Besoin d'aide : maths

Bonjour, c'est urgent demain j'ai un petit contrôle de maths (je suis en seconde) sur les cercles trigonométriques. J'ai compris le chapitre sauf ce qu'on a fait ce matin et que l'on aura dans le contrôle de demain, j'ai essayé de comprendre l'exercice mais c'est impossible c'est la première fois que je ne comprend absolument rien. Donc j'ai déjà compris comment placer de points sur le cercle avec Pi, pi/2, pi/3, pi/4 et pi/6, j'arrive aussi à déterminer les lignes trigonométriques d'un point. Sauf que là on est vraiment passés aux choses compliquées, voici un exemple corrigé de ce que je ne comprend pas:

Résoudre dans R puis dans [0;2pi[

1) cos(x) = -1/2

SolutionR = {2pi/3 + k2pi ; 4pi/3 + k2pi}

Solution[0; 2pi[ = {2pi/3 ; 4pi/3}

Un autre exemple corrigé aussi:

Résoudre dans R puis dans ]-pi ; pi]

1) cos(x) = racinede2/2

SolutionR = {pi/4 + k2pi ; -pi/4 + k2pi}

Solution ]-pi;pi] = {-pi/4 ; pi/4}

Voilà donc il faut s'aider d'un cercle et connaître le cos et le sin de pi/2, pi/3, pi/4 pi/6.

Je connais leurs cos et leurs sin mais franchement même avec des exemples corrigés je ne comprend rien.. Si quelqu'un peut m'expliquer mais sans trop de complications :(

Merci

Bonjour,

Il faut que le cercle trigonométrique soit gravé dans ta tête. C'était une recommandation de mon professeur de 1ère, et elle m'a toujours été utile. pi/2, pi/3, pi/4 et pi/6 sont des lignes trigonométriques classiques, et il te faut connaître leur cosinus et leur sinus par cœur.

Un moyen mnémotechnique est de retenir les valeurs suivantes : sqrt(3)/2, 1/2, sqrt(2)/2

Tu sais que l'angle pi/4 bissecte l'arc supérieur droit d'un cercle. Alors son cosinus et son sinus sont clairement égaux. Tu connais également la relation cos²(x) + sin²(x) = 1, alors si on appelle X = sin(x) = cos(x), on peut retrouver le sinus et le cosinus de pi/4 en résolvant : 2X² = 1, ce qui donne X = +-(1/sqrt(2)) = +-sqrt(2)/2

Il s'avère que la seule valeur convenable est la valeur positive, et qu'une révolution de 2pi radians autour d'un cercle conserve le cosinus et le sinus, puisque ce sont des fonctions réelles 2pi-périodiques. Attention, ici on satisfait cos(x) = sqrt(2)/2 ET sin(x) = sqrt(2)/2, ces deux équations devant être vérifiées en même temps. Cela peut encore s'écrire cos(x) = sin(x) = sqrt(2)/2

Les solutions PRINCIPALES à cos(x) = sqrt(2)/2, quant à elles, peuvent être pi/4 ou -pi/4, car la fonction cosinus est PAIRE (cos(x) = cos(-x)). Et puisque cos est 2pi-périodique, tu n'oublieras jamais de dire que tout nombre de la forme pi/4 + 2*k*pi ou -pi/4 + 2*k'*pi (avec k et k' entiers) est solution.

Même raisonnement graphique pour distinguer le cos et le sin de pi/3 ou pi/6. Souviens-toi que pi/6 est l'angle le plus petit des deux, et doit donc avoir le cosinus le plus grand. Son cosinus est donc sqrt(3)/2 et son sinus est 1/2. L'inverse est valable pour pi/3.

Enfin, pi/2 est un angle de 90°. Son sinus est évidemment maximal et son cosinus est nul. Si tu as du mal à te souvenir de ces lignes, triture-les dans tous les sens, en remarquant que tu as systématiquement cos²(x) + sin²(x) = 1 quel que soit l'angle x de R, propriété fondamentale car il s'agit entre autre de l'équation d'un cercle de centre 0, de rayon 1 et paramétré par X et Y si on pose cos(x) = X et sin(x) = Y. On peut aussi voir cette relation comme la projection d'un vecteur normé sur deux axes orthogonaux (voir chapitre "produit scalaire" en 1ère S).

PS : La trigonométrie est avant tout visuelle. Il faut presque systématiquement dessiner le cercle trigonométrique, même dans une résolution qui peut sembler essentiellement algébrique. Une fois que tu t'y seras faite, il faudra quand même le dessiner, certaines relations plus compliquées - que tu verras ultérieurement - pouvant "sortir du dessin".

Dans ton cas, la parfaite connaissance des lignes trigonométriques basiques (0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2) te permet de connaître les lignes suivantes :

4pi/6 = 2pi/3, 3pi/4, 5pi/6, pi, 7pi/6, 5pi/4, 4pi/3, 3pi/2, 5pi/3, 7pi/4, 11pi/6

Bonjour, c'est urgent demain j'ai un petit contrôle de maths (je suis en seconde) sur les cercles trigonométriques. J'ai compris le chapitre sauf ce qu'on a fait ce matin et que l'on aura dans le contrôle de demain, j'ai essayé de comprendre l'exercice mais c'est impossible c'est la première fois que je ne comprend absolument rien. Donc j'ai déjà compris comment placer de points sur le cercle avec Pi, pi/2, pi/3, pi/4 et pi/6, j'arrive aussi à déterminer les lignes trigonométriques d'un point. Sauf que là on est vraiment passés aux choses compliquées, voici un exemple corrigé de ce que je ne comprend pas:

Résoudre dans R puis dans [0;2pi[

1) cos(x) = -1/2

SolutionR = {2pi/3 + k2pi ; 4pi/3 + k2pi}

Solution[0; 2pi[ = {2pi/3 ; 4pi/3}

Un autre exemple corrigé aussi:

Résoudre dans R puis dans ]-pi ; pi]

1) cos(x) = racinede2/2

SolutionR = {pi/4 + k2pi ; -pi/4 + k2pi}

Solution ]-pi;pi] = {-pi/4 ; pi/4}

Voilà donc il faut s'aider d'un cercle et connaître le cos et le sin de pi/2, pi/3, pi/4 pi/6.

Je connais leurs cos et leurs sin mais franchement même avec des exemples corrigés je ne comprend rien.. Si quelqu'un peut m'expliquer mais sans trop de complications :(

Merci

Salut,

Déjà une petite remarque qui peut servir : racine(X)/X=1/racine(X) pour tout X différent de 0.

La démonstration est facile, il suffit de multiplier sur le membre de droite par racine(X)/racine(X).

Une autre remarque qui peut servir : cos²(x) +sin²(x) =1

On reconnait dans cette formule le théorème de Pythagore. En effet, la distance de 0 à un point M du cercle trigonométrique vaut 1. Son carré vaut 1.

Et la somme des carrés des deux autres côtés du triangle rectangle formé par les points O, M et projeté sur l'abscisse de M vaut cos²(x)+sin²(x).

x est l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur OM.

Après, soit tu retiens le tableau des correspondances comme suggéré au dessus (c'est le plus simple et fortement recommandé), ou bien je te proposerais de commencer à résoudre ton exercice (ou son opposé, je te propose un exemple ensuite) sur l'intervalle [0, Pi] puis de déduire sa solution sur R avec la périodicité et la parité de la fonction. Enfin, lorsqu'on te demande la solution sur un intervalle précis, il suffira de "piocher" les solutions dans R.

Exemple 1 :

(équation) : cos(x) = racine(2)/2

dans [0, Pi]

Dans quel cas je peux avoir une distance entre O et le projeté sur l'axe des abscisses d'un point M du cercle trigonométrique valant 1/racine(2) dans [0,Pi] ?

Je fais appel au sinus de l'angle et j'utilise le théorème de Pythagore version trigo :

cos²(x)+sin²(x)²=1

(1/racine(2))²+sin²(x)=1

1/2+sin²(x)=1

sin²(x)=1-1/2=1/2

valeur absolue de ( sin(x) ) = 1/racine(2)

On sait alors qu'au signe près, cet angle recherché dans [0,Pi] donne la même valeur au cosinus et au sinus.

Dans le cercle trigonométrique, un point M ne peut avoir une projetée horizontale et verticale identique que si le point passe par la bissectrice du cadran dans lequel on se trouve.

Dans [0, pi], on a les angles 90°/2 (<=> Pi/2/2=Pi/4)

Ou éventuellement (90+45)° mais cette solution nous emmène dans le deuxième cadran et donnerait une valeur négative à la projetée du point M sur l'axe des abscisses. (donc du cosinus). Donc je l'écarte.

Alors dans [0, Pi] on a la solution Pi/4.

Comme cosinus est 2Pi périodique, et qu'elle est paire, on sait que si on élargissait l'intervalle, -Pi/4 répondrait à l'équation.

Dans R, on peut dire que l'équation est vérifiée si x vaut Pi/4+2kPi ou -Pi/4 +2kPi où k est un entier relatif.

exemple 2 :

( équation ) cos(x) = -1/2

C'est une valeur sympa ! :)

C'est au signe près la moitié de 1 et donc de la distance entre O et un point M quelconque du cercle trigonométrique.

Pour simplifier calculons d'abord l'angle pour cos(x)=1/2

Si on imagine alors le triangle formé par O, le point de coordonnée (1, 0) et le point M qui a exactement le même angle <(Ox, OM)> que pour cos(x)=1/2

on voit que c'est un triangle équilatéral et donc que l'angle vaut 60° !

Bon comme c'est -1/2 et pas 1/2 dans l'énoncé, c'est pas complétement terminé.

Si on reproduit mentalement notre triangle équilatéral par une symétrie axial vers les abscisses négatives, 60° sera toujours l'angle de ce triangle équilatéral mais en valeur absolue. En respectant le sens trigonométrique depuis l'axe des abscisses positives, l'angle vers ce point M se trouve alors à :

90° + (90° - 60°) <=> Pi-Pi/3=2Pi/3.

Comme cosinus est une fonction paire, c'est vrai aussi pour x=-2Pi/3

Et comme elle est 2Pi Périodique, c'est vrai pour x=2Pï/3+2kPi ou x=-2Pi/3+2kPi

sur [0, 2Pi[

en prenant k=0 et k=1 on trouve

{2Pi/3; 4Pi/3 }

Avec ces deux "méthodes", tu peux retrouver toutes les valeurs remarquables du tableau trigonométrique car si ce n'est pas cosinus qui t'aide, c'est sinus.

Merci pour vos aides ! J'ai essayé la méthode mais j'ai un peu de mal avec tous les petits calculs, j'ai appris par coeur les cosinus et sinus des Pi et de 0. Dans les exemples la prof nous avait dit de tracer d'abord notre cercle trigonométrique et de placer notre Pi en fonction du cosinus ou du sinus demandé, après les placer j'arrive à définir les solutions pour -Pi;Pi et 0;2 mais j'ai beaucoup de mal avec R. Je ne sais pas si il y a une façon plus simple pour trouver la solution R avec le cercle :(

De rien. Bon courage.

Si tu arrives sur [-Pi; Pi[ alors tu peux trouver sur R facilement.

Les fonctions cos et sin sont 2Pi périodiques.

Ca veut simplement dire que quand tu fais un angle de 360° (tu fais un tour complet du cercle trigonométrique) alors tu retombes sur le même point.

Quand j'écris x = toto + 2*k*Pi

avec k un entier relatif (il peut valoir ....,-10,-9,-8...., -1,0,1,2,3....1000,1001....)

alors x vaut un ensemble de valeurs où on peut changer k.

queuqles valeurs : ""toto +2*1*Pi"" ou """ toto + 2*2*Pi """ etc...

Autre propriétés importantes :

cosinus est une fonction paire

et sinus est une fonction impaire

concrètement cos(-x)=cos(x)

et sin(-x)=-sin(x)

Si tu n'as pas compris la partie avec 2kPi, je veux bien essayer de recommencer une explication.

Merci, en fait j'arrive à mieux comprendre en plaçant sur le cercle et en ayant une méthode pour trouver R. J'ai compris cette explication mais notre prof ne nous a rien expliqué concernant 2kPi, elle nous a montré comment trouver les solutions visuellement à l'aide du cercle mais pour R je me trompe sur le nombre de Pi avant le 2kPi , je ne sais pas comment on trouve combien de Pi il faut mais je pense que ça a un rapport avec le signe du cosinus ou du sinus

Avant le 2*k*Pi, il faut mettre la(les) solution(s) que tu as trouvé sur un plus petit intervalle en n'oubliant de boucler ton cercle.

Un exemple trivial :

cos(x)=0

sur [-Pi; Pi[

La solution est x = Pi/2 ou x = -Pi/2 (c'est facile à retrouver, il faut parcourir un angle de plus ou moins 90° pour que la projection du point M sur l'axe des abscisses soit nulle )

Remarque : on aurait pu se contenter de travailler sur l'intervalle [0; Pi] et d'utiliser la propriété "cosinus est une fonction paire" mais peut-être que tu ne maîtrises pas encore cette propriété.

Récapitulons : on a sur [-Pi; Pi[ deux solutions : x appartient à {-Pi/2 ; Pi/2 }

Pour trouver toutes les solutions sur l'ensemble R (qui est l'ensemble des réels), on va utiliser la propriété "cosinus est une fonction 2Pi périodique".

Il suffit alors simplement d'ajouter un multiple de 2Pi aux solutions précédemment trouvées sur un intervalle réduit .

Est-ce que c'est plus clair ?

Je dois rajouter le même multiple aux deux valeurs trouvées ? Et ce multiple c'est en fonction du nombre de tours ?

Mais la propriété elle est valable aussi pour sinus ou non? Nous n'avons pas encore vu cette propriété

Tu poses 3 questions. Mes réponses dans l'ordre :

Oui.

imaginons qu'on a trouvé les solutions s1 et s2

alors la réponse que tu dois donner quand elle te demandera l'ensemble des solutions dans R c'est

{s1+2kPi; s2+2kPi}

en précisant bien: où k est un entier relatif.

Oui c'est fonction du nombre de tour. Si k=1, comme c'est multiplié par 2Pi, ça veut dire "un tour dans le sens trigonométrique".

Si k=-1, ça veut dire "un tour mais dans le sens horaire"

Si k=2, ça veut dire "deux tours dans le sens trigonométrique"

etc...

Oui, la fonction sinus est aussi 2Pi périodique.

Ok, tu n'as peut-être pas vu cette propriété mais elle est en fait évidente quand on te présente un cercle trigonométrique.

Si tu fais un tour complet (2Pi), tu retombes sur le même point.

Pour éviter de te faire piéger :

Fais attention aussi quand tu résous l'équation d'avoir un coefficient 1 devant ton sinus ou ton cosinus.

Par exemple si l'exo c'est

2*cos(x)=1

pense à écrire avant de poursuivre tes calculs que cos(x)=1/2

Merci pour tes réponses je pense avoir bien compris, j'éspère réussir l'interro de demain :D

alors? l'interro?

Je pense l'avoir réussi franchement je l'ai trouvé simple mais je préfère pas trop être contente tant que je n'ai pas eu ma note ! :D

Y'avait calculer cos(x) et ils nous donnaient le sin(x) donc j'ai fais la formule, il y avait des points à placer avec les Pi rien de compliqué et définir des lignes trigonométriques :)

Si ça intéresse quelqu'un j'ai eu 18/20 :D

bravo !! :)

Merci! :)