Les 3 gros mensonges de la logique.

Tu aurais honte de vouloir atteindre un maximum de clarté ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

C'est pas ce que je dis : je trouve qu'il n'y a pas assez d'espacement entre cette fameuse phrase "Ce message a été modifiée par..." qui vient se coller tout contre la dernière phrase du post. Non, j'ai pas honte de ça, bien au contraire. Mais si ça peut te faire plaisir, disons que je sais très bien qu'il suffirait que je me relise plusieurs fois avant d'envoyer un post, afin de ne plus avoir à y revenir par la suite. Mais pour ça, il faudrait atteindre un grand degré de maîtrise qui me fait défaut.

Bon, je rêve ou nous sommes hors sujet ?!

ok, revenons aux sujets.

Bonjour,

Mensonge de la logique :

1/La logique prétend couvrir l'ensemble des possibles par un nombre fini de cas.

2/Le principe d'identité est une supercherie.

3/La logique prétend produire des raisonnements corrects pour toujours.

Il existe un raisonnement où :

1/On ne prétend pas couvrir tous les possibles, même s'il peut être difficile de trouver un exemple qui ne soit pas dans les cas proposés.

2/On accepte que certains mots n'aient pas de définitions, et même qu'ils puissent avoir pour chacun des définitions différentes.

3/Le raisonnement produit correctement, est localement correct, c'est à dire pour un temps donné un ensemble de personnes donné.

de plus ce raisonnement est :

4/collaboratif.

et

5/consensuel.

bonne journée.

Bonjour,

Un conseil amical :

Etudiez la logique puis, dans quelques années, revenez nous en parler.

Cordialement.

Bonjour,

Merci pour le conseil.

Cordialement.

Bonjour,

Pas de quoi me remercier,

Vous feriez mieux de suivre ce conseil car il apparaît nettement que vous ignorez TOUT de la logique, chacune de vos interventions en constituant une preuve éloquente !

Cordialement.

Concernant le point 1, c'est Kurt Godel qui a demontré l'inverse à savoir qu'en utilisant les règles du principe d'identité, de non contradiction et du tiers exclu qui sont les fondements de la logique classique que la logique et l'axiomatique sont condamnés à rester incomplets.

C'est une contre vérité d'affirmer que la logique entend "couvrir tous les cas possibles" par un nombre fini de principes et d'axiomes

En utilisant ses principes, la logique a demontré à l'inverse que certaines propositions resteraient indecidables donc hors de portée d'une demonstration au sein du systeme

A l'inverse d'autres visions irrationnelles ou dogmatiques qui entendent exprimer une vérité sans demonstration, la rigueur des principes logique demontrent que toute assertion vraie ou fausse ne peut être démontrée

Cela va même un peu plus loin puisque ces mêmes theoremes d'incompletude demontrent qu'aucun systeme complexe ne peut auto démontrer sa consistance donc sa capacité à ne pas être contradictoire

En gros, tout systeme complexe axiomatique utilisant les fondements que sont l'arithmétique sont incomplets et peuvent potentiellement contenir des propositions contradictoires sauf a démontrer la cohérence du systeme à partir d'un systeme qui lui est extérieur dont la propre cohérence nécessiterait elle même une demonstration depuis un autre systeme dans une régression infinie

Concernant le point 1, c'est Kurt Godel qui a demontré l'inverse à savoir qu'en utilisant les règles du principe d'identité, de non contradiction et du tiers exclu qui sont les fondements de la logique classique que la logique et l'axiomatique sont condamnés à rester incomplets.

C'est une contre vérité d'affirmer que la logique entend "couvrir tous les cas possibles" par un nombre fini de principes et d'axiomes

En utilisant ses principes, la logique a demontré à l'inverse que certaines propositions resteraient indecidables donc hors de portée d'une demonstration au sein du systeme

A l'inverse d'autres visions irrationnelles ou dogmatiques qui entendent exprimer une vérité sans demonstration, la rigueur des principes logique demontrent que toute assertion vraie ou fausse ne peut être démontrée

Cela va même un peu plus loin puisque ces mêmes theoremes d'incompletude demontrent qu'aucun systeme complexe ne peut auto démontrer sa consistance donc sa capacité à ne pas être contradictoire

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En gros, tout systeme complexe axiomatique utilisant les fondements que sont l'arithmétique sont incomplets et peuvent potentiellement contenir des propositions contradictoires sauf a démontrer la cohérence du systeme à partir d'un systeme qui lui est extérieur dont la propre cohérence nécessiterait elle même une demonstration depuis un autre systeme dans une régression infinie

Bonjour,

Attention, il ne faut pas réduire toute la logique à la seule théorie des nombres !

Par exemple, le calcul propositionnel est décidable et complet.

Le calcul des prédicats monadiques est décidable et complet.

De plus, les notions de décidabilité et de complétude ne sont qu'une goutte d'eau dans l'océan de la logique mathématique.

Voici par exemple quelques articles publiés dans le "Journal of symbolic logic" auquel je suis abonné :

- Generalized prime models,

- Negative solution of the decision problem for sentences true in every subalgebras of <N,+>

- Deducibility and many evaluedness,

- A structure theorem for ﬡ_un categorical theory

- Etc.

Oui, la logique mathématique est très vaste et absolument passionnante !

Cordialement.

Concernant le point 1, c'est Kurt Godel qui a demontré l'inverse à savoir qu'en utilisant les règles du principe d'identité, de non contradiction et du tiers exclu qui sont les fondements de la logique classique que la logique et l'axiomatique sont condamnés à rester incomplets.

Je ne parle pas d'ensemble de théories, mais de formule, comme par exemple :

A ou non(A) (2 cas) couvriraient tous les possibles, c'est le principe du tiers exclus.

Pour te répondre ainsi qu'à algonquin, tout systeme formel recursivement axiomatisable qui intègre l'arithmétique de Robinson donc toute theorie qui utilise les entiers naturels et les opérations de base a savoir l'addition et la multiplication qui constituent le socle de tout systeme formel mathématique "evolué" est incomplet et contient donc des propositions indecidables.

Bien évidemment, il existe des systemes complets et consistants en deça de ce niveau de complexité

On ne peut dans tous les cas écrire que la démarche logique permettrait de repondre à tout

Les theoremes d'incompletude demontrent justement les limites de la logique

@Zenalpha : mais on est bien d'accord qu'un raisonnement logique correct un jour est correct pour toujours ?

Pour te répondre ainsi qu'à algonquin, tout systeme formel recursivement axiomatisable qui intègre l'arithmétique de Robinson donc toute theorie qui utilise les entiers naturels et les opérations de base a savoir l'addition et la multiplication qui constituent le socle de tout systeme formel mathématique "evolué" est incomplet et contient donc des propositions indecidables.

Bien évidemment, il existe des systemes complets et consistants en deça de ce niveau de complexité

On ne peut dans tous les cas écrire que la démarche logique permettrait de repondre à tout

Les theoremes d'incompletude demontrent justement les limites de la logique

Bonjour,

Les théorèmes d'incomplétude démontrent seulement que la mathématique n'est pas axiomatisable en sa totalité.

De plus, je crois que ce théorème de Church :

Le problème de la décision de la déductibilité est algorithmiquement insoluble.

Jest un beau résultat de la logique mathématique.

Ce théorème est à rapprocher de celui-ci à propos des machines de Turing :

Le problème de la décision de l'autoapplicabilité est algorithmiquement insoluble.

Ces théorèmes, et d'autres encore, montrent clairement que le processus de connaissance des mathématiques ne peut être automatisé. Mais ceci nous entraînerait bien loin vers le domaine de l'IA !

Cordialement.

oui, un raisonnement logique correct au sein d'un systeme formel non contradictoire donc dans lequel une chose et son contraire ne peuvent être demontrées signifie que les déductions tirées sont démontrées ad vitam eternam (sauf erreur de raisonnement) au sein de ce systeme formel

Le temps ne change pas la donne

Toutefois, au sein du système consistant non contradictoire et s'il est suffisamment complexe, des propositions mathematiques seront vraies ou fausses sans qu'on ne puisse le démontrer sans sortir du systeme

C'est l'incomplétude

Et tout systeme consistant suffisamment complexe est par nature incomplet

C'est intrinsèque aux mathematiques et non une limitation de nos principes

Le theoreme de Fermat qui s'énonce dans Peano n'a ete demontré qu'en utilisant ZFC si on considère ZFC comme consistante

Par ailleurs, aucun systeme "complexe" ne peut auto démontrer sa consistance donc sa non contradiction donc sa cohérence

Il faut faire appel à un autre systeme axiomatique

La consistance de l'arithmétique de Peano est demontrée par ZFC mais la consistance de ZFC n'est aujourd'hui pas démontré

Les mathematiques "complexes" ne peuvent demontrer leur consistance

Attention, un raisonnement logique correct ne signifie pas non plus qu'on tire des vérités universelles mais seulement des assertions prouvées au sein du systeme

Des assertions vraies sous la géométrie euclidienne comme la somme des angles de 180 degrés d'un triangle est une assertion définitivement vraie dans la géométrie euclidienne mais fausse dans la géométrie de Riemann

Tu peux si tu veux retirer le principe d'identité du raisonnement logique par exemple

Pourquoi pas ?

Si A n'implique pas A alors plus aucune déduction n'est possible faute d'invariance

Là encore j'invite à distinguer le raisonnement mathématique abstrait des considérations philosophiques

Si A est contrexemple et si une assertion de contrexemple le jour J n'implique pas le même raisonnement de contrexemple en J+1 c'est parce que les process de raisonnement de contrexemple ne sont pas universels et peut-être pas rationnel

En mathematiques, ce qui a été demontré par A peut-être démontré par B à un autre endroit à une autre époque car le raisonnement mathématique est universel et invariant

D'ailleurs si les mathematiques sont si predictives de réalités physique, c'est aussi parce que ces objets sont invariants

Si nous ne pouvions caractériser une particule par des caractéristiques invariantes, le physicien ne pourrait mettre en évidence des relations logique de causes à effet

Non, les mathématiques n'ont pas toujours reposer sur la logique, dans l'antiquité seul les mathématiciens grecques et (peut-être) égyptiens, utilisaient la logique pour faire des maths, après en Chine, en Perse, en Inde, en Mésopotamie, on faisait des maths sans faire de logique.

Et pour moi, il n'existe pas de construction humaine éternelle, y compris aux niveaux du raisonnement, c'est pour cela que je considère la logique comme un mensonge (faire des raisonnements valables pour tout éternité)

Il y aurait plusieurs dimensions d'échanges sur tes remarques

La première serait de constater que ce qui ressort des croyances et des mythes pour trouver sa place dans la progression des connaissances sont par définition des apports universels qui dépassent les contextes géographiques, temporels, culturels, religieux...

Ces connaissances peuvent être limitées, partielles mais elles doivent justement disposer de ce caractère universel pour depasser la representation subjective de l'homme au profit d'une demarche rationnelle et invariante

Sur un plan, la somme des angles faisait 180 degrés ou était simplement fixe si on considère que l'unité de mesure est arbitraire avant qu'on ne le découvre et quel que soit l'homme qui en a fait le premier la demonstration

Ce qui est vrai, c'est que l'homme pensait cette vérité générale et universelle dans l'absolu quand la découverte d'autres géométries associées à d'autres topologies en ont fait une vérité relative dans un type donné de géométrie

Neanmoins, sur un plan, cette vérité était vraie avant qu'on ne la découvre et reste vraie après la découverte d'autres géométries

Il est certain que les disciplines sont parfois revolutionnées par la découverte de théories nouvelles et plus puissantes ou par des théories qui étendent ce domaine des connaissances pour modifier nos representations précédentes

C'est particulièrement vrai en sciences physiques

Mais dans le même temps, on voit comment les mathematiques structurent nos découvertes au travers de modèles issus d'une même logique au point à present d'anticiper l'expérimentation

La partie des mathematiques la plus utilisée dans la modélisation des phénomènes naturels est d'ailleurs celle qui utilise des invariants même si le domaine des mathematiques est plus large

Bref, universalité et invariance des résultats, c'est le fondement des mathematiques et la logique en est la moëlle épinière

On peut trouver des algorithmes et faire du calcul avec intuition sans règles de demonstration logique mais les mathematiques sollicitent des demonstrations pour intégrer le paysage des certitudes mathematiques

Prend la conjecture de Riemann, elle est verifiée par le calcul sur des milliards de cas sans relever d'exception

Neanmoins, bien que le degré de confiance dans cette conjecture soit immense, manque la demonstration rigoureuse logiquement parfaite pour biffer le mot conjecture par le mot theoreme et en faire de ce fait une vérité universelle

Autre point concernant la nature des mathematiques

Tu les présentes comme une construction humaine

En fait, ce point est très controversé

Aristote partagerait ton avis mais pas Platon et encore moins Pythagore

La plupart des mathematiciens donnent une réalité abstraite aux mathematiques et ne parlent pas plus de construction humaine que d'invention

Ils se voient comme des découvreurs d'un paysage abstrait mais objectif et universel et ce qu'ils découvrent, ils ont la certitude que d'autres les aurait découvert aussi

Cette réalité abstraite, la plupart la voit comme une réalité abstraite indépendante de l'homme que l'homme ne fait que découvrir

D'autres vont plus loin, ils voient une réalité non plus abstraite mais ontologique aux mathematiques

La nature n'utiliserait plus le langage mathématique mais serait une conséquence d'un monde informationnel qui lui serait plus fondamental

Si Platon raisonnait ainsi c'est également le cas d'Alain Connes aujourd'hui et medaille Field francais de math

Je renvoie à ce propos à Galilée pour qui la nature utilisait des formes géométriques telles que le cercle et le triangle et donc utilisait le langage mathematique

Il invitait l'homme à apprendre ce langage sans lequel il était humainement impossible de comprendre la nature

Ce humainement est rempli d'interrogation

L'homme utilise t'il le langage mathematique pour comprendre la nature faute de mieux ?

Dans ce cas, nous forçons la nature à cracher du nombre pour en comprendre la seule partie captable rationnellement par nous au travers de notre propre langage mathématique qui serait une construction humaine pour reprendre tes termes

Ou la nature utilise t'elle le langage mathématique comme fondement de ses relations comme un intermédiaire entre sa realité ontologique et la modélisation mathématique abstraite des relations comme intermédiaire ?

Dans ce cas, nous nous efforçons d'apprendre la langue de la nature en la découvrant petit à petit

Ou encore, la nature est elle ontologiquement la conséquence d'une réalité abstraite informationnelle et non materialiste plus fondamentale dont les modèles mathématiques entre les caractéristiques des objets physiques seraient les vestiges ?

Dans ce cas le monde matériel serait moins fondamental voir une simple illusion ?

Bref, ces 3 conceptions représentent grosso modo les mêmes differences de sensibilité qu'entre Pythagore, Platon et Aristote et on retrouve les mêmes differences entre la conception de polytechnique, de centrale ou des mines

En tout cas, pas certain que les mathematiques soient une construction humaine

Bonjour,

je conseille fortement la lecture des ouvrages suivants :

- "Introduction to metamathematics" par Stephen Kleene. (En anglais)

- "Logique mathématique" tomes I et II de René Cori,

- "Logique combinatoire et λ-calculus" de Desclés (et autres).

Bonjour @ tous,

@algoguin : la bibliothèque de ma ville ne contient pas ce genre d'ouvrage, mais merci pour les références.

@zenalpha : effectivement cela renvoie aux caractères des mathématiques découverte ou construite.

Bonne journée.

MERCI de ne pas persister à remettre en ligne ce qui a été supprimé car inutile au débat et hors sujet.

Vous seriez bien aimables aussi de nous épargner vos disputes. La suppression des derniers messages avait pour but de couper court à celle qui pointait encore son nez. Puisque cela n'a pas suffi, la dernière coupe a été encore plus franche.

Ceci est le 3e et dernier nettoyage avant Avertissement.

Bonjour,

Si on reprend le fameux syllogisme :

1/Tout homme est mortel.

2/Socrate est un homme.

3/Donc Socrate est mortel.

En effet si nous nous plaçons dans le cas suivant, Socrate serait un homme mythique représentant le philosophe grecque par excellence.

Donc Socrate ne serait pas mortelle.

Donc dans ce cas : Socrate est un homme et Socrate n'est pas mortelle.

Mais on a aussi : tout homme est mortel, plus précisément tout homme non mythologique est mortel.

Ainsi a-t-on :

1/Tout homme est mortelle.

2/Socrate est un homme.

3/Et Socrate n'est pas mortelle.

PS : En jouant sur l'imprécision de l'affirmation 1/ on peut trouver des contrexemples qui vont remettre en question le raisonnement logique proposé.

Bonne journée.

Socrate ayant été un homme est mortel et non mortelle.