(cos(x) - 1)/x , dérivable en 0 ?

Bonsoir!

J'ai un petit problème sur l'utilisation du taux d'accroissement en 0 de f(x)= (cos(x) - 1)/x

En effet, voici mon calcul:

T(k)= f(0+k)-F(0) : k

T(k)= [cos (o+k)-1 : k] - 0 / k

T(k)= [cos (k)-1 : k] / k

Or on ne peut pas calculé à cause de cos(k).

Je me suis demandé si je ne dois pas utiliser la technique du binôme conjugué mais je tombe sur un calcule monstrueux.

Quelqu'un aurais un conseil à me donner pour sortir de cette impasse s'il vous plait?

Euh.. alors je ne sais pas/plus ce qu'est un taux d'accroissement.

Du coup ma suggestion va peut-être être à côté de la plaque : as tu vérifié le domaine de définition de f ?

Il est difficile de te conseiller sans connaître ton niveau en maths.

La fonction f(x)= (cos(x) - 1)/x n'est pas définie en 0, mais elle admet un prolongement en 0.

Son prolongement est évidemment dérivable en 0.

Si tu as vu les séries entières, utilise-les, c'est alors très simple.

Sinon, je ne sais pas, tu as vu quoi ? Tu as vu les limites ?

Euh.. alors je ne sais pas/plus ce qu'est un taux d'accroissement.

Du coup ma suggestion va peut-être être à côté de la plaque : as tu vérifié le domaine de définition de f ?

Oups!! En effet, erreur monumental!

Le domaine de définition de f(x) est |R

Il est difficile de te conseiller sans connaître ton niveau en maths.

La fonction f(x)= (cos(x) - 1)/x n'est pas définie en 0, mais elle admet un prolongement en 0.

Son prolongement est évidemment dérivable en 0.

Si tu as vu les séries entières, utilise-les, c'est alors très simple.

Sinon, je ne sais pas, tu as vu quoi ? Tu as vu les limites ?

Oui!

Le domaine de définition de f(x) est |R

Oui!

Calcule la limite lorsque k tend vers 0 de (cos(x) - 1)/x.

PS : Tu as vu les DL (Développements limités) ? Ils sont très utiles pour calculer cette limite.

wow

c dur dur

je pense qu'il faut utiliser un développement limité de cos(x)

mais ça montre pas la dérivabilité

donc je sais pas bon courage o_O

mais ça montre pas la dérivabilité

Si, par le théorème du prolongement C1.

Non.

Calcule la limite lorsque k tend vers 0 de (cos(x) - 1)/x.

PS : Tu as vu les DL (Développements limités) ? Ils sont très utiles pour calculer cette limite.

D.L? Pas encore vu je crois.

Le

Sinon pour lim de f(x) quand x---> 0 je l'ai déjà fait dans la question précédente de l'exercice:

Lim cos x-1 /x

= Lim [(cos-1) (cos +1)] / x (cos+1) (binôme conjugué)

= Lim -sin²x / x(cos+1) car cos² + sin²=1 d'où cos²-1 = -sin²

= Lim (sinx/x)* Lim(-sin²x/cos+1) (désolé, la flemme de développé)

Donc Lim (cos-1/x) = 1*(0/1+1) = 0

or que maintenant je dois étudier la dérivabilité de f(x) en 0. C'est pour cela que je suis parti sur le taux.

développement limité de Taylor-Young

" />

http://www.ilemaths.net/maths_p-developpements-limites.php

or que maintenant je dois étudier la dérivabilité de f(x) en 0. C'est pour cela que je suis parti sur le taux.

Du coup il ne te reste plus qu'à trouver la limite du taux d'accroissement lorsque k tends vers 0.

*se marre*

Non, je me fiche pas de vous mais de moi, car je me suis rendu compte de deux choses:

-que j'ai oublier de donné les données manquante de l'exo: pour tous réèl x on a

1-x²/2 ≤ cos x ≤ 1-x (puissance 4)/24

-que je bloquais sur un calcul bête et enfantin:

Je tombais sur cos k-1/k/k et ça ma déstabilise et je ne me suis pas aperçu que je pouvais multiplier par l'inverse, ce qui donne:

cos k-1/k * 1/k = cos k-1/k²

Lim x--> 0 cos k-1/k²

C'est une forme indéterminé mais on peut utiliser le théorème des gendarmes:

-x²/2 ≤ cos x-1 ≤ -x²/2 + x (4)/24

-1/2 ≤ ( cos x-1)/x² ≤ -1/2 + x²/24

on fait la limite en 0 des 2 fonction. Leurs limite est -1/2 donc par théorème Lim f(x) = -1/2.

Heu...c'est juste?

non je pense pas

à la calculette, ça semble tendre vers 0-

on fait la limite en 0 des 2 fonction. Leurs limite est -1/2 donc par théorème Lim f(x) = -1/2.

Heu...c'est juste?

C'est juste sauf que c'est pas lim f(x) mais lim [(f(h)-f(0))/h] :p

En fait, on parlait des DL car, sans l'encadrement que tu as donné, c'est ce qu'on utilise pour trouver ce -1/2.

non je pense pas

à la calculette, ça semble tendre vers 0-

C'est le coefficient de x² dans le DL que tu as donné

Si tu calcule le DL de (cos(x)-1)/x, tu verras qu'ils commence par -1/2x+...

Donc la dérivée en 0 est bien -1/2 (les coefficients du DL, ce sont les dérivées successives).

C'est juste sauf que c'est pas lim f(x) mais lim [(f(h)-f(0))/h] :p

En fait, on parlait des DL car, sans l'encadrement que tu as donné, c'est ce qu'on utilise pour trouver ce -1/2.

Ok! Je m'en souviendrais! :p

C'est le coefficient de x² dans le DL que tu as donné

Si tu calcule le DL de (cos(x)-1)/x, tu verras qu'ils commence par -1/2x+...

Donc la dérivée en 0 est bien -1/2 (les coefficients du DL, ce sont les dérivées successives).

Donc, lim [(f(h)-f(0))/h] = -1/2 ce qui signifie que f(x) est dérivable en 0.

Merci beaucoup pour votre aide. Ce fut un plaisir!

f(x) est dérivable en 0.

Plus précisément, c'est le prolongement de f qui est dérivable.

f n'est pas définie en 0, il faut prolonger f en une fonction définie en 0 pour qu'elle soit dérivable.

Mais bon, c'est un détail technique qui ne change rien aux calculs.

il faut simplemnet se ramener au voisinage de zero

cosx = 1 - x2/2 + o

donc : (cosx -1)/ x = -x/2 + o

donc la limite est zero et le fonction a le meme comportement que : -x/2

 

En fait, on parlait des DL car, sans l'encadrement que tu as donné, c'est ce qu'on utilise pour trouver ce -1/2.

En meme temps, on utilise les DL pour trouver cet encadrement^^

On ne peux pas déduire cet encadrement du DL, le DL ne parle du comportement de f(x) qu'au voisinage de 0, il ne permet pas de dire "pour tout x".

x appartient a l'intervalle de la fonction, c'est a dire R et comme cos est indéfiniment dérivable sur R, on a bien l'égalité pour tout x appartenant R. Pour un exemple plus frappant, la fonction exp est généralement définie par son DL sur R (définition en série entiere de l'exponentielle). Ce qui tends a démontrer sur un cas que le DL en 0 d'une fonction permet de dire pour tout x.

x appartient a l'intervalle de la fonction, c'est a dire R et comme cos est indéfiniment dérivable sur R

Heu non, f est définie comme 1/x car il y a une division par x. Par contre, f est prolongeable sur R

, on a bien l'égalité pour tout x appartenant R. Pour un exemple plus frappant, la fonction exp est généralement définie par son DL sur R (définition en série entiere de l'exponentielle). Ce qui tends a démontrer sur un cas que le DL en 0 d'une fonction permet de dire pour tout x.

Dans un DL en 0, tu a un petit "o" au voisinage de 0. Ce petit "o", tu ne connais pas sa valeur (qui eut être très grande) loin de 0.

En fait, le DL ne permet un encadrement que sur un voisinage de 0.