Besoin d'aide pour exercice de math Terminale

Bonjour,

J'ai vraiment de difficultés avec cette exercice de math.
pourriez vous m'aidez s'il vous plait.
merci d'avance!

exercice:
Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1 (vous retrouverez la foto en dessous de comment ça s’écrit)
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
C. Démontrer que la suite (Un) converge
d. Déterminer la limite L de cette suite

Salut.

Tu as une façon d'écrire photo qui m'incite à te demander ce que tu as déjà fait.

D'abord, la dérivée se calcule de tête si on se souvient du résultat général de la dérivée d'un quotient, ou plus simplement si l'on a gardé un petit souvenir de la dérivée d'une fonction de la forme 1/u.

Alors ? Qu'as-tu fait ?

Le 23/11/2021 à 10:16, azad2B a dit :

Salut.

Tu as une façon d'écrire photo qui m'incite à te demander ce que tu as déjà fait.

D'abord, la dérivée se calcule de tête si on se souvient du résultat général de la dérivée d'un quotient, ou plus simplement si l'on a gardé un petit souvenir de la dérivée d'une fonction de la forme 1/u.

Alors ? Qu'as-tu fait ?

J'ai déja fait la question a est j'ai trouver f(x)= 3-1/X+1 donc on a f'(x)= 1/(x+1)^2 >0 donc f est croissante

On va y aller doucement avec la méthode la plus bébête qui soit

Ta fonction est f(x) = 3 -1/(x+1)

et tu as vu que sa dérivée est positive. Donc que la fonction est croissante et un minimum de réflexion montre immédiatement qu’elle est convergente et tend vers la droite y = 3 qui est son asymptote  quand x tend vers l’infini. Mais là n’est pas la question.

voyons la suite ...

J’en conviens pour quelqu’un qui débute voir Un+1 = f(Un) et U0 = 5 est assez déroutant au début. Et pourtant cela devient très clair si tu applique la règle toute simple suivante

On fait n = 0 dans Un+1 = f(Un)

L’astuce alors a ne plus écrire la lettre n (puisqu'égale à 0) donc il vient

U1 = f(U0) = f(5)

Et ensuite simplement

U2 = f(U1) = f(f(5))

U3 = f(U2) = f(f(f(5)))

U4 = f(U3) = f(f(f(f(5))))

et la récurrence apparaît …. Un = f (Un-1) = f(f(f(…….(f(5))….)

par exemple on a U1 = f(U0) = f(5) = 3 – 1/6 = 17/6

Tu vois, ce n'est pas rigoureux, mais c'est une façon d'expliquer l' écriture...

ta calculatrice va te donner rapidement tous les termes et tu vas pouvoir répondre facilement à la question en voyant les termes apparaître.

Le 23/11/2021 à 09:54, m04 a dit :

Démontrer que la suite (Un) converge

Et pour cela il suffit de montrer que quand n grandit on a toujours à partir d'un certain seuil Un/Un+1est majorée

Le 23/11/2021 à 13:28, azad2B a dit :

Et pour cela il suffit de montrer que quand n grandit on a toujours à partir d'un certain seuil Un/Un+1est majorée

C’est pas une majoration de ce ratio qui defini la convergence, ou bien?

Le 23/11/2021 à 09:54, m04 a dit :

Bonjour,

J'ai vraiment de difficultés avec cette exercice de math.
pourriez vous m'aidez s'il vous plait.
merci d'avance!

exercice:
Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1 (vous retrouverez la foto en dessous de comment ça s’écrit)
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
C. Démontrer que la suite (Un) converge
d. Déterminer la limite L de cette suite

La récurrence obéit quand même à un protocole précis. Pour démontrer par récurrence que Un > 0 c’est assez simple, il faut poser U0 qui est effectivement > 0. Vous supposez ensuite que Up > 0 et vous démontrez que U (p+1) > 0. C’est assez simple, il vous suffit de vous référer  à votre tableau de variation de la fonction en ayant eu soin de calculer les valeurs aux bornes de l’intervalle de définition. Et vous voyez que pour une valeur de la variable positive Up > 0 f( Up) > 0. Or f(Up) = U (p+1) donc U (p+1) >0.

Pour démontrer que la suite est croissante, vous posez que U 1 > U 0 ( par calcul direct), vous supposez alors que Up < U (p+1) et vous devez démontrer que U (p+1) < U (p+2)

Mais si U p < U ( p+1) alors f ( Up) < f ( U (p+1)) puisque la fonction f est croissante. Mais f( Up) = U (p + 1) par définition et f ( U(p+1)) = U (p+2) toujours par définition. Donc U ( p+1) < U (p+2) et vous pouvez généraliser pour n.

La suite est croissante et majorée par 3, ( voir la fonction). Là vous appliquez le théorème de convergence qui est dans votre cours et qui énonce qu’une suite croissante et majorée converge. 
Ici la limite est 3 .

Le 23/11/2021 à 14:54, Annalevine a dit :

La récurrence obéit quand même à un protocole précis. Pour démontrer par récurrence que Un > 0 c’est assez simple, il faut poser U0 qui est effectivement > 0. Vous supposez ensuite que Up > 0 et vous démontrez que U (p+1) > 0. C’est assez simple, il vous suffit de vous référer  à votre tableau de variation de la fonction en ayant eu soin de calculer les valeurs aux bornes de l’intervalle de définition. Et vous voyez que pour une valeur de la variable positive Up > 0 f( Up) > 0. Or f(Up) = U (p+1) donc U (p+1) >0.

Pour démontrer que la suite est croissante, vous posez que U 1 > U 0 ( par calcul direct), vous supposez alors que Up < U (p+1) et vous devez démontrer que U (p+1) < U (p+2)

Mais si U p < U ( p+1) alors f ( Up) < f ( U (p+1)) puisque la fonction f est croissante. Mais f( Up) = U (p + 1) par définition et f ( U(p+1)) = U (p+2) toujours par définition. Donc U ( p+1) < U (p+2) et vous pouvez généraliser pour n.

La suite est croissante et majorée par 3, ( voir la fonction). Là vous appliquez le théorème de convergence qui est dans votre cours et qui énonce qu’une suite croissante et majorée converge. 
Ici la limite est 3 .

Bonjour.

Nombre d'erreurs...faites attention de ne pas induire en erreur. Il est louable de vouloir aider mais n'affirmez pas ce dont vous n'êtes certain.

Le 23/11/2021 à 09:54, m04 a dit :

Bonjour,

J'ai vraiment de difficultés avec cette exercice de math.
pourriez vous m'aidez s'il vous plait.
merci d'avance!

exercice:
Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1 (vous retrouverez la foto en dessous de comment ça s’écrit)
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.
b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).
C. Démontrer que la suite (Un) converge
d. Déterminer la limite L de cette suite

Bonjour.

Je résume :

Soit f la fonction définie sur J=[ 0;+∞[ par f(x)= 3- 1/X+1 (vous retrouverez la foto en dessous de comment ça s’écrit)
a. Calculer f' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de f sur J.

La fonction est définie sur J. elle y est dérivable et sa dérivée est aisément exprimable ( tu trouveras f'(x)= 1/(X+1 )^2 pour tout x de J). f est  dérivable donc continue sur J. comme de plus, f'(x) est strictement  positif  pour tout x de J, f est strictement croissante sur J

Remarque(i considère l’intervalle  I d’extrémités (1+racine carrée de 3) et 3, si x est de I alors f(x) est de I(f (1+racine carrée de 3) =  1+racine carrée de 3 ;f est continue et strictement croissante sur I,  pour tout x de I, f'(x) appartient à considère l’intervalle  d’extrémités f(1+racine carrée de 3) et f(3) =11/4, donc f(x) est bien dans I).

b. On considère la suite ( Un) définie pour tout entier n par Un+1= f(un) et U0= 5. En utilisant le résultat de la question précédente, et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un≥0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un).

f étant strictement croissante et continue sur J, elle est à valeurs dans l'intervalle d'extrémités f(0) et "limf en +infini"(c’est à dire d'extrémités 2 et 3). f est donc à valeurs positive sur J...

...une récurrence utilisant la remarque(i) établit même  que pour tout n supérieur ou égal à 1, Un appartient à l'intervalle I (d'extrémités (1+racine carrée de 3) et 3 )...

Tu peux remarquer que pour tout n , Un- U(n+1) = (Un-1- racine carrée de 3) (Un-1+racine carrée de 3), donc comme pour n supérieur à 1, Un est de I, Un- U(n+1) est positif. De plus, U0- U1 est positif….

(Un) est donc décroissante.

C. Démontrer que la suite (Un) converge

(Un) est donc décroissante et minorée par (1+racine carrée de 3), elle converge.
d. Déterminer la limite L de cette suite

Soit L sa limite, L est de I ( car Un est de I pour n supérieur à 1)…f étant continue sur J, la suite (f(Un)) converge vers f(L)…donc f(L)  = L…qui donne L=(1+racine carrée de 3) ou L=(1+racine carrée de 3) ou L=(1-racine carrée de 3) ce qui est impossible car L appartient à I…

On a donc : L=(1+racine carrée de 3).

@m04Je me suis contenté de te mettre sur la voie en te glissant quelques petits détails ( l'asymptote en particulier) parce que je ne donne jamais la solution complète à un problème donné, juste une marche à suivre.