Le billet précédent proposait une approche générale pour factoriser les nombres. A présent, je vous propose une méthode pour factoriser assez rapidement un nombre inférieur à 169. J'ai pris en compte que certaines opérations sont plus longues que d'autres, notamment quand on divise par un facteur.

Première étape : facteur 10

De façon évidente, on peut factoriser par 10 autant qu'il y a de zéros à la fin.

Deuxième étape : facteur 5 et 11

Les divisions par 5 et par 11 sont très faciles, aussi il vaut mieux commencer par là.

Vérifier si le nombre est multiple de 11. Si c'est un nombre à deux chiffres, c'est évident. Par exemple 66 = 11x6. Si c'est un nombre à trois chiffres, vérifier si la somme des deux extrémités est égale au chiffre du milieu. Pour diviser, enlever alors le chiffre du milieu. Par exemple 143 => 1+3 = 4 donc 143 = 11x13.

Vérifier si le nombre est multiple de 5 si son dernier chiffre est 5. Si c'est le cas, effectuez la division par 5, simplement en calculant le double du nombre et en enlever le zéro à la fin. Par exemple 125 => 250 => 25.

Troisième étape : facteurs 2 et 3

Vous pouvez vous occuper d'abord du facteur 2 ou d'abord du facteur 3, comme vous préférez.

Pour extraire les facteurs 2, vérifier si le dernier chiffre est pair. Si c'est le cas, divisez le nombre par 2, et recommencez avec le résultat obtenu. Si la division par 2 vous semble difficile, multipliez par 5 et enlever le zéro à la fin.

Pour extraire les facteurs 3, faites progressivement la somme des chiffres :

• Tout d'abord, additionner les chiffres qui ne sont pas 3/6/9. Si le résultat n'est pas multiple de 3, vous pouvez vous arrêter là.
• Si le résultat est multiple de 3, ajoutez les chiffres 3/6 également.
• Si le résultat est multiple de 9, c'est un multiple de 9. Sinon, c'est un multiple de 3.

Divisez par 3 ou par 9 et recommencez. Dans le billet précédent, la division rapide par 9 est expliquée.

Quatrième étape

Il se peut qu'on ait pas encore décomposé le nombre, parce que le nombre peut être 7 multiplié par un facteur premier au-delà de 11. Ces nombres sont 91, 119, 133 et 161. Vous pouvez apprendre par coeur ces nombres qui ont un look particulier (ils ressemblent à des multiples de 3 sans en être), ou bien tester la divisibilité en calculant la différence entre le double des unités avec les dizaines.

Par exemple : 91 => différence entre 2 et 9 => 7 qui est multiple de 7

119 => 18 - 11 = 7

133 => 13 - 6 = 7

161 => 16 - 2 = 14 qui est multiple de 7

Il faudra alors faire la division par 7.

Cinquième étape

Agglutinez tous les facteurs obtenus selon la présentation désirée.

Résumé

Les facteurs évidents sont 2/5/11. Vous pouvez très rapidement voir si un nombre (inférieur à 200) est divisible par ces facteurs. Mais il ne faut pas commencer par la division par 2, parce que ce n'est pas ce qu'il y a de plus facile à faire, même si reconnaitre si un nombre est pair est ce qu'il y a de plus facile. Donc, si vous voyez que le nombre est pair, ne vous précipitez pas, vérifiez d'abord s'il est multiple de 11.

En d'autres termes, si le nombre fait 3 chiffres, prenez le temps de vérifier s'il est multiple de 11 puis continuer avec les autres facteurs évidents. Si le nombre a 2 chiffres, la divisibilité par 11 sera aussi évidente que celle par 2 ou par 5.

Après avoir fait la division par les facteurs évidents, pour un nombre inférieur à 169, il faut encore vérifier 3 et 7. Il est en général plus long de vérifier la divisibilité et d'effectuer la division avec ces facteurs.

Quelques exemples

Si vous voulez, vous pouvez faire les factorisations par vous-même puis vérifier avec ce qui suit. Les nombres factorisés sont : 120, 85, 154, 105, 104, 117, 123 et 133.

...

120 = 10 x 12 = 2 x 5 x 3 x 4 = 2x2x2 x 3 x 5 (division rapide par 10)

85 = 5 x 17. Et 17 n'est pas divisible par 2 ni par 3, et il est inférieur à 5² donc il est premier.

154 = 11 x 14 = 2 x 7 x 11 (division rapide par 11)

105 = 5 x 21 = 3 x 5 x 7 (division rapide par 5)

104 = 2 x 2 x 26 = 2x2x2 x 13 (division successive par 2)

117 = 9 x 13 (division rapide par 9)

123 = 3 x 41 (division normale par 3)

133 = 7 x 19. Et 19 n'est pas divisible par 2 ni par 3, et il est inférieur à 5² donc il est premier.