La magie des fractales

Citation

Une fractale, c'est quoi ?

Le mot "fractale" vient du latin "fractus" qui signifie "brisé". En effet, une fractale est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, on peut retrouver toute la figure, on dit qu’elle est auto similaire. Même si un certain nombre de choses était déjà connu, on attribue la découverte des fractales à un polytechnicien français, Benoît Mandelbrot (1924 ; 2010).

Cliquez sur les images pour les agrandir :

     

https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/detentes/les-fractales

https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/mathematiques-fractale-7969/

Quelle beauté, j'aime beaucoup les fractales !

Quelles fractales connaissez-vous ? En avez-vous déjà créé avec des logiciels dédiés ?

Ça m'est arrivé d'en programmer quelques-unes, comme celle ci-dessous, obtenue par la méthode de Newton. C'est un algorithme qui permet de résoudre des équations polynomiales, z^8 = 1 en l'occurrence.

il y a 26 minutes, konvicted a dit :

Ça m'est arrivé d'en programmer quelques-unes, comme celle ci-dessous, obtenue par la méthode de Newton. C'est un algorithme qui permet de résoudre des équations polynomiales, z^8 = 1 en l'occurrence.

Avec quel logiciel l'as-tu programmée ? C'est magnifique !

il y a 2 minutes, Niou a dit :

Avec quel logiciel l'as-tu programmée ? C'est magnifique !

Comment ça, quel logiciel ? Je l'ai codée moi-même avec mes petites mimines (en Java en l'occurrence mais le langage n'a pas grande importance).

à l’instant, konvicted a dit :

Comment ça, quel logiciel ? Je l'ai codée moi-même avec mes petites mimines (en Java en l'occurrence mais le langage n'a pas grande importance).

Tu as codé tout seul un logiciel pour faire des fractales ?

Encore plus belles quand elles sont en 3D.

Ma première fractale a mis 24 heures pour être dessinée sur un TO7.

à l’instant, Dan229 a dit :

sur un TO7.

C'est quoi ? :d

C'est magnifique les fractales 3D :

il y a 4 minutes, Niou a dit :

Tu as codé tout seul un logiciel pour faire des fractales ?

J'ai codé tout seul un truc qui génère des images telles que celle que j'ai postée, oui, mais ça n'a rien de bien compliqué.

Et si notre univers était une immense fractale ?

Il y a 1 heure, Niou a dit :

C'est quoi ? :d

 

Un ordinateur antédiluvien.

jamais entendu parler ... 

https://fr.wikipedia.org/wiki/Thomson_TO7

Attention, l'image postée par @konvicted n'est pas une fractale au sens strict du terme et je pense qu'il ne me contredira pas. D'ailleurs qu'elle ne soit pas fractale, n'enlève rien à son coté esthétique. Ici, ce qui frappe c'est l'emploi de nombreuses symétries, tant dans les formes que dans les couleurs, et tout naturellement notre esprit réagi favorablement quand il constate la présence de symétries dans un objet qu'il examine. C'est cette faculté du vivant qui éveille l'intérêt du prédateur en chasse envers la cible qu'il convoite. Donc rien d' artistique là dedans, pas plus d' ailleurs que dans les fractales et je pense encore qu'aucun artiste ne viendra me contredit. On s' émerveille, c'est vrai, de voir que d'une loi très simple puisse jaillir un résultat élégant. Et cet émerveillement vient surtout du fait que même la connaissance parfaite que l'on puisse avoir sur la loi considérée ne permet jamais de prévoir quel sera le résultat final.

Pour tracer, ne serait-ce qu'un seul pixel dans ce qui deviendra une image, il faut des centaines ou des milliers d' itérations et aucun esprit ne peut présager du résultat quand l'image possédera les quelques dizaines de milliers de pixels qui vont permettre de l' avoir sous les yeux. Ajoutez à cela que le programmeur défini lui-même la limite au delà ( ou en deçà ) de laquelle il va interrompre le calcul pour afficher le pixel suivant. A cet liberté qu'il a, on peut ajouter aussi le choix de la couleur qu' aura le pixel considéré, laquelle couleur peut dépendre (par exemple) soit des coordonnée de ce pixel, soit de la couleur du plus proche pixel déjà tracé. Bref, les variations sont infinies.

Avec un script Java, un python, un C ou un Basic standard on programme un générateur de fractales très facilement. Quelques lignes de code suffisent et on constate que le résultat n'est pas plus esthétique quand la loi de départ utilisée est compliquée que quand elle est ridiculement simple.

il y a 3 minutes, azad2B a dit :

Attention, l'image postée par @konvicted n'est pas une fractale au sens strict du terme et je pense qu'il ne me contredira pas. D'ailleurs qu'elle ne soit pas fractale, n'enlève rien à son coté esthétique. Ici, ce qui frappe c'est l'emploi de nombreuses symétries, tant dans les formes que dans les couleurs, et tout naturellement notre esprit réagi favorablement quand il constate la présence de symétries dans un objet qu'il examine.

Je n'ai pas très bien compris pourquoi son image n'est pas une fractale ?

Son image semble coïncider avec la définition d'une fractale donnée en début du sujet.

Moi, je pense que ce n'est pas une fractale. Les répétitions internes ou externes à l'infini semblent absentes.

il y a 24 minutes, azad2B a dit :

Attention, l'image postée par @konvicted n'est pas une fractale au sens strict du terme et je pense qu'il ne me contredira pas.

Non, pas au sens strict, effectivement. La figure entière ne se répète pas, seules les frontières sont véritablement fractales. Ce n'est d'ailleurs pas forcément flagrant sur cette seule image de basse résolution. Ça devient évident dans cette vidéo (pour l'équation z^5 = 1) :

@Niou

Attention ! J'ai écris pas une fractale au "sens propre". Ici, on utilise, et on abuse de la symétrie, Il y a un effet kaléidoscope qui est recherché. Pas loin de 5 axes de symétries, cela est suffisant pour comprendre que l'on a symétrisé une souche effectivement fractale mais qu'ensuite la volonté de l' auteur s' est imposée. Le choix des couleurs n'est en rien du à une émanation fractale naturelles. On dit toujours que si l'on prend une portion d'une image fractale dans sa première génération on la retrouve dans la seconde, puis dans celles qui suivent. Or ce n'est pas vrai ! La sonde génération a des différences avec la première et de même la n-ième + 1 après la n-ième. Ces différences sont subtiles mais après des dizaines de génération on peut les remarquer. Ici, nous n'avons que ce qui ressemble à trois générations. Je reviens sur le mot kaléidoscope que j'ai utilisé : si on lui met une image fractale, c'est à peu près le résultat qu'il donnerait.

Il y a 14 heures, azad2B a dit :

On dit toujours que si l'on prend une portion d'une image fractale dans sa première génération on la retrouve dans la seconde, puis dans celles qui suivent.

Ce passage-là, je n'ai pas très bien compris ?

@konvicted Je remarque que si je zoom à un endroit aléatoire sur ton dessin, je ne retrouve pas la fractale entièrement (par exemple dans les zones de vide). C'est ce qui explique que ce n'est pas une fractale  ?

Il y a 2 heures, Niou a dit :

Je remarque que si je zoom à un endroit aléatoire sur ton dessin, je ne retrouve pas la fractale entièrement (par exemple dans les zones de vide). C'est ce qui explique que ce n'est pas une fractale  ?

Hum.... il semblerait qu' il y a quelques lacunes dans tes connaissances en matière d' informatique. En zoomant sur une image quelconque, tu ne fais rien d' autre qu' utiliser une loupe au grossissement de plus en plus grand. Si l'image est à très haute résolution tu vas effectivement pouvoir découvrir des détails de plus en plus petits, mais la limite reste toujours la même : le pixel !

L' effet "fractal" n' apparaitra qui si tu zoomes avec l'aide du générateur de fractales qui a servi à créer l'image en question. On trouve des tas de générateurs gratuits de fractales sur le web, les plus évolués permettent d' étudier les modèles les plus célèbres en te permettant de choisir à ton gré les conditions initiales de départ et ainsi d' obtenir des variations infinies, ou presque. Cela va t 'amuser quelque temps mais tu vas vite t'en lasser. Et ce d'autant plus qu' entre l'instant où tu cliques sur le bouton "GO ou Start" du programme et le moment où l'image apparait comme terminée, il peut s' écouler le temps de se faire cuire un boeuf carottes ! Voire une nuit ou deux.

Partant de l'idée toute bête qu'on n'est jamais si bien servi que par soi-même, le mieux est de te lancer dans la programmation et créer ton propre générateur. C'est beaucoup plus simple qu'il n'y paraît. Un générateur très spartiate peut très bien n' avoir qu'une trentaine de lignes de programme. Après, tu l'améliore en ajoutant des variantes, en soignant l' interface, et surtout en optimisant la vitesse des calculs. Ca c'est passionnant.

Tu vas commencer peut-être avec du Python ou du Java Script, ou du Basic et les limites de ces langages vont vite apparaître. Alors, tu vas oser le C ... d'abord en mode console et puis en mode "graphique" et un beau matin tu vas te réveiller "programmeuse" pour de vrai. Mais avant ce matin lumineux tu auras sans doute vu passer une ou deux années bissextiles    .

Il y a 6 heures, Niou a dit :

 

@konvicted Je remarque que si je zoom à un endroit aléatoire sur ton dessin, je ne retrouve pas la fractale entièrement (par exemple dans les zones de vide). C'est ce qui explique que ce n'est pas une fractale  ?

Il y a des zones où il n'y a pas grand-chose à voir, où on pourrait zoomer indéfiniment et ne voir qu'une couleur, ce qui ne serait effectivement pas le cas s'il s'agissait d'une figure fractale stricto sensu. La fractale de Newton n'est en fait pas la figure entière mais l'ensemble des points qui sont à la frontière entre deux couleurs différentes.