Digression sur le 5ème postulat d'Euclide

Bonjour,

Chacun connaît l’énoncé du 5ème postulat d’Euclide sous sa forme moderne :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut faire passer qu’une et une seule parallèle à cette droite.

Voyons de plus près cette notion de droite en géométrie euclidienne.

Euclide affirme dans un autre postulat qu’un segment de droite peut être prolongé indéfiniment dans les deux sens et c’est ainsi que l’on obtient une droite. Ce postulat postule en plus que l'espace est continu.

Sa formulation nous dit aussi que ce segment de droite est la plus courte distance entre ses extrémités. Cette propriété est étendue à n’importe quelle paire de points distincts d’une droite.

Un autre postulat, le quatrième, nous dit que tous les angles droits sont égaux ce qui implique implicitement le fait que l’espace et homogène et isotrope.

Mais est-on sûr qu’un segment de droite AB est la plus courte distance entre A et B ?

Oui, répond la théorie du calcul des variations. Cette théorie est bien précieuse car elle s’étend à de nombreux autres cas mais ne sortons pas du sujet.

De nombreuses tentatives ont été faites pour essayer de démontrer ce 5ème postulat à partir des postulats précédents. Toutes ont échoué.

C’est alors que certains mathématiciens ont décidé de modifier ce postulat tout en gardant les quatre postulats précédents.

Il subsiste de nos jours principalement deux géométries qui partent du 5ème postulat modifié ainsi :

Géométrie de Lobatchevski :

Par un point pris hors d’une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite.

Géométrie de Riemann :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut mener aucune parallèle à cette droite.

Ces énoncés ont de quoi laisser plutôt perplexes les débutants qui attachent au mot « droite » un même sens dans tous les cas !

Revenons à ce calcul des variations évoqué ci-dessus.

J’ai dit qu’on démontre facilement à l’aide de ce calcul le fait qu’un segment de droite est la plus courte distance entre les extrémités de ce segment. (Si cela intéresse, je peux montrer cette démonstration)

On peut appliquer aussi cette technique sur une sphère et on obtiendra le résultat suivant :

Le plus court chemin joignant deux points distincts à la surface de la sphère est un arc de grand cercle.

Ce calcul des variations peut s’étendre à des surfaces quelconques.

On dit alors que l’on obtient des « géodésiques » , c’est-à-dire des lignes qui sont telles qu’elles joignent deux de leurs points distincts selon une distance minimale.

Il est évident que selon les surfaces considérées, le mot « géodésique » représente des lignes différentes mais partageant la même propriété à savoir : distance minimale entre deux de leurs points.

Vous avez deviné qu’il suffit de remplacer le mot « droite » par le mot « géodésique » dans les énoncés du 5ème postulat et tout mystère disparaît.

Cordialement.

Bonjour a tous, il est évident que ceux qui ne sont pas scientifiques .n'ont rien a dire .

Bonjour a tous, il est évident que ceux qui ne sont pas scientifiques .n'ont rien a dire .

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Mais non, si je n'étais pas scientifique, je rebondirais et demanderais d'autres explications !

Voici quelques illustrations de ces mathématiques qui divergent sur le 5° axiome d'Euclide.

Géométrie d'Euclide :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut faire passer qu’une seule parallèle à cette droite.

En conséquence la somme des angles intérieurs d'un triangle vaut 180°

C'est la géométrie plane : le carreleur couvre le sol avec des carrés, des rectangles ou des hexagones éventuellement des octogones couplés à des carrés.

Géométrie de Riemann :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut mener aucune parallèle à cette droite.

C'est ce qui se passe sur une sphère. La somme des angles intérieurs d'un triangle est >180°.

On s'en aperçoit quand on affiche au mur quatre cartes IGN au 1/25000 : les méridiens et parallèles ne coïncident pas exactement. En effet chacune des cartes est une portion de plan tangent en son centre à la sphère terrestre.

Le carreleur ne peut plus utiliser les figures simples. Pour couvrir une surface sphérique, il peut s'en approcher en combinant des pentagones et des hexagones (il faut tricher un peu sur les joint) !

Géométrie de Lobatchevski :

Par un point pris hors d’une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite.

C'est ce qui se passe sur un hyperboloïde (selle de cheval ou château d'eau "en coquetier".

Cette fois-ci la somme des angles intérieurs d'un triangle est <180° !

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Mais non, si je n'étais pas scientifique, je rebondirais et demanderais d'autres explications !

Voici quelques illustrations de ces mathématiques qui divergent sur le 5° axiome d'Euclide.

Géométrie d'Euclide :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut faire passer qu’une seule parallèle à cette droite.

En conséquence la somme des angles intérieurs d'un triangle vaut 180°

C'est la géométrie plane : le carreleur couvre le sol avec des carrés, des rectangles ou des hexagones éventuellement des octogones couplés à des carrés.

Géométrie de Riemann :

Par un point pris hors d’une droite on ne peut mener aucune parallèle à cette droite.

C'est ce qui se passe sur une sphère. La somme des angles intérieurs d'un triangle est >180°.

On s'en aperçoit quand on affiche au mur quatre cartes IGN au 1/25000 : les méridiens et parallèles ne coïncident pas exactement. En effet chacune des cartes est une portion de plan tangent en son centre à la sphère terrestre.

Le carreleur ne peut plus utiliser les figures simples. Pour couvrir une surface sphérique, il peut s'en approcher en combinant des pentagones et des hexagones (il faut tricher un peu sur les joint) !

Géométrie de Lobatchevski :

Par un point pris hors d’une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite.

C'est ce qui se passe sur un hyperboloïde (selle de cheval ou château d'eau "en coquetier".

Cette fois-ci la somme des angles intérieurs d'un triangle est <180° !

Bonjour,

Tout cela est fort juste et vous avez raison de le préciser.

Pour ma part, j'ai simplement voulu prévenir qu'il ne faut pas se polariser sur le mot "droite" employé à tort me semble-t-il dans les géométries non-euclidiennes, ce mot "droite" devant être réservé à la géométrie euclidienne. Le seul mot qui convienne à toutes ces géométries pour désigner les lignes de distances minimales entre deux points étant le mot "géodésique". Ainsi, en géométrie de Riemann ou de Lobatchevski, les débutants ne cherchent pas à se représenter des "droites" en leur donnant inconsciemment leur sens euclidien.

Par un point pris hors d’une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite.

C'est ce qui se passe sur un hyperboloïde (selle de cheval ou château d'eau "en coquetier".

Cette fois-ci la somme des angles intérieurs d'un triangle est <180° !

Qu'entend-t-on par parallèle dans ce cas-là? Je comprend que des sections de cylindre par des plans parallèles puissent être considérées parallèles, mais je ne vois pas comment des sections d'hyperboloïde pourraient l'être.

Qu'entend-t-on par parallèle dans ce cas-là? Je comprend que des sections de cylindre par des plans parallèles puissent être considérées parallèles, mais je ne vois pas comment des sections d'hyperboloïde pourraient l'être.

C'est pourtant très simple !

Il suffit de faire appel à une propriété des géodésiques parallèles : Elles ne se rencontrent pas ! Autrement dit, elles ne se croisent jamais.

Exactement comme pour les droites parallèles en géométrie euclidienne.

C'est tout.

Je croyais que l'équidistance était inclue dans la définition, je vois que ce n'est pas le cas pour les hyperboloïdes. Wiki parle de direction: "En géométrie affine, deux droites sont dites parallèles si elles ont la même direction." Il ne s'agit donc pas de la même définition dans les deux géométries si je comprends bien.

Je croyais que l'équidistance était inclue dans la définition, je vois que ce n'est pas le cas pour les hyperboloïdes. Wiki parle de direction: "En géométrie affine, deux droites sont dites parallèles si elles ont la même direction." Il ne s'agit donc pas de la même définition dans les deux géométries si je comprends bien.

Tant pis. Vous mélangez tout et ne comprenez rien.

Dire que deux lignes sont parallèles entraîne la propriété qu'elles ne se coupent pas. On peut donc définir deux lignes parallèles par le fait qu'elles ne se coupent pas. Mais dans certains cas, il peut se faire que leur écartement ne soit pas constant. On les considèrent quand même comme parallèles et c'est le cas pour, par exemple, certaines géodésiques de la géométrie de Lobatchevski.

J'ai très bien compris ta définition, mais elle ne contient pas de direction, donc je constate que ce n'est pas tout à fait la même que celle de deux droites sur un plan, c'est tout.

Et ça, ça vous parle ???

Les "droites" (géodésiques) D, D1, D2 et D3 sont, dans cet espace de Lobatchevski, PARALLELES !!!

Commencez donc par étudier la géométrie d'Euclide !!!

Le Repteux les géométries non-euclidiennes ne sont pas réservées aux débutants.

Si on leur applique le vocabulaire commun, on a des surprises.

Et encore Curieux a laissé de côté la topologie, qui est une source de beaucoup de surprises !!!

Je me débrouille assez bien en géométrie. J'ai fait un an de géométrie descriptive à polytechnique, et si je me rappelle bien, j'ai obtenu 100%. J'ai une bonne capacité à visualiser la troisième dimension. Je parlais seulement de la définition du parallélisme, qui n'est visiblement pas la même selon le type de géométrie.

Je serais quand même curieux de savoir par quel MIRACLE vous auriez pu réussir le concours d'entrée à l'école Polytechnique (même celle de Montréal) sans rien connaître aux mathématiques !

Où avez vous suivi les classes préparatoires ?

Tout ce que vous racontez prouve votre nullité totale en cette discipline.

Vos dernières réflexions en constituant une preuve supplémentaire !

Seriez vous EN PLUS un mythomane ?

Quand on prétend avoir été reçu au concours de l'X et que l'on ignore tout des mathématiques et de la physique ...

Exemple, que savez vous de ça :

http://www.phys.ens....s/X_MQ_2003.pdf

Vous rendez-vous compte de ce que vous racontez ???

Et vous prétendez unifier la Relativité et la mécanique quantique ? (C'est bien ce que vous avez affirmé il n'y pas si longtemps, non ?)

Je me destinais à l'architecture, et je n'aimais pas la philo qu'on avait eu en philo I, celle de Teilhard de Chardin, alors comme je pouvais, j'ai remplacé la deuxième année par un an de poly. Il n'y avait pas de concours d'entrée, mais la première année était très sélective, et j'ai réussi haut la main, alors je ne devais pas être si mauvais que ça en maths. Pas besoin de maths en architecture par contre, alors j'en ai oublié pas mal, mais je n'ai pas oublié la base, contrairement à ce que tu crois et à ce que tu voudrais faire croire aux autres. Arrête de faire ça ce n'est pas agréable! Crois-tu vraiment qu'on fait exprès pour te faire fâcher?

curieux révise ses cours de géométrie... quel pauvre!

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Qu'il révise ou pas, on s'en fiche, mais c'est une belle occasion de montrer (ou rappeler) au lecteur que l'axiomatique en mathématiques permet de construire des branches des mathématiques qui peuvent avoir des aspects surprenants.

Si un seul lecteur du forum découvre ces deux géométries nouvelles pour lui, Curieux1 n'aura pas perdu son temps. Il aura joué le rôle d'informateur qui est l'un des buts de ce forum !

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Qu'il révise ou pas, on s'en fiche, mais c'est une belle occasion de montrer (ou rappeler) au lecteur que l'axiomatique en mathématiques permet de construire des branches des mathématiques qui peuvent avoir des aspects surprenants.

Si un seul lecteur du forum découvre ces deux géométries nouvelles pour lui, Curieux1 n'aura pas perdu son temps. Il aura joué le rôle d'informateur qui est l'un des buts de ce forum !

"le rôle d'informateur qui est l'un des buts de ce forum "

Il est en effet utile de le rappeler.

"le rôle d'informateur qui est l'un des buts de ce forum "

Il est en effet utile de le rappeler.

Par exemple je conseille, pour ceux qui seraient intéressés, le livre de grande réputation intitulé "Euclidian and Non-Euclidian Geometries" de Marvin Jay et Greenberg (en anglais).

Cet ouvrage est un des plus passionnants traitant de l'initiation aux géométries non euclidiennes après une excellente introduction à la géométrie euclidienne qui n'est hélas plus guère enseignée de nos jours. .

On le trouve chez un site célèbre spécialisé dans le e-commerce au prix de 19 €.