Aide mathématiques- matrice

Je vous donne le sujet et vous dis ce que j'ai fait :

E le sous-ensemble M₂©, formé des matrices de la forme :

| cos(x) sin(x) |

|-sin(x) cos(x) |

1- Montrer que E est stable par la multiplication matricielle. L'est-il pour l'addition ?

2- Montrer que ^tM(x) = M(-x) = (M(x))^-1.

3- Prouver que, pour tout entier n de N, (M(x))ⁿ = M(nx).

4- Exprimer de deux facons ( M(x) + M(-x) )ⁿ et en déduire cosⁿ(x) en fonction des cos(kx).

1, 2 et 3 fait.

4. Première facon : j'ai calculé M(x) + M(-x) que j'ai ensuite mis à la puissance n ( M(x) + M(-x) donne une matrice triangulaire )

Pour la deuxième facon, je suppose qu'il faut utiliser Newton, mais une fois Newton utilisé je ne sais plus comment faire. Si quelqu'un pouvait me donner des pistes....

Merci d'avance.

La linéarisation du cos^n, quelle merde :D

Pour ta premiere facon, ta matrice est diagonale, pas triangulaire. De diagonale 2^n*cos^n(x).

Pour ta seconde, tu fais le binome. Aprés il faut que tu traites le cas ou n est pair et le cas ou n est impair, en utilisant le fait que M(-x) = (M(x))^(-1) pour simplifier ton binome.

Diagonale pardon.. Quelle tête en l'air !

C'est ce que j'ai fait le problème est que je me retrouve avec : 2ⁿcosⁿ(x)= somme de k=0 à n de (ⁿ_k) cos((n-2k)x), du coup j'ai beau tourner est retourner je ne trouve pas le moyen de retomber seulement sur du cos(kx), ce qui me parait d'ailleurs un peu impossible ( même problème si je scinde en deux cas, pour n pair et n impair ! )

Mais merci en tout cas !

Tu as le résultat la... Tu veux faire de l'excés de zele. Tu as qu'a developper (n-2k)x, puis aprés aprés utiliser la formule d'addition cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), tu auras une formule avec du cos(2kx) et sin(2kx). Et la tu bidouilles encore avec les formules trigonometrique de cos(2a) et sin(2a). Enfin pas sur que ca puisse marcher...

Tu as raison.

Au mieux j'ai du cosⁿ(x) = 2^1-n somme de k=1 à n de (ⁿ_k)cos(kx)cos((n-k)x ; autant dire que ca ne sert à pas grand chose...

Mais disons que je suis bête et disciplinée. On me dit cos(kx), je cherche en fonction des cos(kx) et pas seulement en fonction des cos((n-k)x). En gros trois heures "perdues"...

Mais merci bien !

Tu as raison.

Au mieux j'ai du cosⁿ(x) = 2^1-n somme de k=1 à n  de (ⁿ_k)cos(kx)cos((n-k)x ; autant dire que ca ne sert à pas grand chose...

Mais disons que je suis bête et disciplinée. On me dit cos(kx), je cherche en fonction des cos(kx) et pas seulement en fonction des cos((n-k)x). En gros trois heures "perdues"...

Mais merci bien !

Cela dit j'espere que tu as mal rédigé sur l'ordi. Car la il me semble que tu ne traites que le cas impair, et ou ton n est en fait le m du n=2m+1 et encore il manque un deux dans la bataille. Et on ne perd jamais trois heures quand on réflechit. Meme si c'est pour pas avancer beaucoup

Cela dit j'espere que tu as mal rédigé sur l'ordi. Car la il me semble que tu ne traites que le cas impair, et ou ton n est en fait le m du n=2m+1 et encore il manque un deux dans la bataille. Et on ne perd jamais trois heures quand on réflechit. Meme si c'est pour pas avancer beaucoup

Dans le cas ou n est impair :

2^n-1cosⁿ(x)= somme de k=0 à (n-1)/2 (ⁿ_k)cos((n-k)x) non ?

Il me semble que cette formule peut se généraliser pour les pairs et impairs comme cela :

2ⁿcosⁿ(x)= somme de k=0 à n de (ⁿ_k) cos((n-2k)x)

Je me trompe peut être...