Les paradoxes

L'erreur consiste à croire que la ligne orange est égale à [AC] au voisinage de l'infini, sauf que c'est faux.

C'est pas parce que les marches sont plus petites qu'elles ne sont plus des marches.

CONCLUSION : [AB] + [bC] = [AC] ...

C'est à dire que la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés...

Alors, très intuitivement parce que je n'y connais rien, je dirais que ce qui me dérange c'est la formulation de la conclusion.

On ne devrait pas parler de triangle-rectangle mais de triangle plat tel que B a un angle à 180°. Dans ce cas, oui, AB +BC = AC

Dès lors qu'on mesure un triangle rectangle, (dont les angles ne sont plus à 180°) on introduit une notion de surface dont il faut tenir compte dans nos calcul.

Effectivement Théia, il faut tenir compte de la surface, et je vous prouve ici que la diagonale finit bien par se confondre avec la courbe orange.

L'aire entre la courbe orange et l'hypothénuse tend vers 0 quand N tend vers l'infini.

Pour vous en convaincre, imaginez une logique dans la progression ; admettons que l'on augmente le nombre de points de la façon suivante.

Pour N=1 on choisit le milieu de [AB]

Pour N=2, on choisit le tiers et les deux tiers de [AB]

Pour N=3, on choisit le quart, le milieu et les trois quarts de [AB]

...

En bref, on sépare à chaque fois le segment [AB] en parties égales.

Alors l'aire entre la diagonale et la courbe orange s'exprime ainsi (je vous laisse le soin de le trouver ou je peux vous le prouver, mais il faut refaire un schéma avec Paint) : 1 / N

On remarque bien qu'avec [AB] et [bC] de longueur finie et avec N infini, on trouve que l'aire A entre la courbe orange et l'hypothénuse tend vers zéro quand N tend vers l'infini :

Lim (N--> + infini) { 1 / N } = 0

La ligne finit donc bien par se confondre avec la diagonale.

C'est une belle explication, toutefois, d'un point de vue purement mathématiques, il y a un truc qui me dérange.

En fait, on ne peut pas vraiment dire "la ligne fini bien par se confondre" puisque justement le processus est infini

Il s'agit là en fait d'un paradoxe reposant sur la notion de limite qui s'largie à l'inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est, dans un triangle ABC quelconque non plat (c'est à dire un "vrai" triangle, AB et C ne sont pas allignés)

AB + BC est toujours plus grand que AC

L'inégalité triangulaire est toujours vraie, le paradoxe ici semble montrer le contraire, mais en réalité, cette inégalité est toujours vrai car vous pourrez toujours "zoomer" sur les deux lignes, tant que vous n'aurez pas fait le processus une infinité de fois, les lignes ne seront pas confondus. Comme on ne peut pas faire le processus une infinité de fois (puisque quand on arrête, on fini, et si on fini, c'est que ce n'est pas infini), les deux lignes ne seront en réalité jamais confondues.

C'est le seul petit détail que je relève dans l'explication

Toutefois, graphiquement, avec paint par exemple, vous arriverez à faire se correspondre les ligne au bout d'un nombre fini d’opération. Cela tient au fait qu'une ligne au sens mathématique et qu'un point au sens mathématique n'existent pas. Au bout d'un nombre fini d’opération, le segment que vous voudrez couper ne fera pas plus qu'un pixel. Cela voudra dire que votre segment est devenu un point au sens mathématique du terme, et donc, que vous aurez simulez "un nombre infini d’opération". Mais si vous avez une résolution d'écran meilleure (des pixels plus petit) le nombre d’opération a faire sera plus important... Et si vous arrivez à obtenir un véritable point mathématique, le nombre d’opération à faire sera infini.

Voila un bien joli paradoxe mathématique qui ouvre la notion de limite, de point, de ligne et d'infini au sens mathématique

(petit indice... et si nous partions d'un théorème au pif... genre... Pythagore ... au hasard ? )

Théorème de pythagore que je rappelle :)

Justement, ce théorème tient compte de la double dimension qu'est une surface. Double dimension qui n'existe plus dans un "triangle plat", qui n'est plus un triangle mais un simple segment qui ne délimite plus rien. (ce qui rejoint ce que j'ai essayé d'expliquer, non ? :blush:)

On remarque bien qu'avec [AB] et [bC] de longueur finie et avec N infini, on trouve que l'aire A entre la courbe orange et l'hypothénuse tend vers zéro quand N tend vers l'infini

ton schéma est très clair, on imagine parfaitement ce que tu veux Mais ce que je veux dire, c'est qu'on ne peut plus parler d'aire quand le sommet B rejoint le segment AC. Il n'y a plus de triangle, les trois segments ne délimitent rien, ils se superposent.

(edit: ah crotte, pas vu ton dernier post Mad. Je lis de suite)

Justement, ce théorème tient compte de la double dimension qu'est une surface. Double dimension qui n'existe plus dans un "triangle plat", qui n'est plus un triangle mais un simple segment qui ne délimite plus rien. (ce qui rejoint ce que j'ai essayé d'expliquer, non ? :blush:)

oui un peu, toutefois, il faut être prudent, les surfaces que représentent les grandeurs au carré, dans pythagore, ne sont pas la surface du triangle, mais celle des 3 carrés qu'on pourrait tracer à partir de chacun des côté de ce triangles

comme la page 2 de ce document : http://kafemath.fr/2...p-23avril09.pdf

:smile2: ça y est, ça m'embrouille les méninges ! Je ferais mieux d'aller trainer ailleurs :D

Mais je garde ton lien, merci, il m'a l'air très pédagogique. Je m'y pencherai de plus près quand j'aurai un peu plus de temps devant moi. Quant à la démonstration de quasi-modo, je la trouve top aussi ! à proposer à l'occasion d'une longue soirée d'hiver entre ennemis amis.

ah nan faut pas tout lire ça sert à rien :D :D

Non il faut juste regarde l'image page 2 :D

Non il faut juste regarde l'image page 2 :D

merci pour la précision hein, j'avais compris. ('tain j'ai l'air si gourde que ça ? :D) Je trouve que l'intérêt de ton lien ne se limite pas à la page 2, même si le reste n'est pas utile ici. Quelques révisions ne me feront aucun mal

Il y a tellement de belles choses en mathématiques, pourquoi s'emmerder avec de la géométrie ? :p

L'erreur consiste à croire que la ligne orange est égale à [AC] au voisinage de l'infini, sauf que c'est faux.

C'est pas parce que les marches sont plus petites qu'elles ne sont plus des marches.

Oui. Moi je vois que le segment BC (qui est sur un axe vertical) garde la même longueur mais est compacté en petites marches, de plus en plus petite à mesure qu'on le augmente, jusqu'à échapper à l'oeil. C'est une illusion d'optique, qui nous fait changer d'axe (pour admettre que les longueurs sont équivalente, il faudrait mesurer les deux segments en diagonale, chose qu'on ne ferait pas avec 2 marches).

Même en tendant vers l'infini, ce sont juste les petits tronçons qui deviennent infiniment plus nombreux (car plus petits) et qui nous font prendre ces marches pour une droite.

C'est une belle explication, toutefois, d'un point de vue purement mathématiques, il y a un truc qui me dérange.

En fait, on ne peut pas vraiment dire "la ligne fini bien par se confondre" puisque justement le processus est infini

Il s'agit là en fait d'un paradoxe reposant sur la notion de limite qui s'largie à l'inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est, dans un triangle ABC quelconque non plat (c'est à dire un "vrai" triangle, AB et C ne sont pas allignés)

AB + BC est toujours plus grand que AC

L'inégalité triangulaire est toujours vraie, le paradoxe ici semble montrer le contraire, mais en réalité, cette inégalité est toujours vrai car vous pourrez toujours "zoomer" sur les deux lignes, tant que vous n'aurez pas fait le processus une infinité de fois, les lignes ne seront pas confondus. Comme on ne peut pas faire le processus une infinité de fois (puisque quand on arrête, on fini, et si on fini, c'est que ce n'est pas infini), les deux lignes ne seront en réalité jamais confondues.

C'est le seul petit détail que je relève dans l'explication

Toutefois, graphiquement, avec paint par exemple, vous arriverez à faire se correspondre les ligne au bout d'un nombre fini d’opération. Cela tient au fait qu'une ligne au sens mathématique et qu'un point au sens mathématique n'existent pas. Au bout d'un nombre fini d’opération, le segment que vous voudrez couper ne fera pas plus qu'un pixel. Cela voudra dire que votre segment est devenu un point au sens mathématique du terme, et donc, que vous aurez simulez "un nombre infini d’opération". Mais si vous avez une résolution d'écran meilleure (des pixels plus petit) le nombre d’opération a faire sera plus important... Et si vous arrivez à obtenir un véritable point mathématique, le nombre d’opération à faire sera infini.

Voila un bien joli paradoxe mathématique qui ouvre la notion de limite, de point, de ligne et d'infini au sens mathématique

Mais c'est justement l'intérêt des mathématiques de pouvoir jouer ainsi avec la notion d'infini...

La formulation "La ligne orange finit bien par se confondre" est peut-être impropre, mais on peut reformuler ainsi : "Pour un nombre infini de points N, la ligne orange est confondue avec la diagonale."

La limite n'a qu'une notion indicative et théorique, mais permet de se projeter dans la situation où l'infini est effectivement pris en compte.

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Considérons un autre paradoxe (sans rapport avec le premier) :

Considérons un segment [AB] et un points P qui lui appartient.

Alors le nombre de points sur [AP] est différent du nombre de points sur [AB], et pour s'en convaincre il ne reste qu'à faire une bijection de [AP] sur [AB] :

Si le nombre de points étaient égaux, à chaque points de [AP] correspondrait un unique points de [AB] (c'est ce qu'on appelle une bijection en langage mathématique).

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Donc contrairement à ce qu'on vous a toujours enseigné, il n'y a pas le même nombre de points sur deux segments de taille différente... ...

Où est l'erreur?

Euh, on est bien d'accord que l'erreur est dans le raisonnement mais pas dans le résultat ? Je ne crois pas qu'on m'ait déjà appris qu'il y avait le même nombre de points sur deux segments de taille différente et ça me paraît complètement loufoque.

Navré konvicted, mais il me semble bien qu'une bijection est possible entre deux ensembles dont l'un possède un nombre d'éléments infini indénombrable ; il existe des bijections de |R+ (indénombrable) dans |R+ (indénombrable) par exemple en faisant correspondre à chaque réel sa racine carrée.

Lors du prochain paradoxe je vous montrerai comment les vessies sont des lanternes et comment les poules ont parfois des dents...:smile2:

Ah oui, effectivement. J'essaie encore :

Si le nombre de points étaient égaux, à chaque points de [AP] correspondrait un unique points de [AB] (c'est ce qu'on appelle une bijection en langage mathématique).

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Donc contrairement à ce qu'on vous a toujours enseigné, il n'y a pas le même nombre de points sur deux segments de taille différente... ...

Où est l'erreur?

De considérer par ce calcul qu'il existe une distance limitée, un "vide", entre deux points ? "Tous les points" ne peuvent être "consommés" s'il existe une infinité de point entre eux. En fait, ça n'est pas tant que deux segments de taille différente ont le même nombre de point, c'est surtout qu'ils ont le même infini. Et là, tu prends le parti de comparer deux infinis..

(Je ne sais même pas ce qu'est une bijection alors soyez indulgents^^)

Quasi-modo, tu ne donnes pas ton explication pour le paradoxe précédent ?

Ah oui, effectivement. J'essaie encore :

L'erreur est de vouloir appliquer l'identité sur des segments de longueur différente. Si on veut établir une bijection entre le segment [0,1] et le segment [0,2], il faut à chaque élément du premier lui associer son double.

Il existe une bijection entre [AP] et [AB], une homothétie de rapport AB / AP. Donc il y a le même nombre de points sur [AP] que sur [AB] et j'ai dit complètement n'importe quoi à mon post précédent - mais peut-être encore dans celui-là, cela dit.

Tout à fait juste, j'arrive à la même conclusion. Effectivement, pour appliquer une bijection-identité, il faut définir clairement l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée qui doivent être les mêmes.

Une autre solution avec les projections :

Je vous fournirai l'explication du premier paradoxe plus tard, profitez-en pour mouliner un petit peu mdr...

Allez, un petit indice histoire d'aider ceux qui le veulent :

Je rappelle l'énoncé :

Saviez-vous que la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle est égale à la longueur de la somme de ses deux autres côtés?...

En voici la preuve :

Considérons un rectangle ABCD :

A présent, on choisit un points sur le segment [AB] et on effectue le tracé suivant :

On remarquera que la longueur de la ligne orange est égale à [AB] + [bC] étant donné que la somme des lignes oranges horizontales est égale à [AB] et la somme des lignes oranges verticales est égale à [bC]. On recommence l'opération encore et encore en choisissant N points sur [AB], encore et encore pour obtenir ce type de résultat (avec N = 7):

Ici encore, pour les même raisons, la longueur de la ligne orange est égale à [AB] + [bC].

Quand N tend vers l'infini, on arrive donc à ce que la ligne orange se confonde avec la diagonale :

CONCLUSION : [AB] + [bC] = [AC] ...

C'est à dire que la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés...

Je lis, je lis

....et je comprends de mieux en mieux mes anciennes diificultés pédagogiques...

(kiss internet quand même à toustes :) )

C'est une belle explication, toutefois, d'un point de vue purement mathématiques, il y a un truc qui me dérange.

En fait, on ne peut pas vraiment dire "la ligne fini bien par se confondre" puisque justement le processus est infini

Il s'agit là en fait d'un paradoxe reposant sur la notion de limite qui s'largie à l'inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire est, dans un triangle ABC quelconque non plat (c'est à dire un "vrai" triangle, AB et C ne sont pas allignés)

AB + BC est toujours plus grand que AC

L'inégalité triangulaire est toujours vraie, le paradoxe ici semble montrer le contraire, mais en réalité, cette inégalité est toujours vrai car vous pourrez toujours "zoomer" sur les deux lignes, tant que vous n'aurez pas fait le processus une infinité de fois, les lignes ne seront pas confondus. Comme on ne peut pas faire le processus une infinité de fois (puisque quand on arrête, on fini, et si on fini, c'est que ce n'est pas infini), les deux lignes ne seront en réalité jamais confondues.

C'est le seul petit détail que je relève dans l'explication

Toutefois, graphiquement, avec paint par exemple, vous arriverez à faire se correspondre les ligne au bout d'un nombre fini d’opération. Cela tient au fait qu'une ligne au sens mathématique et qu'un point au sens mathématique n'existent pas. Au bout d'un nombre fini d’opération, le segment que vous voudrez couper ne fera pas plus qu'un pixel. Cela voudra dire que votre segment est devenu un point au sens mathématique du terme, et donc, que vous aurez simulez "un nombre infini d’opération". Mais si vous avez une résolution d'écran meilleure (des pixels plus petit) le nombre d’opération a faire sera plus important... Et si vous arrivez à obtenir un véritable point mathématique, le nombre d’opération à faire sera infini.

Voila un bien joli paradoxe mathématique qui ouvre la notion de limite, de point, de ligne et d'infini au sens mathématique

Mais c'est justement l'intérêt des mathématiques de pouvoir jouer ainsi avec la notion d'infini...

La formulation "La ligne orange finit bien par se confondre" est peut-être impropre, mais on peut reformuler ainsi : "Pour un nombre infini de points N, la ligne orange est confondue avec la diagonale."

La limite n'a qu'une notion indicative et théorique, mais permet de se projeter dans la situation où l'infini est effectivement pris en compte.

J'ajouterai que c'est une possibilité bien pratique dans le monde de la physique, qui à l'image de la numérisation présentée, intègre des contraintes aux limites, considérables comme des "infinis" ce qui permet d'apporter nombre de simplifications...

ne dit-on pas après tout à un lycéen, en optique, que 2m, c'est l'infini :D

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Considérons un autre paradoxe (sans rapport avec le premier) :

Considérons un segment [AB] et un points P qui lui appartient.

Alors le nombre de points sur [AP] est différent du nombre de points sur [AB], et pour s'en convaincre il ne reste qu'à faire une bijection de [AP] sur [AB] :

Si le nombre de points étaient égaux, à chaque points de [AP] correspondrait un unique points de [AB] (c'est ce qu'on appelle une bijection en langage mathématique).

Cependant prenons la bijection triviale de l'identité. A chaque points de [AP] correspond le même points de [AB], si bien qu'une fois que tous les points de [AP] sont "consommés", il reste encore des points sur [AB], c'est à dire ceux situés sur le segment [PB] !!!

Donc contrairement à ce qu'on vous a toujours enseigné, il n'y a pas le même nombre de points sur deux segments de taille différente... ...

Où est l'erreur?

Oui , jouer avec les infinis et depuis une éternité :D ... en effet, le second paradoxe rejoint le paradoxe Galilée dont deux explications sont apportées. Une ancienne, et une plus récentes.

En blanc sur blanc, cela donnerait... (oui, je n'ai toujours pas compris comment on fait des spoiler )

Ancienne explication, de Galilée lui même : il n'y a pas de relation d'ordre entre les infinis. Chaque segment possède une infinité de point, et on ne peut dire qu'une inifinité est plus grande, plus petite, ou égale à une autre. Galilée dit donc que ce paradoxe est en réalité un non -sens.

La seconde plus récent ne se contente pas de cela. Elle est issue de la théorie des ensemble et dit qu'un ensemble peut contenir des sous ensemble distinct de même nombre cardinal ("dimension") qui lui même si et seulement si il est de dimension infini. L'explication revient à peu près au même, au détail près qu'elle admet le paradoxe ! ... Donc, les mathématiques modernes ont admis le "non-sens" de Galilée, il ne s'agit plus vraiment d'un paradoxe, mais juste d'une vérité mathématique contre intuitive.

(Je ne sais même pas ce qu'est une bijection alors soyez indulgents^^)

Une bijection est une ambivalence. En somme, elle peut s'expliquer par des fonctions (transformations). Imaginons que tu aies un sac de patates à peine sorties de terre. Tu prends chaque patate, tu la laves et la met dans un nouveau sac. Un fois terminé, tu as dans le nouveau sac autant de patate que dans l'ancien, car, une patate lavé correspond à une seule patate anciennement sale, et inversement, une patate sale n'a donné qu'une seule patate propre. Ceci est une bijection. tu peux faire un lien entre chaque patate propre et sale une à une.

Par contre, si tu prend tes patates propres et que tu les tries, tu va mettre dans un nouveau sac les patates bonne, et jeter les patates pas bonnes. Dans ton nouveau sac, tu auras un certain nombre de patates. Chaque patate de ton nouveau sac sera bien issue d'une seule patate de l'ancien. Mais, chaque patate de l'ancien sac n'aura pas d'équivalent dans le nouveau sac (puisque les mauvaise patate ont été éliminée au passage). Ce n'est donc pas une bijection.

De même, si tu prends chaque patate de ce sac la coupe en deux et jette les morceaux dans un évier, tu pourras dire que chaque morceau de l'évier provient bien d'une seule et unique patate. Par contre, chaque patate a donné plusieurs morceaux, donc, des morceaux présents dans l'évier sont issus certains de la même patate. Ce n'est pas non plus une bijection.

Voila, il ne te reste plus qu'à remplacer "sac" et "évier" par "ensemble" et "patate" et "morceau de patate" par "objet mathématique" (éventuellement "nombre", ou "point").

(Je ne sais même pas ce qu'est une bijection alors soyez indulgents^^)

Une bijection est une ambivalence. En somme, elle peut s'expliquer par des fonctions (transformations). Imaginons que tu aies un sac de patates à peine sorties de terre. Tu prends chaque patate, tu la laves et la met dans un nouveau sac. Un fois terminé, tu as dans le nouveau sac autant de patate que dans l'ancien, car, une patate lavé correspond à une seule patate anciennement sale, et inversement, une patate sale n'a donné qu'une seule patate propre. Ceci est une bijection. tu peux faire un lien entre chaque patate propre et sale une à une.

Par contre, si tu prend tes patates propres et que tu les tries, tu va mettre dans un nouveau sac les patates bonne, et jeter les patates pas bonnes. Dans ton nouveau sac, tu auras un certain nombre de patates. Chaque patate de ton nouveau sac sera bien issue d'une seule patate de l'ancien. Mais, chaque patate de l'ancien sac n'aura pas d'équivalent dans le nouveau sac (puisque les mauvaise patate ont été éliminée au passage). Ce n'est donc pas une bijection.

De même, si tu prends chaque patate de ce sac la coupe en deux et jette les morceaux dans un évier, tu pourras dire que chaque morceau de l'évier provient bien d'une seule et unique patate. Par contre, chaque patate a donné plusieurs morceaux, donc, des morceaux présents dans l'évier sont issus certains de la même patate. Ce n'est pas non plus une bijection.

Voila, il ne te reste plus qu'à remplacer "sac" et "évier" par "ensemble" et "patate" et "morceau de patate" par "objet mathématique" (éventuellement "nombre", ou "point").

je dirais plutôt bivalence

Pour l'explication, impeccable !!!

Bravo !!!