0 : le nombre est multiple de 10 = 2x5
- 5 : le nombre est multiple de 5
- 2, 4, 6, 8 : le nombre est pair
Sinon, si le nombre se finit par 1, 3, 7, 9, on a pas plus d'information que cela, il se peut que le nombre soit premier. Un nombre premier est un nombre qui n'a pas de facteur. Par exemple 13.
Bien entendu, 2 est un nombre premier, puisque c'est le premier nombre pair, et c'est aussi le premier nombre premier.
Divisibilité par 4 et par 25
Un nombre multiple de 25 se finit toujours par 00, 25, 50, 75. En fait, plus précisément, le nombre peut se terminer par :
- 00 : c'est un multiple de 100 = 10x10 = 4x25
- 50 : c'est un multiple de 50 = 5x10 = 2x25
- 25, 75 : c'est un multiple de 25 mais pas un multiple de 2
Pour savoir si un nombre est multiple de 4, on peut comparer ces deux derniers chiffres avec les multiples de 20. Par exemple, 346 se finit par 46, qui est 40 + 6, et 6 n'est pas un multiple de 4 donc 346 n'est pas un multiple de 4. Les étapes sont les suivantes :
- Regarder les deux derniers chiffres.
- Calculer la différence avec un multiple de 20 proche (qui sont 00, 20, 40, 60, 80)
- Le nombre est multiple de 4 si la différence obtenue est multiple de 4
Autre exemple, 372 se finit par 72 qui est 60 + 12, or 12 est multiple de 4 donc 372 est multiple de 4.
Voilà 3 exemples pour résumer :
- 2375 se finit par 75 donc est multiple de 25 mais pas multiple de 2 ni de 4.
- 7200 se finit par 00 donc est multiple de 25 et de 4.
- 240 se finit par 40 donc est multiple de 4 mais pas de 25
Enlever les zéros à la fin
On peut aussi de façon générale enlever les zéros à la fin. Par exemple, si on reprend le nombre 240 :
- Il y a un zéro donc multiple de 2x5
- Il reste 24 qui est 20+4 donc multiple de 4
- Donc 240 est multiple de 2x5x4 ou encore 2x2x2x5
Considérons 32000 :
- Il y a trois zéros donc multiple de (2x5)*(2x5)*(2x5) = 2x2x2x5x5x5 = (2^3) x (5^3) (trois fois le facteur 2 et trois fois le facteur 5)
- 32 = 20+12 est multiple de 4 = 2x2 = (2^2)
- Donc 32000 est multiple de 2^(3+2) x 5^3 = (2^5) x (5^3) (cinq fois le facteur 2 et trois fois le facteur 5)
En fait, la règle est très simple. S'il y a n zéros, il faut ajouter n fois le facteur 2 et le facteur 5.
On arrive à la notion de décomposition en produit de facteurs premiers. En effet, si on arrive à écrire tout le nombre sous la forme a^n x b^p etc. on a complètement décomposé le nombre.
Considérons 2500 :
- Il y a 2 zéros, donc deux fois le facteur 2 et deux fois le facteur 5.
- 25 = 5x5 donc deux fois le facteur 5
- donc 2500 = (2^2) x (5^4)
Mais bien entendu, il peut y avoir d'autres facteurs dans le nombre que 2 et 5. Cela peut être évident comme 240 = 6x4x10 = 2x3x2x2x2x5 = 2^4 x 3 x 5
Cela peut être moins évident, et dans ce cas, il faut d'autres méthodes.
Divisibilité par 3
Pour savoir si un nombre est multiple de 3, il faut additionner les chiffres qui ne sont pas 3,6,9. Si leur somme est multiple de 3, le nombre est multiple de 3.
Par exemple : 342 => 2+4 = 6 qui est multiple de 3 donc 342 est multiple de 3
Ou encore 3331 => 1 qui n'est pas multiple de 3 donc 3331 n'est pas multiple de 3
C'est la même chose pour la divisibilité par 9. Il faut additionner les chiffres qui ne sont pas 9 et regarder si la somme est multiple de 9.
Par exemple : 981 => 8+1 = 9 est multiple de 9
3943 => 3+4+3 = 10 n'est pas multiple de 9
Récapitulons
Mine de rien, on peut déjà savoir si un nombre est multiple de 2, 4, 3, 9, 5, 25 et donc en les combinant, on peut savoir si un nombre est multiple de 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 40, 45, 50, 60, 75, 90, 100 et encore d'autres supérieurs à 100.
Si on veut pouvoir décomposer en facteur premier un nombre, il faut pouvoir évaluer les diviseurs jusqu'à la racine carré du nombre, c'est-à-dire qu'il faut aller jusqu'à un facteur, qui mis au carré est supérieur au nombre.
Par exemple, pour un nombre inférieur à 100, comme 10² = 100, il suffit de vérifier les facteurs jusqu'à 10. Pour le moment, il nous manque encore le facteur 7 et le facteur 8.
Divisibilité par 8
Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il faut déjà qu'il soit divisible par 4. Donc, si on trouve que le nombre est divisible par 4, on peut le diviser par 2, et regarder si la moitié est divisible par 4.
Par exemple 84 = 80 + 4 qui est multiple de 4. La moitié de 84 est 42 = 40+2 qui n'est pas multiple de 4. Donc 84 n'est pas multiple de 8.
Divisibilité par 7
Il faut séparer le nombre en deux parties, les dizaines et les unités. Puis retrancher le double des unités aux dizaines. Le résultat doit être multiple de 7.
Par exemple : 63 => 6 - 2x3 = 0 est multiple de 7 (zéro fois 7)
Autre exemple : 343 => 34 - 6 = 28 = 4x7 est multiple de 7
Application des méthodes proposées
Quels sont les facteurs de 82 ?
Est-il multiple de 2/4/8 ? 82 = 80+2 pas multiple de 4 mais multiple de 2
Multiple de 3/9 ? 8+2 = 10, non
Multiple de 5/25 ? non
Multiple de 7 ? 8-4 = 4, non
Donc 82 est multiple de 2 et contient un nombre premier supérieur à 10. Pour en savoir plus, divisons par 2 :
82 / 2 = 41
41 n'est pas multiple de 2/4/8, ni de 3/9, ni de 5/25, ni de 7. Il est donc premier.
Note : en vérifiant si le nombre est multiple de 2 et de 3, on vérifie implicitement s'il est multiple de 6.
Conclusion
On peut facilement déterminer si un nombre inférieur à 100 est un nombre premier, et obtenir sa décomposition en facteurs premiers. Pour les nombres inférieurs à 289, il faut tester aussi la divisibilité par 11 et par 13. Voir à ce sujet la page de Wikipédia :
http://fr.wikipedia....visibilit%C3%A9
Pour déterminer si un nombre de 3 chiffres quelconque est premier, il faut tester les facteurs jusqu'à 31, ce qui inclut en plus de tester la divisibilité par 17, 19, 23, 29, et 31. Cela devient un peu plus compliqué !
En effet, par exemple 19x29 = 551. Il est impossible de savoir si ce nombre est premier avec les critères qui viennent d'être décrits.
Il est cependant facile de savoir si un nombre contient un petit facteur premier. Certains nombres de 3 chiffres ne sont pas premiers, et cela est évident, comme par exemple 345. On peut donc en gros faire trois catégories :
- Les nombres dont on peut déterminer facilement s'ils sont premiers (avec les méthodes proposées, jusqu'à 100)
- Les nombres dont on peut déterminer facilement qu'ils ne sont pas premiers, qui sont au-delà (une partie des nombres au-delà de 100)
- Les nombres dont on ne peut pas déterminer s'ils sont premiers parce que les facteurs premiers sont trop grands (une partie des nombres au-delà de 100)
La première liste contient les nombres 23, 26, etc.
La deuxième liste contient les nombres 125, 423, etc.
La troisième liste contient les nombres 169, 551, etc.
Dernière remarque
Certains multiples de 11 se reconnaissent facilement. Ils sont constitués de 3 chiffres et le chiffre du milieu est la somme des chiffres des deux côtés. Par exemple 143 puisque 1+3 = 4
En utilisant ce critère simple, on peut reconnaitre et décomposer facilement un nombre inférieur à 169 au lieu de 100.
Sachez cependant que ce critère ne suffit plus au-delà, puisque 13² = 169, et donc à partir de 169 il faut aussi tester le facteur 13. D'autre part, les multiples de 11 au-delà de 200 ne sont pas toujours aussi simples, comme par exemple 209 = 11x19
Cela dit, un nombre tel que 583 se reconnait facilement comme un multiple de 11 puisque 5+3 = 8.
Annexe : méthode express pour déterminer si un nombre inférieur à 169 est premier.
- Déterminer le carré inférieur le plus proche.
- Tester les facteurs premiers de façon décroissante à partir du nombre mis au carré
Exemple : le nombre 147
12² = 144, 13² = 169
Il faut donc tester à partir de 11.
1+7 = 8, pas 4 donc pas multiple de 11
14-2x7 = 0 donc multiple de 7
Donc 147 n'est pas premier
Exemple : le nombre 123
11² = 121, 12² = 144
Il faut donc tester à partir de 11
1+3 = 4, pas 2 donc pas multiple de 11
12-6 = 6 pas multiple de 7
ne finit pas par 5 ou 0, pas multiple de 5
1+2 = 3 donc multiple de 3
123 n'est donc pas premier
Exemple, le nombre 127
11² = 121, 12² = 144
Il faut donc commencer par 11
1+7 = 8, pas 2 donc pas multiple de 11
12-2x7 = -2 donc pas multiple de 7
pas multiple de 5
1+2+7 = 10 donc pas multiple de 3
pas multiple de 2
Donc 127 est un nombre premier
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