Existe-t-il des théories arithmétiques tel que...

Salut,

L'arithmétique de Dedekind, le fait mais elle utilise un axiome qui remplace précisément le principe de récurrence.

Auriez vous d'autre proposition ?

Merci.

Disons que Dedekind a introduit "la base scientifique du raisonnement par récurrence"

Seulement sa théorie intuitive des ensembles contenait deux points faibles :

- des paradoxes incompatibles démontrés début 20ème

- l'introduction de notions "métaphysiques" plus que mathématique dans son paragraphe 66

La reprise par Peano ne nourrit pas ces reproches pour le raisonnement par récurrence mais il faut pour une axiomatique définir la cohérence des axiomes.

Poincaré pensait cela impossible et non Hilbert qui a listé la preuve de la compatibilité des axiomes de Peano dans sa fameuse liste des 23 problèmes à résoudre en 1900

Et c'est dans ce contexte que Kurt Gôdel a établi le théorème d'incomplétude dont résulte l'impossibilité de démontrer la cohérence de l'arithmétique dans le cadre défini par les axiomes de Peano

En programme de terminale tu trouves donc : "on présentera le principe de récurrence comme un axiome"

C'est techniquement discutable et je pense qu'il faut simplement leur dire que les entiers sont une donnée première et que la récurrence va de soi

D'ailleurs, je t'invite à t'interroger sur la conjecture de Goldbach qui reste une conjecture bien que répondant à toutes les caractéristiques allant de soi pour une démonstration par récurrence....

Bref, si la récurrence n'est pas "mathématiquement" techniquement totalement démontrée et si elle est présentée comme un axiome quand Dedekink a essayé d'en faire un théorème (mais pas réussi) j'invite à considérer le père Poincaré pour qui tourne toujours très rond

"la récurrence est le raisonnement mathématique par excellence, irréductible à la logique classique car elle est l'affirmation de la puissance de l'esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte dès que cet acte est une fois possible"

Que l'esprit s'affranchisse des mathématiques pour justifier les mathématiques, il est trop fort ce Poincaré on l'adoooorrrre

D'ailleurs, je t'invite à t'interroger sur la conjecture de Goldbach qui reste une conjecture bien que répondant à toutes les caractéristiques allant de soi pour une démonstration par récurrence....

Je ne comprend pas ce que tu veux dire dans ce passage.

Pourrais tu expliciter d'avantage, cela à l'air intéressant.

Merci.

Bon, je vais essayer d'expliciter mais excuse moi si les mots sont imprécis

Le raisonnement par récurrence stipule que, concernant les entiers naturels :

1. On détermine la proposition définissant le lien entre ces entiers

2. On démontre que la proposition est bien vérifiée pour P(n0) donc on vérifie que la proposition est vraie sur le premier entier (initialisation)

3. Puis on démontre que pour tout entier n>n0 Pn => P n+1 (hérédité)

Donc on constate que si la proposition est vérifiée pour l'entier n alors elle est aussi vérifiée pour l'entier n+1

Et ça doit marcher pour tout afin qu'on prétende cet axiome de récurrence "complet"

bon.

La proposition de Goldbach est la suivante :

"tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers"

J'ai donc ma proposition P

Je peux la vérifier au rang 0

Je peux le vérifier sur tous les N pairs > 3 par un calcul sur ordinateur

Et pourtant je suis infoutu de démontrer que cela soit vrai quel que soit le N

Ainsi il ne suffit pas de démontrer qu'une relation soit vrai au rang 0 puis qu'elle soit vrai pour n'importe quel N qu'on vient tester pour extrapoler que cela soit toujours vrai pour des N infinis comme devrait le permettre le principe de récurrence pour n'importe quelle proposition sur les entiers naturels.

Il y a "une faille" du principe de récurrence qui ne permet pas de disposer d'un système "complet"

Or on pense que la conjecture de Goldbach est bien vraie quelle que soit le N>3 mais le principe de récurrence est impuissant pour le démontrer.

Encore une fois, le principe de récurrence est basée sur le bon sens et c'est un axiome des mathématiques.

Mais il existe donc des propositions vraies "empiriquement" sur des N très grand qu'on est infoutu d'extrapoler "logiquement" à des N infinis ce qui fait "raquer" si on considère que le raisonnement par récurrence est logiquement "absolu"

Ok on pourra stipuler que cette proposition est liée au grand mystère de la fréquence d'apparition et surtout du caractère prédictible d'apparition des nombres premiers.

Mais tout celà rejoint la même "faille" de la logique axiomatique qui voudrait que l'axiomatique soit "complète" et cohérente.

Que les mathématiciens planchent et nous on applique c'est déjà bien

En fait tu aurais pu prendre le théorème de Fermat-Wiles qu'on ne démontre pas par récurrence et que l'on a échoué à démontrer par récurrence.

Pour ce qui est de l'incomplétude des axiomes dans l'arithmétique cela a été démontrer par Goedel (comme tu le rappelles toi même), donc il n'y a rien d'étonnant à ce que le principe de récurrence n'est peut être pas suffisant pour démontrer cette conjecture qui peut être indémontrable dans la théorie de l'arithmétique la plus complète (mais qui reste incomplète, Godel oblige) que l'on connaisse de nos jours.

Oui.

Ce qui est intéressant dans la question du principe de récurrence, c'est le rôle et la frontière entre la déduction et l'induction.

Au début du 20ème siècle, le débat sur ce sujet a été fourni.

"Sur la nature du raisonnement mathématique", Poincaré pointe une contradiction entre une science rigoureuse et une science créatrice.

Une science rigoureuse est déductive mais au final, l'ensemble des connaissances est stérilement la conséquence logique d'axiomes.

A l'inverse, une science créatrice, alors elles n'est pas uniquement déductive mais cela a pour corollaire qu'elle n'est pas rigoureuse...

Le caractère déductif est "stérile" puisque tautologique.

Prenons le plus simple de ces caractères déductifs donc le syllogisme.

La conclusion de "tous les hommes sont mortels hors socrate est un homme donc Socrate est mortel" est stérile les deux axiomes initiaux contenant en leur germe la conclusion du syllogisme.

Rien de neuf sous le soleil.

Plus largement, c'est le caractère analytique que Poincaré dénonce car il ne fait que développer un contenu implicite....

Et selon lui, le raisonnement par récurrence qui pourrait se revendiquer "rigoureux" est de caractère inductif

Il contient une induction complète donc un condensé d'une infinité de syllogismes

qu'il définit comme un raisonnement mathématique par excellence puisqu'il permet de passer d'une finitude de syllogismes à l'infini... l'absolu koaaaa

Et c'est là où c'est intéressant

Parce qu'on l'a vu, Poincaré cite l'esprit à la source de ce passage finitude infinitude

Il l'appelle encore "intuition du nombre pur" et pour lui la logique est l'instrument de la démonstration et l'intuition est l'instrument de l'invention

Combien d'avancées scientifiques se sont basées sur une vague intuition inductive non rigoureuse ?

Il voit 3 sortes d'intuition

- l'appel au sens et à l'imagination (Einstein a cité la puissance de l'imagination et ses théories se sont souvent calquées sur une intime conviction intuitive)

- la génération par induction calquée sur les procédés des sciences expérimentales (finalement, Darwin, ce n'est que ça....

- l'intuition du nombre pur !

Laquelle n'est pas palpable, pas empirique, purement intellectuelle et qui fonde le principe inductif (je déduis de cela ceci... à la manière du puzzle à trou et non rigoureuse d'une enquête policière...)

Bref, il est un peu en conflit notre pépère avec les "vrais logiciens" pour qui le principe inductif n'est pas intuitif mais peut être démontré !

On en revient à vouloir déduire le principe inductif qui pourtant n'est pas de nature déductive !

Bref, Russel n'est pas OK et il salut le travail de Peano plus complet que Dedekind et pour qui toute la théorie des nombres se déduit de 3 notions primitives et 5 propositions primitives

Notions primitives : 0, nombre, successeur

Propositions primitives : les 5 axiomes de Peano dont la 5ème proposition de Peano qui évoque le caractère inductif (toute propriété qu'à 0 ainsi que le successeur de tout nombre est vraie de tous les nombres)

Et le problème des logiciens, c'est qu'ils doivent donnet aux axiomes une interprétation conforme à la réalité.

0 on sait ce que c'est, les nombres, ok mais c'est quoi l'induction ?

Alors finalement, la "vraie" réponse à ta question, c'est chez Russel que tu vas la trouver parce qu'il va retravailler l'axiomatique de Peano ou l'induction mathématique passe de l'état de principe à celui de définition et rattachées à des notions déterminées logiquement, ontologiquement.

Seulement voila, Poincaré va lui casser la gueule comme il faut et en 1925 et Russel va reconnaître son échec.

Donc oui l'induction peut être déduite mais en réalité la démonstration n'a été finalement faite que par Zermelo concerant certains principes de l'induction et dans le cadre de la théorie des ensembles sur les ensembles finis.

Bref, ça fait pas papa maman.

Cela me fait penser à un problème que je soumet à ta sagacité.

Imaginons une fontaine à chiffre qui donnerais toutes les minutes un nouveau chiffre (0..9) selon la règle suivante : elle ne suit aucune règle mise à part celle là.

Comment prouver quelle suit bien cette règle,cela me semble impossible par la logique (= description de tous les possibles par un ensemble de cas fini).

La seul chose que tu pourrais faire à l'aide de la logique c'est dégréné tout les possibles (: force brut).

PS : on en avait déjà discuter les mathématiques axiomatiques se réduisent à une découpe des possibles en un nombre de cas finis, comme le calculable se réduit aux lambda calcul.

Bin en fait tu décris une variable aléatoire discrète dont la distribution et surtout la fonction de répartition sont connues et possèdent des caractéristiques précises que ce soit en terme d'espérance, de variance, de distribution...

La loi est définie selon les circonstances

ça peut être la loi de de Bernouilli, la loi binomiale, la loi de poisson, hypergéométrique et tu as même des lois aléatoires à densité, exponentielles...

Bref il est impossible pour un statisticien de se planter entre une véritable série aléatoire et quelqun qui donnerait des chiffres au hasard en espérant en simuler une.

PS - "Du seul point de vue logique", je pense que ce n'est pas possible sauf que si la probabilité calculée est de 0, la logique veut qu'on soit certain que la série n'est pas aléatoire

:)

Ceci dit, entre la math pure, le logicien, l'ingénieur, le physicien, le statisticien, on déploiera pas les mêmes mécanismes en terme de démonstration et de suffisance de la preuve.

Le mathématicien ayant sa plus value à nous le rappeler même si des fois on a envie de lui dire oh arrête on est sûr du truc

Lui, il est jamais sûr du truc

Du coup ya plein de mathématiciens qui se noient dans les fontaines de nos certitudes sauf que lorsqu'ils ont raison, on à l'air con.

Bref il est impossible pour un statisticien de se planter entre une véritable série aléatoire et quelqun qui donnerait des chiffres au hasard en espérant en simuler une.

Que penses-tu de cette suite :

101102010234579868241531305548 796431501541447204010942374410 316466587173455793010317459583 004765304197711401465730430659 185723413254123426651951102103 146313414789461499851312105440 742012051640130162455243010605 624121457898224312125467875240 215467898754212054546122130125 458786421002154521000315879642 140012152782213178795242112879 452112315487925421315644878794 512321218486510011254577825461 220337864200315787621401254758 424331201212121545487895610215 454787461200202154884110230156 489415201511489120154981265489 748916189484120205689451564189 454512005154894123026158945612 623005615949848965561984898456 154847478754561121212512154884 845121454899756465548989549848 998546516516515489489446515216 231651564545456651651561548989 789554165415611545648948954894 894894894954854897897974987989 889894544787788995623231212021 215478796513112154887879145789 784556612161565121231288784100 148620148520047852154785456521 252105648745212100110521548749 656232021548485262202023269598 787452125521145782369856

est-elle aléatoire, sinon pourquoi ?

Sinon, ce que je crois c'est que : toute règle admet au moins un contrexemple y compris celle là, et le contrexemple de cette règle n'est pas parmi les axiomes de l'arithmétiques.

j'ai même pas besoin d'un logiciel pour être certain que cette suite n'est pas aléatoire

Comment je le sais sur en un seul coup d'oeil d'une seconde ?

Un magicien ne révèle pas ses tours

Ok, tu ne dis pas ton truc, alors pour diminuer le risque que cela n'est pas une réponse sans connaissance, je t'en propose une autre.

5564233542071225405136962029041983917701263204461568007173960893238357856

0800398568665299802462418710455055810248864151948795342088950831420271165

0935728689521409213045040605693682355394769300724113057057455484862162997

4342522508591081351720429317105847154111317140540249057354959050826568474

0515550647488451842758965

une dernière :

5967530720859724546085558075468314855403764337717874736611510574318319175

4114861856090549128892119106296015209518151692641111542553259664507607178

0082048810992049183354084777218712427447903781174557468263032420428111188

2659688781470891757530773609539884534686242309158466960933167376662675292

32525968991158290946732870916603959548512976721596484153082

PS : pour ne pas te prendre aux dépourvus j'ai utilisé un logiciel de calcul formel, mais le calcul lorsqu'il y aurait calcul serait faisable à la main mais il serait fastidieux, j'utiliserais des nombres de moins de 2 milliards, avec moins de 5 opérations élémentaires.

Suite de 21h51..

Bon j'ai regardé rapidement ce matin quelques indicateurs sur XLS pour faire plaisir à l'exercice mais évidemment, ça demanderait plus de temps et faire appel à des codages, l'utilisation de logiciels avec des tests sur cette thématique qui n'est pas forcément la plus sollicitée...

Ta moyenne est de 4.23 sur 316 observations alors sur la base de ce petit échantillon on pourrait conclure à 90% de certitude que la moyenne de la population totale duquel ton échantillon est extrait tourne entre 3.97 et 4.50

Or l'esprérance d'une suite infinie tournera bien à 4.50

Il faut monter l'indice de certitude "relativement haut" pour que les bornes de la réalité soit atteinte mais en règle générale on fixe ce genre d'extrapolation à 95% donc je ne rejette pas l'hypothèse aléatoire sur cette base.

Mais, ta série est trop petite pour conclure sur ce thème et si tu avais cette même espérance pour 3000 individus, je concluerai que ce n'est pas une série aléatoire avec 1 chance sur 100 000 de me tromper

Deux choses me chagrinent :

Tes fréquences de sortie de chiffres font appaître 46 fois le chiffre 5 pour 23 fois le chiffre 7

En théorie, l'aléaloire suivra à peu de chose près une loi binomiale où il y a 316 tirages avec une chance de sortie de chaque chiffre de 10%

La probabilité que le 5 sorte 46 fois ou plus sur 316 tirages est de 0.4%

La probabilité que le 7 sorte 23 fois ou moins sur 316 tirages est de 6%

Donc je pense que ce tirage a de très faibles probabilité de suivre une distribution normale d'une série aléatoire sachant encore une fois que le faible nombre de tirages est un biais fort.

316 tirages, c'est faible pour conclure.

Autre point, sauf erreur de ma part tu as deux suites de 3 chiffres consécutifs et il y avait 38.7% de chance pour que cela soit 2 suites ou moins

Mais toujours sauf erreur de ma part tu n'as que 20 suites de 2 chiffres consécutifs et il n'y avait qu'1.5% de chances pour que cela soit 20 ou moins... trop peu de doublons

Bref, 316 tirages, c'est faible.

ça peut être un tirage aléatoire.

Mais je conclue que ça n'en ai pas un ou que l'algortithme à du plombs dans l'aile.

Après tu m'excuseras mais j'ai quand même pas le temps de me pencher sur des thématiques qui se complexifient.

Ce que je dis, c'est qu'un gars qui écrit une suite aléaoire à la main 95% du temps j'ai même pas besoin d'un stylo pour le voir comme sur ta première.

Et que si il s'y attèle sans connaissance, il n'a aucune chance de tromper un statisticien

Ensuite, le principe même de la notion d'aléatoire est sujet à discussion et justement, le principe d'un algorithme est déjà quelque chose qui sort de l'aléatoire pur donc c'est vrai que si on veut utiliser des algorithmes, on peut laisser à penser qu'une suite est aléatoire

Et là faut des 'cryptologues spécialisés' pour décoder l'algorithme.

J'en suis pas un et même en matière de stats, il y a des techniques appropriées plus pointues sur lesquelles il n'y a pas un intérêt hors recherche dans le domaine à se spécialiser.

Si le principe de récurrence est un théorème, il faudra le considérer comme faux, en effet depuis l'antiquité, on sait par exemple, que si on enlève un grain de sable à un tas de sable, cela reste un tas de sable, et on réitère l'opération avec le même constat, mais quelque soit la taille du tas de sable, on sait, que tôt ou tard ce ne sera plus un tas de sable, au moins quand il ne restera plus qu'un seul grain !

Ce qui est vrai pendant N itérations, peut être totalement faux à partir de N+1 ! La récurrence oui, infiniment non, et en cela Poincaré me rejoindrait, qui rejetait également l'emploi abusif des infinis mathématiques, il était intuitionniste, ce dont je me réclame également.

Suite de 21h51..

Bon j'ai regardé rapidement ce matin quelques indicateurs sur XLS pour faire plaisir à l'exercice mais évidemment, ça demanderait plus de temps et faire appel à des codages, l'utilisation de logiciels avec des tests sur cette thématique qui n'est pas forcément la plus sollicitée...

Ta moyenne est de 4.23 sur 316 observations alors sur la base de ce petit échantillon on pourrait conclure à 90% de certitude que la moyenne de la population totale duquel ton échantillon est extrait tourne entre 3.97 et 4.50

Or l'esprérance d'une suite infinie tournera bien à 4.50

Il faut monter l'indice de certitude "relativement haut" pour que les bornes de la réalité soit atteinte mais en règle générale on fixe ce genre d'extrapolation à 95% donc je ne rejette pas l'hypothèse aléatoire sur cette base.

Mais, ta série est trop petite pour conclure sur ce thème et si tu avais cette même espérance pour 3000 individus, je concluerai que ce n'est pas une série aléatoire avec 1 chance sur 100 000 de me tromper

Deux choses me chagrinent :

Tes fréquences de sortie de chiffres font appaître 46 fois le chiffre 5 pour 23 fois le chiffre 7

En théorie, l'aléaloire suivra à peu de chose près une loi binomiale où il y a 316 tirages avec une chance de sortie de chaque chiffre de 10%

La probabilité que le 5 sorte 46 fois ou plus sur 316 tirages est de 0.4%

La probabilité que le 7 sorte 23 fois ou moins sur 316 tirages est de 6%

Donc je pense que ce tirage a de très faibles probabilité de suivre une distribution normale d'une série aléatoire sachant encore une fois que le faible nombre de tirages est un biais fort.

316 tirages, c'est faible pour conclure.

Autre point, sauf erreur de ma part tu as deux suites de 3 chiffres consécutifs et il y avait 38.7% de chance pour que cela soit 2 suites ou moins

Mais toujours sauf erreur de ma part tu n'as que 20 suites de 2 chiffres consécutifs et il n'y avait qu'1.5% de chances pour que cela soit 20 ou moins... trop peu de doublons

Bref, 316 tirages, c'est faible.

ça peut être un tirage aléatoire.

Mais je conclue que ça n'en ai pas un ou que l'algortithme à du plombs dans l'aile.

Après tu m'excuseras mais j'ai quand même pas le temps de me pencher sur des thématiques qui se complexifient.

Ce que je dis, c'est qu'un gars qui écrit une suite aléaoire à la main 95% du temps j'ai même pas besoin d'un stylo pour le voir comme sur ta première.

Et que si il s'y attèle sans connaissance, il n'a aucune chance de tromper un statisticien

Ensuite, le principe même de la notion d'aléatoire est sujet à discussion et justement, le principe d'un algorithme est déjà quelque chose qui sort de l'aléatoire pur donc c'est vrai que si on veut utiliser des algorithmes, on peut laisser à penser qu'une suite est aléatoire

Et là faut des 'cryptologues spécialisés' pour décoder l'algorithme.

J'en suis pas un et même en matière de stats, il y a des techniques appropriées plus pointues sur lesquelles il n'y a pas un intérêt hors recherche dans le domaine à se spécialiser.

Merci d'avoir accepté de te livrer à l'exercice, sinon les deux suites sont issus de calculs.

1/Si le principe de récurrence est un théorème, il faudra le considérer comme faux, en effet depuis l'antiquité, on sait par exemple, que si on enlève un grain de sable à un tas de sable, cela reste un tas de sable, et on réitère l'opération avec le même constat, mais quelque soit la taille du tas de sable, on sait, que tôt ou tard ce ne sera plus un tas de sable, au moins quand il ne restera plus qu'un seul grain !

2/Ce qui est vrai pendant N itérations, peut être totalement faux à partir de N+1 ! La récurrence oui, infiniment non, et en cela Poincaré me rejoindrait, qui rejetait également l'emploi abusif des infinis mathématiques, il était intuitionniste, ce dont je me réclame également.

1/Ceci est-il transposable dans l'arithmétique ?

Non, car je rappelle que le principe de récurrence est un axiome de l'arithmétiques.

Car il faut préciser qu'un tas de sable doit contenir au moins un grain, et alors tu ne peux pas prouver que si tu as un ensemble de sable contenant au moins un grain, en lui en enlevant 1 il reste toujours au moins un grain de sable.

C'est un sophisme et je te soupçonne de le savoir...

2/Je me méfie même de la logique mathématiques (mathématiques axiomatiques).

1/Ceci est-il transposable dans l'arithmétique ?

Non, car je rappelle que le principe de récurrence est un axiome de l'arithmétiques.

Car il faut préciser qu'un tas de sable doit contenir au moins un grain, et alors tu ne peux pas prouver que si tu as un ensemble de sable contenant au moins un grain, en lui en enlevant 1 il reste toujours au moins un grain de sable.

C'est un sophisme et je te soupçonne de le savoir...

2/Je me méfie même de la logique mathématiques (mathématiques axiomatiques).

Il existe une démonstration rationnelle du bien fondé de la démonstration par récurrence

Mais elle fait appel à une démonstration par l'absurde et concerne un intervalle fini délimité dans N

On suppose qu'il existe dans cet intervalle I qui appartient à N au moins un cas ou donc plusieurs cas où la récurrence ne serait pas vérifiée

Donc on aurait un ensemble E qui comprendrait tous les Ni pour lesquels la récurrence ne serait pas vraie (Proposition P non vérifiée ou Non P)

Donc que si on observe Vraie la Proposition au rang i vers i+1, on ne l'observerait pas du rang i+1 vers le rang i+2 avec des 'sauts' parfois VRAI parfois FAUX

Tout le monde suit ?

Bien.

E est donc un ensemble non vide (c'est notre supposition "absurde") et il est minoré par l'entier N0

Il admet donc forcément un plus petit élément qu'on va définir par Nm qui vérifie forcément Nm >= N0

Et puisque c'est un élément de E, il vérifie TOUJOURS (c'est toujours notre supposition "absurde") Non Pm

Piouuuuu vive les maths...

On a alors 2 cas :

- si Nm = N0 dans ce cas, on a forcément Non P N0 et donc on initialise pas la récurrence à partir de là, le phénomène ne vérifie pas la Proposition et donc ya pas de proposition à démontrer..... (on initialise pas la proposition dans la récurrence)

- si Nm différent de N0 avec Nm plus petit élément de E

On a forcément Nm > N0... (faut suivre dans le fonds là !!!)

Dans ce cas Nm > N0 et la proposition n'est pas vérifiée puisque par définition Nm appartient à E qui regroupe tous les N pour lesquels la proposition n'est pas vérifiée...

Or c'est le plus petit élément de E...

Donc Nm vérifie Non Pm alors que Nm-1 vérifie Pm-1

Par conséquent....on a Pm-1 vraie et Pm faux ce qui casse le principe d'hérédité...

Dans ces deux cas, il y a contradiction par rapport aux caractéristiques qu'on sollicite d'un démontration par récurrence

- Savoir définir une proposition Vraie au rang N0 : initialisation

- Savoir démontrer que si la proposition est vraie au rang N elle est vraie au rang N+1

Donc une démonstration par récurrence quand elle est vérifiée dans ces deux principes n'ADMET aucun ensemble E pour lequel la proposition ne serait pas vérifiée, autrement, on arrive aux 2 contradictions démontrées par le principe de la démonstration par l'absurde

Donc il n'existe pas d'ensemble non vide E quand une démonstration par récurrence est faite

Donc quel que soit n qui appartient à l'intervalle I qui appartient à [N0, infini[ P(n) est vérifié sous réserve que ce qui est sollicité par le démonstration par récurrence soit démontré.

Bref, que la récurrence soit démontrée par l'absurde dans un intervalle fini ne présume pas qu'il n'y ait pas d'individus absurdes en nombre quasi illimités

L'infini est dur à toucher même quand on est comme moi infiniment con (ou presque donc...)

Il existe une démonstration rationnelle du bien fondé de la démonstration par récurrence

Mais elle fait appel à une démonstration par l'absurde et concerne un intervalle fini délimité dans N

On suppose qu'il existe dans cet intervalle I qui appartient à N au moins un cas ou donc plusieurs cas où la récurrence ne serait pas vérifiée

Donc on aurait un ensemble E qui comprendrait tous les Ni pour lesquels la récurrence ne serait pas vraie (Proposition P non vérifiée ou Non P)

Donc que si on observe Vraie la Proposition au rang i vers i+1, on ne l'observerait pas du rang i+1 vers le rang i+2 avec des 'sauts' parfois VRAI parfois FAUX

Tout le monde suit ?

Bien.

E est donc un ensemble non vide (c'est notre supposition "absurde") et il est minoré par l'entier N0

Il admet donc forcément un plus petit élément qu'on va définir par Nm qui vérifie forcément Nm >= N0

Et puisque c'est un élément de E, il vérifie TOUJOURS (c'est toujours notre supposition "absurde") Non Pm

Piouuuuu vive les maths...

On a alors 2 cas :

- si Nm = N0 dans ce cas, on a forcément Non P N0 et donc on initialise pas la récurrence à partir de là, le phénomène ne vérifie pas la Proposition et donc ya pas de proposition à démontrer..... (on initialise pas la proposition dans la récurrence)

- si Nm différent de N0 avec Nm plus petit élément de E

On a forcément Nm > N0... (faut suivre dans le fonds là !!!)

Dans ce cas Nm > N0 et la proposition n'est pas vérifiée puisque par définition Nm appartient à E qui regroupe tous les N pour lesquels la proposition n'est pas vérifiée...

Or c'est le plus petit élément de E...

Donc Nm vérifie Non Pm alors que Nm-1 vérifie Pm-1

Par conséquent....on a Pm-1 vraie et Pm faux ce qui casse le principe d'hérédité...

Dans ces deux cas, il y a contradiction par rapport aux caractéristiques qu'on sollicite d'un démontration par récurrence

- Savoir définir une proposition Vraie au rang N0 : initialisation

- Savoir démontrer que si la proposition est vraie au rang N elle est vraie au rang N+1

Donc une démonstration par récurrence quand elle est vérifiée dans ces deux principes n'ADMET aucun ensemble E pour lequel la proposition ne serait pas vérifiée, autrement, on arrive aux 2 contradictions démontrées par le principe de la démonstration par l'absurde

Donc il n'existe pas d'ensemble vide E quand une démonstration par récurrence est faite

Donc quel que soit n qui appartient à l'intervalle I qui appartient à [N0, infini[ P(n) est vérifié sous réserve que ce qui est sollicité par le démonstration par récurrence soit démontré.

Bref, que la récurrence soit démontrée par l'absurde dans un intervalle fini ne présume pas qu'il n'y ait pas d'individus absurdes en nombre quasi illimités

L'infini est dur à toucher même quand on est comme moi infiniment con (ou presque donc...)

Excellent, je me permet de résumer ta démonstration :

Supposons que pour tout n P(n)->P(n+1) et P(0).

Supposons de plus que E={n|non(P(n))} est non vide, alors il admet un plus petit élément no.

cas1 no=0 (absurde)

cas2 no>0, or par transposition on a non(P(n+1))->non(P(n)) pour n>=0, d'où

On a no-1>=0, donc non(P(no))->non(P(no-1)), or no le plus petit élément de E, d'où absurdité.

Laisses moi méditer cela.

Merci pour la preuve.

éh éh ouips mais bon, comme c'est un forum d'échange qui titille les synapses, j'attire ton attention sur le point suivant.

Le raisonnement par l'absurde revient à considérer une alternative à une proposition et considérer que si la proposition est fausse alors la proposition alternative 2 qui lui est opposée est vraie.

La lumière est elle une onde ou une particule ?

Si je te prouve que le comportement est celui d'une onde, alors ce n'est pas une particule et si je prouve que le comportement est celui d' une particule alors ce n'est pas une onde.

Et le problème est que je peux prouver les deux...

On appelle ce problème en logique le principe du tiers exclu ou si il existe A et non A alors A et non A ne peuvent exister simultanément.

Seulement cette lumière, c'est quoi ?

Une onde, Une particule, les deux ? aucun des deux ?

Il suffit de regarder les femmes pour savoir qu'on peut te reprocher à la fois de ne pas faire le ménage et de t'arrêter dans ton élan quand tu commences à le faire.

Et si tu ne comprends pas ce paradoxe, en tant que tiers, tu es exclu !

Les femmes sont logiques ! Elles veulent le beurre, l'argent du beurre et le sourire de la crémière et bin mathématiquement, c'est peut être possible ! (sont trop fortes ces nénettes)

Bref, tout le monde ne donne pas crédit au raisonnement par l'absurde d'autant moins qu'on connait le paradoxe des propositions auto référentielles.

Mais bon, certains avancent la preuve dont j'ai parlé comme une véritable preuve.

Du point de vue logique, est ce que cela ne revient pas simplement à constater que tout ce qui est un raisonnement par récurrence ne peut pas être autre chose qu'un raisonnement par récurrence ?

N'est ce pas différent que de démontrer la pertinence du raisonnement par récurrence.

Logiquement, on tourne en rond on tourne en rond putain on tourne en rond merde !

C'est d'ailleurs globalement la conclusion actuelle.

Le principe du tiers exclus : non(A) ou A forme tous les possibles.

Juste une question la logique intuitionniste qui ne reconnaît pas ce principe peut être ramené à une théorie (avec tiers exclus), c'est bien cela ?