Maths trigonométrie

Bonjour, je rencontre un petit souci dans un exercice, merci de bien vouloir m'aider. 

Énoncé : Résoudre l'équation cos 2x = - cos x et placer les solutions sur le cercle trigonométrique

a. Sur [0; 2π[

b. Sur ]-π; π]

c. Sur R ( le R qui désigne les réel) 

Donc j'ai résolu mon équation :

cos 2 x = - cos x 

cos 2 x = cos (π + x) 

2x = π + x + 2kπ ou 2x = - π + x + 2kr

x=2kπ +π ou x=2kπ/3 - π/3

Avec k appartenant au réel 

Pour obtenir les solutions sur [0;2π[ j'ai remplacé k par 0,1,2,3,4 dans le premier groupe de solution et par 1 dans le second groupe.

Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}

Sauf que ça me paraît étrange car quand je les places sur mon cercle trigonométrique, π 3π 5π 7π et 9π sont tous à la même place. Est-ce normal ou est-ce une erreur de ma part ? 

il y a 37 minutes, Eleor a dit :

Bonjour, je rencontre un petit souci dans un exercice, merci de bien vouloir m'aider. 

Énoncé : Résoudre l'équation cos 2x = - cos x et placer les solutions sur le cercle trigonométrique

a. Sur [0; 2π[

b. Sur ]-π; π]

c. Sur R ( le R qui désigne les réel) 

Donc j'ai résolu mon équation :

cos 2 x = - cos x 

cos 2 x = cos (π + x) 

2x = π + x + 2kπ ou 2x = - π + x + 2kr

x=2kπ +π ou x=2kπ/3 - π/3

Avec k appartenant au réel 

Pour obtenir les solutions sur [0;2π[ j'ai remplacé k par 0,1,2,3,4 dans le premier groupe de solution et par 1 dans le second groupe.

Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}

Sauf que ça me paraît étrange car quand je les places sur mon cercle trigonométrique, π 3π 5π 7π et 9π sont tous à la même place. Est-ce normal ou est-ce une erreur de ma part ? 

Votre erreur c’est que sur [0;2pi[ il faut vous contenter de pi/3 et pi. Parce que 3pi, 5pi, 7 pi et 9pi sont au dehors de l’intervalle. 
en outre 3pi c’est pareil que pi puisque vous tournez de 2pi ( vous faites un tour complet). Pareil pour 5pi, etc. À chaque fois vous faites un tour complet donc vous revenez au début, vous revenez à pi. 

il y a une heure, Eleor a dit :

Avec k appartenant au réel 

K est un entier

il y a 33 minutes, satinvelours a dit :

Votre erreur c’est que sur [0;2pi[ il faut vous contenter de pi/3 et pi. Parce que 3pi, 5pi, 7 pi et 9pi sont au dehors de l’intervalle. 
en outre 3pi c’est pareil que pi puisque vous tournez de 2pi ( vous faites un tour complet). Pareil pour 5pi, etc. À chaque fois vous faites un tour complet donc vous revenez au début, vous revenez à pi. 

Je viens de comprendre, merci bien. 

Donc pour b j'aurais S]-π;π] = { π/3 ; -π/3 ; π}

Mais alors quand on me demande les solutions sur R je dois les déduire grâce à mon équation, SR = kπ+ π avec k un entier ? 

il y a 21 minutes, Eleor a dit :

Je viens de comprendre, merci bien. 

Donc pour b j'aurais S]-π;π] = { π/3 ; -π/3 ; π}

Mais alors quand on me demande les solutions sur R je dois les déduire grâce à mon équation, SR = kπ+ π avec k un entier ? 

En relisant votre travail je me rends compte que vous avez oublié la solution 5pi/3 dans l’intervalle [0;2pi[. La solution 5pi/3 c’est pareil que -pi/3 ( dans l’intervalle ]-pi; pi] différence 2pi, soit un tour).  
 En fait vous avez trois solutions de base. Dans R il faut ajouter à ces trois solutions k2pi , avec k appartenant à Z. Sur votre dessin les solutions coïncident bien sûr  avec les trois solutions de base. 

il y a 23 minutes, satinvelours a dit :

En relisant votre travail je me rends compte que vous avez oublié la solution 5pi/3 dans l’intervalle [0;2pi[. La solution 5pi/3 c’est pareil que -pi/3 ( dans l’intervalle ]-pi; pi] différence 2pi, soit un tour).  
 En fait vous avez trois solutions de base. Dans R il faut ajouter à ces trois solutions k2pi , avec k appartenant à Z. Sur votre dessin les solutions coïncident bien sûr  avec les trois solutions de base. 

Donc j'ai tracé un cercle pour la a et j'ai placé π π/3 et 5π/3 dessus 

Puis j'ai tracé un autre cercle pour la b et j'ai placé π π/3 et -π/3 dessus

Mais dans R vous me dites d'ajouter k2pi à chaque solution avec k un entier relatif mais alors ça varie jusqu'à l'infini ? 

Et je ne sais pas du coup comment placer cela sur un cercle trigonométrique 

il y a 7 minutes, Eleor a dit :

Donc j'ai tracé un cercle pour la a et j'ai placé π π/3 et 5π/3 dessus 

Puis j'ai tracé un autre cercle pour la b et j'ai placé π π/3 et -π/3 dessus

Mais dans R vous me dites d'ajouter k2pi à chaque solution avec k un entier relatif mais alors ça varie jusqu'à l'infini ? 

Et je ne sais pas du coup comment placer cela sur un cercle trigonométrique 

 

Logiquement -pi/3 et 5pi/3 c’est le même point. Donc surtout pas deux cercles ! Donc vous avez trois points. Vous écrivez face aux trois points leur mesure de base : pi/3, pi et 5pi/3 =-pi/3. Puis à côté vous marquez : + k2pi avec pi appartenant à Z. 

Je viens de relire attentivement votre premier message. Attention, vous avez écrit :

2x = pi + x + 2kpi ou 2x = - pi + x + 2 kpi

il faut écrire 

2x = pi + x + 2kpi ou 2x = -pi - x ( et non + x) + 2kpi

Mais je pense que c’est une faute de frappe car ensuite il n’y a plus d’erreur. 

il y a 36 minutes, satinvelours a dit :

Logiquement -pi/3 et 5pi/3 c’est le même point. Donc surtout pas deux cercles ! Donc vous avez trois points. Vous écrivez face aux trois points leur mesure de base : pi/3, pi et 5pi/3 =-pi/3. Puis à côté vous marquez : + k2pi avec pi appartenant à Z. 

D'accord merci beaucoup,

ce n'est pas k qui appartient à Z?  + k2pi avec k appartenant à Z 

Devrais je utiliser un code couleur pour montrer quel point correspond à quel intervalle ? 

il y a 39 minutes, satinvelours a dit :

Je viens de relire attentivement votre premier message. Attention, vous avez écrit :

2x = pi + x + 2kpi ou 2x = - pi + x + 2 kpi

il faut écrire 

2x = pi + x + 2kpi ou 2x = -pi - x ( et non + x) + 2kpi

Mais je pense que c’est une faute de frappe car ensuite il n’y a plus d’erreur. 

Oui j'avais oublié de mettre mes parenthèses sur le message, merci d'avoir pris le temps de me relire. 

il y a 29 minutes, Eleor a dit :

D'accord merci beaucoup,

ce n'est pas k qui appartient à Z?  + k2pi avec k appartenant à Z 

Devrais je utiliser un code couleur pour montrer quel point correspond à quel intervalle ? 

 

A oui pardon je me suis gouré, oui bien sûr c’est k qui appartient à Z. 
‘personnellement je ne mettrai pas de code couleur. Car il faudrait  mettre par exemple pi sous deux couleurs. Ce n’est pas important. Faites comme vous le sentez ( parfois il y a des profs tatillons)

Il y a 5 heures, Eleor a dit :

Bonjour, je rencontre un petit souci dans un exercice, merci de bien vouloir m'aider. 

Énoncé : Résoudre l'équation cos 2x = - cos x et placer les solutions sur le cercle trigonométrique

a. Sur [0; 2π[

b. Sur ]-π; π]

c. Sur R ( le R qui désigne les réel) 

Donc j'ai résolu mon équation :

cos 2 x = - cos x 

cos 2 x = cos (π + x) 

2x = π + x + 2kπ ou 2x = - π + x + 2kr

x=2kπ +π ou x=2kπ/3 - π/3

Avec k appartenant au réel 

Pour obtenir les solutions sur [0;2π[ j'ai remplacé k par 0,1,2,3,4 dans le premier groupe de solution et par 1 dans le second groupe.

Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}

Sauf que ça me paraît étrange car quand je les places sur mon cercle trigonométrique, π 3π 5π 7π et 9π sont tous à la même place. Est-ce normal ou est-ce une erreur de ma part ? 

 Comme d’hab j’ai demandé à ChatGPT (IA) qui m’a pondu un truc bien lourd:

moi: Résoudre l'équation cos 2x = - cos x et placer les solutions sur le cercle trigonométrique

ChatGPT: Pour résoudre l'équation cos 2x = - cos x, nous pouvons d'abord utiliser la formule cos 2x = 2 cos^2 x - 1 pour transformer l'équation en cos^2 x - cos x - 1 = 0. Nous pouvons ensuite utiliser la méthode de résolution par la formule de Bhaskara pour trouver les solutions de cette équation du second degré.

La formule de Bhaskara est donnée par x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), où a, b et c sont les coefficients de l'équation ax^2 + bx + c = 0. Dans notre cas, a = 1, b = -1 et c = -1, donc nous pouvons utiliser la formule de Bhaskara pour trouver les solutions de l'équation cos^2 x - cos x - 1 = 0:

x = (1 ± √(1^2 - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1) = (1 ± √(1 + 4)) / 2

x = (1 ± √5) / 2

Nous avons donc deux solutions pour l'équation cos 2x = - cos x: x = (1 + √5) / 2 et x = (1 - √5) / 2.

Pour placer ces solutions sur le cercle trigonométrique, nous pouvons utiliser le fait que la fonction cosinus varie de manière périodique, avec une période de 2π. Cela signifie que chaque solution de l'équation cos 2x = - cos x sera équivalente à une autre solution obtenue en ajoutant ou en soustractant un multiple de 2π.

Par exemple, la solution x = (1 + √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [0, 2π], mais elle peut également être placée sur le cercle en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [2π, 4π], ou encore l'angle correspondant dans l'intervalle [4π, 6π], etc.

De manière générale, nous pouvons placer chaque solution x sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [2kπ, (2k + 1)π], où k est un entier. Par exemple, la solution x = (1 + √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [0, π], tandis que la solution x = (1 - √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [π, 2π].

1)k est entier. Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 1 ,2 et 3 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

"Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}"

Non, S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π/3}

2)Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 0,1 et 2 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

S]-π;π] = { π/3 ; -π/3 ; π}

3)   S = { 2kπ/3 - π/3, k appartenant à Z}

il y a 14 minutes, MarcThor a dit :

1)k est entier. Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 1 ,2 et 3 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

"Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}"

Non, S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π/3}

2)Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 0,1 et 2 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

S]-π;π] = { π/3 ; -π/3 ; π}

3)   S = { 2kπ/3 - π/3, k appartenant à Z}

Bonsoir je n'ai pas compris le choix de la dernière solution, on m'avait proposé 2kπ tout simplement avec k appartenant à Z 

il y a 12 minutes, Eleor a dit :

Bonsoir je n'ai pas compris le choix de la dernière solution, on m'avait proposé 2kπ tout simplement avec k appartenant à Z 

 C'est :S = { 2kπ/3 - π/3, k appartenant à Z}  (l'autre ensemble de solutions étant inclus dans celui-ci), Z étant l'ensemble des nombres entiers relatifs, k "décrivant " cet ensemble....Il y évidemment une infinité (dénombrable ici) de solutions( une pour chaque valeur de "k"), 3 par segment de type [2kπ;2(k+1)π[ .

Bonsoir je n'ai pas compris le choix de la dernière solution, on m'avait proposé 2kπ tout simplement avec k appartenant à Z 

C'est faux ...et les éléments de cet ensemble( par exemple: 0 ou 2π )ne constituent pas des solutions de l'équation...

il y a 6 minutes, MarcThor a dit :

 C'est :S = { 2kπ/3 - π/3, k appartenant à Z}  (l'autre ensemble de solutions étant inclus dans celui-ci), Z étant l'ensemble des nombres entiers relatifs, k "décrivant " cet ensemble....Il y évidemment une infinité (dénombrable ici) de solutions( une pour chaque valeur de "k"), 3 par segment de type [2kπ;2(k+1)π[ .

Bonsoir je n'ai pas compris le choix de la dernière solution, on m'avait proposé 2kπ tout simplement avec k appartenant à Z 

C'est faux ...et les éléments de cet ensemble( par exemple: 0 ou 2π )ne constituent pas des solutions de l'équation...

Mais alors comment je fais pour placer 2kπ/3-π/3 sur un cercle trigonométrique puisque c'est imposé dans l'exercice 

il y a 2 minutes, Eleor a dit :

Mais alors comment je fais pour placer 2kπ/3-π/3 sur un cercle trigonométrique puisque c'est imposé dans l'exercice 

Si on te le demande (ce qui serait amusant), tu n'as de toute façon que 3 points à placer ( correspondant aux angles π/3, π et 5π/3): toutes les solutions correspondent à l'un de ces 3 points du cercle trigo ( solutions différent d'un nombre entier X 2π, donc d'un nombre entier de "tours " du cercle près). Ce sont les mêmes points au 1), au 2) et au 3) en ce cas ...si on te demande de placer ces points sur le cercle trigo.

il y a 6 minutes, MarcThor a dit :

Si on te le demande (ce qui serait amusant), tu n'as de toute façon que 3 points à placer ( correspondant aux angles π/3, π et 5π/3): toutes les solutions correspondent à l'un de ces 3 points du cercle trigo ( solutions différent d'un nombre entier X 2π, donc d'un nombre entier de "tours " du cercle près). Ce sont les mêmes points au 1), au 2) et au 3) en ce cas ...si on te demande de placer ces points sur le cercle trigo.

D'accord merci je vais laisser ainsi et préciser la solution sur R par écrit. 

Bonne soirée à vous 

il y a 1 minute, Eleor a dit :

D'accord merci je vais laisser ainsi et préciser la solution sur R par écrit. 

Bonne soirée à vous 

Bonne soirée à vous 

Bonne soirée à toi.

Il y a 11 heures, SpookyTheFirst a dit :

 Comme d’hab j’ai demandé à ChatGPT (IA) qui m’a pondu un truc bien lourd:

moi: Résoudre l'équation cos 2x = - cos x et placer les solutions sur le cercle trigonométrique

 

ChatGPT: Pour résoudre l'équation cos 2x = - cos x, nous pouvons d'abord utiliser la formule cos 2x = 2 cos^2 x - 1 pour transformer l'équation en cos^2 x - cos x - 1 = 0. Nous pouvons ensuite utiliser la méthode de résolution par la formule de Bhaskara pour trouver les solutions de cette équation du second degré.

La formule de Bhaskara est donnée par x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), où a, b et c sont les coefficients de l'équation ax^2 + bx + c = 0. Dans notre cas, a = 1, b = -1 et c = -1, donc nous pouvons utiliser la formule de Bhaskara pour trouver les solutions de l'équation cos^2 x - cos x - 1 = 0:

x = (1 ± √(1^2 - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1) = (1 ± √(1 + 4)) / 2

x = (1 ± √5) / 2

Nous avons donc deux solutions pour l'équation cos 2x = - cos x: x = (1 + √5) / 2 et x = (1 - √5) / 2.

Pour placer ces solutions sur le cercle trigonométrique, nous pouvons utiliser le fait que la fonction cosinus varie de manière périodique, avec une période de 2π. Cela signifie que chaque solution de l'équation cos 2x = - cos x sera équivalente à une autre solution obtenue en ajoutant ou en soustractant un multiple de 2π.

Par exemple, la solution x = (1 + √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [0, 2π], mais elle peut également être placée sur le cercle en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [2π, 4π], ou encore l'angle correspondant dans l'intervalle [4π, 6π], etc.

De manière générale, nous pouvons placer chaque solution x sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [2kπ, (2k + 1)π], où k est un entier. Par exemple, la solution x = (1 + √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [0, π], tandis que la solution x = (1 - √5) / 2 peut être placée sur le cercle trigonométrique en utilisant l'angle correspondant dans l'intervalle [π, 2π].

 

 

La personne est en première et vous nous sortez un truc pas possible. Si au lieu de vous montrer vous vous mettiez à la place de l’élève vous verriez que la résolution de cette équation prend deux lignes. Je vois que vous n’avez jamais enseigné personne et que votre savoir en outre est bidon si vous ne savez pas résoudre cet équation sans machines. Ouvrez un livre de première.

En tout cas je n’ai plus besoin de lire vos interventions en sciences : vous aussi vous donnez dans la mythomanie ( c’est énervant de constater que je n’arrive pas à sortir de l’hôpital psychiatrique). 

Il y a 11 heures, MarcThor a dit :

1)k est entier. Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 1 ,2 et 3 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

"Ainsi j'ai S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π ; 7π ; 9π}"

Non, S[0;2π[ = {π/3; π ; 3π ; 5π/3}

2)Pour la 2ème famille de solutions dans [0;2π[, seuls k égal à 0,1 et 2 sont à considérer (de plus tu retrouves π, solution unique de la 1ère famille de solutions pour k = 2)

S]-π;π] = { π/3 ; -π/3 ; π}

3)   S = { 2kπ/3 - π/3, k appartenant à Z}

Bon sang, je pars en ayant donner un truc simple et voici qu’arrive une marée de mytho qui donnent le tournis à l’élève ! 
Bon sang non sur 0 2pi , 3 pi n’est pas une solution ! Vous ne voyez pas que 3pi est en dehors de l’intervalle ?