Les théorèmes de Gödel et leurs implications

Il y a aussi ce trait de caractère : je n'obéis jamais à un argument d'autorité. Si le monde entier dit "Nous avons tous raison" et que je sens en moi quelque chose qui me dit "non, il y a un problème" alors je traquerai ce problème.

Je cite :

"Ne croyez pas les gens sur parole, aussi autoritaires qu'ils puissent être" [Nullius in verba]

[Néanmoins cette assertion me fait tomber dans une aporie ! car elle est elle-même un argument d'autorité ! La logique est une discipline excitante]

Cela dit revenons à l'axiome de récurrence formulé par Peano (qui n'a d'ailleurs pas formulé l'axiome de récurrence tel que nous l'apprenons aujourd'hui ; c'est d'ailleurs agaçant cette façon de faire passer l'axiome dit de récurrence de Peano pour l'axiome de récurrence; bon je ne reprends pas ici cet axiome dans son libellé originel, je l'ai déjà fait plus haut; cela me fait penser au cinquième postulat d'Euclide qui n'est pas du tout ce qu'on croit ! quand on lit ce cinquième postulat dans son écriture originelle nous voyons qu'il a fallu appliquer tout un raisonnement déductif pour en arriver au libellé usuel ! Bon, passons).

Si nous en revenons à Peano, la récurrence est bien définie par l'initialisation à 0, puis par la constatation (faite comme on veut) que P(n) implique P(n+1) vraie, partant aussi que P(n) est vraie [sinon, je le répète, même si à l'issue d'un raisonnement je trouve P(n+1) vraie sans rien savoir de P(n) je ne rien inférer quant à l'implication elle-même].

Pourtant, même en posant ces conditions, l'axiome reste un axiome, pas un théorème. Pourquoi ? Pourquoi n'est-ce pas un théorème si j'initialise à 0, et si je prouve que P(n) vraie implique P(n+1) vraie ? Je pense là à Quasi-Modo, qui est de toute bonne fois, et qui se dit  : "Mais où est le problème ?". Où est le problème puisque j'ai démontré l'implication quelle que soit la valeur de n ? Et bien justement le problème vient du fait que je fais intervenir les valeurs de n ! Je suis obligé d'ajouter, "quelles que soient les valeurs de n". Mais dès que je parle des valeurs de n, je parle de valeurs définies. Mais alors qu'en est-il de l'infini ? Qu'en est-il de l'infini si je pose que N est infini ?  Quasi Modo pourrait alors se dire : mais alors rien n'est démontrable ! Même le théorème de  Pythagore n'est pas démontrable ! et bien si ! le théorème de Pythagore est démontrable parce que les mesures des côtés n'interviennent jamais dans la démonstration. On ne dit pas quelles que soient les valeurs réelles des côtés (valeurs au sens mesure) on ne dit rien de tel parce que les valeurs n'interviennent jamais ! Tandis que dans la récurrence les valeurs interviennent et du coup intervient l'infini et là nous ne sommes plus dans des valeurs finies.

il y a une heure, Jedino a dit :

Tu ne l'inocules pas vraiment puisque ta démonstration part bien de là et s'appuie dessus. Si cette itération fonctionne pour tout n et son n+1, alors tu sais que cela se fait sans contradiction. S'il n'y a pas de contradiction, c'est donc que ton hypothèse est justement bonne. Sa récurrence pour tout n en est la preuve.

Le raisonnement par récurrence est de l'induction, en effet. Mais une induction que tu fais pour tout n, donc pour tous les entiers, et en cela ton raisonnement n'a aucun cas particulier qui pourrait fausser ton raisonnement. En cela, il n'est pas moins fiable qu'un raisonnement déductif. Si maintenant tu ne pouvais le démontrer que sur une partie des entiers naturels, là, en effet, ton raisonnement serait bancal sur une partie de l'ensemble et cela perdrait de son intérêt.

Merci pour ta réponse Jedino, mais je crois que tu n'arrives pas à sentir ce qui me chagrine, contrairement il me semble à présent avec Aliochaverkiev, et sa réponse qui suit la tienne est bien mieux explicitée que je n'aurais été moi-même capable de le faire, je crois qu'il dit plus clairement, qu'il exprime plus proprement, ce que je dis de manière maladroite depuis le début, comme lorsqu'on cherche à dire ce que l'on ressent c'est toujours confus et vague, imprécis. Mais son esprit mieux organisé et plus rompu à la science mathématique lui fait dire distinctement ce qui n'était qu'une intuition mal gérée en moi, même si cela n'enlève rien à ces accès d'emportement y compris à ton égard, qui n'étaient pas justifiés de nos points de vue, quoi qu'il s'en explique juste après, et d'une certaine façon s'en excuse implicitement. 

J'espère que tu sauras passer outre cet écart de conduite ( personne n'est pas parfait ! ), et t'enrichir de ce qu'il apporte à la réflexion... ( c'est un personnage malgré tout digne d'intérêt, et cela je l'ai vu dès les premières lignes, comme dit ailleurs: il n'y a que l'intelligence pour reconnaitre une autre intelligence )

Bien à toi, D-U.

Bonjour.

Citation

Pour n = 1, n= 0 ( puisque ma proposition on s'en fout qu'elle soit farfelue et que quand j'écris que n = 0, je l'entends pour toute valeur de n, je sais c'est farfelu, mais on s'en fout n'est ce pas ?, on ne préjuge en rien de la vérité ou de la fausseté de P(n)).

En faisant ce que vous faites, vous déclarez P(n) vraie. Vous utilisez la proposition que vous voulez démontrer dans votre démonstration. Vous bouclez.

pour ma part, au contraire, j'affirme qu'on ne connaît pas le statut de vérité de P(n). Qu'on ne peut rien préjuger de P(n) à cette étape. Je vous Propose de montrer par récurrence que votre proposition P(n) n'est pas vraie quel que soit n. Vous verrez alors où se trouve votre erreur :

Soit P(n) la proposition qui affirme que pour tout n, n=0.

Soit Q(n) la proposition qui affirme que pour tout n>0, n>0. Si Q est vraie, P est fausse (me dire svp si je dois détailler cette étape). Je vais démontrer que Q est vraie pour tout n>0  donc que P est fausse.

initialisation : pour n=1, on constate que Q(1)>0. L'initialisation est effective.

hérédité : montrons que Q(n) implique Q(n+1) est vraie quel que soit n>0.

Q(n) => n>0 (définition de Q(n), aucune hypothèse sur le statut de vérité de Q(n))

n>0 => n+1 > 0 + 1 (j'ai ajouté 1 de chaque côté de l'inégalité, aucune hypothèse sur le statut de vérité de Q(n))

n+1>1 => n+1>0 ( car 1>0, toujours aucune hypothèse sur le statut de vérité de Q(n))

or n+1>0 est par définition Q(n+1).

nous avons donc démontré que Q(n) => Q(n+1) est vraie quel que soit n>0 sans avoir à aucun moment utilisé le statut de vérité de Q(n). Nous nous moquons de ce statut à cette étape. Utiliser ce statut à cette étape est interdit car nous cherchons à démontrer ce statut.

L'heredite est établie. Nous pouvons donc conclure sur Q(n) est vraie pour tout n>0. La demonstration est achevée.

Notez la différence  fondamentale avec votre erreur : je n'utilise à aucun moment le résultat que je veux démontrer dans ma démonstration.

Je reviendrai sur votre proposition ci dessous plus tard.

Citation

P(n) n'implique pas P(n+1)] comme n'étant pas démontrable (pour vous, dans votre esprit il est évident que p(n+1) est démontrable à partir de P(n), quelque soit n, dès lors que P(n) est vérifié pour n = 0), et pour simplifier appelons I la proposition [P(n) n'implique pas P(n+1)]. 

A+

Suite:

Citation

P(n) n'implique pas P(n+1)] comme n'étant pas démontrable (pour vous, dans votre esprit il est évident que p(n+1) est démontrable à partir de P(n), quelque soit n, dès lors que P(n) est vérifié pour n = 0), et pour simplifier appelons I la proposition [P(n) n'implique pas P(n+1)]. 

P(n+1) n'est pas démontrée à partir de P(n). La récurrence ne dit pas cela. La récurrence dit qu'on initialisé puis qu'on démontre l'hérédité. L'hérédité ne dit pas que P(n+1) est démontrée à partir de P(n) mais l'hérédité dit que P(n) implique P(n+1) est vraie pour tout n plus grand (ou égal) que le rang d'initialisation.

A+

ps: avez vous compris la démonstration qui montre que si l'hérédité est établie et si L'initialisation est prouvée, alors la proposition ne peut pas être fausse pour un rang donné ? Ou y avez vous vu des erreurs ?

Ps2 : vous n'avez toujours pas expliqué pourquoi un constructiviste ne peut pas faire d'arithmétique. Ce point est également tres intéressant et je suis curieux d'avance de vous lire à ce sujet.

Citation

Si vous pensez que le cinquième axiome de Peano est démontrable, alors bravo. Ce n'est plus un axiome, c'est un théorème. Il faut avertir la presse. La médaille Fields vous est acquise.

La démonstration répond à vos questions du 14 décembre et du 21 décembre sur la possibilité d'avoir une proposition fausse pour un rang n donné.

Elle ne prétend en aucun cas démontrer un des axiomes de Peano, pouvez vous me citer disant démontrer le 5ème axiome de Peano ? 

A+

Ps: ne serait ce pas déjà la troisième fois dans cette file que vous me prêtez des propos qui ne sont pas les miens ? 

Citation

Mais dès que je parle des valeurs de n, je parle de valeurs définies. Mais alors qu'en est-il de l'infini ? Qu'en est-il de l'infini si je pose que N est infini ?

"infini" n'est pas un entier naturel. Un mathématicien vous deconseillerai probablement de ne pas dire dans une même phrase que "b" est un entier puis qu'il est autre chose. 

A+

Le 26/12/2017 à 12:38, Spontzy a dit :

Vous utilisez la proposition que vous voulez démontrer dans votre démonstration. Vous bouclez.

Sans m'appesantir sur ces histoires de récurrence, qui n'est là aussi je pense qu'une porte d'entrée vers quelque chose d'encore plus profond et qui est en droite ligne du sujet du Topic en fin de compte: la connexion entre formalisme et réalité, et vérité. Car c'est bien comme cela que le problème a été présenté, ce qui est " vrai " en math par les théorèmes d'incomplétude se retrouverait réalisé dans la vie réelle ?

Il nous faut bien avoir à l'esprit la distinction entre validité formelle et vérité matérielle !

Ce qui m'avait fait dire il y a quelques messages, qu'en mathématique par un malheureux usage du vocabulaire de vérité nous étions amener à nous fourvoyer.

Terminologie et conséquences/sens/significations:

Or si la vérité est un ajustement d'un discours à son objet il devrait être impossible de parler en toute rigueur de vérité formelle: ce que nous appelons vérité de la forme d'un discours n'est en réalité que sa cohérence ou mieux sa validité. Parler de la validité d'un discours c'est mettre en question son accord non avec de qui est mais avec les règles de la logiques.

La vérité matérielle d'un discours, de son contenu, d'une connaissance est  accord entre le discours et son objet. La logique ne peut rien en dire: c'est l'expérimentation qui aura le dernier mot: la vérité matérielle, la vérité du contenu d'un discours exige la prise en considération de l'expérience, le plus souvent par des expérimentations engendrées par des théories.

http://www.philagora.net/philo-reperes/formel.php

 Blanché: Ce qui est logiquement « valide » n’est pas forcément « vrai ». Il faut distinguer la forme et le contenu des raisonnements

http://archipope.over-blog.com/article-12128124.html

On voit en quel sens on peut parler de la forme d’un raisonnement. Mais on voit aussi qu’avec cette forme, la notion de vérité semble avoir disparu. D’une part, notre schéma de raisonnement n’est pas plus susceptible de vérité que ne l’était le raisonnement initial, il est seulement, comme lui, susceptible de validité : la vérité et la fausseté ne peuvent convenir qu’aux propositions elles-mêmes, non à la manière de les organiser. […]
Pour retrouver la notion de vérité, il faut passer de la forme inférentielle du raisonnement à l’implication qui lui correspond […] Si tout f est g et si x est f, alors x est g
Cette formule peut-elle être encore qualifiée de vraie? […]
Oui […] en ce sens que, contrairement aux trois schémas propositionnels précédents, celui-ci donnera une proposition vraie quelles que soient les valeurs qu’on assigne à ses variables. Cela ne fait qu’exprimer, en langage d’implication, ce que nous exprimions tantôt en langage d’inférence quand nous disions que la validité d’une inférence est indépendante de son contenu. On dira, par abréviation, qu’une telle formule est toujours vraie. C’est ce genre de vérité, qu’on appelle tautologique, qui constitue la vérité formelle ou, comme on peut aussi la qualifier, la
vérité logique.

http://lewebpedagogique.com/philosophie-bac/la-logique-verite-et-validite/

)     : Si tout f est g et si x est f, alors x est g.

Cette formule peut-elle être encore qualifiée de vraie ? Non, dira-t-on, puisque nous venons de faire, apparemment, la même transformation de proposition en schéma propositionnel que nous avions déjà opérée quand nous étions passés de (1) à (3), et qu’un schéma propositionnel n’est, comme tel, ni vrai ni faux. Oui cependant, en ce sens que, celui-ci donnera une proposition vraie quelles que soient les valeurs qu’on assigne à ses variables. Cela ne fait qu’exprimer, en langage d’implication, ce que nous exprimions tantôt en langage d’inférence quand nous disions que la validité d’une inférence est indépendante de son contenu. On dira, par abréviation, qu’une telle formule est toujours vraie. C’est ce genre de vérité, qu’on appelle tautologique, qui constitue la vérité formelle ou, comme on peut aussi la qualifier, la vérité logique.

https://lijjeson.wordpress.com/2011/08/31/robert-blanche-la-logique-formelle/

Syllogisme:

Limites des syllogismes

John Stuart Mill (et avant lui, Sextus Empiricus) évoque les limites du syllogisme en remarquant que dans la pratique un syllogisme déductif est rarement applicable sans une part plus ou moins escamotée d'induction.

Ainsi, le célèbre syllogisme

Tous les hommes sont mortels ;

Socrate est un homme ;

Donc Socrate est mortel

repose sur la validité de la prémisse « tous les hommes sont mortels », qui n’est pas vérifiable^e. Par conséquent, le syllogisme classique est lui-même un paralogisme : aucune vérité particulière ne peut être inférée de principes généraux puisque c'est au contraire l'ensemble des premières qui doivent être démontrées pour garantir la validité des seconds.

On a pu jadis croire qu'un syllogisme expliquait quelque chose sur le monde réel à une époque où l'on croyait aux essences, c'est-à-dire où on pensait que le mot définissait la chose, et non l'inverse (voir Induction (logique), Réalisme vs. Nominalisme).

https://fr.wikipedia.org/wiki/Syllogisme

Implication:

En résumé : le conditionnel A → B a la liberté d'être vrai alors que A est faux ; présenté à travers les tables de vérité, il porte sur des propositions ; cela ne concerne les mathématiques que de façon secondaire. L'implication, dont leurs démonstrations directes font grand usage, ne relève pas du calcul des propositions, du moins pas de façon immédiate.

http://georges-barthélemy.fr/implication_logique_mathématiques.pdf

http://www.ww2-derniersecret.com/perso/Implication (logique).pdf

Valeur de la logique:

La dialectique ne prétend pas apprendre aux hommes comment penser. Telle était, par contre, la revendication prétentieuse de la logique formelle. A quoi Hegel répondait ironiquement que la logique n’apprend pas plus à penser que la physiologie n’apprend à digérer ! Les hommes et les femmes pensent, et pensent même logiquement, bien avant d’entendre parler de logique. Les catégories de la logique, de même que la dialectique, proviennent de l’expérience réelle. Quoiqu’en disent leurs défenseurs, les catégories de la logique formelle ne se tiennent pas au dessus de la réalité matérielle de ce bas monde. Elles ne sont que des abstractions vides élaborées à partir d’une compréhension unilatérale et statique de la réalité, et qui sont ensuite appliquées à celle-ci de façon arbitraire.

https://www.marxiste.org/theorie/philosophie/516-la-logique-formelle-et-la-dialectique

Le tout tient – ou tombe – sur la loi de l’identité (A = A). A première vue, celle-ci est irréfutable, et est véritablement la source de toute pensée rationnelle. Elle est la Sainte des Saintes de la Logique, qui ne doit pas être remise en cause. Cependant, elle a été remise en cause, et par l’un des plus grands esprits de tous les temps.

Dans Les habits neufs de l’empereur, un conte de Hans Christian Andersen, un empereur un peu fou achète à un escroc des vêtements neufs, qui sont supposés être très beaux, mais invisibles. Le crédule empereur se promène dans son costume tout neuf, dont tout le monde reconnaît qu’il est exquis, jusqu’à ce qu’un jour un petit garçon remarque que l’empereur est en fait complètement nu. Hegel a rendu à peu près le même service à la philosophie avec sa critique de la logique formelle. Ses défenseurs ne le lui ont jamais pardonné.

http://www.matierevolution.fr/spip.php?article1399

Il est clair que si la logique n’autorise que le seul usage analytique de la raison (en régressant de la connaissance supposée vers ses conditions de validité formelle), tout usage synthétique (consistant à progresser vers des vérités nouvelles qui accroîtraient notre connaissance) est proscrit puisqu’en effet il n’y a de vérité que matérielle, c’est-à-dire en accord avec les intentions de signification. Mais, note Kant, “il y a quelque chose de si séduisant dans la possession de cet art précieux [la logique, que celle-ci est utilisée] pour en tirer, du moins en apparence, des assertions objectives”(Critique de la Raison Pure III, 80). Kant entend donc dénoncer l’illusion dont se rendent coupables tous ceux qui abusent de la logique en lui faisant produire ce qu’elle ne devrait pas produire, à savoir de la vérité.

https://phiphilo.blogspot.fr/1999/09/toute-verite-est-elle-fromellement.html

Logique formelle, origine:

Toutefois, l’idée même d’une forme du raisonnement détachée de son contenu n’a pas les mêmes connotations chez Aristote qu’elle a généralement pour nous depuis Leibniz. C'est à partir des problèmes et des apories que posait la dialectique et dans le souci de réfuter scientifiquement les discours des sophistes qu'Aristote a su radicaliser les formes des propositions et leurs enchaînements.

http://homepages.vub.ac.be/~clvidal/philosophons/essais/log_aristotelicienne.htm

Vérité:

Toute vérité est-elle démontrable ?

http://philo52.com/articles.php?lng=fr&pg=1393

https://phiphilo.blogspot.fr/1999/09/toute-verite-est-elle-fromellement.html

( Je n'ai pas vu de suite cette réponse, car elle ne me " cite " pas et je n'ai donc eu aucun message avertisseur. )

Le 23/12/2017 à 21:03, Spontzy a dit :

Qu'appelez-vous principe de non contradiction ? Dans leurs sens mathématiques, le tiers exclus et la non contradiction sont sans aucun lien (il existe des axiomatiques avec tiers exclus qui sont non contradictoires tout comme il existe des axiomatisations sans tiers exclus qui sont également non contradictoires).

Je me suis rendu compte ultérieurement que je m'étais plus que maladroitement exprimé, il fallait entendre que le raisonnement par l'absurde était caduque lorsque l'on rejette le tiers-exclu, donc que l'on adopte le tiers-inclus. Merci de m'avoir donné l'opportunité de réparer cette injustice à ma pensée. Mea culpa.

Sur ce point nous sommes en réalité d'accord.

Le 23/12/2017 à 21:03, Spontzy a dit :

D'autres disent qu'il y a une passerelle entre le monde réel (celui des concepts mathématiques) et le monde dégénéré de la physique.

Mais cela ne veut pas dire que l'on ne peut pas de temps à autres recoller avec le monde physique, il suffit que les conditions d'approximation/épurations/abstraction initiales soient sommairement réalisées pour que cela puisse se produire.

La logique binaire/booléenne répond à nombre de problématiques concrètes, et l'informatique/électricité actuelle en est son plus bel exemple, mais elle ne rend pas compte de l'entièreté de la réalité malgré tout, l'exemple qui s'oppose le plus à cette réduction est fort justement la psychologie ou le fonctionnement de notre " esprit ".

Il y a autant de connexions entre la mathématique et la réalité, qu'il y en a entre un sport quelconque et le monde des affaires humaines dans sa généralité, c'est à la fois clair et ambigu, à la fois fidèle et partial et partiel, tout dépend de notre intention/finalité, mais celui qui tend à l'exhaustivité du monde ne peut se résoudre à une telle idéalisation/abstraction/virtualisation. 

Le 23/12/2017 à 21:03, Spontzy a dit :

Non, il n'y a globalement pas de lien. Et je n'avais jamais mentionné de lien. Il n'avait simplement pas compris.

Pourtant, et je parle en mon nom alors, qu'il est toujours compris dans la définition des entiers naturels cette notion de récurrence a minima qui ne peut que finir par donner naissance par la suite au principe de raisonnement par récurrence par ricochet, je vois au contraire une dépendance forte, pour ne pas dire une inclusion ou même une implication !?

Le 24/12/2017 à 09:17, Spontzy a dit :

Bonjour.

Je rejoins ce que dit Quasi-modo au dessus.

Et le plus rigolo reste quand même que si on refuse le tiers exclus comme axiome (position constructiviste), alors on reste obligé de l'accepter car il est alors démontrable (dans les axiomatiques les plus usuelles). Il passe du statut d'axiome au statut de théorème.

Je respecte ces questions, mais elles sont simplement théoriques (voire philosophique) et n'ont que peu d'impact sur la pratique. Exactement comme l'incompletude 

Ce qu'il faut entendre, c'est qu'une position constructiviste ou intuitionniste ne refuse pas systématiquement le tiers-exclu, contrairement à ceux qui l'emploient sans exception !

C'est comme le mensonge dans la vraie vie, on peut être contre son usage, mais force est de constater qu'il n'a pas toujours un côté délétère ou néfaste, et que l'on peut donc en user de temps à autre, sans se contredire, se renier ou contrevenir à ses principes de vie. Ce n'est pas tout blanc ou tout noir, la vie est bien plus nuancée que cela.

Et comme la mathématique est une activité de l'esprit, elle est donc elle aussi soumise à notre psychologie que cela nous fasse plaisir ou pas, tout comme n'importe quelle science, conversation que nous avons déjà eu il me semble.

J'imagine que tu parles de la pratique mathématique ! Sans doute, tant que l'on reste dans ce cadre dual, comme n'importe quel jeu, ou postulats scientifiques. Ce qui est stimulant c'est justement d'envisager d'autres cadres, d'autres façons de voir le monde, de l'appréhender, sans y perdre notre rationalité pour autant, mais je conçois fort bien que l'on puisse se satisfaire de l'immense territoire déjà conquis, douillé et réconfortant. On peut donc voir les choses ainsi: soit suivre les voies déjà ouvertes et rassurantes, soit prendre le visage d'un aventurier et explorer d'autres contrées, tel un Marco Polo, incompris de la première catégorie...

Le 24/12/2017 à 11:10, Quasi-Modo a dit :

Je pense que ta démonstration est correcte, et me demande à présent comment il est possible de penser que le principe de la démonstration par récurrence est indémontrable.

Au même titre que le cinquième postulat des parallèles en géométrie. La récurrence fait d'emblée partie de la notion d'entier naturel comme axiome.

Le 24/12/2017 à 11:10, Quasi-Modo a dit :

Le seul à priori semble bien être la démonstration par l'absurde, soit le principe du tiers exclu. Bref comme toi je ne vois pas le problème.

Non, Poincaré à déjà montré que le tiers-exclu n'est pas commensurable avec le raisonnement par l'absurde, voir mes extraits dans une des réponses sur ce fil de discussion. 

Mais le problème comme soulevé dernièrement est plus abyssal que ce dont nous discutons depuis le début, il est celui de savoir ce qu'est la vérité et sa signification, car on fait déjà une erreur lorsque l'on parle de table de vérités en mathématique, ensuite par confusion entre implication et condition ( voir supra ) on propage de proche en proche notre égarement, jusque dans notre assentiment sur la valeur de la logique formelle, de nos démonstrations, qui bien souvent ne sont que des tautologies comme j'ai essayé de te le dire en parlant du chemin 1 qui va de A à B ou du chemin 2 qui fait la même chose, ce que l'on nomme égalité ou vérité n'est autre que cette équivalence de chemin ou le passage de A à B.

Le 26/12/2017 à 09:09, aliochaverkiev a dit :

J'ai toujours "senti" depuis mes études secondaires, que quelque chose n'allait pas dans le raisonnement par récurrence. Mais impossible d'exprimer ce malaise : les prof assènent leur vérité, c'est comme ça. Idem pendant les études universitaires, je me disais, ça ne va pas, je sens que ça ne va pas, mais idem, les profs "c'est comme ça, vous comprendrez plus tard, quand vous aurez le temps" [soit dit en passant ce genre de remarque m'a toujours halluciné ! quand je pense que certaines personnes qui n'ont pas fait d'études, pensent que les universitaires en savent beaucoup plus qu'eux, je me dis : s'ils savaient ! l'écrasante majorité des universitaires acquièrent des savoirs qu'ils...ne comprennent pas ! simplement ils savent que dans tel ou tel cas c'est tel ou tel raisonnement qu'il faut tenir].

J'avoue avoir vécu sensiblement la même chose, j'ai cru à tort qu'en poursuivant mes études que ce qui m'avait choqué se résorberait plus tard avec une plus grande connaissance, maitrise et approfondissement du savoir, mais il n'en fût rien, au contraire, cela était maintenant sous le tapis, entériné.

D'où aujourd'hui mon attachement inconditionnel à comprendre et non savoir ou savoir faire.

C'est comme certains problèmes de probabilité, qui pour ma part n'étaient pas naturel dans leur explication, et bien dernièrement j'ai pris connaissance que deux mathématiciens avaient montrés que nous étions dans un parti pris hérité de Pascal et Bernoulli. Ce qui me conforte dans l'idée que tant qu'il y a une partie de moi qui bute, qui ne donne pas son aval, c'est que quelque chose cloche, même si il impossible de savoir quoi, ni où, une part de moi sait.

C'est comme une anecdote récente, je devais signer un rapport, pourtant une chose me turlupinait, mais impossible de mettre la main dessus, je sentais que je devais être vigilant, que je devais notifier quelque chose, mais je ne savais pas/plus quoi sur l'instant, et bien, c'est revenu un peu plus tard, au détour de réflexions libres, j'avais bel et bien omis de signaler quelque chose d'assez important, tout devenait clair à présent.

Citation

Mais tout cela pose deux questions : 1/ pourquoi je "sens" qu'il y a une faille depuis toujours dans le raisonnement par récurrence et que tant d'autres (mathématiciens) ne la voit pas ? 2/Quel rôle peut donc jouer un instrument tel que le forum quant à un esprit comme le mien, pour lequel l'imaginaire est efficace dans sa saisie du réel ?

1- J'espère que les derniers apports que j'ai postés pourront là-aussi apporter de l'eau à ton moulin, et te rendre mieux compte, comme moi-même, que sans doute le souci est peut-être plus viscéral qu'aperçu/senti de prime abord: la signification de la vérité mathématique.

2- J'appelle cela l'intuition, et les autres forumeurs de part leur participation, nous aident à faire en sorte que cette intuition se " matérialise " jusqu'à la conscience, qu'elle s'éclaire petit à petit, qu'elle sorte de l'ombre et en vienne à élever notre conscience, au moins sur ce point précis. Leur participation active, dans notre tâche n'est pas toujours issue de ce qu'ils disent ( sémantiquement ), mais parfois de ce qu'ils déclenchent en nous plus ou moins indirectement, nous obligeant à creuser davantage, à aller à la pêche aux informations, lire, s'informer, à trouver des exemples ou contre-exemples, des vices de procédure dans notre façon de penser ( ou la leur ) ou de présenter nos idées, etc, etc... Bref comme tu l'as dit, une sorte de stimulation a minima. 

Bonjour.

Citation

Ce qu'il faut entendre, c'est qu'une position constructiviste ou intuitionniste ne refuse pas systématiquement le tiers-exclu, contrairement à ceux qui l'emploient sans exception !

En fait, on ne peut pas accepter de temps en temps un principe. On l'accepte ou on le refuse. Mais de toute façon, tous les constructivistes acceptent le tiers exclus car il est formellement démontré (dans les axiomatisations les plus courantes). La position constructiviste est de refuser le tiers exclus comme axiome mais de l'accepter en tant que théorème.

Citation

J'imagine que tu parles de la pratique mathématique ! Sans doute, tant que l'on reste dans ce cadre dual, comme n'importe quel jeu, ou postulats scientifiques. Ce qui est stimulant c'est justement d'envisager d'autres cadres, d'autres façons de voir le monde, de l'appréhender, sans y perdre notre rationalité pour autant, mais je conçois fort bien que l'on puisse se satisfaire de l'immense territoire déjà conquis, douillé et réconfortant. On peut donc voir les choses ainsi: soit suivre les voies déjà ouvertes et rassurantes, soit prendre le visage d'un aventurier et explorer d'autres contrées, tel un Marco Polo, incompris de la première catégorie...

Oui, pour ma part je restais centré dans le cadre formel des mathématiques. J'y ai décelé des erreurs, notamment sur la récurrence, qui méritaient d'être corrigees. Pour le reste, le débat m'intéresse, mais pas ici car le sujet est l'implication des théorèmes de Godel. Je précise toutefois que ce cadre mathematique inclut tout ce qui est formalisa le. C'est déjà pas mal.

A+

Il y a 18 heures, Spontzy a dit :

En fait, on ne peut pas accepter de temps en temps un principe. On l'accepte ou on le refuse.

Si, tout dépend des cas. Pour ma part, si il n'y a effectivement que deux valeurs possibles - prédéterminées - à un problème ( le courant passe ou ne passe pas ), le tiers-exclu est le bienvenu, en revanche si il y a le moindre doute sur l'exhaustivité des possibles, alors il est rejeté  ( la porte est ouverte, fermée ou autre chose, ne pas être malheureux n'implique pas d'être heureux ).

Mais cela s'applique aussi à la mathématique:

Ainsi, en analyse constructive, le raisonnement par l'absurde, l'élimination de la double négation, l'utilisation du tiers exclu, la contraposition sont évités. En cela, la démarche de l'analyse constructive se rapproche de celle de la logique intuitionniste. Cependant, cette dernière logique rejette les principes précédents, alors que l'analyse constructive s'autorise à les utiliser, à condition d'être justifiés. Par exemple, le raisonnement par l'absurde conduisant à la preuve d'une existence formelle est admis si le domaine où il s'applique est un ensemble fini. Le tiers exclu est également admis pour comparer deux entiers ou deux rationnels x et y : on a ou bien x>y{\displaystyle x>y} ou bien x≤y{\displaystyle x\leq y} car il existe des procédures algorithmiques pour comparer deux entiers ou deux rationnels, mais la même conclusion n'est pas acceptée pour deux réels.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_constructive

Tiers exclu

La proposition suivante

est un théorème de la logique classique, mais pas de la logique intuitionniste. Dans cette dernière, elle signifierait que nous pouvons prouver ou prouver , ce qui n'est pas toujours possible.

Par exemple, en arithmétique munie de la logique intuitionniste (dite arithmétique de Heyting), l’expression est valide, car pour tout couple d'entiers, on peut prouver qu'ils sont égaux, ou on peut prouver qu'ils sont différents. Il en est de même pour deux rationnels. Mais pour deux réels en analyse constructive, on ne dispose pas de méthode générale permettant de prouver que ou de prouver que . Cette situation correspond bien aux situations qu'on rencontre en algorithmique, où l’égalité ou l’inégalité entre deux réels peut être non-calculable, c'est-à-dire, non-décidable.

http://dictionnaire.sensagent.leparisien.fr/Logique intuitionniste/fr-fr/

En réalité, il me semble que c'est l'inverse qui se produise, c'est la logique classique qui peut être retraduite en logique intuitionniste ( car cette dernière est incluse dans la première et non l'inverse ) sous condition:

Justification du Tiers-exclu exclu:

http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-l-intuitionnisme-ou-l-on-construit-une-preuve-21944.php

Autres approches non classiques:

http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/curry5.pdf

Enfin précision sur ce qui est rejeté dans le " tiers-exclu " de manière plus fine:

(1) « A ou non A », en symboles, « A v ┐A » ;

(2) « Il n’est pas vrai que ni A ni non A », en symboles, « ┐┐(A v ┐A) » ;

(3) « Pas à la fois A et non A », en symboles, « ┐(A & ┐A) » ;

• 2 Ibid., p. XIX.

(4) « S’il n’est pas vrai que non A, alors il est vrai que A », en symboles, « ┐┐A → A »2.

(1) est toujours appelé la loi du tiers exclu, bien que, estime Dummett, cette désignation conviendrait probablement mieux à (2) ; (2) n’a pas de dénomination reçue ; (3) est appelé la loi de contradiction, ou plus exactement de non-contradiction ; et (4) est appelé la loi de la double négation. Mais il faut faire une distinction supplémentaire entre les lois logiques elles-mêmes et les quatre principes sémantiques qui leur correspondent :

(1’) Tout énoncé est soit vrai soit faux ;

(2’) Aucun énoncé n’est ni vrai ni faux ;

(3’) Aucun énoncé n’est à la fois vrai et faux ;

(4’) Tout énoncé qui n’est pas faux est vrai.

(1’) est appelé le principe de bivalence. Les autres principes n’ont pas de dénominations reçues. Dummett choisit d’appeler (2’) le principe du tertium non datur, (3’) le principe d’exclusion et, en suivant, la terminologie intuitionniste, (4’) le principe de stabilité. Comme vous le voyez, ce qu’il appelle le tertium non datur n’est donc pas tout à fait, comme je l’ai dit de façon un peu inexacte, la double négation du principe du tiers exclu, mais plutôt le principe sémantique correspondant. La distinction entre les lois logiques et les principes sémantiques qui leur correspondent est importante, remarque Dummett, parce que l’acceptation du principe sémantique implique normalement l’acceptation de la loi logique correspondante, alors que la réciproque n’est pas vraie. Les intuitionnistes n’acceptent pas (1’), et pas non plus (1) ; mais ils acceptent, pour les raisons que j’ai indiquées, (2’) et également (2).

http://books.openedition.org/cdf/1769?lang=fr

Citation

 

Mais de toute façon, tous les constructivistes acceptent le tiers exclus car il est formellement démontré (dans les axiomatisations les plus courantes).

La base me semble plutôt être l'opposé, le refus pur et simple du tiers-exclu:

La logique intuitionniste n'inclut pas, elle, le principe du tiers-exclu : c'est justement l'un des deux fondements de sa différence par rapport à la logique classique.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_du_tiers_exclu

Les mathématiques constructives utilisent une logique constructive (plus couramment appelée logique intuitionniste), qui est essentiellement une logique classique où le principe du tiers exclu a été enlevé. Cela ne revient pas à dire que le principe du tiers exclu est complètement interdit ; des cas particuliers de ce principe seront prouvables en tant que théorèmes. Simplement, le principe n'est pas supposé en tant qu'axiome. La loi de non-contradiction, en revanche, est toujours valide.

Par exemple, dans l'arithmétique de Heyting, il est possible de prouver que pour toute proposition p qui ne contient pas de quantificateur, ∀x,y,z,...∈N:p∨¬p{\displaystyle \forall x,y,z,...\in \mathbb {N} :p\vee \neg p} est un théorème (où x, y, z ... sont des variables libres dans la proposition p). En ce sens, les propositions réduites à un ensemble fini peuvent toujours être vues comme étant ou vraies ou fausses, comme en mathématiques classiques, mais ce principe de bivalence n'est pas supposé pouvoir s'étendre aux propositions sur des ensembles infinis.

En fait, Luitzen Egbertus Jan Brouwer, le fondateur de l'école intuitionniste, voyait le principe du tiers exclu comme quelque chose qui était extrait de l'expérience du fini, et qui était appliqué par les mathématiciens à l'infini, sans justification.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_(mathématiques)

Citation

La position constructiviste est de refuser le tiers exclus comme axiome mais de l'accepter en tant que théorème.

Il faut donc comprendre que ce n'est pas le principe qui est prouvable, mais qu'il n'y a pas d'ambiguïté, il n'y a que deux états possibles uniquement, dans certains cas. ( comme l'arithmétique de Heyting au-dessus )

Citation

Oui, pour ma part je restais centré dans le cadre formel des mathématiques. J'y ai décelé des erreurs, notamment sur la récurrence, qui méritaient d'être corrigees. Pour le reste, le débat m'intéresse, mais pas ici car le sujet est l'implication des théorèmes de Godel. Je précise toutefois que ce cadre mathematique inclut tout ce qui est formalisa le. C'est déjà pas mal.

Je vois, pourtant tout est lié comme j'ai essayé de le dire dans une réponse antérieure, pour faire simple, si les théorèmes d'incomplétudes reposent sur la diagonale de Cantor et l'usage des infinis, et le paradoxe du menteur qui repose sur l'usage du tiers-exclu, j'estime qu'en remettant en cause, cette course des infinis et le tiers-exclu, on réduit drastiquement la portée des théorèmes, au moins dans sa transposition dans le monde réel, qui de surcroit ne croise jamais d'infinis, ni de bug du monde lui-même sous prétexte d'une apparente contradiction ( par exemple si nous humains, nous nous retrouvons devant un dilemme indécidable dans le paradoxe du tramway, ou la flèche qui n'atteint jamais sa cible, dans la vie réelle, les choses finissent par se produire d'une manière ou d'une autre: la réalité n'est jamais inconsistante et/ou incohérente ).

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Tiens, je voudrais aussi attirer ton attention sur un " détail ", en arithmétique, en l'occurrence 0 ( prédécesseur de 1 )

Si l'on prend n'importe quel nombre impair avec les opérations usuelles, on constate que la multiplication d'un impair avec un pair donne un pair, avec un impair donne un pair également, on fait de même avec un nombre quelconque pair, si l'on fait à présent de même avec 0, les choses se présentent légèrement différemment, car 0 multiplié avec un nombre pair ou impair donne lui-même et non un nombre pair ou impair a priori ( premier écueil ), si l'on fait ce même exercice avec l'addition, on pourra peut-être remarquer une similitude avec un comportement d'un nombre pair ( par ex. 0 + un nombre impair vs pair, donne un nombre impair vs  pair, comme n'importe quel nombre pair ), en revanche si l'on applique la multiplication, on arrive à des divergences, n'importe quel nombre pair possède des multiples, de même pour les nombres impairs, par contre 0 ne possède aucun multiple hormis lui-même alors que les deux autres en ont une infinité, de même n'importe quel nombre pair ou impair divise au moins un nombre si il est dans N et une infinité si il est dans un autre ensemble de départ, alors que 0 ne peut en diviser aucun, ses propriétés s'éloignent drastiquement des autres nombres pairs ou impairs ( deuxième écueil, et même divergence de propriétés )

Pour ma part, et malgré une présentation déplorable, nous devons nous rendre à l'évidence, soit 0 n'est pas un nombre pair, soit ce n'est pas un nombre tout court, ce dernier point serait plus embarrassant ou fâcheux, cela m'incite donc à rejeter 0 comme étant un nombre pair, ce qui signifie par conséquent que les nombres entiers ne se rangent pas en nombres pairs et impairs, que le tiers-exclu n'est pas justifié même pour des choses aussi naturelles et intuitives que les nombres entiers, puisqu'il existe une tierce possibilité si on veut être extrêmement rigoureux, ou alors on enlève 0 de la définition des entiers naturels, il y a cette fois un tiers exclu de l'ensemble de départ N pour pouvoir retrouver un ensemble " bivalent ".

C'est comme si, nous nous retrouvions par analogie, avec un être qui ressemble à un humain, mais qui a la possibilité de vivre indéfiniment et celle d'être divisé à l'infini en produisant de nouvelles entités autonomes égales à lui-même, des clones, pourrions-nous soutenir que cet être fait partie des humains ? Et bien, il en va de même avec 0, qui a des propriétés singulières par rapport à tous les autres nombres, qu'eux n'ont pas !

Voilà ce que l'intuitionniste que je suis, peut être amené à pondre...

A+

Satinvelours me dit d'exposer ici mes conclusions (sur la récurrence). Pourtant je n'ai pas cette "envie". J'ai tiré, de ces polémiques ici,  des enseignements très importants, relativement à mon propre enseignement. Je pense, Nicole, (Satinvelours), à Samuel, cet ado qui promet, et qui nous donne raison par ses performances, là bas aux USA. A lui j'ai le désir de transmettre. Mais ici ? Que me chaut ce fait qu'ils me prennent pour un con ? ou un nul ? ou un salaud, ou je ne sais quoi. Eux ne transmettent pas, moi si, toi aussi tu transmets Nicole. Eux n'ont pas de responsabilités, nous si.

Bon, mais il y a ici aussi, des lecteurs de bonne volonté. Il y a "Déjà Utilisé" qui lui aussi est motivé par ses enfants. Du coup il ne pense pas à son amour propre mais à son désir de transmission. Alors je vais exposer mes conclusions, car je me dis que, ces lecteurs de bonne volonté, pourraient bien aux aussi vouloir transmettre. Donc j'ai une responsabilité ici aussi, donc je vais écrire ici.

Au préalable, il me faut traiter du cas Spontzy.

Ce qui est déroutant chez cet homme c'est la variance de ses raisonnements, il est parfois incohérent, parfois cohérent. Du coup je n'ai plus à faire avec un mathématicien mais avec un homme incohérent. Je ne suis plus dans les maths mais dans la psychologie.

Bon, le mystère s'est éclairci. Parfois il est inspiré par son ancien prof de math, parfois non. Quand il n'est pas inspiré par son prof de maths, il est soit incohérent, soit incompétent, soit de mauvaise foi. 

Prenons les situations dans lesquelles il n'est pas drivé par son ancien prof.

(à suivre)

Première alerte, concernant la compétence de Spontzy :

Il écrit :

"En logique constructiviste le tiers exclus n'est pas un axiome"

Le tiers exclus n'a jamais été un axiome, le tiers exclus est une règle de logique.

Donc Spontzy ne connaît pas le vocabulaire de base des mathématiques. Il ne connaît pas la différence entre un axiome et une règle de logique. Ca jette un froid tout de même, je sais déjà que j'ai à faire avec un non-sachant.

(A suivre)

Quand, après avoir répondu à Quasi-modo, avec ironie, qu'il venait de démontrer un axiome ! (pour les profanes je signale qu'un axiome est une proposition non-démontrable) il me répond, Spontzy, qu'il n'a jamais dit ça. Bien sûr, puisque c'est Quasi-modo qui a formulé une telle proposition. 

Je me dis alors  : "Je n'ai plus à faire avec un homme rationnel mais avec un esprit en pleine confusion". Je ne suis plus dans les mathématiques.

(A suivre)

Citation

 

Quand je lui fais remarquer que toutes les présentations de la récurrence, jusque dans l'enseignement universitaire, partent de l'hypothèse que P(n) est vraie pour démontrer que l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie il me répond que c'est par souci d'efficacité, afin de ne pas mettre mettre l'étudiant dans une situation où le raisonnement par la récurrence n'est pas applicable. Comme si, à l'université, l'éducation du jugement critique n'avait pas cours. Bien sûr que les prof donnent des problèmes insolubles ! Pour voir justement si l'étudiant a un minimum d'esprit critique. Conclusion : Spontzy n'a pas fait d'études universitaires.

Bon, j'arrête là (il y a aussi sa mise en relation entre la récurrence et les attendus ZFC, relation qu'il nie ensuite avoir posée).

(à suivre)

Citation

 

Et enfin le comble du comble est atteint lorsque Spontzy affirme qu'il ne s'appuie pas sur l'affirmation de la proposition P(n) pour démontrer la vérité de la proposition P(n+1) !  Tout exercice, je dis bien tout exercice sur la récurrence, s'appuie sur l'affirmation, sur la pose de la proposition P(n)  pour démontrer la proposition P(n+1). Pourquoi ? (là je parle aux profanes, ceux qui n'ont pas fait d'études de maths) parce que, si vous pouvez démontrer que P(n+1) est vraie sans vous appuyer sur la proposition P(n) c'est que vous ne passez plus par la récurrence ! C'est que vous n'utilisez plus la récurrence pour démontrer la vérité de la dite proposition !

Si vous pouvez démontrer que P(n+1) est vraie par un autre canal que par le raisonnement par la récurrence, vous pouvez alors tout aussi bien démontrer que P(n) est vraie par cet autre canal choisi. Du coup le raisonnement par récurrence est inutile.

Bon arrêtons avec les incompétences de Spontzy et observons maintenant ce que Spontzy, inspiré par son ancien prof, exprime. Et là je dois dire que c'est intéressant.

Donc je laisse tomber Spontzy (0) [Spontzy indice 0, c'est-à-dire Spontzy non inspiré par son ancien prof de math) et je m'intéresse maintenant à Spontzy (1) c'est à dire Spontzy inspiré par son ancien prof de math].

Là ça vaut le coup. 

Citation

 

Que nous dit Spontzy (1) ?

Ceci :

"La récurrence c'est ça :

Si : il existe un entier n0 tel que P(n0) est vraie (initialisation) et pour tout n> ou égal à zéro P(n) implique P(n+1) est vraie (hérédité) alors pour tout n > ou égal à n0 P(n) est vraie (conclusion)"

Il est probable que le prof de Spontzy a psalmodié cet énoncé des milliers de fois. Mais voilà il y a dans cet énoncé deux énormités [rappelons que l'énoncé de Peano, dans son texte d'origine, n'a rien à voir avec cet énoncé, j' y reviendrai]

Les deux énormités sont contenues dans la phrase :  "Pour tout n > ou égal à 0 P(n) implique P(n+1) est vraie"

Sur ces deux énormités , je n'ai jamais communié avec l'une d'elle, [P(n) implique P(n+1) est vraie] mais je dois dire que j'ai communié avec la première  : [Pour tout n > ou égal à 0].

L'intérêt, important pour moi, des approximations de Spontzy (1) est de m'avoir forcé à déceler et mes erreurs et mes imprécisions.

Etudions l'énormité (P(n) implique P(n+1)) est vraie, énormité qui en devient une lorsque nous ne faisons aucune supposition sur la vérité ou pas de P(n) [énormité aujourd'hui corrigée dans les manuels, mais le prof de Spontzy doit être assez vieux, donc à son époque il est possible que cette énormité ne fut pas encore corrigée]

Nous partons donc de ces hypothèses :

P(0) est vérifiée (je simplifie en supposant que la proposition est vraie pour n =0) et si (P(n) implique P(n+1)) est vraie c'est bon, j'ai ma récurrence, c'est-à-dire qu'alors P(n) est vraie quel que soit n.

Je vois bien que c'est dingue cette affirmation car il n' y a pas besoin de supposer quoi que ce soit sur P(n) , elle peut être vraie ou fausse, on s'en fout. Je suis incrédule, c'est trop fort, je n'y crois pas, mais Spontzy (1) [le prof donc] me sort un raisonnement béton. Et  je dois en convenir : son raisonnement est juste. 

Je me décarcasse mais je ne trouve pas le vice de forme. J'analyse cette assertion et je me rends compte que non seulement je n'ai rien à supposer sur P(n) mais en plus je n'ai rien à supposer sur P(n+1) ! Ce que Spontzy (0) n'a d'ailleurs pas vu.  C'est dément, sidérant. Et je ne vois toujours rien. Il est évident que c'est faux mais je ne vois pas en quoi c'est faux.

D'où mon image, sur un autre fil, de l'illusionniste. L'illusionniste nous sort un "truc" incroyable mais on ne voit pas comment il parvient à nous illusionner. 

Je reviens sur mon affirmation ci-dessus, quand j'écris que je n'ai rien à supposer non seulement sur P(n) mais aussi sur P(n+1) [quant à leur vérité ou leur fausseté]. En effet si [P(n) implique P(n+1)] est vraie (et que P(0) est vraie) j'ai ces trois cas de figure :

soit P(n) est vraie et P(n) est vraie et dans ce cas il est évident que la récurrence est vérifiée.

soit P(n) est faux et P(n+1) est faux, mais dans ce cas, en régressant jusque sur P(0), qui est vrai, je ne peux pas avoir P(n) faux (voir l'excellent raisonnement de Spontzy (1)), donc cette hypothèse est impossible à tenir

soit P(n) est faux et P(n+1) est vraie, mais dans ce cas encore en régressant jusque sur P(0), qui est vrai, je ne peux pas avoir P(n) faux (voir l'excellent raisonnement de Spontzy (1)), donc cette hypothèse est impossible à tenir.

Donc la seule hypothèse tenable, la seule hypothèse FORCEE, c'est que P(n) est vraie et P(n+1) est vraie ! et ce, dès lors que je suppose P(0) vraie et [P(n) implique P(n+1)] vraie. C'est fou ! rien qu'avec ces deux hypothèses, forcément les deux propositions sont vraies ! sans que je n'ai rien à supposer sur elles ! je n'ai même pas besoin de démontrer que P(n+1) est vraie. Dingue !

Et, en plus je ne vois rien, je vois bien que c'est aberrant, absurde, mais je ne vois pas la supercherie ! un vrai numéro d'illusionniste !