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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Bonjour,

Je me suis aperçu que certains se font un monde des nombres complexes basés sur la relation: i = √(-1).

Voici en deux dessins de quoi leur montrer qu'il n'y a rien de mystérieux.

Si aller un peu plus loin en ce domaine intéresse, je me ferai un plaisir d'apporter plus amples explications, sinon, pardonnez-moide vous avoir importuné.

Voici les deux dessins :

post-192440-0-47772900-1452933421_thumb.jpg

post-192440-0-42146400-1452933439_thumb.jpg

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Voici une première propriété des complexes. Il y en a d'autres si ça vous intéresse...

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Répy Membre 7 463 messages
scientifique‚
Posté(e)

------------------------

Le candide un peu "dégrossis" admet volontiers qu'à chaque point d'une droite peut correspondre un nombre.

Mais le plan complexe est moins "évident".

Surtout ce nombre "imaginaire racine carrée de -1 !

des générations de potaches se sont fait engueuler parce qu'ils ne faisait pas attention à ce qu'un nombre négatif n'a pas de racine paire.

Avec les nombres complexes non seulement ce n'est plus une barrière infranchissable mais c'est un nombre certes "imaginaire" mais que l'on peut "manipuler" !

j'ai déjà écrit que les équations compliquées auxquelles arrivent les ingénieurs ont souvent des solution "imaginaires". et pourtant les machines fonctionnent conformément aux calculs. en particulier toutes les ondes des nos téléphones, radars, TV....ont toutes des solutions "imaginaires".

Au plan vectoriel l'introduction de la partie complexe revient à fait tourner de 90°.

En électricité la tension et l'intensité sont en "phase" en courant continu ou en alternatif dans une résistance simple. mais si l'on met un condensateur ou un bobinage, la tension et l'intensité sont décalés dans le temps.

Pour décrire un circuit électrique ses paramètres et ses effets en courant alternatif il faut avoir recours aux nombres complexes.

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Eventuellement Membre 3 416 messages
Baby Forumeur‚ 23ans
Posté(e)

Les nombres complexes sont presque "juste un formalisme". Et pour cause, on peut mettre C en bijection avec R²...

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

------------------------

Le candide un peu "dégrossis" admet volontiers qu'à chaque point d'une droite peut correspondre un nombre.

Mais le plan complexe est moins "évident".

Surtout ce nombre "imaginaire racine carrée de -1 !

des générations de potaches se sont fait engueuler parce qu'ils ne faisait pas attention à ce qu'un nombre négatif n'a pas de racine paire.

Avec les nombres complexes non seulement ce n'est plus une barrière infranchissable mais c'est un nombre certes "imaginaire" mais que l'on peut "manipuler" !

j'ai déjà écrit que les équations compliquées auxquelles arrivent les ingénieurs ont souvent des solution "imaginaires". et pourtant les machines fonctionnent conformément aux calculs. en particulier toutes les ondes des nos téléphones, radars, TV....ont toutes des solutions "imaginaires".

Au plan vectoriel l'introduction de la partie complexe revient à fait tourner de 90°.

En électricité la tension et l'intensité sont en "phase" en courant continu ou en alternatif dans une résistance simple. mais si l'on met un condensateur ou un bobinage, la tension et l'intensité sont décalés dans le temps.

Pour décrire un circuit électrique ses paramètres et ses effets en courant alternatif il faut avoir recours aux nombres complexes.

Bonjour,

Les enseignants du secondaire avaient raison d'enseigner que √(-1) n'existe pas car ils se plaçaient dans le cadre du corps des réels.

Contrairement à ce que l'on pourrait croire, les nombres complexes ne sont pas nés de l'imagination des mathématiciens mais ont été au contraire imposés en mathématiques. En effet, Cardan, dont on connaît la formules donnant une racine de l'équation du 3ème degré réduite à la forme, par un simple changement de variable, : x3 + x + q = 0, s'est trouvé bien embarrassé lorsqu'il traita l'équation :

x3 -15x - 4 = 0, car sa formule, qui contient une racine carrée sous une racine cubique, indiquait que cette équation n'a pas de racine puisqu'il obtenait quelque chose comme √(-12) par exemple dans sa formule.

Or, patatras, cette équation admet bel et bien x=4 comme solution ! C'est alors qu'un autre mathématicien dont j'ai oublié le nom s'avisa de remplacer √(-12) par √(-1)√(12). Développant les calculs, il s'aperçu que les √(-1) avaient disparus et le calcul final donnait bien x = 4.

Les nombres complexes étaient nés, leur existence étant imposée par les mathématiques elles-mêmes !

Cela dit, je signale que sans la théorie des nombres complexes la mécanique quantique n'existerait pratiquement pas ! Par exemple, la fonction d'onde d'une particule étant de la forme eif(x) où, bien entendu, i = √(-1).

Mais je dois, avant de m'arrêter là, rendre hommage au grand mathématicien français Augustin Cauchy qui, en apportant la théorie des fonctions analytiques, a fait faire à la théorie des complexes un énorme pas en avant.

Enfin, je précise qu'en proposant ce sujet, je n'avais pas d'autre objectif que montrer qu'il n'y a rien de mystérieux dans les nombres complexes, nombre que l'on place sur un plan plutôt que sur un droite comme pour les nombres habituels (les réels).

Cordialement.

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Voici la formule de Cardan avec ses racines carrées qui peuvent donc abriter des nombres négatifs bien que l'équation du 3ème degré ait une ou trois solutions, éventuellement une double dans le domaine des nombres réels, car, selon le théorème fondamental de l'algèbre dû à d'Alembert, toute équation algébrique de degré n admet n solutions, réelles, imaginaires ou multiples.

correction: Une fausse manœuvre m'a fait afficher deux fois cette image. Excusez moi.

post-192440-0-49909300-1453009590_thumb.gif

post-192440-0-44416900-1453009622_thumb.gif

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voileux Membre 2 533 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Merci pour ce cours magistral , car pour moi cela correspond à une révision , il m'a fallu bien réfléchir et j'ai éprouvé des difficultés...C'était vraiment loin...

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Répy Membre 7 463 messages
scientifique‚
Posté(e)

Après la droite des nombres réels

on a inventé le plan complexe.

Mais il existe les nombre hyper complexes qui sont logés dans l'espace. Ces nombres sont les "quaternions" d'Hamilton !

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Merci pour ce cours magistral , car pour moi cela correspond à une révision , il m'a fallu bien réfléchir et j'ai éprouvé des difficultés...C'était vraiment loin...

Bonjour,

Tant mieux si ce petit texte vous a été utile, mais mon intention n'était pas du tout un cours mais seulement une tentative de démystification de l'expression : nombre complexe appelé aussi nombre imaginaire en montrant que ces nombres peuvent être situés dans un plan tout comme les nombres habituels peuvent être placés sur une droite.

Amicalement.

Après la droite des nombres réels

on a inventé le plan complexe.

Mais il existe les nombre hyper complexes qui sont logés dans l'espace. Ces nombres sont les "quaternions" d'Hamilton !

Bonjour,

C'est vrai mais les quaternions sont beaucoup plus compliqués à utiliser que les complexes.

Et puis, il y a aussi les octonions qui utilisent un espace à 8 dimensions ! Il semblerait que ces octonions aient trouvés une application en dans certaines théories récentes en mécanique quantique.

Voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Octonion

Bien à vous.

Modifié par Lorrain27

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Eventuellement Membre 3 416 messages
Baby Forumeur‚ 23ans
Posté(e)

Bonjour,

Tant mieux si ce petit texte vous a été utile, mais mon intention n'était pas du tout un cours mais seulement une tentative de démystification de l'expression : nombre complexe appelé aussi nombre imaginaire en montrant que ces nombres peuvent être situés dans un plan tout comme les nombres habituels peuvent être placés sur une droite.

Amicalement.

Non, un nombre complexe n'est pas un "nombre imaginaire". Le nombre imaginaire appartient à iR, et c'est celui qui a un module de 1. Autrement dit, c'est celui qu'on appelle i.

Tout nombre complexe, par contre, peut être écrit sous une unique forme algébrique "pour tout z, il existe un unique couple (a,b) dans R² tel que z = a + ib".

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Non, un nombre complexe n'est pas un "nombre imaginaire". Le nombre imaginaire appartient à iR, et c'est celui qui a un module de 1. Autrement dit, c'est celui qu'on appelle i.

Tout nombre complexe, par contre, peut être écrit sous une unique forme algébrique "pour tout z, il existe un unique couple (a,b) dans R² tel que z = a + ib".

Bonjour,

Vous ne m'apprenez rien : Simplement, pendant longtemps on a appelé les nombres complexes "nombres imaginaires" et avant ils ont été appelés "nombres impossibles".

C'est cette appellation "nombre imaginaire" qui est trop perçue à tort comme un mystère. C'est ce que j'ai voulu montrer. C'est tout.

On dit d'un nombre complexe qu'il est un "imaginaire pur" s'il est de la forme : ai la partie réelle étant nulle autrement dit s'il se projette sur l'axes des imaginaires.

Quant à la représentation des nombres complexes, on a le choix entre :

La représentation algébrique : z = a+bi

La représentation trigonométrique : z = r(cos(x)+isin(x))

La représentation exponentielle z = reix

C'est cette dernière représentation des complexes qui est surtout utilisée en mécanique quantique, science qui exige, pour être comprise, l'emploi de cette forme. car c'est sous la forme d'icelle que se présentent les fonctions d'onde.

Bien à vous.

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Eventuellement Membre 3 416 messages
Baby Forumeur‚ 23ans
Posté(e)

Pas seulement en méca Q d'ailleurs. Elle a pour la première fois été utilisée en électromagnétique ou en optique linéaire pour trouver, par exemple, des lois de dispersion. Et c'est de cette manière classique dont on exprime toute onde progressive de pulsation w et de vecteur d'onde k dans l'espace. C'est aussi pour cela que les fonctions d'onde sont exprimées avec la notation exponentielle. Il faut traduire leur caractère ondulatoire...

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Bonjour,

D'accord !

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Henry Martin Membre 4 459 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Une question de candide :

Est-ce que l'on pourrait se passer totalement des nombres complexes et les remplaçant par de la trigo ?

Je veux dire par là que leur contribution serait plus affaire de notation que d'une réalité intrinsèque ?

Je parle en terme d'application, en terme de physique ou d'autres applications (bien sur en terme de maths, on fait ce qu'on veux).

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Invité Lorrain27
Invité Lorrain27 Invités 0 message
Posté(e)

Bonjour,

Les nombres complexes sont aussi indispensables en physique que les nombres habituels.

Par exemple en mécanique quantique, l'onde associée à une particule n'est pas une onde physique mais une onde de probabilité complexe dont le carré du module donne la probabilité de trouver la particule étudiée à un endroit donné. Pas de nombres complexes et pas de mécanique quantique.

Bien à vous.

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