Petite question d'un candide.

Bonjour,

J’espère, en ouvrant cette discussion, obtenir quelques réponses à une question à laquelle, depuis longtemps, je n’arrive pas à trouver de réponses qui me satisfassent.

Un bref « état des lieux » s’impose avant tout. Je connais, comme tout le monde, la notion de limite en maths. Et je sais aussi que sa définition à engendré de longs et passionnés débats entre les grands mathématiciens du 15ème au 20ème siècle. Même Cauchy, la définissait comme : Lorsque (les valeurs) successivement attribuées à une variable, s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe de manière à en différer aussi peu que l’on voudra, alors cette valeur fixe est appelée « la limite » de toutes les autres. Ce qui satisfait un peu tout le monde, mais manque tout de même un peu de rigueur. La définition plus moderne serait trop compliquée pour l’exposer ici. Si l’on prend comme exemple celui de la série dont les termes sont de la forme 1/ 2 ⁿ: et qui conduit à la somme 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8…. et dont chacun connaît la limite, égale à 2 quand n-> ∞, tout le monde est d’accord avec ce résultat, même mon ami Doumé, grand amateur de Pastis qui, bien installé devant le comptoir du bar qu’il fréquente assidûment, résume cela parfaitement en prenant même en compte la notion d’infini : ben, oui, si t’avance de 1 mètre, puis de 50 cm, puis de 25 et cela jusqu’à la Saint Glinglin, il te restera toujours autant à parcourir que la valeur de ton dernier pas. Donc, tu n’arriveras jamais à 2. Mais Doumé est un philosophe.

Cette définition de la limite est donc acceptable pour un mathématicien. Mais l’est-elle pour un physicien, individu censé étudier des phénomènes en se basant sur le résultat d’expériences ? Rappelons, la sagesse des physiciens, qui répugnent à franchir certaines limites quand celles-ci deviennent trop petites. Par exemple, rien ne leur permet d’affirmer que les lois sur lesquelles ils s’appuient pour faire progresser le savoir restent encore valables quand, s’agissant par exemple d’un mouvement, une distance parcourue, ou à parcourir, devient inférieure à des choses comme 10^-40 et en général, ils ne s’aventurent pas à manipuler des valeurs aussi petites, d’autant qu’elles échappent pour l’instant à tout appareil de mesure.

On ne peut que les louer de cette sagesse. Et c’est justement là l’objet de ma question, question que certains pourraient juger pleine de candeur. Comment ces physiciens, peuvent-ils utiliser le calcul différentiel, arme absolue, véritable couteau suisse du mathématicien, pour résoudre un problème de nature physique. Ce que l’on appelait, il y a encore peu, les IP (infiniment petits), ou les « premières et dernières raisons » ou encore la notion de fluxion ( vitesse instantanée) se sont progressivement introduites dans la notion de dérivée et n’ont pas troublé les mathématiciens. Mais comment un physicien, peut-il calculer une intégrale, ou dériver une fonction, en sachant que pour faire cela, il franchi les frontières que j’ai signalé plus haut et qu’il s’interdit normalement d’approcher ? 10^-40 ce n’est pas beaucoup, mais pour un passage à la limite cela reste encore une valeur très claire, bien définie, parfaitement accessible et susceptible d’être encore réduite jusqu’à approcher la limite tant convoitée.

Je ne sais pas si j’ai bien défini la nature de ma question. Merci, à ceux qui ont deviné son sens exact, de bien vouloir m’éclairer.

Le calcul intégral c'est un calcul et pas une mesure.

Le physicien ou l'ingénieur utilise l'outil mathématique mais à aucun moment, la quantité différentielle qu'il va intégrer est définie physiquement ou chimiquement comme ayant une taille connue comme peut l'être celle d'un atome.

La définition de Cauchy suffit amplement et est désormais celle qui est canoniquement utilisée en analyse.

Note : Le physicien ne se contente pas d'approximer bêtement une solution. Il utilise les développements limités et compare les comportements asymptotiques de certaines quantités.

Il ne fait pas réellement tendre un nombre vers 0 ou vers l'infini, mais compare des quantités entre elles et effectue une simplification au premier ordre, deuxième ordre, etc. selon ses besoins en précision.

Par exemple, (1 + e/V)^2 = 1 + 2e/V + O(e²) qui vaut 1 + 2e/V au premier ordre si e est très petit devant V. Le mathématicien ne se risquerait pas à ce genre de formulation qui le gène dans sa rigueur légendaire. Chez le physicien, seul le résultat compte, et son but est d'extraire une information sans se gêner d'un formalisme trop contraignant. Par contre, il précise toujours quelles sont les simplifications et les troncatures qu'il utilise.

on peut aussi prendre le thermomètre à liquide et sa loi thermométrique. on considère que le phénomène des dilatation est une fonction linéaire de la longueur du type L = at+b.

En réalité t est donné par un polynome contenant des termes t² , t cube....

Mais compte tenu de la précision de lecture, les termes supérieurs à 1 sont négligeable donc tous les thermomètres à liquide sont gradués avec une échelle linéaire !

Bonjour,

Pour ma part, je ne vais pas chercher midi à quatorze heures et me contente de constater que les calculs des physiciens ont conduit la physique là où elle est et le résultat est vraiment impressionnant.

Je remarque aussi que, finalement, la recherche en physique a bien souvent pour objectif d'augmenter le nombre de décimales !

Par exemple, la formule newtonienne d'addition des vitesses est V = V1 + V2 alors qu'en Relativité restreinte elle s'écrit V = (V1+V2)/(1+V1V2/c²)

Appliquée à des situations "terrestres" l'écart des résultats est totalement négligeable entre Newton et Einstein. Mais on a gagné un nombre impressionnant de décimales, gain indispensable lorsque l'on sort du domaine de la mécanique newtonienne.

Quant à cette précision des calculs des physiciens dans leurs théories, il faudrait faire intervenir les méthodes "perturbatives" quand elles sont possibles.

Mais cela est vraiment trop compliqué pour être exposé ici bien que ces méthodes se soient révélées indispensables au même titre que la "renormalisation".

Mais vous pouvez toujours consulter Wikipédia le cas échéant pour ces deux techniques.

Cordialement..

P.S.

Je n'oublie pas le GPS qui nécessite absolument l'intervention de la Relativité générale. Là encore, le gain en décimales est indispensable !

Je n'oublie pas non plus l'intervention de la Relativité restreinte et générale dans les accélérateurs de particules.

Mais ces accélérateurs ne jouent aucun rôle dans notre quotidien.

Bonjour,

Pour ma part, je ne vais pas chercher midi à quatorze heures et me contente de constater que les calculs des physiciens ont conduit la physique là où elle est et le résultat est vraiment impressionnant.

Je remarque aussi que, finalement, la recherche en physique a bien souvent pour objectif d'augmenter le nombre de décimales !

Par exemple, la formule newtonienne d'addition des vitesses est V = V1 + V2 alors qu'en Relativité restreinte elle s'écrit V = (V1+V2)/(1+V1V2/c²)

Appliquée à des situations "terrestres" l'écart des résultats est totalement négligeable entre Newton et Einstein. Mais on a gagné un nombre impressionnant de décimales, gain indispensable lorsque l'on sort du domaine de la mécanique newtonienne.

Quant à cette précision des calculs des physiciens dans leurs théories, il faudrait faire intervenir les méthodes "perturbatives" quand elles sont possibles.

Mais cela est vraiment trop compliqué pour être exposé ici bien que ces méthodes se soient révélées indispensables au même titre que la "renormalisation".

Mais vous pouvez toujours consulter Wikipédia le cas échéant pour ces deux techniques.

Cordialement..

P.S.

Je n'oublie pas le GPS qui nécessite absolument l'intervention de la Relativité générale. Là encore, le gain en décimales est indispensable !

Je n'oublie pas non plus l'intervention de la Relativité restreinte et générale dans les accélérateurs de particules.

Mais ces accélérateurs ne jouent aucun rôle dans notre quotidien.

Merci pour ce rappel , il y a bien longtemps que j'ai oublié...

Merci pour ce rappel , il y a bien longtemps que j'ai oublié...

Bonjour,

Si vous saviez tout ce que j'ai oublié, moi !

Bonjour,

A propos de précision des mesures, parlons du zéro et de l'infini en physique.

Ces deux concepts n'appartiennent pas à la physique !

En effet, si l'infini s'introduit très simplement en mathématiques, par exemple en se donnant un nombre N aussi grand que l'on veut, on peut toujours écrire un nombre N+1 plus grand que N et on tend ainsi vers le concept d'infini. Déjà, Aristote définissait "l'infini potentiel" par opposition à "l'infini actuel". De nos jours, un exemple d'infini actuel est représenté par ﬡ° (aleph) qui désigne le cardinal de l'ensemble des entiers.

Mais, rappelons le, la physique est la science du mesurable !

Or, il est évident que l'infini n'est pas mesurable ! Il est donc étranger à la vraie physique qui est la physique expérimentale, celle qui a le dernier mot sur la physique théorique.

Venons-en au zéro.

La précision d'une mesure dépend de celle de l'instrument utilisé pour obtenir cette mesure.

Cette précision se manifeste par un certain nombre de décimales.

Si, par exemple, une mesure de la masse du photon donne la valeur 0, 000000000000000000000001 gramme, qui me dit qu'une meilleure précision obtenue avec un autre instrument plus perfectionné ne donnera pas un nombre encore plus petit et ainsi de suite... ?

Il faudrait donc pour décider expérimentalement que la masse du photon est nulle atteindre un nombre infini de décimales ! Et on retombe sur l'inaccessibilité de l'infini en physique.

En conclusion, ni le zéro ni l'infini n'ont leur place en physique.

Cordialement.

Bonjour,

Voici un aperçu des moyens de calcul en physique utilisant des nombres très petits sans être infinitésimaux.

Il s'agit de faire tracer la courbe de la fonction y =f(x) solution de l'équation différentielle du premier ordre :

xy'+y = cos(x) (On sait, comme on le verra, intégrer cette équation mais je ne la donne que comme exemple de la méthode de calcul numérique).

On peut la réécrire ainsi :

xdy + ydx = cos(x)dx.

dx et dy sont des infiniment petits. Remplaçons les respectivement par Δx et Δy qui seront des nombres petits mais pas infiniment petits.

On a donc : xΔx + yΔy = cos(x)Δx

d'où Δy = Δx(cos(x)-y)/x

Donnons à x de départ la valeur 0 et 1 pour y. (conditions initiales).

Portons de ces valeurs dans l'équation précédente et donnons à Δx la valeur 0.01. On obtient donc une valeur pour Δy qui sera, avec Δx les coordonnées d'un point de la courbe cherchée. Puis faisons Δx = Δx+0.01 et recommençons le calcul, d'où une nouvelle valeur de Δy d'où un nouveau point de la courbe cherchée.

En poursuivant ces itérations, on obtient la courbe : (La courbe en rouge est celle calculée et la verte est donnée par la courbe issue de la fonction obtenue directement en intégrant l'équation différentielle

y = sin(x)/x + C/x)

Précision.

Dans l'exemple ci-dessus, j'ai oublié de mentionner avoir posé c = 0

Voici le programme que j'ai écrit pour cet exemple :

Brosse(4)·Eff()·Police(Arial,30)·Pinceau(15)

·Pos(100,50)INTEGRATION NUMERIQUE DES EQUATIONSDIFFERENTIELLES DU

·Pos(370,90)PREMIER ORDRE

·Pinceau(11)

·Pos(50,130)Soit par exemple l'équation différentielle: ·Pinceau(10)xy' + y = cos(x)

·Pos(550,200)·Pinceau(15)En posant: y' = dy/dx cette équation

·Pos(550,230)devient:

·Pos(650,260)xdy + ydx = cos(x)dx

·Pos(550,300)Remplaçons les différentielles dx et dy

·Pos(550,330)par les accroissements·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x et ·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)yrespec-

·Pos(550,360)tivement:

·Pos(650,390)x·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)y +y·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x =cos(x)·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x

·Pos(550,420)D'où nous tirons:

·Pos(650,450)·Pinceau(10)·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)y= ·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x(cos(x) - y)/x ·Pinceau(15)(1)

·Pos(550,480)Donnons-nous les conditions initiales:

·Pos(670,510) x = 0 et y = 1

·Pos(550,540)et choisissons·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x = 0.01

·Pos(100,570)L'expression (1) donne·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)y qui permet de calculer y = y +·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)y

·Pos(100,600)On fait ensuite x = x +·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)x dans (1) d'où un nouveau ·Police(symbol,30)D·Police(Arial,30)yetc.

·Pos(100,640)On traitera de même toute équationdifférentielle pouvant se ramener à la forme:

·Pos(450,690)·Pinceau(11)y' = f(x,y)

·Pause(0)

·Pinceau(11)·Brosse(11)

·DefAxes(50,400,25,100)·TraceAxes(3,19,2)·Pinceau(10)·Pstyle(4)

[x:=0.0001 , y:=1 , dx:=0.01 , c:=0]

·(bcl)

[dy:=(cos(x)-y)*dx/x]

[y:=y+dy , x:=x+dx]

·Point([x],[y])

·Remonte(1700,bcl)

·Pause(0)

·Axes(-)

·Brosse(4)·Boite(542,185,1016,748)·Boite(80,554,1016,748)

·Pos(550,200)·Pinceau(15)Reprenons l'équation:·Pinceau(10)xy' + y = cos(x)·Pinceau(15)

·Pos(550,230)On voit de suite que le premier membre

·Pos(550,260)est la dérivée du produit xy:

·Pos(690,300)(xy)' = xy' + y

·Pos(550,340)d'où: (xy)' = cos(x) d'où immédiatement:

·Pos(690,380)xy = sin(x) + C

·Pos(550,420)ce qui donne la fonction solution:

·Pos(550,460)y = sin(x)/x + C/x·Police(Arial,20) (C constanted'intégration)·Police(Arial,30)

·Pos(550,500)Traçons la courbe pour [C:=0] avec pour

·Pos(550,530)conditions iniales x = 0 et y = 1:

·Pinceau(9)·Pstyle(2)

·Axes(+)

·Fonction(y=sin(x)/x+c/x,x,0.01,17,0.01)

·Axes(-)·Pinceau(254)

·Pos(70,700)Le calcul direct de la solution coïncideexactement avec la solution numérique.

·Pause(0)

·Fin()

Bonjour,

J’espère, en ouvrant cette discussion, obtenir quelques réponses à une question à laquelle, depuis longtemps, je n’arrive pas à trouver de réponses qui me satisfassent.

Un bref « état des lieux » s’impose avant tout. Je connais, comme tout le monde, la notion de limite en maths. Et je sais aussi que sa définition à engendré de longs et passionnés débats entre les grands mathématiciens du 15ème au 20ème siècle. Même Cauchy, la définissait comme : Lorsque (les valeurs) successivement attribuées à une variable, s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe de manière à en différer aussi peu que l’on voudra, alors cette valeur fixe est appelée « la limite » de toutes les autres. Ce qui satisfait un peu tout le monde, mais manque tout de même un peu de rigueur. La définition plus moderne serait trop compliquée pour l’exposer ici. Si l’on prend comme exemple celui de la série dont les termes sont de la forme 1/ 2 ⁿ: et qui conduit à la somme 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8…. et dont chacun connaît la limite, égale à 2 quand n-> ∞, tout le monde est d’accord avec ce résultat, même mon ami Doumé, grand amateur de Pastis qui, bien installé devant le comptoir du bar qu’il fréquente assidûment, résume cela parfaitement en prenant même en compte la notion d’infini : ben, oui, si t’avance de 1 mètre, puis de 50 cm, puis de 25 et cela jusqu’à la Saint Glinglin, il te restera toujours autant à parcourir que la valeur de ton dernier pas. Donc, tu n’arriveras jamais à 2. Mais Doumé est un philosophe.

Cette définition de la limite est donc acceptable pour un mathématicien. Mais l’est-elle pour un physicien, individu censé étudier des phénomènes en se basant sur le résultat d’expériences ? Rappelons, la sagesse des physiciens, qui répugnent à franchir certaines limites quand celles-ci deviennent trop petites. Par exemple, rien ne leur permet d’affirmer que les lois sur lesquelles ils s’appuient pour faire progresser le savoir restent encore valables quand, s’agissant par exemple d’un mouvement, une distance parcourue, ou à parcourir, devient inférieure à des choses comme 10^-40 et en général, ils ne s’aventurent pas à manipuler des valeurs aussi petites, d’autant qu’elles échappent pour l’instant à tout appareil de mesure.

On ne peut que les louer de cette sagesse. Et c’est justement là l’objet de ma question, question que certains pourraient juger pleine de candeur. Comment ces physiciens, peuvent-ils utiliser le calcul différentiel, arme absolue, véritable couteau suisse du mathématicien, pour résoudre un problème de nature physique. Ce que l’on appelait, il y a encore peu, les IP (infiniment petits), ou les « premières et dernières raisons » ou encore la notion de fluxion ( vitesse instantanée) se sont progressivement introduites dans la notion de dérivée et n’ont pas troublé les mathématiciens. Mais comment un physicien, peut-il calculer une intégrale, ou dériver une fonction, en sachant que pour faire cela, il franchi les frontières que j’ai signalé plus haut et qu’il s’interdit normalement d’approcher ? 10^-40 ce n’est pas beaucoup, mais pour un passage à la limite cela reste encore une valeur très claire, bien définie, parfaitement accessible et susceptible d’être encore réduite jusqu’à approcher la limite tant convoitée.

Je ne sais pas si j’ai bien défini la nature de ma question. Merci, à ceux qui ont deviné son sens exact, de bien vouloir m’éclairer.

La pureté n'est pas de ce monde, certains se sont réfugiés dans les mathématiques pour la trouver mais je crois pas que cela ait été un grand succès ou que cela ait coïncidé avec une période de grande productivité. On peut pas tout maîtriser.

Je crois que Karl Popper a répondu à votre interrogation pour la physique :

http://www.ac-grenoble.fr/PhiloSophie/logphil/auteurs/popper.htm

Je cite la fin : "Par conséquent, la démarche expérimentale ne permet jamais de vérifier une théorie. Par contre elle permet de l’éliminer si elle est fausse, c’est-à-dire si ses prédictions ne se réalisent pas. Il s’agit donc bien d’un processus de conjectures et réfutations. Nos théories scientifiques sont des conjectures (des hypothèses sur le monde) que la démarche expérimentale peut éventuellement réfuter. Une « bonne » théorie est évidemment une théorie qui a résisté jusqu’à date à toutes les tentatives de réfutation. Mais cela ne prouve pas rigoureusement qu'elle est vraie. En science, il n'y a de certitude que négative: on peut savoir hors de tout doute si une théorie est fausse (quand elle est réfutée expérimentalement) mais pas si elle est vraie."

Une « bonne » théorie est évidemment une théorie qui a résisté jusqu’à date à toutes les tentatives de réfutation. Mais cela ne prouve pas rigoureusement qu'elle est vraie. En science, il n'y a de certitude que négative: on peut savoir hors de tout doute si une théorie est fausse (quand elle est réfutée expérimentalement) mais pas si elle est vraie."

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Savoir que quelque chose n'a pas d'influence sur un phénomène ce n'est pas "être dans l'ignorance".

C'est souvent par cette "élimination" que l'on a fait avancer les diverses sciences.

La pureté n'est pas de ce monde, certains se sont réfugiés dans les mathématiques pour la trouver mais je crois pas que cela ait été un grand succès ou que cela ait coïncidé avec une période de grande productivité. On peut pas tout maîtriser.

Je crois que Karl Popper a répondu à votre interrogation pour la physique :

http://www.ac-grenob...eurs/popper.htm

Je cite la fin : "Par conséquent, la démarche expérimentale ne permet jamais de vérifier une théorie. Par contre elle permet de l’éliminer si elle est fausse, c’est-à-dire si ses prédictions ne se réalisent pas. Il s’agit donc bien d’un processus de conjectures et réfutations. Nos théories scientifiques sont des conjectures (des hypothèses sur le monde) que la démarche expérimentale peut éventuellement réfuter. Une « bonne » théorie est évidemment une théorie qui a résisté jusqu’à date à toutes les tentatives de réfutation. Mais cela ne prouve pas rigoureusement qu'elle est vraie. En science, il n'y a de certitude que négative: on peut savoir hors de tout doute si une théorie est fausse (quand elle est réfutée expérimentalement) mais pas si elle est vraie."

Bonjour,

Les physiciens n'ont pas attendu Karl Popper pour soumettre leurs théories au verdict de l'expérience ! Je dis même que ce philosophe n'a fait qu'enfoncer une porte ouverte !

Je trouve qu'on donne un peu trop d'importance à un philosophe dont les connaissances intimes de la physique laisseraient plutôt à désirer.

C'est aux physiciens et à eux seuls qu'il appartient de juger la pertinence de leurs méthodes et théories au vu des résultats obtenus.

Bien à vous.

Bonjour,

je constate que toutes les réponses à ma question, sont conformes à ce que j’en attendais. Partout, de façon implicite ou explicite, je perçois la même conviction chez les intervenants : l’application d’une méthode éprouvée en mathématiques pour résoudre un problème physique, a fait ses preuves. Les résultats, sont là, et je serais bien le dernier à les nier. Quand Lorrain, par exemple évoque les résultats impressionnant de l’application de la Relativité sur la précision des mesures en matière de géo-localisation, il a raison. Mais ce n’est pas dans le domaine de l’infiniment grand que je vais rechercher l’origine de mon interrogation, là, la notion de dérivée me semble très cohérente : c’est dans l’emboîtement inférieur à la « boîte » dans laquelle se meut l’homme qu’il convient d’aller la chercher. Je ne peux pas arriver, quand je lis les origines du calcul différentiel, à me débarrasser de cette notion de quantité tendant vers une limite, sans imaginer cette quantité devenir de plus en plus petite. Et tout naturellement j’en viens à me demander si on a le droit d’effectuer ce fameux « passage à la limite » si pour en arriver à ce havre de paix et de tranquillité d’esprit, on doit franchir un cap dans lequel les quantités traitées deviennent égales ( si égales veut dire quelque chose) à l’ordre de grandeur des objets environnants. En passant à la limite, n’occulte-t-on pas une zone de turbulence inaccessible à nos sens, ou à nos appareils de mesures. Mais tout candide que je sois, n’allez pas croire que je sois un farouche détracteur du modèle de la physique de l’infiniment petit. Ayant une formation d’électronique, j’aurais beaucoup de mal à croire au transistor, à l’effet tunnel ou au laser sans ce modèle.

Je sais, et Répy l’a dit au tout début de ce fil, que le processus intellectuel qui, par exemple, autorise l’emploi de l’ intégration d’une équation différentielle, n’est qu’un calcul, un simple outil donc et qu’il est censé en principe rendre l’équation résultante capable de valider des mesures sur le phénomène étudié. Hélas, je sais cela, mais ça me chagrine. Soyez, gentils, rendez-moi, mon sourire.

Et je note avec plaisir que la sagesse semble régner sur ce fil. Serait-ce un effet collatéral de la Saint Valentin ? Ou d’un obscur « passage à la limite » ?

Un mot, tout de même, sur l’opportunité de laisser la parole à un philosophe dans la résolution d’un problème de physique. A moins de penser qu’un physicien ne soit pas pas un humain normalement constitué, on est bien obligé d’admettre qu’il N’EST, que par ses origines et sa culture. Donc qu’il est issu d’une philosophie quelle qu’elle soit. Et s’il est vrai que les philosophes ne peuvent plus parler d’une Science qui aujourd’hui les dépasse faute d’avoir pu disposer de deux vies pour apprendre ces deux matières, il est tout aussi vrai que quand un scientifique se risque à philosopher, le résultat n’est guère brillant. Comme on dit par chez moi : Chacun son métier, et les paillottes seront bien incendiées.

Note, en me relisant je vois que j'ai raconté plus haut : En passant à la limite, n’occulte-t-on pas une zone de turbulence inaccessible à nos sens, ou à nos appareils de mesures. Ne retrouve t-on pas ici, le problème même de la mesure ? Et si tout comme l’observateur, le calcul, ne venait pas perturber la mesure ??? Hein ?

Salut Azad,

Je vais t'apporter le point de vue de l'expérimentateur. Lorrain et Repy l'ont déjà précisé, la physique est avant tout une science expérimentale. Elle part de l'observable et le traduit mathématiquement. En réalité, si l'on cherche le sens d'une dérivée en physique, il faut d'abord se demander ce qu'elle représente, qu'elle est son sens physique.

Prenons d'abord un exemple simple : la vitesse. La vitesse, c'est une grandeur physique traduisant le mouvement, c'est à dire, la variation de position rapporté à un temps donné, unitaire. Si un corps, dans un référentiel donné, s'est déplacé de delta_x mètres, dans un intervalle de temps delta_t, c'est qu'il est mue d'une vitesse (moyenne) :

delta_x / delta_t

Pas d'intervention de quantité infinitésimale jusque là. Maintenant, le physicien ne peut, pour décrire le monde qui l'entoure, se contenter de la vitesse moyenne et a besoin de la notion de "vitesse instantanée". Qu'est ce que la vitesse instantanée ? Physiquement c'est très simple : si la vitesse décrite plus haut est la moyenne sur le temps t, c'est qu'elle est la moyenne de plein de vitesses "instantanée", c'est à dire, la moyenne des vitesses aux instants t1, t2, etc... Si je veux connaitre, en pratique, la vitesse instantannée d'un corps, il vaut mieux que je réduise le temps sur lequel je mesure cette vitesse. En effet, si je mesure la vitesse moyenne d'une voiture entre paris et marseille, je n'aurais pas une grandeur très utile. Par contre, si je mesure cette vitesse toutes les 10 secondes successives à chaque fois, je vais avoir une courbe qui va me montrer comment vari ma vitesse moyenne échantillonnée par 10s.

Je vais donc naturellement utiliser un outil mathématique approprié : la limite. La vitesse instantannée, c'est la limite de la vitesse moyenne quand la variation de temps devient infinitésimale, qui se note :

dx/dt.

Mais qu'est ce que l'infinitésimale ? Ce mot a un sens bien différent pour le mathématicien (rigoureux) et le physicien (pragmatique). Entre les deux, la mesure. Pour un pragmatique, avoir un échantillonnage de 10s sur Paris Marseille, c'est largement suffisant à dire qu'il dispose de la vitesse instantanée. Pour un rigoureux, ça reste un échantillonnage, un ensemble de vitesse moyenne, et nullement des vitesses instantanées. En fait, la vitesse instantanée est définie, mais pas mesurable littéralement. Sauf si on fait un passage à la limite. En pratique, on va réduire graduellement l'échantillonnage, et on va obtenir une courbe de forme asymptotique. A partir de là, on se pose une question : existe-t-il une raison physique (donc pragmatique) pour considérer qu'il y a une rupture brutale de la physique entre mon échantillonnage le plus petit et 0s ? ... Cela dépend bien sûr de la physique, mais à l'échelle de ma voiture, non, il n'existe aucune raison pragmatique d'observer une rupture de la physique ou une divergence brutale. Donc, la vitesse instantanée est bien l’asymptote de ma courbe.

Cela, je ne pourrais jamais le vérifier de manière directe en pratique. Mais je peux le vérifier dans des cas ponctuels de manière indirecte. Par exemple, si je prends un corps réalisant un mouvement pendulaire. Arrivé à vers son plus haut point, le pendule ralenti, puis repars dans le sens inverse. La physique, ou plutôt la logique, impose donc qu'au sommet de son déplacement, sa vitesse est nulle. Si je considère la norme de la vitesse (positive), je peux calculer au voisinage de ce point la vitesse moyenne sur 10s, 5s, 1s, etc... . Je vais obtenir une courbe positive décroissante, mais jamais nulle (car je suis dans l'incapacité de réaliser une mesure sur un intervalle de temps strictement et rigoureusement égal à 0s). Je sais pourtant que la limite est bien 0. Je suis capable de le calculer, je suis capable de l'observer, mais je suis incapable de le mesurer.

On introduit alors la notion très importante et soulignée par Repy et Lorrain de mesure et d'observable. La mesure contient toujours, intrinsèquement, une incertitude. Comme le dit Lorrain, nos capacités de mesure sont de plus en plus perfectionnées et nous permettent de mesurer des phénomènes de plus en plus faibles ou bruités. Toutefois, comme pour la vitesse, je pourrais toujours améliorer ma mesure, je sais parfaitement que je serai toujours incapable de réaliser une mesure sur un temps strictement et rigoureusement égale à 0s. Cependant, si je suis capable de réaliser une mesure sur un interval de temps dt tel qu'il n'existe aucune raison physique qu'une rupture brutale de la physique existe entre 0s et dt, alors, je peux considérer cette mesure comme une mesure suffisamment exacte de la vitesse instantanée. Aussi, la notion de limite est elle, en physique, toute relative. Relative à quoi ? relative à la mesure.

On en vient à une précision importante concernant les modèles de la physiques : ceux ci ne sont pas fait pour "décrire la réalité" , mais pour "décrire l'observable", et c'est très différent. En effet, ce propos justifie que l'on s'autorise à ne pas se pencher sur la physique de l'atome pour étudier le comportement d'un pont. Car cette physique n'a pas d'effet observable sur le comportement du pont (à condition bien sûr que l'on se contente d'observer les grandeurs qui importent en général au génie civil). Compte tenu de l'incertitude inhérente à toute mesure, il est très probable que nous ne validions jamais définitivement les modèles de la physique. Il y aura toujours un doute ,plus ou moins justifié, mais en tout cas permis sur le caractère "absolu" ou "réel" de n'importe quel modèle. Ce doute pourra être dans le micron en trop d'une orbite, ou même simplement dans la résolution de l'outil de mesure, il sera toujours présent.

Le passage à la limite, on ne se l'autorise que parce que nous n'avons pas de bonnes raison de ne pas nous le permettre... au final...

Bonjour,

Voilà une excellente mise au point !

Aussi, n'ajouterai-je que ceci :

En mathématique on considère que l'on peut faire tendre une grandeur (une distance par exemple) vers zéro. Cela est dû au fait que l'on considère l'espace comme un ensemble ayant la puissance du continu. D'où l'irremplaçable calcul intégral et différentiel.

Or, il se trouve que ce calcul présente une extraordinaire adéquation à la formalisation de lois de l'Univers. Ce qui tendrait plutôt à prouver la pertinence de ce calcul basé sur des grandeurs infiniment petites. De plus, il semble bien que l'espace physique soit tout bonnement l'espace mathématique.

Bien sûr, il se pourrait que l'espace présente une structure discrète ainsi que le suggère la théorie de "la gravitation quantique à boucles" d'Ashtekar et al.

Mais cette discrétisation serait de l'ordre au plus de la longueur de Planck, et, franchement, je ne vois pas en quoi cela pourrait bouleverser le calcul intégral et différentiel sauf peut-être dans certains cas limites. D'autant plus, que le pas d'intégration dans les calculs numériques sont très très loin d'atteindre cette longueur de Planck d'une bonne trentaine d'ordre de grandeur !

Amicalement.

!

Bravo, vous deux. Content de vous voir en phase. C'est fou de voir combien les deux dernières phrases de chacun de vos post, vont dans le même sens. Donc dormons en paix, jusqu'à preuve du contraire, et tant que la mesure ne s'affinera pas plus, (pour autant que sa qualité elle même ne soit pas de nature discrète) on va pouvoir différentier à tour de bras.

A tout hasard, ceux que le questionnement intéresse, peuvent lire de livre de Michel Bitbol : Physique et philosophie de l'esprit.

Bonjour,

Si vous saviez tout ce que j'ai oublié, moi !

Visiblement tu es trop modeste, j'étais parait il fort en logique donc en maths et physique , je n'ai plus que des bribes et encore parce que j'ai mon petit fils qui me titille...