Les nombres complexes

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

@zenalpha

Si vous doutiez encore de la réincarnation féminine de verkiev, il suffit de le lire ci-dessus !

A+

Oui verkiev et satin forment une entité complexe où aucun n'est réel mais où tout est imaginaire.

Il y a une forme d'exhibitionnisme qui nourrit un complexe de persécution analysé comme la preuve de sa supériorité.

La démonstration par l'absurde est au sens propre lorsqu'il / elle en fait une.

Mais être critiqué est son onanisme solitaire qui le rapproche de l'absolue (déesse ou connerie selon les interprétations...)

Il y a 7 heures, PetiteNeige a dit :

Concernant les nombres complexes, ils ont été "imaginés" afin de résoudre des équations.

Pourrait-on généraliser ce type de démarche à n'importe quel problème mathématique ?

Cela dépend de la nature du problème étudié.

Les nombres complexes se révèlent utiles lorsqu'interviennent des fonctions sinusoïdales, notamment sous la forme exp(iωt) = cos(ωt) + i.sin(ωt) ; dans le plan complexe, ils permettent la factorisation de la norme du vecteur (OM):

OM² = x² + y² = (x + iy)(x - iy) = zz .

Dans un espace euclidien à 4 dimensions, tout point (M) de coordonnées (w, x, y, z) peut être associé au quaternion q = w + ix + jy + kz ,

et la norme du vecteur (OM) est donnée par une expression analogue:

OM² = w² + x² + y² + z² = (w + ix + jy + kz)(w - ix - jy - kz) = qq ;

les règles de calcul sont ici:

i² = j² = k² = -1 ; ij = -ji = k ; jk = -kj = i ; ki = -ik = j  (vous pouvez vérifier le résultat).

Dans l'énoncé de l'exercice 3 il s'agit d'un produit.

Il me semble bien que vos raisonnements soient faux.

Pour la premiére partie, a savoir demontrer que la proposition est vraie au rang 1 , c'est ok.

Ensuite il faut démontrer que si elle est vraie au rang n cela implique qu'elle est vraie au rang n+1

Au rang n+1 on a le produit au rang n  multiplié par  ( 1+cos(2x/3^(n+1)) )  qui doit etre égal a  sin(x)/sin(x/3^(n+1))

  on a  a démontrer que Q(n+1)= P(n+1) soit sin(x)/sin(x/3^n)  *  ( 1+cos( 2x/3^(n+1) )) = sin(x)/sin(x/3^(n+1))

Soit encore 1+cos (2x/3^(n+1)) = sin(x/3^n )/sin(x/3^(n+1))

En posant X=x/3^n :   1+ cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3)

Or cela a deja été demontré au rang 1  donc CQFD

il y a 19 minutes, hell-spawn a dit :

Dans l'énoncé de l'exercice 3 il s'agit d'un produit.

Il me semble bien que vos raisonnements soient faux.

Pour la premiére partie, a savoir demontrer que la proposition est vraie au rang 1 , c'est ok.

Ensuite il faut démontrer que si elle est vraie au rang n cela implique qu'elle est vraie au rang n+1

Au rang n+1 on a le produit au rang n  multiplié par  ( 1+cos(2x/3^(n+1)) )  qui doit etre égal a  sin(x)/sin(x/3^(n+1))

  on a  a démontrer que Q(n+1)= P(n+1) soit sin(x)/sin(x/3^n)  *  ( 1+cos( 2x/3^(n+1) )) = sin(x)/sin(x/3^(n+1))

Soit encore 1+cos (2x/3^(n+1)) = sin(x/3^n )/sin(x/3^(n+1))

En posant X=x/3^n :   1+ cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3)

Or cela a deja été demontré au rang 1  donc CQFD

Ce que tu proposes est précisément ce que j'avais fait sur mon brouillon. Mais je trouve la méthode de faire les rapports des P(n) et des Q(n) plus élégante et plus directe. Je ne vois pas ce que tu trouves de faux dans la démonstration de @Hérisson_, il a très bien compris que c'était un produit.

C'est à la dernière ligne que je suis allé très vite, estimant la fin du raisonnement évidente; et c'est pourquoi j'ai indiqué la nécessité d'une mise en forme.

J'ai établi - c'était le plus difficile, mais s'apparentait à la même formule - les relations:

a) P1 = Q1 (relation initiale) ;

b) P(n+1)/Q(n+1) = Pn/Qn , de sorte que l'égalité Pn = Qn implique P(n+1) = Q(n+1) : il y a bien transmission de la propriété d'un rang quelconque au rang suivant.

Donc l'égalité cherchée étant vérifiée pour (n=1), elle l'est encore à tous les rangs situés plus loin (n>1).

Cela devrait satisfaire tout le monde :-)

Gauss va compléter les recherches d’Argand. Pour lui la représentation géométrique en général devient un instrument de recherche privilégié car elle permet de visualiser géométriquement les difficultés que présente un problème algébrique, elle offre un support à l’intuition. En revanche la géométrie n’est plus qu’un support au raisonnement elle n’est plus le garant de l’existence des entités algébriques. « Cette manière nouvelle d’envisager le rapport entre géométrie et l’algèbre s’inscrit dans une conception qui ira en se précisant à la fin du XIX siècle et qui deviendra naturelle au XX siècle. Presqu’invariablement le remplacement du langage algébrique par le langage géométrique apporte des simplifications considérables et fait apparaître des propriétés insoupçonnées aux entités algébriques" [Dominique Flament, histoire des nombres complexes ; CNRS ; histoire des sciences, chez CNRS édition, 2003]

Bon j'ai posé un problème dont la réponse n'est pas donnée sur internet. Je constate que personne, dès lors que la réponse ne peut pas être pompée sur un site quelconque, n'est capable de résoudre le problème  que j'ai posé. Comme quoi il n'y a que des mythos sur ce forum.

Je donnerai la réponse dans un prochain courrier.

Le 27/1/2019 à 17:05, satinvelours a dit :

Tiens un petit problème simple :

En se plaçant dans le plan complexe résoudre l'exo suivant :

Soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BC, B'CB, C'DC et D'AD, Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

Bien sûr que personne ne peut répondre. Et pour cause : je dénie à qui que ce soit la capacité de "construire" la figure proposée, à savoir, quatre triangles isocèles rectangles en A',B',C' et D' et répondants à la question posée. 

A moins qu' Allio ne nous en donne une représentation graphique satisfaisante et qu'il aura été dénicher dans un quelconque manuscrit de la Mer Morte, à défaut de l' avoir trouvé sur Internet.

Rappel, le problème posé est le suivant : soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BA, B'CB, C'DC et D'AD. Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

Le 27/01/2019 à 21:34, hell-spawn a dit :

Dans l'énoncé de l'exercice 3 il s'agit d'un produit.

Il me semble bien que vos raisonnements soient faux.

Pour la premiére partie, a savoir demontrer que la proposition est vraie au rang 1 , c'est ok.

Ensuite il faut démontrer que si elle est vraie au rang n cela implique qu'elle est vraie au rang n+1

Au rang n+1 on a le produit au rang n  multiplié par  ( 1+cos(2x/3^(n+1)) )  qui doit etre égal a  sin(x)/sin(x/3^(n+1))

  on a  a démontrer que Q(n+1)= P(n+1) soit sin(x)/sin(x/3^n)  *  ( 1+cos( 2x/3^(n+1) )) = sin(x)/sin(x/3^(n+1))

Soit encore 1+cos (2x/3^(n+1)) = sin(x/3^n )/sin(x/3^(n+1))

En posant X=x/3^n :   1+ cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3)

Or cela a deja été demontré au rang 1  donc CQFD

 

 

 

 

 

 

 

Tout ce que vous écrivez est vrai. Sauf à la fin. Vous posez X = x / 3^n, ce qui fait que l’expression que vous écrivez juste avant devient :

1 + cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3)

Ce qui est encore vrai. Mais vous dites ensuite : cela a déjà été démontré au rang 1 !!!. FAUX, archi FAUX !!!

Cela a été démontré pour petit x mais pas pour X = x/3^n.

Vos confondez x et X !!!

Vous êtes choux, de vrais bébés. 

En plus Quasi Modo renchérit !!! De vrais bébés je vous dis !!!

Vous me faites rire les petits. Ne vous présentez pas au bac cette année les petits, vous n’êtes vraiment pas au point, ah ! ah ! ah !!!

il y a 45 minutes, satinvelours a dit :

Rappel, le problème posé est le suivant : soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BA, B'CB, C'DC et D'AD. Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

 

Tout ce que vous écrivez est vrai. Sauf à la fin. Vous posez X = x / 3^n, ce qui fait que l’expression que vous écrivez juste avant devient :

1 + cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3)

Ce qui est encore vrai. Mais vous dites ensuite : cela a déjà été démontré au rang 1 !!!. FAUX, archi FAUX !!!

Cela a été démontré pour petit x mais pas pour X = x/3^n.

Vos confondez x et X !!!

Vous êtes choux, de vrais bébés. 

En plus Quasi Modo renchérit !!! De vrais bébés je vous dis !!!

Vous me faites rire les petits. Ne vous présentez pas au bac cette année les petits, vous n’êtes vraiment pas au point, ah ! ah ! ah !!!

 

Si c'est valable pour tout x, alors c'est valable pour x/3^n

Il me semble bien que vous enfoncez dans l'erreur, qui plus est de maniére prétentieuse et condescendante.

il y a 48 minutes, hell-spawn a dit :

Si c'est valable pour tout x, alors c'est valable pour x/3^n

Il me semble bien que vous enfoncez dans l'erreur, qui plus est de maniére prétentieuse et condescendante.

Mais il ne s'agit pas de x ! on ne travaille pas sur x, on travaille sur n !  On a prouvé que la proposition était vraie pour n = 1 (quelle que que soit la valeur de x !). Maintenant il faut prouver qu'elle est vraie pour tout n. Dans le grand X que vous prenez c'est sur n qu'il faut porter l'attention, pas sur x ! Vous ne connaissez rien aux mathématiques et vous la ramenez, c'est ça qui est énervant. Vous pourriez au moins faire un effort et prendre un livre de maths de terminales S. Vous verriez comment on mène un raisonnement par récurrence.

il y a 7 minutes, satinvelours a dit :

Mais il ne s'agit pas de x ! on ne travaille pas sur x, on travaille sur n !  On a prouvé que la proposition était vraie pour n = 1 (quelle que que soit la valeur de x !). Maintenant il faut prouver qu'elle est vraie pour tout n. Dans le grand X que vous prenez c'est sur n qu'il faut porter l'attention, pas sur x ! Vous ne connaissez rien aux mathématiques et vous la ramenez, c'est ça qui est énervant. Vous pourriez au moins faire un effort et prendre un livre de maths de terminales S. Vous verriez comment on mène un raisonnement par récurrence.

Il y a besoin du raisonnement par récurrence pour établir la véracité du produit, mais pour la simple relation:  1+cos (2x/3^(n+1)) = sin(x/3^n )/sin(x/3^(n+1))    Il n'y a rien qui peut nous empecher de poser X=x/3^n  et établir 1 + cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3) .

Avec qui pensez vous encore faire illusion en vous faisant passer pour un monsieur je sais tout mieux que tout le monde ?

ça relève de la pathologie ce besoin de se faire passer pour un génie en donnant des leçons (foireuses ), et en plus en se créant pour le besoin une double identité masculine-féminine.

Il y a 2 heures, satinvelours a dit :

Rappel, le problème posé est le suivant : soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BA, B'CB, C'DC et D'AD. Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

 

2ème édition. Complètement différente de la première bien entendu. Et comment pourrait-il en être autrement puisque les deux émanent d'un individu qui s' est fourvoyé dans l' aventure des nombres complexes en croyant pauvre vaniteux en ressortir grandi. 

Je vous rappelle sa première définition du problème pour constater les différences.

Soit ABCD un quadrilatère convexe. A l’extérieur on construit quatre triangles rectangles isocèles A'BC, B'CB, C'DC et D'AD, Démontrer que les segments [A'C'] et [B'D'] sont orthogonaux et de même longueur.

Bien, je reconnais que maintenant le problème est devenu aisément soluble et qu'il est à la portée même du jeune crétin (heureusement imaginaire et sensé fréquenter les plus illustres écoles de la cote Est des Etats-Unis ) 

On se demande d' ailleurs pourquoi ce problème est sensé être situé dans un espace complexe, puisque le simple espace Euclidien à deux dimensions lui sied parfaitement.

Il y a 3 heures, hell-spawn a dit :

Il y a besoin du raisonnement par récurrence pour établir la véracité du produit, mais pour la simple relation:  1+cos (2x/3^(n+1)) = sin(x/3^n )/sin(x/3^(n+1))    Il n'y a rien qui peut nous empecher de poser X=x/3^n  et établir 1 + cos(2X/3) = sin(X)/sin(X/3) .

Avec qui pensez vous encore faire illusion en vous faisant passer pour un monsieur je sais tout mieux que tout le monde ?

ça relève de la pathologie ce besoin de se faire passer pour un génie en donnant des leçons (foireuses ), et en plus en se créant pour le besoin une double identité masculine-féminine.

 

 

Dès lors que nous divisons ou multiplions une valeur en relation avec une ligne trigonométrique nous pouvons tomber sur des valeurs qui invalident nos raisonnements. Poser X = x/3^n n’est pas sans incidence. 

Si après cette opération nous avons x/3^(n+1) = pi alors sin x/3^(n+1) = sin pi = 0 et l’expression sin x/3^n / sin (x/3^(n+1) n’a pas de sens [0/0]. Si nous gardons les expressions x/3^n et x/3^(n+1) dans nos raisonnements alors nous ne tombons pas dans le piège et nous faisons les restrictions qui s’imposent.

Ici il faut que x/3^n (soit votre X) soit différent de k x (pi). Il faut donc que x soit différent de 3^n x k x pi et ce quelque soit n strictement positif. C’est à dire que x ne doit être égal à aucun multiple de 3 x (pi) ou de – 3 x (pi).

En fait il aurait fallu dire dès le début de l’étude que x/3^n devait être différent de k x (pi) et le faire au moins pour l’étude en n =1. 

Votre erreur, manipuler des expressions sous gouverne d’une ligne trigonométrique sans vous méfier me permet de voir que j’ai omis de faire moi-même les restrictions qui s’imposent au début de l’étude.

On voit aussi que ce problème ne peut pas être résolu, car la proposition à démontrer n’est pas vraie quelque soit x appartenant à R.

Il y a 8 heures, satinvelours a dit :

Dès lors que nous divisons ou multiplions une valeur en relation avec une ligne trigonométrique nous pouvons tomber sur des valeurs qui invalident nos raisonnements. Poser X = x/3^n n’est pas sans incidence. 

Si après cette opération nous avons x/3^(n+1) = pi alors sin x/3^(n+1) = sin pi = 0 et l’expression sin x/3^n / sin (x/3^(n+1) n’a pas de sens [0/0]. Si nous gardons les expressions x/3^n et x/3^(n+1) dans nos raisonnements alors nous ne tombons pas dans le piège et nous faisons les restrictions qui s’imposent.

Ici il faut que x/3^n (soit votre X) soit différent de k x (pi). Il faut donc que x soit différent de 3^n x k x pi et ce quelque soit n strictement positif. C’est à dire que x ne doit être égal à aucun multiple de 3 x (pi) ou de – 3 x (pi).

En fait il aurait fallu dire dès le début de l’étude que x/3^n devait être différent de k x (pi) et le faire au moins pour l’étude en n =1. 

Votre erreur, manipuler des expressions sous gouverne d’une ligne trigonométrique sans vous méfier me permet de voir que j’ai omis de faire moi-même les restrictions qui s’imposent au début de l’étude.

On voit aussi que ce problème ne peut pas être résolu, car la proposition à démontrer n’est pas vraie quelque soit x appartenant à R.

 

Ah cette fois votre post est plus cordial, vous avez sans doute finalement aperçu que c'etait vous qui faisiez les plus grandes erreurs de raisonnements en critiquant les autres.

Effectivement, il fallait poser des le départ le domaine de restriction, a savoir que x différent de 3kpi.

Mais il n'empeche que l'on peut toujours faire le changement de variable, ayant ainsi fait.

Il y a 1 heure, hell-spawn a dit :

Ah cette fois votre post est plus cordial, vous avez sans doute finalement aperçu que c'etait vous qui faisiez les plus grandes erreurs de raisonnements en critiquant les autres.

 

Effectivement, il fallait poser des le départ le domaine de restriction, a savoir que x différent de 3kpi.

Mais il n'empeche que l'on peut toujours faire le changement de variable, ayant ainsi fait.

Votre changement de variable est un procédé tellement simple qu'il a alerté mon attention surtout quand il s'agit de fonctions circulaires où les erreurs sont vite commises.

Il y a une deuxième lacune dans les raisonnements. Vous pouvez changer de variable parce que vous vous débarrassez de sin x quand vous travaillez sur le rapport Q(n+1)/ Q(n). Or si sin x = 0 il devient impossible de se débarrasser ainsi de sin x. Et sin x = 0 lorsque x = k x (pi), k appartenant à Z.

Il faut donc séparer l'étude ainsi :

1)  x différent de k x (pi). Alors on peut poser votre expression simplifiée résultant du rapport Q(n+1)/ Q(n) et changer de variable

2) x = k x (pi)

Dans ce cas Q(n) = 0 quelque soit n.

Qu'en est -il alors de P(n) ? Nous voyons que P(1) = 0 car 1 +2cos 2pi/3 = 0. D'où P(n) = 0 quelque soit n. La relation est vérifiée.

En prépa l'enseignant se serait excusé de l'énoncé incomplet, en revanche il aurait assailli d'ironie tous ceux qui n'auraient pas étudié le cas sin x = 0. Les prépas sont impitoyables.

Citation

En prépa l'enseignant se serait excusé de l'énoncé incomplet, en revanche il aurait assailli d'ironie tous ceux qui n'auraient pas étudié le cas sin x = 0. Les prépas sont impitoyables.

Tu n'en sais rien parce que tu jamais été en classe préparatoire, et tu n'a jamais enseigné: tu nous livres en permanence une caricature grotesque de la relation professeur-élève, et tu aurais sinon une toute autre attitude envers les participants.

Ton comportement est celui d'un(e) aigri(e) et d'un(e) raté(e); il suffit d'observer le rapport pathologique que tu entretiens au savoir: toute résolution de problème est pour toi prétexte à domination, condescendance, reproches et accusations de toutes sortes.

Aucun intervenant sain d'esprit ne consent à s'engager dans une relation perverse. Alors va te faire foutre.

Les sujets en cours peuvent être correctement formulés et débattus entre gens normaux sur un autre forum du même secteur: et que l'histrion cité plus haut n'y rapplique pas, car je demanderai immédiatement son exclusion.

Libre à lui (ou elle) de poursuivre ici ses ratiocinations solitaires.

Il y a 4 heures, hell-spawn a dit :

Effectivement, il fallait poser des le départ le domaine de restriction, a savoir que x différent de 3kpi.

Mais il n'empeche que l'on peut toujours faire le changement de variable, ayant ainsi fait.

Tout à fait, mais cette restriction était de toute façon implicite dans l'énoncé puisqu'on a un sin(x/3^n) au dénominateur ! Bref, je ne sais pas pourquoi certains s'entêtent à lui répondre

Il est interessant cet exercice, j'ai essayé de voir si on pouvait donner un développement sous forme de produit de cosinus  de sin(x)/sin(x/5^n) et il s'avére que oui.

Qui  peut le trouver ?