Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Bonjour,

Pour faire un points rapide, nous savons depuis les travaux de Kurt Gödel, non seulement que dans toute théorie récursivement axiomatisable et suffisamment puissante pour exprimer l'arithmétique, la complétude et la cohérence sont incompatibles, mais nous savons également, ce que peu auront compris, qu'il existe une infinité de vérités mathématiques indémontrables! Non seulement elles sont indémontrables mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies.

J'y vois une implication dramatique (si ce n'est un coup de grâce) pour les partisans du nominalisme d'Ockham (ainsi qu'au formalisme mathématique en philosophie des sciences), et en faveur des réalistes dans la querelle des universaux : si il existe bien une infinité de vérités indémontrables, cela montre non seulement que toutes les vérités ne peuvent pas être construites à l'aide de l'application mécanique d'axiomes et de règles d'inférences ou de grammaires, et donc qu'il faudra bien accorder une existence aux vérités en général qui soit indépendante des vérités empiriques particulières.

Pire encore, le seconde théorème d'incomplétude du même Gödel aura mis en évidence que la cohérence (càd l'absence de contradiction interne) des mathématiques fait partie des propositions indécidables. Cela signifie qu'il sera à jamais impossible de prouver que les mathématiques sont exemptes d'incohérences, et donc que toute affirmation scientifique fondée sur des calculs mathématiques est indémontrable en dernière instance. Donc si vous croyez qu'une éclipse aura lieu à telle heure, tel ou tel jour, ce qui s'est toujours vérifié jusqu'à présent, vous ne pourrez pas démontrer que les mathématiques qui auront permis de mettre en évidence la présence d'une eclipse (probablement à l'aide des équations de Newton) sont non contradictoires.

Une implication de tout ça c'est me semble-t-il que le scientisme est un leurre, puisque la validité des résultats dans les disciplines qui utilisent les mathématiques repose sur le présupposé que les mathématiques sont exemptes de contradictions. En effet, si une vérité et son contraire étaient vraies alors tout serait considéré comme démontrable dans ledit système. Il n'y a donc aucune preuve irréfutable (et il n'y en aura jamais), ni que les éclipses se dérouleront bien quand nous les avons anticipées, ni que les avions que nous prenons ne vont pas s'écraser au sol, etc... puisqu'il n'y a et qu'il n'y aura jamais de preuve que les mathématiques sont sans contradictions.

J'ouvre donc ce topic pour faire le points sur les implications philosophiques des théorèmes de Gödel. Je vois d'autres implications mais je ne veux pas faire trop lourd pour un premier message

PS : Au cas où certains seraient largués, je trouve la vidéo de vulgarisation de sciencetonnante plutôt bien faite, même si elle n'aborde pas le sujet à fond et simplifie beaucoup.

Heureusement que tu es là pour animer la section philo, ce serait calme sinon !

Je ne suis pas un spécialiste en mathématique, mais je vais essayer de dire ce que je pense et ce que je comprends à ce sujet.

1er point, et pas forcément dans un ordre hiérarchique, les mathématiques sont une abstraction de la réalité, une épuration/idéalisation de celle-ci, où l'on ne garde que certaines propriétés remarquables, et cela se fait au détriment de l'exhaustivité du monde réel, et donc de la précision et de la justesse, par exemple il ne peut exister un ensemble physique qui se contiendrait lui-même, dans le monde pratique ça n'a pas de sens qu'un contenant se contienne lui-même, parce qu'il a une frontière - inévitable - entre le dedans et le dehors, bien matérielle, ceci dit pour faire un parallèle avec la théorie des ensembles afin d'illustrer les limites internes/intrinsèques, dont on finira par retrouver les conséquences plus tard/loin.

2ièmement, l'infini mathématique est là aussi abusif, il faudrait se limiter à un infini potentiel ou de principe et procéder de manière constructive, i.e. non jusqu'au-boutiste en somme, car la plupart du temps les ensembles infinis posent problème et sont mêmes sources de conflits, il y a des infinis " discrets " et d'autres " pleins ", ils ne sont pas de même nature. Personne ne peut exhiber l'ensemble des nombres entiers, et il ne peut il y avoir plus de nombre qu'il y aurait d'atomes ou particules dans l'Univers afin de les représenter, donc d'une façon pragmatique les nombres sont finis, parce que nous n'avons pas les ressources ni matérielle, ni temporelle, pour les montrer tous, car n'oublions pas que ces nombres sont justement le moyen de comptabiliser des éléments, si il n'y a plus d'objet à compter, il devient absurde de vouloir aller plus loin, il n'est donc pas légitime de laisser les infinis sauvages s'exprimer en mathématique, l'extrapolation n'est pas justifiée, et on le voit bien en se rapprochant de l'infiniment petit, une surface ou une ligne a toujours une épaisseur et elle n'est pas aussi lisse que l'on veut, il y a là aussi une limite basse, comme il y en a une haute également, physiquement !   

Ensuite, la mathématique classique utilise la logique avec tiers exclu ou une logique " exclusive ", autrement dit le " ou " exclusif " et non le " ou " inclusif, par exemple pour le paradoxe du menteur, on stipule implicitement qu'il est menteur tout le temps, or si on attribuait le nom de menteur à une personne qui ment occasionnellement, qui a menti au moins une fois, la contradiction s'évanouit parce que cet individu peut dans ce cas être un menteur - occasionnel donc - et dire la vérité si il dit qu'il est un menteur, puisqu'il faut l'entendre non de manière systématique mais comme d'avoir déjà menti, il ne contredit pas ce qu'il est, il n'y a pas antinomie. 

Enfin, le langage mathématique exhorte les mêmes difficultés que le langage ordinaire, mais ce qu'il faut bien retenir c'est que celles-ci ne sont pas transposables directement dans le monde physique, au même titre que nos limitations verbales ne s'appliquent pas nécessairement à la réalité, autrement dit il ne faut pas confondre la représentation ou la " reproduction " du monde avec le monde lui-même, par exemple les défauts qui se trouvent sur une toile de peinture appartiennent en propre au tableau, non forcément à la scène représentée elle-même. D'ailleurs les figures " impossibles " en 2D peuvent être projetées dans la réalité par un jeu de perspective, révélant la tricherie de la représentation bidimensionnelle.

Le monde réel ne souffre d'aucune contradiction, tout simplement parce qu'il Est ! Dit autrement le monde est consistant, ce sont nos outils qui ne le sont pas, parce qu'imparfaits, et lorsqu'on les pousse dans leurs retranchements, ils nous montrent leurs faiblesses, leurs lacunes, leurs limites, leurs défaillances ou les approximations qui ont été faites, mais qui n'appartiennent qu'à eux-mêmes en tant qu'intermédiaires ou abstractions par essence dénaturées ! Pour le dire autrement, l'arithmétique n'existe concrètement nulle part, et donc les théorèmes d'incomplétude ne sont que des " propriétés " sur des concepts abstraits, sans aucun lien tangible avec la réalité qui surpasse à tout point de vue sa grossière copie.

A-t-on jamais vu un menteur être foudroyé/anéanti sur place par contradiction, inconsistance, incohérence ou incomplétude ? Ou une flèche rechigner à atteindre sa cible ? Une roue chercher toutes les décimales de Pi pour se fermer avec elle-même ? Un sac se retrouver à l'intérieur de lui-même ? Fourberies que tout ceci...

Il y a 16 heures, Quasi-Modo a dit :

cela montre non seulement que toutes les vérités ne peuvent pas être construites à l'aide de l'application mécanique d'axiomes et de règles d'inférences ou de grammaires, et donc qu'il faudra bien accorder une existence aux vérités en général qui soit indépendante des vérités empiriques particulières.

Si j'en ai bien compris le sens, le premier théorème d'incomplétude de Gödel montre que certaines affirmations vraies sont indémontrables ; le deuxième, que ces vérités ne le sont pas dans un système d'axiome donné mais qu'elles peuvent l'être avec un "système d'axiomes plus puissant". Si c'est bien cela, ce n'est donc pas tant le fait que certaines vérités sont dans l'absolu indémontrables, mais qu'elles le sont dans un système donné et qu'elles peuvent l'être en allant plus loin.

En cela, je ne vois pas pourquoi il faudrait accorder une telle existence à ces vérités puisqu'elles sont indémontrables dans un système d'axiomes donné mais pas dans tous les systèmes. Sauf à démontrer que certaines vérités sont indémontrables indépendamment du système d'axiomes choisi, il ne me semble pas possible d'affirmer ce que tu affirmes.

Il y a 16 heures, Quasi-Modo a dit :

Pire encore, le seconde théorème d'incomplétude du même Gödel aura mis en évidence que la cohérence (càd l'absence de contradiction interne) des mathématiques fait partie des propositions indécidables. Cela signifie qu'il sera à jamais impossible de prouver que les mathématiques sont exemptes d'incohérences, et donc que toute affirmation scientifique fondée sur des calculs mathématiques est indémontrable en dernière instance. Donc si vous croyez qu'une éclipse aura lieu à telle heure, tel ou tel jour, ce qui s'est toujours vérifié jusqu'à présent, vous ne pourrez pas démontrer que les mathématiques qui auront permis de mettre en évidence la présence d'une eclipse (probablement à l'aide des équations de Newton) sont non contradictoires.

La mathématique ne peut pas se démontrer elle-même, en effet. Est-ce à dire que les systèmes qui en découlent peuvent être contradictoires ? Dans l'absolu, je peux te suivre. Dans les faits, je reste moins convaincu, le théorème mettant à mal surtout sa propre capacité à démontrer son existence. Et si j'ai bien suivi, s'il y a des vérités indémontrables, le système n'est de fait pas incohérent.

Il y a 16 heures, Quasi-Modo a dit :

Une implication de tout ça c'est me semble-t-il que le scientisme est un leurre, puisque la validité des résultats dans les disciplines qui utilisent les mathématiques repose sur le présupposé que les mathématiques sont exemptes de contradictions. En effet, si une vérité et son contraire étaient vraies alors tout serait considéré comme démontrable dans ledit système. Il n'y a donc aucune preuve irréfutable (et il n'y en aura jamais), ni que les éclipses se dérouleront bien quand nous les avons anticipées, ni que les avions que nous prenons ne vont pas s'écraser au sol, etc... puisqu'il n'y a et qu'il n'y aura jamais de preuve que les mathématiques sont sans contradictions.

J'ouvre donc ce topic pour faire le points sur les implications philosophiques des théorèmes de Gödel. Je vois d'autres implications mais je ne veux pas faire trop lourd pour un premier message

De par les réfutations que je crois t'avoir donné, la mathématique peut être certes en partie non démontrable ou incohérente, et donc contradictoire, mais elle ne l'est pas nécessairement. Au contraire, il "suffit" d'avoir une vérité indémontrable pour qu'elle soit, d'après ces théorèmes, cohérentes.

Ce que j'en déduirais de tout ceci, ce n'est non pas la possibilité, non démontrée par ailleurs, que la science peut être contradictoire, ce que prévoit d'ailleurs Gödel ici, mais plutôt que si tu parviens à démontrer qu'une vérité est indémontrable alors tu es certain que ton système est cohérent et donc non contradictoire.

D'autre part, tel que je l'imagine, chaque système axiomatique est indépendant de tous les autres systèmes, et il peut donc être cohérent quand un autre ne l'est pas. En cela, j'ai du mal à cerner pourquoi un système axiomatique incohérent, et donc à certaines vérités contradictoires, impliquerait qu'un autre système axiomatique soit également incohérent alors qu'il est, au contraire, démontré que s'il possède des vérités indémontrables il ne peut pas l'être.

Sauf à démontrer que ces théorèmes sont eux-mêmes incohérents, il me paraît difficile d'en tirer une pareille conclusion. Pour le dire autrement, rien ne te permet d'affirmer que si les axiomes d'Euclide sont incohérents alors les axiomes arithmétiques le sont également, sauf à les faire dépendre les uns des autres. Ma compréhension est peut-être erronée mais voilà ce que j'en comprends :

Soit A, B et C trois systèmes d'axiomes.

Soit C un système d'axiomes prenant pour base ceux de B.

Soit A un système indécidable et B un système incohérent.

Ainsi, comme B est incohérent, C l'est également, mais A ne l'est pas.

En effet, A est un système indépendant qui, si on reste dans ce cadre, reste cohérent. Toutefois, il ne sera jamais complet et, en cela, pour l'extrapoler comme tu le fais, cela voudrait dire non pas que la science peut être contradictoire (tant qu'elle reste dans un système indécidable) mais qu'elle est bornée à une limite qui ne permet pas, de fait, d'aller jusqu'à expliquer l'ensemble du réel.

Il y a 14 heures, deja-utilise a dit :

1er point, et pas forcément dans un ordre hiérarchique, les mathématiques sont une abstraction de la réalité, une épuration/idéalisation de celle-ci, où l'on ne garde que certaines propriétés remarquables, et cela se fait au détriment de l'exhaustivité du monde réel, et donc de la précision et de la justesse, par exemple il ne peut exister un ensemble physique qui se contiendrait lui-même, dans le monde pratique ça n'a pas de sens qu'un contenant se contienne lui-même, parce qu'il a une frontière - inévitable - entre le dedans et le dehors, bien matérielle, ceci dit pour faire un parallèle avec la théorie des ensembles afin d'illustrer les limites internes/intrinsèques, dont on finira par retrouver les conséquences plus tard/loin.

Dans la théorie de ZFC majoritairement plébiscitée de nos jours il n'y a toutefois pas d'ensemble qui se contienne lui-même, donc nous pourrions prendre les choses à l'envers et supposer qu'une contradiction dans la théorie (comme le paradoxe de Russell fût une contradiction dans la théorie des ensembles naïve) implique une absence de rapport à la réalité. En d'autres termes il n'y a pas de différence entre théorie et pratique. Si il y en a une c'est seulement que la théorie est mal conçue

Il y a 14 heures, deja-utilise a dit :

2ièmement, l'infini mathématique est là aussi abusif, il faudrait se limiter à un infini potentiel ou de principe et procéder de manière constructive, i.e. non jusqu'au-boutiste en somme, car la plupart du temps les ensembles infinis posent problème et sont mêmes sources de conflits, il y a des infinis " discrets " et d'autres " pleins ", ils ne sont pas de même nature. Personne ne peut exhiber l'ensemble des nombres entiers, et il ne peut il y avoir plus de nombre qu'il y aurait d'atomes ou particules dans l'Univers afin de les représenter, donc d'une façon pragmatique les nombres sont finis, parce que nous n'avons pas les ressources ni matérielle, ni temporelle, pour les montrer tous, car n'oublions pas que ces nombres sont justement le moyen de comptabiliser des éléments, si il n'y a plus d'objet à compter, il devient absurde de vouloir aller plus loin, il n'est donc pas légitime de laisser les infinis sauvages s'exprimer en mathématique, l'extrapolation n'est pas justifiée, et on le voit bien en se rapprochant de l'infiniment petit, une surface ou une ligne a toujours une épaisseur et elle n'est pas aussi lisse que l'on veut, il y a là aussi une limite basse, comme il y en a une haute également, physiquement !  

Il me semble que c'est déjà le cas, les mathématiciens procèdent de façon constructive et récursive, dans le raisonnement par récurrence qui est le fondement de l'arithmétique. Sans raisonnement par récurrence (qui procède de façon constructive : si P est vrai au rang 1 et que la vérité de P au rang n implique la vérité de P au rang n+1 alors c'est vrai de tout n). Sans ce principe de récurrence les mathématiques seraient réduites à néant (pour le moins l'arithmétique!).

Il y a 14 heures, Jedino a dit :

Si j'en ai bien compris le sens, le premier théorème d'incomplétude de Gödel montre que certaines affirmations vraies sont indémontrables ; le deuxième, que ces vérités ne le sont pas dans un système d'axiome donné mais qu'elles peuvent l'être avec un "système d'axiomes plus puissant". Si c'est bien cela, ce n'est donc pas tant le fait que certaines vérités sont dans l'absolu indémontrables, mais qu'elles le sont dans un système donné et qu'elles peuvent l'être en allant plus loin.

En cela, je ne vois pas pourquoi il faudrait accorder une telle existence à ces vérités puisqu'elles sont indémontrables dans un système d'axiomes donné mais pas dans tous les systèmes. Sauf à démontrer que certaines vérités sont indémontrables indépendamment du système d'axiomes choisi, il ne me semble pas possible d'affirmer ce que tu affirmes.

C'est pire que ce que tu affirmes : non seulement il y a certaines affirmations vraies indémontrables (ou indécidables) mais il y en a une infinité dans chaque système d'axiome! Si bien que si certaines d'entre elles pourraient certes être démontrées dans un système d'axiome plus puissant, il faudrait alors supposer à minima l'existence d'une autre série infinie de vérités indémontrables dans ce nouveau système d'axiomes.

Il y a 14 heures, Jedino a dit :

De par les réfutations que je crois t'avoir donné, la mathématique peut être certes en partie non démontrable ou incohérente, et donc contradictoire, mais elle ne l'est pas nécessairement. Au contraire, il "suffit" d'avoir une vérité indémontrable pour qu'elle soit, d'après ces théorèmes, cohérentes.

Ce que j'en déduirais de tout ceci, ce n'est non pas la possibilité, non démontrée par ailleurs, que la science peut être contradictoire, ce que prévoit d'ailleurs Gödel ici, mais plutôt que si tu parviens à démontrer qu'une vérité est indémontrable alors tu es certain que ton système est cohérent et donc non contradictoire.

Je ne suis pas professeur de mathématiques donc restons humble, mais si ce que tu affirmes était vrai, alors l'indécidabilité démontrée par A + B de l'hypothèse du continu serait la preuve de la cohérence/consistance de l'arithmétique. Or il n'est toujours pas exclu à l'heure actuelle que nous trouvions une contradiction dans les axiomes de Peano, ce que démontre en quelque sorte le second théorème d'incomplétude 

Bonjour.

Citation

C'est pire que ce que tu affirmes : non seulement il y a certaines affirmations vraies indémontrables (ou indécidables) mais il y en a une infinité dans chaque système d'axiome! Si bien que si certaines d'entre elles pourraient certes être démontrées dans un système d'axiome plus puissant, il faudrait alors supposer à minima l'existence d'une autre série infinie de vérités indémontrables dans ce nouveau système d'axiomes.

Je ne savais pas qu'il y avait une infinité de propositions indécidables. Vous pouvez expliquer comment ça a été établi ?

A+

@Jedino : par curiosité, il faut bien voir que la cohérence et la complétude ne sont pas toujours incompatibles entre elles. L'arithmétique de Presburger a été démontrée complète et cohérente, mais cela provient du fait qu'elle n'est pas suffisamment puissante pour que les théorèmes d'incomplétude s'appliquent pleinement.

il y a 26 minutes, Spontzy a dit :

Bonjour.

Je ne savais pas qu'il y avait une infinité de propositions indécidables. Vous pouvez expliquer comment ça a été établi ?

A+

 

Et bien si dans un système d'axiome où les théorèmes d'incomplétude s'applique, vous pouvez trouver une seule proposition indécidable, cela signifie qu'elle peut être vraie ou que son contraire peut être vrai. Donc vous pouvez ajouter cette proposition (ou son contraire) en tant qu'axiome. Et on en déduit d'emblée l'existence d'une autre proposition indécidable liée à ce nouveau système d'axiome. Et vous pourrez à nouveau ajouter cette nouvelle proposition indécidable (ou son contraire) au nouveau système d'axiome. Donc il est possible de rajouter indéfiniment des axiomes portant sur des propositions vraies bien qu'elles soient indécidables.

Il y a 15 heures, Jedino a dit :

D'autre part, tel que je l'imagine, chaque système axiomatique est indépendant de tous les autres systèmes, et il peut donc être cohérent quand un autre ne l'est pas. En cela, j'ai du mal à cerner pourquoi un système axiomatique incohérent, et donc à certaines vérités contradictoires, impliquerait qu'un autre système axiomatique soit également incohérent alors qu'il est, au contraire, démontré que s'il possède des vérités indémontrables il ne peut pas l'être.

A ce propos il est question de voir qu'une incohérence dans l'arithmétique classique de Peano impliquerait que tout résultat obtenu en utilisant cette arithmétique serait tout aussi vrai que son contraire

Sans les nombres on irait pas très loin en sciences même si nous pourrions imaginer qu'une contradiction dans l'arithmétique (à supposer qu'on en trouve une un jour) n'impliquerait pas forcément de problème dans l'arithmétique de Presburger ni dans l'axiomatique des Elements d'euclide par exemple.

Citation

Et bien si dans un système d'axiome où les théorèmes d'incomplétude s'applique, vous pouvez trouver une seule proposition indécidable, cela signifie qu'elle peut être vraie ou que son contraire peut être vrai. Donc vous pouvez ajouter cette proposition (ou son contraire) en tant qu'axiome. Et on en déduit d'emblée l'existence d'une autre proposition indécidable liée à ce nouveau système d'axiome. Et vous pourrez à nouveau ajouter cette nouvelle proposition indécidable (ou son contraire) au nouveau système d'axiome. Donc il est possible de rajouter indéfiniment des axiomes portant sur des propositions vraies bien qu'elles soient indécidables.

OK. Donc dans ce cas, il existe au moins une proposition indécidable par système axiomatique (suffisamment complexe). Pas une infinité.

Enfin peut être que si, je n'en sais rien et je pensais que vous aviez des infos à me donner.

A+

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il y a 43 minutes, Spontzy a dit :

OK. Donc dans ce cas, il existe au moins une proposition indécidable par système axiomatique (suffisamment complexe). Pas une infinité.

Enfin peut être que si, je n'en sais rien et je pensais que vous aviez des infos à me donner.

A+

Désolé dans ce cas, je n'ai pas de scoop je suis comme vous je cherche, je me trompe aussi parfois

En fait je comprends mal comment c'est possible que selon le première théorème d'incomplétude, la cohérence et la complétude soient incompatibles, ce que rappelait sans doute à juste titre @Jedino et comment dans ce cas l'hypothèse du continu (exprimée dans ZFC) peut-être démontrée comme indécidable, car cela impliquerait que ZFC soit cohérente (et donc les axiomes de Peano aussi puisqu'ils sont exprimables dans la théorie ZFC par la méthode de construction de von neumann par exemple).

Or il semble que c'est non démontré à l'heure actuelle. Du coup c'est une bizarrerie qu'il faut que je comprenne : mais l'hypothèse du continu semble une hypothèse non arithmétique, uniquement basée sur la théorie des ensembles.

Citation

En fait je comprends mal comment c'est possible que selon le première théorème d'incomplétude, la cohérence et la complétude soient incompatibles, ce que rappelait sans doute à juste titre @Jedino 

En gros, Godel a démontré qu'il existe des propositions indécidables (ce qui n'est pas grave en soi). Ou alors, que si on veut qu'il n'y ai pas de proposition indécidable, le système devient alors incohérent (ce qui est grave en soi).

Citation

et comment dans ce cas l'hypothèse du continu (exprimée dans ZFC) peut-être démontrée comme indécidable,

Elle est montrée comme indécidable car l'axiome du choix n'est pas une conséquence formelle des autres axiomes de ZF. La négation de l'axiome du choix, non plus. Libre est donc le choix de C ou de non C.

Citation

car cela impliquerait que ZFC soit cohérente (et donc les axiomes de Peano aussi puisqu'ils sont exprimables dans la théorie ZFC par la méthode de construction de von neumann par exemple).

Non. ce que dit Godel c'est que si toutes les propositions sont décidables dans un système, alors le système est nécessairement incohérent.

Mais sur le fond, oui ZFC et ZF-non-C (notation) sont bien réputées cohérentes.

A+

PS : mes réponses valent ce qu'elles valent. Je ne suis pas du domaine.

Il y a 3 heures, Quasi-Modo a dit :

Désolé dans ce cas, je n'ai pas de scoop je suis comme vous je cherche, je me trompe aussi parfois

En fait je comprends mal comment c'est possible que selon le première théorème d'incomplétude, la cohérence et la complétude soient incompatibles, ce que rappelait sans doute à juste titre @Jedino et comment dans ce cas l'hypothèse du continu (exprimée dans ZFC) peut-être démontrée comme indécidable, car cela impliquerait que ZFC soit cohérente (et donc les axiomes de Peano aussi puisqu'ils sont exprimables dans la théorie ZFC par la méthode de construction de von neumann par exemple).

Or il semble que c'est non démontré à l'heure actuelle. Du coup c'est une bizarrerie qu'il faut que je comprenne : mais l'hypothèse du continu semble une hypothèse non arithmétique, uniquement basée sur la théorie des ensembles.

Cohérence et complétude sont incompatibles car le théorème aboutit à deux résultats distincts, l'un impliquant la complétude, l'autre la cohérence. Tu ne peux donc pas avoir les deux en même temps, une seule réponse pouvant être formulée.

Quant à savoir s'il est possible de démontrer qu'un système d'axiomes est complet ou cohérent, j'ai cru comprendre que ce n'est possible qu'en utilisant un autre système, et donc que le système lui-même ne peut pas démontrer sa propre cohérence, ce qui de mémoire correspond au deuxième théorème. Mais ma compréhension des objets dont nous parlons s'arrête là.

Il y a 3 heures, Spontzy a dit :

Non. ce que dit Godel c'est que si toutes les propositions sont décidables dans un système, alors le système est nécessairement incohérent.

Mais sur le fond, oui ZFC et ZF-non-C (notation) sont bien réputées cohérentes.

Tout ce que vous affirmez, toi et @Jedino me paraît effectivement vrai, même si ça ne m'explique pas la bizarrerie dont je parlais

Enfin au détail près de ce que je cite précédemment, c'est à dire que l'indécidabilité de l'hypothèse du continu démontre bien que ZFC n'est pas complète ou encore comme tu le dis, que toutes les propositions ne sont pas décidables dans ZFC. Donc cela permet-t-il d'en déduire que ZFC est cohérente, ce qui me paraît bizarre puisque tout le monde prétend que c'est non démontrable (pour le moins dans ZFC lui-même) et que certains ont même démontré la cohérence de ZFC dans (ZFC + l'axiome des grands cardinaux), ce qui n'aurait aucun intérêt sinon.

Maintenant il y a peut-être une contradiction dans (ZFC + l'axiome des grands cardinaux)

Citation

Enfin au détail près de ce que je cite précédemment, c'est à dire que l'indécidabilité de l'hypothèse du continu démontre bien que ZFC n'est pas complète ou encore comme tu le dis, que toutes les propositions ne sont pas décidables dans ZFC.

Non le théorème d'incomplétude démontre que ZFC n'est pas complète.

Citation

Donc cela permet-t-il d'en déduire que ZFC est cohérente

Non. Le théorème de l'incomplétude ne le dit pas.

A+

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

Non le théorème d'incomplétude démontre que ZFC n'est pas complète.

Le premier théorème d'incomplétude démontre que ZFC (ou n'importe quel système d'axiome récursivement axiomatisable suffisamment puissant pour exprimer l'arithémtique) est incomplète OU incohérente

Maintenant comme ce OU est bien un OU inclusif et pas exclusif, c'est à dire qu'on a nécessairement l'un OU l'autre (mais jamais les deux à la fois) dans un tel système d'axiome, alors comme le disait Jedino, démontrer qu'on a une proposition indémontrable revient à prouver la cohérence.

C'est ça que je trouve bizarre, puisque partout il me semble trouver l'information que les deux : incohérence + incomplétude sont incompatibles pour une même théorie, en vertu de ce premier principe. Alors que partout je trouve l'information que l'hypothèse du continu est indécidable (donc que ZFC est incomplète). Donc que ZFC devrait être démontrée comme cohérente mais là encore on trouve partout l'information qu'elle est non démontrée comme cohérente sauf dans (ZFC + l'axiome des grands carinaux).

Enfin peu importe sinon!

Bonne soirée!

Il y a 8 heures, Quasi-Modo a dit :

Dans la théorie de ZFC majoritairement plébiscitée de nos jours il n'y a toutefois pas d'ensemble qui se contienne lui-même, donc nous pourrions prendre les choses à l'envers et supposer qu'une contradiction dans la théorie (comme le paradoxe de Russell fût une contradiction dans la théorie des ensembles naïve) implique une absence de rapport à la réalité. En d'autres termes il n'y a pas de différence entre théorie et pratique. Si il y en a une c'est seulement que la théorie est mal conçue

Quand j'ai parlé d'ensemble, c'était pour illustrer les limitations des mathématiques, cela n'avait pas trait directement aux théorèmes d'incomplétude ou de complétude, en revanche cela permettait de faire un parallèle avec l'astuce utilisée par Gödel et transposée dans sa codification pour sa démonstration, à savoir qu'il utilise le paradoxe du menteur, dont j'ai également touché un mot, les deux se rejoignent sur l'auto-référencement, d'où mon allusion aux ensembles.

Étant donné que je suis à la fois intuitionniste et constructiviste, je ne peux pas me satisfaire des mathématiques " classiques ", entre autre, du principe de tiers-exclu et de l'usage inconsidéré du raisonnement par l'absurde corrélativement. 

Comment 1/3 pourrait avoir une infinité de décimales en mathématique et en même temps de pouvoir exhiber un objet fini du monde réel qui est le tiers d'un ensemble ? Comment me serait-il possible de donner indéfiniment ( aussi précisément que je le voudrais ) une valeur à Pi de manière purement empirique, sachant que tôt ou tard je buterai sur une apparence fractale/discrète de la matière, à quoi peut bien correspondre les milliards de décimales si je suis incapable d'aller en dessous disons de la distance interatomique de la matière, car tant que je suis - suivre - la matière, je peux mesurer la ligne matérialisée par ses constituants, mais en deçà de cette échelle je suis dans le " vide ", dois-je y aller en ligne droite, avec une courbe et de quelle rayon de courbure ?, et les atomes ne sont pas nécessairement bien positionnés sur une ligne définie théoriquement. L'infini est un mot vide de sens tout simplement ! 

Les mathématiques sont comme un jeu de construction à partir de briques " bien " ( suffisamment pour jouer ) définies, pouvons-nous soutenir que ce jeu même si il s'inspire de la réalité, corresponde à la réalité ? Comme n'importe quel jeu de société n'est pas non plus la réalité. Dans un autre domaine, le sport est-il la vraie vie dans son entièreté, ou qu'un succédané, un ersatz ou un simulacre, bien que prenant racine en elle ? 

Il y a 8 heures, Quasi-Modo a dit :

Il me semble que c'est déjà le cas, les mathématiciens procèdent de façon constructive et récursive, dans le raisonnement par récurrence qui est le fondement de l'arithmétique.

Par exactement: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_(mathématiques)

Il y a 8 heures, Quasi-Modo a dit :

Sans raisonnement par récurrence (qui procède de façon constructive : si P est vrai au rang 1 et que la vérité de P au rang n implique la vérité de P au rang n+1 alors c'est vrai de tout n). Sans ce principe de récurrence les mathématiques seraient réduites à néant (pour le moins l'arithmétique!).

 

Ça me fait plaisir que tu mettes ceci sur le tapis, car j'ai justement des griefs contre le raisonnement par récurrence.

Tout d'abord, il y a le contre-exemple du tas de sable, si je pars d'un tas de sable constitué, le rang 1, puis que j'enlève un grain de sable, j'ai toujours un tas de sable, et ce à partir de n'importe quel grain de sable, de n vers n+1, c'est donc vrai, pourtant on sait bien que cette itération a une limite, au pire quand il ne reste plus qu'un seul grain de sable !

De plus, l'autre jour mon fils avait un exo de math qui réclamait ce principe, il faut pourtant bien avoir à l'esprit, que le raisonnement n'est pas formel ( le principe n'est pas mauvais en soi, c'est dans son application que le bât blesse je trouve ), mais part d'une intuition, d'un pressenti, l'élève pense que la formule qu'il cherche est celle-ci, puis en l'intégrant dans son raisonnement à partir du rang n, il cherche à trouver l'expression au rang n+1 en s'appuyant sur les données de l'exercice, qui doit normalement le reconduire à la formule devinée mais avec l'indice n+1 cette fois, il vient donc deux questions, la première comment s'assurer que la formule extrapolée ne soit pas fausse et donne malgré tout un résultat conforme aux attentes, la seconde, plus sérieuse je trouve, comment peut-on partir d'une formule que l'on pense être la solution, l'incorporée dans les calculs et se féliciter de la retrouver en fin de parcours, n'est-ce pas là utiliser la " réponse " pour prouver la... réponse ?

Par exemple, incomplet, il était parti de l'hypothèse que sa suite devait s'exprimer ainsi Vn = 1/2exp(n), pourtant avant aucun calcul on voit de suite que V(n+1) = 1/2exp( n+1) ? Ce sur quoi il retombe après une page de calculs et de développement ! Et son prof a dit bingo    Pour moi c'est une simple tautologie ? ( je suis un peu fatigué en ce moment, peut-être que je suis à côté de la plaque, ce qui est plus que probable cela dit en passant, mais je pense que d'en discuter cela devrait me permettre de mieux cerner ce problème - de raisonnement par récurrence - qui me turlupine quelque peu, j'attends donc tes remarques... )