Hypothèse de l'univers mathématiques

il y a 3 minutes, Kahler a dit :

@zenalpha tu peux développer sur Alain Connes?

Oui, je redigerai la synthèse de ces travaux lundi matin dans le train

Il dresse un pont entre mathématiques, géométrie et physique d'une manière inégalable 

Et ce pont débouche même sur un lien entre le 'monde quantique' et la conjecture de Riemann de la théorie des nombres.

Accessoirement ce génie dont les images mentales me sont inaccessibles voit dans la structure de la géométrie non commutative l'émergence d'une dynamique qu'il assimile au temps

Tu peux te plonger dans ces 2 romans qui sont déjà des hymnes a l'intelligence 

Le théâtre quantique et le spectre d'Atacama

Mais je serai plus ... technique si tu le veux bien...

il y a 5 minutes, zenalpha a dit :

Le théâtre quantique et le spectre d'Atacama

Je note, je trouverai un temps pour les lire 

Il y a 2 heures, Kahler a dit :

Je note, je trouverai un temps pour les lire 

Ce sont 2 romans détente ou Connes tente de passer quelques messages philosophiques en toile de fond sans jamais entrer dans de la grande technicité 

Mais par exemple, il imagine une physicienne s'aventurer dans l'espace de Hilbert et revenir poser ses mots, pesés et réfléchis, en conférence de presse sur son expérience 

Il revient sur énormément de notions, heisenberg, le débat bohr Einstein, le temps, et dans le second roman sur la démarche du mathématicien, Grothendieck, le deep learning etc etc...

C'est une délectation si on a déjà creusé ces sujets et c'est une forme de survol de son esprit 

Quelques vidéos de ceinture jaune à ceinture noire si ces sujets doivent être approfondis via l'écoute car du principe d'indetermination d'Heisenberg à la théorie des nombres mathématiques,  tout est relié chez connes

J'expliquerai comment

 Celle-ci survole ce lien

Alain Connes est surtout connu pour sa médaille Field 1982 (équivalent du nobel pour les maths) mais pour comprendre son apport, son parcours chronologique est encore une bonne approche, celle que je vais tracer.

Il s'est imposé lors de sa thèse sur un problème encore considéré a l'époque comme marginal dans les mathématiques mais qui s'est révélé être tremplin entre math et physique 

Il suivait le séminaire d'algèbre d'opérateurs de Jacques Dixmier à l'école Normale Supérieure et plus particulièrement concernant les algèbre de Von Neumann qui sont des généralisations non commutatives (ou quantique) de la théorie de la mesure.

Cette algèbre avait été fondée par Von Neumann essentiellement dans toutes les années 20 pour donner une base mathématiques a la mécanique quantique nouvellement découverte.

Un rôle fondamental y est joué par les facteurs (les algèbres dont le centre est réduit a un scalaire) et Murray comme Neumann avaient categorisé ces facteurs dont les cas 1 et 2 sont les plus proches du cas commutatif.

Mais ils avaient découvert aussi le cas 3 comme étant hautement non commutatif qui restaient...mystérieux et sans méthode de classification possible.

Le premier génie de Connes a été de leur appliquer une méthode nouvelle due a Minoru Tomita en remplaçant pour ces facteurs la notion de trace à celle de poids qui est une forme linéaire ou phi(x,y) est différente de phi(y,x)

Et la première surprise a été cette découverte que cette non commutativité engendre une dynamique au cours du temps par un groupe d'automorphisme a un paramètre du facteur.

Ce groupe est indépendant du poids modulo les automorphismes intérieurs et donne lieu a des invariants spectraux qui ont permis la catégorisation de ces facteurs type 3.

C'est en tant que ... physicien théoricien... que Connes entre à l'IHES

Il entre en contact dans cet organisme avec des mathématiciens qui ne connaissent rien des travaux de classification des algèbres de Von Neumann mais qui sont confrontés aux faisceaux, aux feuilletages, avec des groupes d'homologie de tenseurs de courbure.

Connes fait le lien à ses travaux précédents et associe à un feuilletage qui est souvent un facteur de type 3 l'algèbre de Von Neumann associée 

Dans l'esprit des suites d'Atihah et de Singer, il definit un théorème d'indice pour les opérateurs elliptiques le long des feuilles d'un feuilletage sans lequel il était impossible au sens classique de définir une théorie de la mesure, une topologie ou une structure differentiable.

Ces nouvelles géométries dites 'non commutatives' sont decrites au travers d'algèbres non commutatives qui jouent le rôle d'espace de fonctions, ce qui apportera une plus value pour les groupes de Lie et les groupes p-adiques alors que pour les groupes discrets, l'espace non commutatif reste hautement non trivial.

De ses discussions avec Paul Bohm sortira la conjecture de Bohm-Connes qui est justement relative aux groupes de Lie.

Jusque là, on en est encore qu'aux balbutiements mais avec Moscovici, après ces théorèmes d'indice longitudinaux, connes s'attaque aux indices transverse.

Et comme bien souvent en mathématiques, la généralisation du problème va mettre en relief une symétrie, qui est classiquement jouée par un groupe mais qui, dans cette théorie non commutative est jouée par l'algèbre de Hopf (ou groupe quantique)

Bien...

Tous les acteurs sont en place pour comprendre le lien avec la renormalisation des ... diagrammes de Feynmann, haut lieu de la physique quantique...et avec le problème de Riemann Hilbert, haut lieu d'un des plus grands problèmes mathématiques 

Ce sera ce soir...

@zenalpha merci pour l'explication, par contre l'intégrale de chemin par laquelle nous déduisons la structure des diagrammes de Feynman est mal définie, la mesure sur l'espace défini n'existant pas.

C'est d'ailleurs un problème, c'est bien la preuve qu'avec des maths bancales on peut faire des prédictions étonnamment précises (pas si bancales en vérité, mais bon la rigueur en QFT c'est vraiment limite).

Il y a 2 heures, Kahler a dit :

@zenalpha merci pour l'explication, par contre l'intégrale de chemin par laquelle nous déduisons la structure des diagrammes de Feynman est mal définie, la mesure sur l'espace défini n'existant pas.

C'est d'ailleurs un problème, c'est bien la preuve qu'avec des maths bancales on peut faire des prédictions étonnamment précises (pas si bancales en vérité, mais bon la rigueur en QFT c'est vraiment limite).

Bingo !

C'est ici que Connes raccorde ses théories à la physique 

Les calculs des physiciens en théorie quantique des champs reposent sur des techniques de développement perturbatif où les termes sont des intégrales divergentes qui nécessitent une RENORMALISATION 

Ces techniques font apparaître la combinatoire des diagrammes de maître Feynmann 

Les formules empiriques dont tu parles...sont celles de Bogoliubov-Parashiuk qui 'ramènent les diagrammes compliqués en diagrammes plus simples'

Déjà...en 1998, Dirk Kreimer démontre que ce qui apparaissait comme 'des recettes de cuisine' traduisent l'existence d'un objet mathématique qui n'est autre que.....une algèbre de Hopf...

C'est ici que pépère Connes rencontre Kreimer et ils découvrent que l'algèbre de Hopf de Kreimer... et celle de Connes Moscovici sont essentiellement les mêmes.

Ce sont exactement les mêmes règles de symétrie quantique qui sont en toile de fonds de la théorie quantique des champs (permettant de calculer, par les méthodes perturbatives, des quantités physiquement observables) de la géométrie non commutative (qui donne explicitement l'indice d'opérateurs transversalement elliptiques sur des feuilletages)

Pour comprendre l'origine mathématique de cette algèbre de Hopf dans le processus de renormalisation, ces deux la franchissent un pas de plus en l'identifiant comme étant le processus de ... la décomposition de Birkhoff

Et là on a le cul troué puisque cette décomposition est aussi en lien direct avec le problème de Riemann Hilbert  ...

Ce que, au départ, tu considères comme une recette de cuisine nécessaire pour l'expérience physique est avec Connes relié au plus grand problème de mathématiques pour moi...

La cerise sur le gâteau à présent 

Avec Mathilde Marcoli, Connes affine la signification de cette correspondance mise en évidence avec Riemann Hilbert 

Il s'agit de la ... théorie de Galois motivique de nature... arithmétique !

Ainsi, la géométrie non commutative relie la physique à.. la théorie des nombres, ces deux domaines qui quelque part m'avaient toujours indépendamment fascinés et qui sont donc en lien.

Je passe les similitudes avec l'utilisation des topoi de Grothendieck puisqu'etant une large généralisation de tous ces domaines, Connes y a retrouvé des correspondances théoriques.

@zenalpha il faut vraiment que je lise Connes, j'avais déjà quelques idées de ce sur quoi il travaillait et avait contribué, mais pas dans les détails.

Le 06/10/2019 à 08:14, Kahler a dit :

L'hypothèse de l'univers mathématiques a été proposée par le cosmologiste Max Tegmark, elle reprend des idées du platonisme et du réalisme structurel ontique.

L'idée centrale se base sur 1 postulat : - la réalité est indépendante des humains qui la compose

L'argument découle directement de ce postulat, si la réalité est indépendante des humains elle doit être objective, donc dénué de tout bagage humain, les seuls objets qu'on sait être objectif et dénué de tout bagage humain sont les objets mathématiques, la vérité d'un énoncé mathématiques ne dépend pas de celui qui l'observe, 2+2=4 est une vérité absolue (suivant un système axiomatique donné). Comment passe t-on du physique au mathématique? Si il existe une structure mathématiques isomorphe (au sens de l'isomorphisme fort 'ou naturel' de la théorie des catégories) à notre monde physique, donc qu'il existe une correspondance bijective entre tous les éléments du monde physique et de la structure mathématiques considérée, alors par définition de l'isomorphisme les 2 structures (physique et mathématiques) sont les mêmes.

J'anticipe les critiques donc je vais tâcher d'y répondre en avance :

Comment l'univers peut être mathématiques, les objets abstraits ne peuvent rien causer.

- Les objets mathématiques ne peuvent rien causer sur d'autres structures indépendantes, mais peuvent être en relation avec divers objets de la même structure, en ce sens nous sommes des sous structures conscientes d'une structure mathématiques particulière (dont on ne connait pas encore la nature, d'où les tentatives d'unification des lois physique), pour un observateur inclus dans notre structure mathématique les phénomènes semblent avoir une dynamique propre, une texture, des couleurs etc. mais pour un observateur extérieur ce n'est qu'une structure spécifiée uniquement par ses relations totalement atemporelle et non spatiale. Imaginons un observateur dans un univers dont la structure inclus un espace de Minkowsi, pour lui les choses semblent se produire à travers le temps, mais pour un observateur extérieur son univers est simplement une structure quadridimensionnel statique et éternel, un peu comme le contenu d'un dvd (cf : univers bloc).

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel empêche l'existence d'un tel multivers mathématiques.

- En effet, d'où la restriction aux structures mathématiques calculables, donc récursives, qui admettent un algorithme qui terminera en temps fini (pas de problème de l'arrêt donc, une version plus faible du 1er théorème d'incomplétude de Gödel), l'infini est donc rejeté. Le second théorème porte sur la non prouvabilité de la cohérence d'une théorie à l'intérieur de la théorie (en fait on le savait avant Gödel, une théorie incohérente pouvant tout prouver, elle pourrait également prouver sa cohérence, ce que Gödel a montré c'est qu'une théorie cohérente ne peut pas montrer sa propre cohérence), mais ça n'empêche pas à la théorie d'être cohérente, donc aucun problème.

Nos théories physique actuelles se basent sur des théories mathématiques nécessairement incomplètes, comme l'arithmétique de Peano ou la théorie des ensembles.

- Oui, mais rien n'empêche à une théorie incomplète d'approximer une théorie complète, la physique actuelle utilise des outils mathématiques non calculables comme les limites ou les opérateurs de dérivation, ça ne reste qu'un outil commode, il se peut que les modèles continus approximent en fait une réalité discrète (la mécanique quantique semble le supposer), par exemple on utilise les équations de Navier-Stokes qui ne s'appliquent qu'aux fluides continus or on sait que les fluides sont discrétisé en atomes et molécules (ça reste donc une approximation commode), il faut ajouter que le théorème de Stone–Weierstrass (dont la preuve est constructive) nous dit que toutes fonctions continues sur un intervalle [a,b] peuvent être uniformément approchées par une fonction polynomiale, qui elle est calculable.

Tout existe alors.

- Non, seulement les systèmes formels récursifs, donc complet et cohérent au sens de Gödel, toutes les classes d'équivalence des modèles de systèmes axiomatiques si on veut (la théorie des modèles est la théorie qui répertorie les structures mathématiques, en gros). Ce qui est énorme (et les logiques sont des structures mathématiques à part entière, la logique classique c'est juste la structure mathématique qu'on appelle algèbre de Boole).

Le rasoir d'Occam nous dit de considérer l'hypothèse faisant intervenir le moins d'entité, donc l'hypothèse de l'univers mathématiques n'est pas parcimonieuse.

Tout dépend de ce qu'on défini par entité, ici la seule hypothèse est l'existence d'une réalité extérieure aux humains, d'autant + que l'hypothèse de l'univers mathématiques n'a aucun paramètre libre, rien n'est arbitraire, ce qui implique d'après la complexité de Kolmogorov que le contenu en information du multivers mathématiques (la réalité) est nulle. Les théories sans paramètre libre sont les plus parcimonieuses qu'il soit.

 

Je vais maintenant expliquer pourquoi j'adhère à cette hypothèse :

Premièrement elle répond à la question de Eugène Wigner sur la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature, elle répond également à la question de Hawking sur ce qui insuffle le feu aux équations pour leur fournir un univers à décrire (pas de dualité mystérieuse, car maths=physique), et enfin elle permet de répondre à la question de Leibniz "Pourquoi il y a quelque chose plutôt que rien?".

 

Pour ceux qui veulent lire son article : https://arxiv.org/pdf/0704.0646.pdf

Il a aussi écrit un livre sur le sujet (très bon livre, je le conseille) : https://www.amazon.fr/Notre-univers-mathématique-nature-ultime/dp/2100570366

Une courte vidéo où il explique grossièrement l'idée : https://youtu.be/UKyth_yoJBc

 

 

L'univers existe même avec des anomalies mais les mathématiques non.

La réalité surtout au niveau quantique dépend des instruments de mesure des humains.

De se fait les mathématiques n'explique pas tous car il n'arrive pas a travailler avec des anomalies et n'explique pas pourquoi l’infiniment petit dépend des instrument de mesure des humains. 

à l’instant, Extrazlove a dit :

L'univers existe même avec des anomalies mais les mathématiques non.

La réalité surtout au niveau quantique dépend des instruments de mesure des humains.

De se fait les mathématiques n'explique pas tous car il n'arrive pas a travailler avec des anomalies et n'explique pas pourquoi l’infiniment petit dépend des instrument de mesure des humains. 

Non sens.

il y a 25 minutes, Kahler a dit :

Non sens.

Le fait que l'univers comporte des anomalies genre bigbang trou noir et bug donne automatiquement un univers non mathématique car aucune théorie mathématique  ne peux comporter une anomalie et fonctionner correctement. 

il y a 9 minutes, Extrazlove a dit :

Le fait que l'univers comporte des anomalies genre bigbang trou noir et bug donne automatiquement un univers non mathématique car aucune théorie mathématique  ne peux comporter une anomalie et fonctionner correctement. 

Ben voyons, le relativité générale est la seule théorie physique existante, c'est bien connu

il y a 46 minutes, Kahler a dit :

Ben voyons, le relativité générale est la seule théorie physique existante, c'est bien connu

Il y a deux théories(la relativité et le quantique) qui explique le comportement de la matière dans l'univers et les deux quand ils tombent sur anomalie genre bigbang ou trou noir ou un bug ils se cassent les dents et n'arrivent pas a les expliquer. 

il y a une heure, Extrazlove a dit :

Il y a deux théories(la relativité et le quantique) qui explique le comportement de la matière dans l'univers et les deux quand ils tombent sur anomalie genre bigbang ou trou noir ou un bug ils se cassent les dents et n'arrivent pas a les expliquer. 

 

Ça c'est la relativité générale, le modèle standard de la physique des particules n'inclut pas la gravitation.

Une théorie unifiée est nécessaire pour expliquer les phénomènes à l'oeuvre durant le big-bang et au centre des trous noirs, c'est pas une incohérence mathématiques, en fait l'infini pose pas trop de problèmes en maths, c'est surtout au niveau physique que ça coince.

Aucune incohérence donc, en fait la seule incohérence se situe entre le formalisme de la relativité générale et de la théorie quantique.

Le 04/11/2019 à 13:11, zenalpha a dit :

Je passe les similitudes avec l'utilisation des topoi de Grothendieck puisqu'etant une large généralisation de tous ces domaines, Connes y a retrouvé des correspondances théoriques.

Peut-être que temps est venu de présenter que, pour Connes, non seulement "le passé bouge encore" dans une véritable relation au présent est une option de l'interprétation de la mécanique quantique qu'il va privilégier...

Non seulement la calculabilité est limitée aux objets mathématiques "les plus simples".... toutes les vérités mathématiques étant indecidables passé un certain niveau de complexité....

Mais c'est même cette notion de vérité qui est mise à défaut par l'apport du travail de Grothendieck...

Cet échange est un échange dont aucune seconde ne mériterait d'être occulté 

Et on touche ici un très haut niveau d'échange qui pourtant touche a l'extra terrestre appréhendé sans une grande préparation de réflexion...

Allez, jeudi ou vendredi, je me jette dans MA conception personnelle de l'espace temps et de la réalité mathématiques 

Le zen a l'avantage sur le mathématicien et le physicien, mais aussi sur le linguiste comme le psychanalyste

N'étant contraint spirituellement par aucun système...aucun système ne le contraint alors que chacun est respecté 

Tous les révolutionnaires ont amené à chambouler un cadre par le formalisme d'un autre

Je n'ai pas cette classe.

Mais pointer quelques principes originaux sous jacents hors système a au moins l'avantage de sortir de tout cadre de refutabilite

Ce sera donc ma grande vérité suspendue dans l'espace des possibles.

Le 06/11/2019 à 08:11, zenalpha a dit :

Allez, jeudi ou vendredi, je me jette dans MA conception personnelle de l'espace temps et de la réalité mathématiques 

Le zen a l'avantage sur le mathématicien et le physicien, mais aussi sur le linguiste comme le psychanalyste

N'étant contraint spirituellement par aucun système...aucun système ne le contraint alors que chacun est respecté 

Tous les révolutionnaires ont amené à chambouler un cadre par le formalisme d'un autre

Je n'ai pas cette classe.

Mais pointer quelques principes originaux sous jacents hors système a au moins l'avantage de sortir de tout cadre de refutabilite

Ce sera donc ma grande vérité suspendue dans l'espace des possibles.

Je pense que nous serons nombreux à venir te lire. 

Le 04/11/2019 à 17:22, Kahler a dit :

Ça c'est la relativité générale, le modèle standard de la physique des particules n'inclut pas la gravitation.

Une théorie unifiée est nécessaire pour expliquer les phénomènes à l'oeuvre durant le big-bang et au centre des trous noirs, c'est pas une incohérence mathématiques, en fait l'infini pose pas trop de problèmes en maths, c'est surtout au niveau physique que ça coince.

Aucune incohérence donc, en fait la seule incohérence se situe entre le formalisme de la relativité générale et de la théorie quantique.

Je vous lis avec un immense respect tant vous êtes compétent et indulgente. Merci à nouveau pour cela

la théorie des cordes et les nombreuses recherches pourront elles aboutir à cette fameuse «  unification des forces » ? 

je suis un modeste biologiste et je voulais être prof de math en terminal ..... la vie m’a conduite ailleurs ...

Tout cela pour dire, vous dire, vous demander de poursuivre avec @zenalpha vos échanges avec svp  un soucie de vulgarisation, simplification, au Max de vos possibilités.    
Gros bisou et super merci par avance 

@zenalpha si tu veux en savoir + sur le computationnalisme dont je parlais pour expliquer la conscience (à 7:55 il explique pourquoi les maths constructives sont les seules maths qui fassent sens, une histoire de calculabilité encore une fois) :