Qu'est-ce que l'aléatoire?

Bonjour,

Mots clefs : complexité de Kolmogorv

Bonne journée.

Il y a 8 heures, Quasi-Modo a dit :

 C'est vraiment pas un sujet évident en tous cas.

Une des manières de considérer le problème du hasard est d'en rechercher l'utilité. Par exemple, on sait que sans mutations aléatoires, nous ne serions pas apparus. Certains diront que nous ne sommes pas très utiles, ce qui n'empêche pas les mutations d'avoir été utiles à notre apparition.

Un autre endroit où nous sommes témoins du hasard, c'est à l'échelle microscopique. On se questionne beaucoup sur la signification de l'intrication quantique, mais pas du tout sur son utilité. Je ne parle pas de son utilité pour nous dans ce cas-ci, mais pour les particules qui en exhibent les propriétés. À quoi l'indétermination de leur trajectoire leur serait-elle utile?

Un autre endroit encore, mais celui-ci est plus subjectif, c'est dans notre tête. Comment faisons-nous pour être capables de produire une suite de nombres au hasard? Mais surtout, à quoi cela peut-il bien nous servir?

Je mets la mijoteuse sur le feu et je reviens dans quelques heures! :0)

Le 04/03/2017 à 07:59, Quasi-Modo a dit :

Drôle de question. Je suis peu amateur des jeux de hasard ou d'argent en général... donc je connais peu le poker et ses subtilités 

La question me semble légitime vu que cette discipline, pas forcément sous le joug ni du hasard ni de l'argent, met en exergue toutes les notions que vous avez citées si on l'approfondit et la pratique intelligemment.

Le 04/03/2017 à 08:28, Lowy a dit :

Le poker se base sur le Bluff; le faire semblant de détenir les bonnes cartes .

Je ne partage pas votre opinion, je ne suis pas adepte des clichés éculés et réducteurs. Mais, comme je viens de l'écrire, "si on approfondit et pratique intelligemment".

il y a 27 minutes, Psaume a dit :

La question me semble légitime vu que cette discipline, pas forcément sous le joug ni du hasard ni de l'argent, met en exergue toutes les notions que vous avez citées si on l'approfondit et la pratique intelligemment.

 

Oui certainement la question a-t-elle sa place ici, mais j'attendais surtout la suite pour me faire une opinion. Et bien si tu veux bien nous en faire part, je veux bien que tu nous expliques les principes du poker dans la mesure où ils correspondraient au thème évoqué (à quoi en particulier d'ailleurs)?

Il y a 14 heures, Le Repteux a dit :

Un autre endroit où nous sommes témoins du hasard, c'est à l'échelle microscopique. On se questionne beaucoup sur la signification de l'intrication quantique, mais pas du tout sur son utilité. Je ne parle pas de son utilité pour nous dans ce cas-ci, mais pour les particules qui en exhibent les propriétés. À quoi l'indétermination de leur trajectoire leur serait-elle utile?

Un autre endroit encore, mais celui-ci est plus subjectif, c'est dans notre tête. Comment faisons-nous pour être capables de produire une suite de nombres au hasard? Mais surtout, à quoi cela peut-il bien nous servir?

 

Ne risque-t-on pas ici de prendre la pente glissante du finalisme?

Même si je comprends ton soucis de fonder une fin transcendante, Nietzsche ne nous a-t-il pas appris non plus à nous en méfier (s'il est un philosophe qui ait totalement réfuté le finalisme c'est bien lui me semble-t-il)?

Il y a 1 heure, Quasi-Modo a dit :

Ne risque-t-on pas ici de prendre la pente glissante du finalisme?

Même si je comprends ton soucis de fonder une fin transcendante, Nietzsche ne nous a-t-il pas appris non plus à nous en méfier (s'il est un philosophe qui ait totalement réfuté le finalisme c'est bien lui me semble-t-il)?

Le finalisme prend l'espèce humaine comme résultat final, moi pas! Je citais le cas du hasard dans l'évolution biologique, qui signifie plutôt que nous sommes très chanceux d'être ici. Il y en a pour dire le contraire, mais ce n'est pas mon cas. À ce sujet, mon analogie entre ce genre de hasard et ce qui se passe dans nos têtes est éclairant. Il signifie que l'intelligence, c'est surtout utiliser le hasard à notre profit. Pas celui qui nous fait gagner aux cartes, mais celui qui se produit à l'intérieur-même de ce soi-disant temple de l'intelligence qu'est notre cerveau. Une intuition, ce n'est pas du tout bon comme sa définition le suppose, c'est seulement une possibilité issue du hasard, une possibilité qui est ensuite sélectionnée si elle coïncide au changement du milieu, exactement comme pour les mutations génétiques. Je mise 10$ sur ce coup! Qui me suit? :0)

Il y a 6 heures, Psaume a dit :

Je ne partage pas votre opinion, je ne suis pas adepte des clichés éculés et réducteurs. Mais, comme je viens de l'écrire, "si on approfondit et pratique intelligemment".

 

Je ne partage pas votre opinion : je ne suis pas adepte des mots maniérés et supposés savants qui ne veulent rien dire ; encore moins traiter un propos d’éculé et réducteur ce qui était loin d’être mon intention contrairement à votre additif inutile et cassant –que je vous renvoie allégrement-
Je vous cite :
 ‘’ La question me semble légitime vu que cette discipline, pas forcément sous le joug ni du hasard ni de l'argent, met en exergue toutes les notions que vous avez citées si on l'approfondit et la pratique intelligemment.’’
Alors que vous avancez dans votre précédent post la pratique du poker- reconnu universellement comme un jeu de hasard et souvent d’argent : cqfd ?

Je rejoins Quasi-modo dans son questionnement : ‘’ Et bien si tu veux bien nous en faire part, je veux bien que tu nous expliques les principes du poker dans la mesure où ils correspondraient au thème évoqué (à quoi en particulier d'ailleurs)?’’ -Je suis toute ouïe.

Bonjour.

Sujet très intéressant.

Citation

Question un peu étrange semble-t-il, et je me suis demandé si je ne devais pas poster ce sujet en science, mais à quoi ressemble vraiment une suite de nombres aléatoire? Si on pouvait trouver une logique dans cette suite de nombres, alors elle ne serait plus aléatoire, mais comment pourrait-on démontrer qu'une suite n'a pas de logique intrinsèque? Peut-on toujours trouver une logique dans une suite de nombres?

A la question "mais comment pourrait-on démontrer qu'une suite n'a pas de logique intrinsèque?", on peut procéder de plusieurs façons : mettons qu'on exprime les n premiers termes de la suite. Si on trouve une stratégie pour deviner le n+1ème, la suite n'est pas aléatoire. De même, si on arrive à comprimer le contenu de la série, c'est qu'elle n'est pas aléatoire.

Et sinon, à la question peut-on toujours trouver une logique à une suite de nombre, je crois que vous dites vous même que non, pas dans une suite aléatoire. Donc le question est "existe-t-il des suites aléatoire" ? Le réponse me semble évidemment oui. Mais je n'ai pas creusé le sujet. Vous en pensez quoi ?

A+

Le 04/03/2017 à 17:36, contrexemple a dit :

Mots clefs : complexité de Kolmogorv

 

Merci d'aborder ce sujet, mais je remarque que la complexité de Kolmogorov est une fonction indécidable, ce qui correspond bien à l'intuition première à l'origine de mon message! Autrement dis, il n'est pas possible de prouver qu'on ne peut pas compresser une information, même si on peut définir cette complexité de Kolmogorov comme une curiosité faite d'abstraction.

Il y a 8 heures, Spontzy a dit :

A la question "mais comment pourrait-on démontrer qu'une suite n'a pas de logique intrinsèque?", on peut procéder de plusieurs façons : mettons qu'on exprime les n premiers termes de la suite. Si on trouve une stratégie pour deviner le n+1ème, la suite n'est pas aléatoire. De même, si on arrive à comprimer le contenu de la série, c'est qu'elle n'est pas aléatoire.

Et sinon, à la question peut-on toujours trouver une logique à une suite de nombre, je crois que vous dites vous même que non, pas dans une suite aléatoire. Donc le question est "existe-t-il des suites aléatoire" ? Le réponse me semble évidemment oui. Mais je n'ai pas creusé le sujet. Vous en pensez quoi ?

Bonjour Spontzy,

Effectivement, mais pour le coup si il est bien possible de démontrer qu'une suite n'est pas aléatoire, il paraît impossible de décider qu'une suite concrète et déployée sous nos yeux ébahis puisse l'être ou pas (cf. indécidabilité de la complexité de Kolmogorov). D'autant que nous pouvons uniquement analyser des suites finies, tandis que les suites infinies qui sont définissables ne peuvent donc pas, par construction, être aléatoires.

Excepté peut-être ces fameuses constantes omega de chaitin, mais il semblerait qu'elles soient seulement partiellement connaissables. Et il y a aussi les omegas de Solovay qui sont des curiosités mathématiques. Voir un article très intéressant ici. J'ignore la réalité de fond sur ce sujet, mais je constate que les suites aléatoires sont soit indéfinissables, soit définissables comme les omega de chaitin mais alors elles deviennent incalculables (partiellement connaissables seulement).

C'est très mystérieux, et tellement éloigné de notre réalité habituelle que je continue de m'interroger sur le bien-fondé de ce concept d'aléatoire qui existe comme abstraction mathématique, mais pas comme réalité concrète incarnée dans une suite de nombres qu'on pourrait exhiber. Ou alors il reste la physique quantique qui paraît redorer le blason de cette notion et donner à l'aléatoire une part pleine dans la nature même de la réalité. Sauf à considérer qu'il y ait des variables cachées non locales...

J'ai l'impression qu'il en va d'une position mathématique du type réalisme platonicien, si on suppose que ces suites aléatoires existent, ou d'une lecture plus formaliste ou nominaliste si on suppose que ces suites n'existent pas en réalité mais ne seraient que des artifices théoriques.

il y a 16 minutes, Quasi-Modo a dit :

C'est très mystérieux, et tellement éloigné de notre réalité habituelle que je continue de m'interroger sur le bien-fondé de ce concept d'aléatoire qui existe comme abstraction mathématique, mais pas comme réalité concrète incarnée dans une suite de nombres qu'on pourrait exhiber.

C'est indispensable en cryptographie, mots clefs : générateurs pseudo-aléatoires

PS : tu sembles avoir raison, impossible de trouver un exemple concret de suite avec une complexité de Kolomogorov élèvé... 

Il y a 10 heures, contrexemple a dit :

PS : tu sembles avoir raison, impossible de trouver un exemple concret de suite avec une complexité de Kolomogorov élèvé... 

 

Quoiqu'il faille mettre un bémol puisque les constantes omega semblent être démontrées comme incompressibles (cf. lien ci-avant). Je comprends absolument pas comment c'est possible mais je présume que ce doit être démontrable dans certains cas bien précis, en dépit de l'indécidabilité de la complexité de Kolmogrov.

Il y a 3 heures, Quasi-Modo a dit :

Quoiqu'il faille mettre un bémol puisque les constantes omega semblent être démontrées comme incompressibles (cf. lien ci-avant). Je comprends absolument pas comment c'est possible mais je présume que ce doit être démontrable dans certains cas bien précis, en dépit de l'indécidabilité de la complexité de Kolmogrov.

Non, non, on ne sait pas calculer un nombre aléatoire (par définition) donc vu qu'on ne sait expliciter que ce qui est calculable, ce nombre échappe aux mathématiques modernes, sinon je veux bien que tu me donnes un exemple (explicite) d'une telle suite avec par exemple 100 chiffres (si tu trouves j'avoue que je serais vraiment trés supris)

Il y a 7 heures, contrexemple a dit :

Non, non, on ne sait pas calculer un nombre aléatoire (par définition) donc vu qu'on ne sait expliciter que ce qui est calculable, ce nombre échappe aux mathématiques modernes, sinon je veux bien que tu me donnes un exemple (explicite) d'une telle suite avec par exemple 100 chiffres (si tu trouves j'avoue que je serais vraiment trés supris)

Bien sûr, tu as raison de souligner ce fait : l'incalculabilité des nombres aléatoires (telles les constantes omega) mais il reste néanmoins possible de les définir en tant qu'abstractions mathématiques et de travailler avec, même si elles sont inconnaissables. Du coup nous sommes effectivement aux frontières de l'absurde. Remarque il en va de même avec d'autres concepts comme celui d'infini (inexplorable dans les faits), alors que les mathématiques sont par nature le lieu où on jongle avec des infinis.

La question qui vient naturellement ensuite c'est quelle est la nature des mathématiques?

Bonsoir,

Citation Quasimodo :

Remarque il en va de même avec d'autres concepts comme celui d'infini (inexplorable dans les faits), alors que les mathématiques sont par nature le lieu où on jongle avec des infinis.

Il y a une remarque assez souvoureuse : avec une infinité de personne ayant chacun un pain, on peut multiplier le pain à volonté, il suffit de faire une pyramide de Ponzi.....

C'est logiquement possible.... ...

Bonne soirée. 

J'ajoute, que selon le langage de programmation, on n'a pas la même taille de programmes, ce qui fait que la complexité de Kolmogorov change quand on change le langage de programmation (mais pas que d'un peu).

Prenons par exemple la suite S1 qui serait généré par le plus petit programme de taille C1 dans le langage L1.

Avec C1>S1, donc S1 aléatoire pour le langage L1.

Si S1 est une constante du langage L2, alors S1 est de complexité minimal, et donc n'est pas aléatoire.

Bref, je pense que l'on peut trouver un langage de programation (L) tel que :

0123456789101112131415161718192021222...1000 soit aléatoire...

Bonne soirée.

Bonjour.

C'est vraiment passionnant.

Je résume : on peut démontrer qu'une suite n'est pas aléatoire. Mais on on ne peut pas démontrer qu'une suite est aléatoire. C'est déjà pas mal !

Pour les nombres de Chaitin. J'ai lu l'article qui est très intéressant. Mais en le lisant, je ne crois pas l'avoir compris comme vous. Il est écrit que tous les nombres de Chaitin sont aléatoires. Et il est donné un exemple des 64 premières décimales de l'un d'entre eux. Donc une suite aléatoire de 64 nombre est bien exhibée.

J'ai mal compris qq chose ?

A+

Bonjour,

Citation Spontzy :

Pour les nombres de Chaitin. J'ai lu l'article qui est très intéressant. Mais en le lisant, je ne crois pas l'avoir compris comme vous. Il est écrit que tous les nombres de Chaitin sont aléatoires. Et il est donné un exemple des 64 premières décimales de l'un d'entre eux. Donc une suite aléatoire de 64 nombre est bien exhibée.

Cela dépend du langage de programmation.

Les nombres de Chaitin sont asymptotiquement aléatoires (en l'infini), mais par exemple en prenant un langage de programmation bien choisie, par exemple la suite (de 64 bits) est une constante, on doit pouvoir réduire la complexité de manière à ce que cette suite ne soit pas aléatoire, c'est à dire la taille de son plus petit programme la générant est strictement plus petite que la taille de la suite...

J'espère que c'est plus claire sinon n'hésite pas, je me ferais un devoir de critiquer la logique....

Bonne journée.

Je cite l'article :

"

Tous les nombres oméga sont aléatoires au sens mathématique le plus fort (le terme consacré est «aléatoire au sens de Martin-Löf» en l’honneur du mathématicien suédois qui introduisit ce concept en 1966). Cela implique en particulier que :

(a)  une méthode programmable pour prédire le n-ième chiffre d’un oméga à partir des n – 1 premiers ne fait jamais mieux que le hasard ;

(b)  si l’on extrait une sous-suite de la suite des chiffres d’un oméga par un procédé algorithmique (par exemple en retenant les chiffres dont les rangs sont des nombres premiers), cette suite sera celle des chiffres d’un nombre irrationnel, transcendant, équiréparti et aléatoire et sera même celle d’un autre nombre oméga de Chaitin.

"

Donc si je comprends, ce n'est pas exactement ce que vous écrivez : cette suite composant les 64 premiers termes d'un nombre de Chaintin serait donc belle et bien incompressible :

000000100000010000011000100001101000111111001011101110 1000010000.

Où me trompe-je ?

A+

Et j'ai essayé de réfléchir un peu.

"00000000000" est-il une suite finie aléatoire ? Pour moi, potentiellement oui. Car cette suite pourrait continuer par "01001110110101101" et à terme devenir conforme aux définitions de suite aléatoire telles que décrites plus haut.

Donc toute suite finie est potentiellement aléatoire (dans le sens est un extrait d'une suite infinie aléatoire). Car toute suite aléatoire infinie doit être nombre univers (c'est mon intuition, je ne connais pas de démonstration). Donc une suite aléatoire ne peut être qu'infinie.

Bon je baragouine. Et j'attends vos contributions.

PS: pour l'histoire des programmes, j'avais lu (mais où ?????) qu'il existe une machine de Turing universelle optimale qui minimise tout programme. Donc que tout programme est optimal, à une constante près. Donc que la complexité de Kolmogorov est définie à une constante près.

Il y a 10 heures, Spontzy a dit :

Bonjour.

 

C'est vraiment passionnant.

Je résume : on peut démontrer qu'une suite n'est pas aléatoire. Mais on on ne peut pas démontrer qu'une suite est aléatoire. C'est déjà pas mal !

 

Pour les nombres de Chaitin. J'ai lu l'article qui est très intéressant. Mais en le lisant, je ne crois pas l'avoir compris comme vous. Il est écrit que tous les nombres de Chaitin sont aléatoires. Et il est donné un exemple des 64 premières décimales de l'un d'entre eux. Donc une suite aléatoire de 64 nombre est bien exhibée.

 

J'ai mal compris qq chose ?

A+

Il semble impossible de démontrer le caractère aléatoire d'une suite finie donnée, quoiqu'effectivement comme dis, les constantes omegas (suite infinie donc) sont démontrées comme étant aléatoires même si on ne peut connaître qu'un nombre fini de chiffres les composant.

Le suite donnée dans l'article est la suivante (et elle est composée de 64 décimales): 0000001000000100000110001000011010001111110010111011101000010000

Et il est tout à fait possible qu'elle soit compressible, il faudrait lui chercher une logique, même si l'indécidabilité de la complexité de Kolmogorov rend cela délicat à démontrer. En effet, ce nombre correspond au calcul pour une machine et un langage donnés, mais il devrait être possible d'avoir un nombre omega (tout aussi aléatoire) commençant par n'importe quelle séquence de 64 décimales, sachant qu'il faut compter sur l'infini pour équilibrer les probabilités selon la loi des grands nombres (1/2 d'avoir un 0 et 1/2 d'avoir un 1 pour une décimale donnée).

Autrement dis, cette suite pourrait être n'importe laquelle, elle proviendrait forcément d'un nombre omega, et cela ne signifierait pas qu'elle soit aléatoire (ou alors toute suite finie serait aléatoire), mais qu'elle représente le début d'une suite infinie dont nous ne connaissons pas les décimales.

De plus je remarque que l'information contenue dans ce début de chaîne est non maximale selon l'entropie de shannon, c'est à dire que le désordre n'est pas total en elle : en effet nous avons si j'ai bien compté 23 fois le chiffre 1 et 41 fois le chiffre 0, et non une équiprobabilité comme nous pourrions nous y attendre pour une suite aléatoire! C'est donc très certainement possible de la compresser!

Bonsoir,

Avec ce mode de compression on devrait en venir à bout : https://fr.wikipedia.org/wiki/Compression_de_données#Codage_RLE

Bonne soirée.