Exercice continuité et dérivation

Bonsoir,
Dans le cadre de révision pour un examen à la fin du mois, je requiert votre aide pour la correction de certains des exercices que j'ai eu à résoudre sans avoir la certitude de ne pas m'être trompé.
Je vous remercie par avance du temps que vous voudriez bien consacrer à cette correction.
Voici un premier exercice :

Soit la fonction f définie sur IR :
f(x) = 2x si x < ou = 1
f(x) = x²+1 si x > 1
a) f est-elle dérivable sur IR ? continue ? Justifier. Exprimer f'(x) pour tous les x où ça a un sens.
b) Quelle est l'image f(IR) de f (justifier) ?
f est-elle bijective de IR sur son image (justifier) ?
Si oui, calculer sa bijection réciproque.

a) lim de f lorsque x tend vers 1^- = 2x = 2*1 = 2
lim de f lorsque x tend vers 1⁺ = x² + 1 = 1+1 = 2
Donc f est continue en x = 1 et donc sur IR.
Pour x < ou = 1, f est dérivable sur ]-; 1]
Pour x > 1, f est dérivable sur ]1 ; +[
Soit f'(x) = lim lorsque x tend vers 1 de (f(x) - f((1)) / (x-1) = (2x - 2) / (x-1) = (2*(x-1)) / (x-1) = 2
Donc f est dérivable en 1
Donc f est dérivable sur IR

b) Puisque pour x < ou = 1, f(x) = 2x, l'image de f pour sur l'intervalle ]-; 1] est de f(]-; 1]) = ]-; 2]
Puisque pour x > 1, f(x) = x²+1, l'image de f pour sur l'intervalle ]1 ; +[ est de f(]1 ; +[) = ]1 ; +[
Donc f(IR) = f(]-; 1] U ]1 ; +[)
= f(]-; 2] U ]1 ; +[) = f(IR)
Donc l'image f(IR) de f est f(IR).

f est strictement croissante sur ]-; 1]
f est strictement croissante sur ]1 ; +[
Donc f est strictement croissante sur IR.
f est continue et strictement monotone sur IR, donc est bijective de IR sur IR.
Donc f est bien bijective de IR sur son image.
Pour x = 1, on a y = 2*1 = 2 (ou 1²+1 = 2)
Pour x < 1, on a : y = 2x donc x = y/2
Donc f^-1(y) = y/2 si y < 2

Pour x > 1, on a : y = x²+1 donc x = (y-1)^(1/2)
Donc f-1(y) = (y-1)^(1/2) si y > 2

Est-ce correct ?

a)Pour la continuité, tu as juste. Pour la dérivabilité, le résultat est juste, mais le raisonnement est faux. Il faut montrer que la dérivée admet la même limite à gauche et à droite de 1 :

Pour x > 1, f est dérivable sur ]1 ; +[ et f'(x)=2x car dérivée d'un polynôme. Et on a que limite de f'(x) quand x tend vers 1 par valeur supérieur est égale à 2

Pour x <1, f est dérivable sur ]- infiny ; 1[ et f'(x)=2  car dérivée d'un polynome donc la limite de f'(x) quand x tend vers 1 par valeur inférieure est 2. Ainsi par theoreme
Comme la limite à gauche et à droite en 1 existe et est la même, nous avons que f est dérivable en 1. Et donc f est dérivable sur R.

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Il y a aussi des problèmes avec le b).

Puisque pour x < ou = 1, f(x) = 2x, l'image de f pour sur l'intervalle ]-; 1] est de f(]-; 1]) = ]-; 2]
Puisque pour x > 1, f(x) = x²+1, l'image de f pour sur l'intervalle ]1 ; +[ est de f(]1 ; +[) = ]1^2+1 ; +[=]1^2+1 ; +[ (et non 1 comme tu l'as écrit).
Donc f(IR) = IR

Le reste et ta fonction bijective sont justes.

D'accord, merci beaucoup !