demonstration suite divergente

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour la compréhension  de la démonstration ci dessous

Démonstration par l'absurde  pour prouver que la suite (-1)^n  , est divergente donc on suppose quelle est convergente  vers un limite L et on montre qu'il y a une absurdité

Par la  définition d'une suite convergente on a
pour tout epsilon > 0 il existe un  N1 appartenant à l'ensemble des entiers naturel tel que |un-L|<=episilon  = |(-1)^n -L| <= epsilon
On pose episilon = 1/2 ( mais je ne comprends pas trop pq, enfaite pour ce type d'exercice je n'arrive jamais à trouver le bon epsilon  , )
Donc on |un-l|<1/2=| (-1)^n - L |<=1/2
Puis on distingue les cas quand n est pair ou impaire
soit n pair , n >=N1 on |1-l |<=1/2
soit n impair , n >=N1 on a |-1-L|<=1/2
donc (1+L)<=1/2 , donc 2= |2|=|1-L+1+L|<=|1-L|+|1+L|<=1 <=> 2<= 3 ABSURDITE (je ne comprend nn plus cette dernière ligne pq on parle de 2 tout à coup  .
Voilou j'espère que quelqu'un pourra m'aider !

Ici on choisit espilon = 1/2 afin que sa valeur soit assez petite pour montrer l'absurdité. On aurait pu travailler avec "espilon" en tant que variable et choisir une valeur à la fin pour montrer l'absurdité. Ici, 2 intervient à la fin de la démonstration car une décomposition astucieuse de 2 combinée à l'inégalité triangulaire permet de revenir aux deux inégalités connues (cas pair et impair)

Là, tu as un problème de taille !

Pour tout n appartenant à l'ensemble N la suite (-1)^n est encadrée par

-1 <= (-1)^n <= 1

en divisant partout par n (non nul bien entendu) il vient

-1/n <= ( (-1)^n ) / n ) <= 1/n

quand n croît, les deux suites encadrantes tendent vers 0 (elles sont donc convergentes)

de mon temps on faisait appel à ce que l'on appelait le théorème des gendarmes (on faisait des maths et en même temps de la mauvaise instruction civique)

Bref, ta suite encadrée par des suites convergentes, ça ne te parles pas ?

Soit tu as mal lu l' énoncé, soit ton prof de math est un petit malin.

Le 04/12/2021 à 20:11, azad2B a dit :

Soit tu as mal lu l' énoncé, soit ton prof de math est un petit malin.

Mais visiblement, c'est moi le bigleux dans l' affaire. J'ai lu série au lieu de suite.

Le 04/12/2021 à 17:12, Florine12 a dit :

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour la compréhension  de la démonstration ci dessous

Démonstration par l'absurde  pour prouver que la suite (-1)^n  , est divergente donc on suppose quelle est convergente  vers un limite L et on montre qu'il y a une absurdité

Par la  définition d'une suite convergente on a
pour tout epsilon > 0 il existe un  N1 appartenant à l'ensemble des entiers naturel tel que |un-L|<=episilon  = |(-1)^n -L| <= epsilon
On pose episilon = 1/2 ( mais je ne comprends pas trop pq, enfaite pour ce type d'exercice je n'arrive jamais à trouver le bon epsilon  , )
Donc on |un-l|<1/2=| (-1)^n - L |<=1/2
Puis on distingue les cas quand n est pair ou impaire
soit n pair , n >=N1 on |1-l |<=1/2
soit n impair , n >=N1 on a |-1-L|<=1/2
donc (1+L)<=1/2 , donc 2= |2|=|1-L+1+L|<=|1-L|+|1+L|<=1 <=> 2<= 3 ABSURDITE (je ne comprend nn plus cette dernière ligne pq on parle de 2 tout à coup  .
Voilou j'espère que quelqu'un pourra m'aider !

Je vais essayer de vous répondre en partant de votre cours, et donc de ce qu’attend de vous votre enseignant.

 

 

Tout d’abord il vous est demandé de raisonner en partant de la définition de la limite d’une suite.

 

 

Définition

 

La suite U(n) a pour limite L ∈ ℝ si ∀ ε > 0, ∃ un entier naturel N tel que si n ≥ N alors

|U(n) – L |⩽ ε

 

∀ ε > 0 ∃ N ∈ ℕ ∀ n ∈ ℕ ( n ≥ N ⇒ | U(n) – L | ⩽ ε )

 

Le choix de epsilon est souvent subodoré en fonction du problème à résoudre. Le « quelque soit » permet de prendre n’importe quelle valeur. Ici, prenons la valeur de 1/2.

 

Il nous faut trouver la valeur de N

 

| U(n) – L | ⩽ ε s’écrit donc |(-1)ⁿ – L| ⩽ 1/2

 

Distinguons deux cas ;

 

n pair  donne : | 1 – L | ⩽ 1/2

 

n impair donne | -1 – L | ⩽ 1/2 soit | -1 | | 1 + L | ⩽ 1/2 soit | 1 + L | ⩽ 1/2

 

Additionnons les deux inégalités membre à membre :

 

Nous trouvons | 1 – L | + | 1 + L | ⩽ 1/2 + 1/2 = 1

 

Mais | A + B | ⩽ | A | + | B | (propriété des valeurs absolues).

 

Donc | 1 – L + 1+ L | ⩽ | 1 – L | + | 1 + L |

 

soit 2 ⩽ | 1 – L | + | 1 + L | ⩽ 1

 

Soit 2 ⩽ 1

 

Il est impossible de trouver N tel que cette inégalité puisse être vraie.

 

Donc la suite en question n’a pas de limite finie. Elle n’est pas convergente.