R non dénombrable?

R contient plus d'éléments que N?

Faut poser la question au roi des maths du forum, bon, y a des chances qu'après sa réponse, tu ne comprennes même plus ta question, pas grave, demerdez vous tous les 2, hein ?

(et si tu doutes de ses compétences, c'est par ici...euh non, par là en fait...)

:smile2:

R n'est pas dénombrable, c'est ça la question?

Oui, comme tu l'as entendu.

R contient une infinité indénombrable , N une infinité dénombrable.

Q+ continent il plus d'elements que N ?

Veux tu dire que les nombres irrationnels rendent impossible, la dénombrabilité de R?

[bonjour,

R n'est pas dénombrable pour la raison suivante :

Soit un segment de droite.

Il est impossible de définir deux points juxtaposés. Ou bien ce segment est de longueur nulle ou bien il contient, quelque soit sa longueur, un ensemble non dénombrable de points.

C'est tout simplement pourquoi l'ensemble R est non dénombrable car à chaque réel correspond un point de ce segment de droite.

Par exemple le nombre juste avant 1 ne peut s'écrire qu'ainsi :

0.999999999999999999999999999... (un nombre infini de 9).

Quel est alors l'écriture du nombre 1 - 0.99999999999999999999..... ???

Cantor a appelé ﬡ° le cardinal des ensembles dénombrables et ﬡ_un celui des ensembles non-dénombrables.

On ne sait s'il existe un ﬡ entre les deux. En 1963, Cohen en a démontré l'indécidabilité mais il semble que sa démonstration soit sujette à contestation.

Si mes souvenirs (très lointains !) de la Fac sont justes, alors il existe des ensembles "plus infinis" encore que ceux non-dénombrables. C'est par exemple l'ensemble des courbes du plan. Mais, je le répète, tout cela est loin... et je n'ai jamais eu l'occasion dans ma vie professionnelle de me servir de ces notions de mathématique.

Cordialement.

Veux tu dire que les nombres irrationnels rendent impossible, la dénombrabilité de R?

Non c'est pour le plaisir du jeu mathématique. Q+\{0} contient il plus d'éléments que N ?

Pour la non dénombrabilité de R on se sert de la diagonale de Cantor ou bien des segments emboîtés .

https://fr.wikipedia...onale_de_Cantor

@algonquin désolé je n'avais pas lu votre réponse.

[bonjour,

R n'est pas dénombrable pour la raison suivante :

Soit un segment de droite.

Il est impossible de définir deux points juxtaposés. Ou bien ce segment est de longueur nulle ou bien il contient, quelque soit sa longueur, un ensemble non dénombrable de points.

C'est tout simplement pourquoi l'ensemble R est non dénombrable car à chaque réel correspond un point de ce segment de droite.

Par exemple le nombre juste avant 1 ne peut s'écrire qu'ainsi :

0.999999999999999999999999999... (un nombre infini de 9).

Quel est alors l'écriture du nombre 1 - 0.99999999999999999999..... ???

Cantor a appelé ﬡ° le cardinal des ensembles dénombrables et ﬡ_un celui des ensembles non-dénombrables.

On ne sait s'il existe un ﬡ entre les deux. En 1963, Cohen en a démontré l'indécidabilité mais il semble que sa démonstration soit sujette à contestation.

Si mes souvenirs (très lointains !) de la Fac sont justes, alors il existe des ensembles "plus infinis" encore que ceux non-dénombrables. C'est par exemple l'ensemble des courbes du plan. Mais, je le répète, tout cela est loin... et je n'ai jamais eu l'occasion dans ma vie professionnelle de me servir de ces notions de mathématique.

Cordialement.

Comme N et R sont tous les deux infinis, il y a toute raison d'existence de nombres infinis, ce qui apparaît dans les divisions incomplètes et qui est la cause principale de cette apparente indénombrabilité. ambiguïté qu'on peut enlever en imposant une borne et une échelle.

Et R contient les entiers et les entiers multipliés par 10^-n, avec n de N*, ainsi que leurs images par rapport au zéro.

Non c'est pour le plaisir du jeu mathématique. Q+\{0} contient il plus d'éléments que N ?

Apparemment oui, je ne sais pas.

Non c'est pour le plaisir du jeu mathématique. Q+\{0} contient il plus d'éléments que N ?

Pour la non dénombrabilité de R on se sert de la diagonale de Cantor ou bien des segments emboîtés .

https://fr.wikipedia...onale_de_Cantor

@algonquin désolé je n'avais pas lu votre réponse.

Bonjour,

Vous faites bien de rappeler l'astucieux procédé de la "diagonalisation de Cantor". Je l'avais oubliée celle là !

Merci d'avoir complété mon texte.

Cordialement.

Comme N et R sont tous les deux infinis, il y a toute raison d'existence de nombres infinis, ce qui apparaît dans les divisions incomplètes et qui est la cause principale de cette apparente indénombrabilité. ambiguïté qu'on peut enlever en imposant une borne et une échelle.

Et R contient les entiers et les entiers multipliés par 10^-n, avec n de N*, ainsi que leurs images par rapport au zéro.

Apparemment oui, je ne sais pas.

Et bien non ils sont équipotents !

http://serge.mehl.free.fr/anx/denombr_q.html

Ce qui n'empêche pas Q d'être dense dans R ^^

Et bien non ils sont équipotents !

http://serge.mehl.fr.../denombr_q.html

Ce qui n'empêche pas Q d'être dense dans R ^^

Ah, oui, ça c'est vrai, merci pour l'explication.

Peut on dire que R et {N , N.10^-n} sont équipotents?

n appartient à N ?

Si oui pas d'équipotence les décimaux sont dénombrables puisque sous ensemble de Q

Mais ce qui existe, par exemple, dans ]0,1[ de R, ce sont tous des décimaux, qui ne sont que des entiers multipliés par 10^-n.

Et comme les décimaux sont dénombrables; alors R est dénombrable, ça dépend juste de la limite à laquelle on veut aller.

Et de conséquence, il y a bien une équivalence et équipotence entre R⁺ et {N , N.10^-n}, avec: n de N*.

D'où: l'équipotence entre R et {Z , Z.10^-n}, avec: n toujours de N*.

Non sur tout intervalle de R il y a des irrationnels , ta première affirmation est fausse.

R est indénombrable Google est ton ami .

Exemple : 1/2^0,5

Il n'est pas décimal car irrationnel .

Un nombre irrationnel est un nombre décimal infini.

La racine carrée de 0.5 (~7071067811865475.10^-16), multipliée par la racine carrée de 10 est égale à la racine carrée de 5,

La racine carrée de 0.1 multipliée par la racine carrée de 10 est égale à 1

NON.

PAR DEFINITION un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction ( la racine carrée de 0.1 n'est pas irrationnelle ) , donc encore moins sous la forme d'une division par 10.

Yazid avant de faire des maths, il est primordiale de connaître les définitions des concepts que tu veux utiliser, sinon c'est rétamage garanti !

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres √2 (voir des démonstrations de son irrationalité).

Cordialement

PS : Yazid ce sont des maths élémentaires, avant d'affirmer une bêtise, vérifie !

Je dis bien sous forme de a.10^-n, et pas sous forme de a/b.