Le principal truc consiste à utiliser l'opération "mettre bout à bout", que je note ici &. Par exemple, 12 & 3 = 123.

Retrouver une multiplication sans avoir les tables de multiplications

On se souvient facilement de 4x5 ou bien de 3x4, mais parfois on a un doute sur une multiplication de deux nombres supérieurs à 5, comme par exemple 7x8.

On peut facilement retrouver le résultat comme suit. Chacun des deux chiffres est à une certaine distance de 10. En effet, il est immédiat que 7 + 3 = 10 et 8 + 2 = 10.

• On prend le chiffre qui a pour distance la somme des deux distances. En l'occurrence 10-3-2. Il est obtenu rapidement en retranchant au premier nombre la distance du deuxième nombre à 10. Le premier nombre est 7 et la distance est 2, c'est donc 7-2 = 5. Ce chiffre sera celui des dizaines.
• Le chiffre des unités sera le produit des deux distances, à savoir 3x2 = 6.

Donc 7x8 = 56. En utilisant le symbole & pour signifier "placer côte à côte", le calcul que l'on vient de faire peut se résumer par :

7x8 = (10-3)*(10-2) = (7-2) & (2x3) = 56

Calculons par exemple 9x8 = (9-2) & (1x2) = 72

On a obtenu le résultat en faisant une petite soustraction et une petite multiplication.

Multiplier deux nombres compris entre 5 et 19

On peut généraliser la méthode précédente par la formule (b+x)*(b+y) = (b+x+y) & (x*y)

En prenant des nombres, multiplions par exemple 12 et 13.

(10+2)*(10+3) = (12+3) & (2x3) = 156

Avec des grands nombres, multiplions par exemple 15 et 19.

15x19 = (10+5)*(10+9) = (15+9) & (5*9) = 24. & 45 = 285 (comme 45 a deux chiffres, le 5 occupe la place attendue, et le 4 est ajouté aux dizaines).

Pour multiplier un nombre inférieur à 10 et un nombre supérieur à 10, le plus simple est de décomposer le grand nombre :

6x17 = 6x10 + 6x7 = 60 + 42 = 102

On peut l'écrire aussi avec la notation & :

6x17 = (6x1) & (6x7) = 6. & 42 = 102

Multiplier deux nombres proche de cent

En utilisant toujours la même formule qu'avant avec b = 100, on trouve que

(100+x)*(100+y) = (100+x+y).. & (x*y)

Les deux points sont là pour préciser qu'on attend deux chiffres à mettre après le premier bout.

Par exemple, 106x102 = (106+2).. & (6x2) = 108 & 12 = 10812

Ou encore 97x92 = (97-8) & (3x8) = 89 & 24 = 8924

Calculer le carré d'un nombre finissant par 1

Ce sera plus clair avec un exemple. Calculons 71².

Le détail des opérations est le suivant :

• mettre le nombre des dizaines au carré : 7² = 49
• doubler le nombre des dizaines dans le nombre initial : 71 -> 141
• puis additionner en supposant deux places libres derrière le 49 : 49.. & 141 = (49+1) & 41 = 5041

Donc 71² = 5041

Calculer le carré d'un nombre finissant par 5

Calculons 205².

• multiplier le nombre des dizaines par son successeur : 20x21 = 2x21 & 0 = 420
• ajouter 25 à la suite de cela : 420 & 25 = 42025

Donc 205² = 42025

Multiplier par 25

Calculons 25x12

• Factoriser par 4 le nombre à multiplier : 12 = 4x3
• Garder le deuxième facteur et ajouter deux zéros après : 3 & 00 = 300

Donc 25x12 = 300

Multiplier par deux nombres proche d'un multiple de 10

Les deux nombres peuvent être proche de 20, de 30, etc.

Par exemple calculons 31x32 = (30+1)*(30+2) = (30+1+2)*3 & (1x2) = 33x3 & 2 = 992

La méthode est semblable que pour les nombres proche de 10, sauf qu'on multiplie la partie de gauche par un facteur de 2 pour 20, de 3 pour 30 etc.

Autre exemple : 52x54 = 56x5 & 8 = 2808

Multiplier deux nombres quelconques de deux chiffres

Si vous ne trouvez aucun méthode particulière, il reste bien entendu la méthode générale :

ab * cd = ac & (ad+bc) & bd

On met bout-à-bout trois nombres.

Par exemple 27 x 62 = (2x6) & (2x2 + 7x6) & (7x2) = 12 & (4+42) & 14 = 16 & 6 & 14 = 16 & 7 & 4 = 1674

Le nombre du milieu étant le plus compliqué à calculer, on peut commencer par ce nombre :

• Calculer le 2ème nombre : 2x2 + 7x6 = 4 + 42 = 46
• Calculer le 1er nombre : 2x6 = 12
• Mettre bout à bout les 2 premiers nombres : 166
• Calculer le 3ème nombre : 7x2 = 14
• Mettre bout à bout : 1674

Calculer une racine carré qui tombe juste

Calculons la racine de 1024.

• Décomposer en deux parties de part et d'autre des dizaines : 10 et 4
• Pour la partie de gauche, chercher la racine qui tombe pile ou juste en dessous : 10 => 3 (parce que 10 = 3x3 + 1)
• Pour la partie de droite, si la racine tombe juste, on utilise la racine, et sinon on utilise le chiffre tel quel : 4 => 2 (parce que 2x2 = 4)
• Avec la partie de droite, on obtenu le chiffre des unités ou bien sont complémentaire à 10 : le résultat se finit donc par 2 ou bien par 8
• Il y a donc deux possibilités : 32 ou 38
• Le carré de 35 est facile à calculer comme on l'a déjà vu : (3x4) & 25 = 1225 > 1024 donc le résultat est 32

Cas particulier : si le dernier chiffre est 5, il n'y a qu'une seule possibilité. Par exemple, calculons la racine de 625 :

• Les deux parties sont 6 et 5
• La racine à gauche est 2
• Il n'y a pas de racine à droite, donc c'est 5
• Le complémentaire à 10 de 5, c'est 5 aussi
• Donc il y a une seule possibilité, le résultat est 25

Calculer le résultat après la virgule d'une division par un petit nombre

Pour cela, mettre de côté la virgule pendant le calcul. Par exemple :

3,5 / 3 => 35 / 3 = (33+2)/3 = 11,67

Puis décaler de nouveau la virgule : 11,67 => 1,167

Ainsi, pour n'importe quelle division, il suffit de connaitre l'écriture à virgule des fractions simples. Les voici :

• Pour la division par 2, il faut savoir que 1/2 = 0,5
• Par 3, on a 1/3 = 0,33... et 2/3 = 0,66..
• Par 4, on a 1/4 = 0,25 et 2/4 = 1/2 = 0,5 et 3/4 = 0,75
• Par 5, on a 0,2 puis 0,4 puis 0,6 puis 0,8
• Par 6, on peut diviser par 2 puis par 3
• Par 8, on peut diviser par 4 puis par 2
• Par 9, on a 0,11... puis 0,22... etc. jusqu'à 0,88...

Division par 7 après la virgule

Les chiffres quand on divise par 7 sont les puissances de 2 suivantes : 1, 2, 4, 8 ainsi que les chiffres impaires 5 et 7.

Ils viennent presque dans cet ordre, simplement le 2 et le 4 sont inversés. En d'autres termes :

1/7 = 0,142857142857...

Ensuite, toute fraction 2/7, etc. est une rotation de ces chiffres. Pour connaitre le premier chiffre, il suffit de ranger les chiffres possibles par ordre croissant (le 5 et le 7 sont avant le 8) : 1, 2, 4, 5, 7, 8

Le premier chiffre est dans le cas 1/7, le deuxième dans le cas 2/7 etc.

Donc pour 5/7, on prend le 5ème chiffre, qui est 7.

5/7 = 714285714285...

Division rapide par 5

Il suffit de remarquer que diviser par 5 revient à multiplier par 1/5 = 2/10

Calculons 234 / 5

• On multiplie par 2 : 234 x 2 = 468
• Puis on divise par 10, c'est-à-dire qu'on décale la virgule : 46,8

Donc 234/5 = 46,8

Division rapide par 9

Pour faire cette division, on met bout à bout le cumul de la somme des chiffres.

Calculons 432 / 9

• Les cumuls sont 4, 4+3=7, 7+2=9
• On met bout à bout tous les cumuls sauf le dernier : 4 & 7 = 47
• On additionne la fraction du dernier cumul par 9 : 47 + 9/9 = 48

Autre exemple, calculons 37147 / 9

= 3 & 10 & 11 & 15 + 22/9 = (3+1) & (0+1) & (1+1) & 5 = 4125 + 2 + 4/9 = 4127 + 4/9 = 4127,444...

Ce calcul peut être fait en ajoutant progressivement les cumuls. On a alors à avoir en tête le nombre obtenu par mise bout à bout jusqu'à présent, et le cumul actuel.

Reprenons 432/9

• Le premier bout est 4
• Le deuxième est 4+3=7, donc on obtient 47
• La somme finale est 7+2=9, donc on obtient 47 + 9/9 = 48