Les paradoxes

j'ai pas compris ton histoire des pommes. "On peut dire qu'il y a autant de pommes dans un ensemble de 10 pommes que dans un ensemble de 20?" Tu peux développer? A part si tu causes de mesure (mais il n'en est pas question). Si on énonce la phrase plus haut alors on s'en tamponne de la qualité du sac puisque dans l'énoncé il n'y pas de sac...

Cette histoire de pomme est un erreur

J'ai précisé plus haut que certains ensembles (donc pas tous) avait la propriété de contenir plusieurs sous ensemble de même dimension qu'eux, et que les ensembles qui avait cette propriété étaient les ensemble de dimension infini. C'est la définition d'un ensemble de nombre cardinal infini dans la conception de Cantor qui est aujourd'hui admise, et qui a déclenché le paradoxe énoncé par Hilbert (l'hôtel...).

Un sac de 20 pommes n'est clairement pas un ensemble de nombre cardinal infini (ici, Nc=20). Donc il n'a pas la propriété énoncée plus haut.

(Pour les puristes : Conclusion issue de la logique, SI A => B, Alors Non B => Non A )

Pour Moore... est-ce que la raison du paradoxe n'est pas que ce soit la même personne qui fasse les deux remarques ?

De plus pour en revenir à l'Hôtel, certes, il n'existe pas physiquement, mais mentalement...

Reportons le si vous le voulez de manière plus mathématique pour entrer dans la profondeur de la chose :

Je prend l'ensemble des nombre entier naturels (je l'appelle EN et je considèrerai, même si il n'y a pas de conséquence, que 0 n'en fait pas parti).

Cet ensemble contient tous ses éléments... Il est donc plein... en quelque sorte...

Si il contient tous les nombre entiers naturels, je ne peux a priori pas en rajouter, puisqu'ils y sont déjà tous... Si je choisi le nombre 1, je ne peux pas le mettre dedans, il y est déjà.

Admettons maintenant que j'applique une transformation à cet ensemble.

Chaque nombre EN est transformé en lui-même + 1

1 est transformé en 2

2 en 3

3 en 4

Ainsi de suite. Imaginons que cette opération soit simultanée pour tous les éléments de EN.

La transformation ne peux pas modifier le nombre d'éléments : en effet, c'est une bijection parfaite. Il y a autant d'images que d'antécédents, et autant d'antécédents que d'images... Pour le comprendre, prenons un exemple plus parlant : Mettez vous au milieu de 2 miroir qui se font face. Combien y a t il d'image de vous ? ... une infinité.

Maintenant, une sorcière vous transforme en grenouille... Combien y aura t il d''image de grenouille ? ... Bien pareil, puisque toutes vos image se sont transformée en une seul grenouille... comprenez vous ?

Reprenons notre ensemble EN, maintenant transformé mais comportant toujours autant d'éléments...

Puis je maintenant rajouter un élément supplémentaire, le nombre 1 ?

... Oui... Puisque 1 n'est pas dans mon ensemble EN transformé...

Je viens donc d'ajouter un élément à un ensemble qui contenait déjà tous ses éléments... étrange...

Mais je peux faire encore mieux !!!!

Je peux faire la transformation que je veux après tout, tant qu'elle est bijective !!!

Si je transforme chaque élément de l'ensemble EN en 2 fois lui même.

n -----> 2n

C'est encore parfaitement bijectif, de la même manière, il y a toujours autant d'élément dans EN transformé que dans EN non transformé... n (EN1 l'ensemble ainsi transformé)

Maintenant je prend le clone de EN, le même mais je lui applique la transformation suivante :

n ------> 2n-1

Toujours pareil : parfaitement bijectif !! (soit EN2 l'ensemble ainsi transformé)

Dans le premier cas, j'ai tous les nombres pairs, et seulement eux

Dans le second, j'ai tous les nombres impairs... et seulement eux.

Seulement voila....

EN1 U EN2 = EN ... Et oui, l'ensemble des entiers naturels n'est constitué que de nombres pairs et de nombre impairs...

(U = union : on "imbrique" les deux ensemble l'un dans l'autre).

La dimension de EN est ce qu'elle est... Et elle est la même que celle de EN1, et la même que celle de EN2 ... EN contient donc bien deux ensemble de même dimension que lui...

Pour Moore... est-ce que la raison du paradoxe n'est pas que ce soit la même personne qui fasse les deux remarques ?

Il y a de l'idée. C'est vrai que si on change une des deux personne, par exemple :

Il pleut, mais il ne croit pas qu'il pleuve

Il n'y a plus de paradoxe...

Mais cela n'explique pas pourquoi, si je parle bien à la première personne, la phrase suivante est cohérente : "Il pleuvait, mais je ne croyais pas qu'il pleuvait".

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Vous avez des idées, et vous êtes sur la piste, toi et triba, de l'explication donnée par Moore lui même... un indice juste... quand je dis "il pleut", je dis "je sais qu'il pleut"... cela revient au même dans cet énoncé...

L'énoncé de l'hôtel n'est pas clair. Si j'imagine un hôtel infiniment plein, il est impossible de trouver une chambre libre point. Tout comme si j'imaginais un hôtel infiniment vide, il me serait impossible d'y trouver une chambre occupée. Allé on prend les mêmes et on recommence

°

oui mais Hilbert avait beaucoup d'imagination :D

Toujours pour Moore : effectivement, quand on parle au passé (ou même au futur), on se place "extérieurement" : on se voit en train de croire quelque chose alors que le contraire se passe (mais on ne s'en rend pas compte).

Alors qu'au présent de l'indicatif... on ne peut pas savoir une chose ET croire son contraire... c'est incohérent.

"FFR est bleu, mais je crois qu'il est rose"... euh... bin non, puisque j'ai bien conscience qu'il est bleu au moment où je parle...

('fin... je ne sais pas si j'arrive à m'exprimer très clairement... )

Tu viens de mettre le doigt dessus

Bravo.

En effet, c'est cela. Moore a démontré par là la relation entre la croyance et le savoir. On ne peut pas "ne pas croire" en ce qu'on "sait".

Pour la modification des temps, voila ce qu'il se produit :

Quand je le dit au présent : "je sais qu'il pleut, mais je ne crois pas qu'il pleuve".

Le savoir et la croyance vont à l'encontre l'une de l'autre, puisque les deux sont contemporain.

Au passé, par contre, on dit :

"je sais qu'il pleuvait, mais je ne croyais pas qu'il pleuvait"

Le savoir est présent, et rien n'indique qu'il existait au moment ou la croyance, elle, était. Puisque la croyance est passée. Du coup au passé, la phrase sous entend (entre autre) que la croyance n'existe plus à l'heure actuelle).

Par contre au futur que se passe t il :

"Je sais qu'il pleuvra, mais je ne croirai pas qu'il pleuve".

Si le savoir implique la croyance, il l'implique indéfiniment. Et ce même dans futur. Par contre, ce qu'on modifie ici, c'est la forme du savoir, au présent et au passé, on sait le moment exacte de l'action. Au futur, le verbe "savoir" prend un sens plus "intemporel" : "je sais qu'il pleuvra, mais je ne sais pas quand exactement". Actuellement, assis sur ma chaise, je sais qu'il finira bien par pleuvoir un de ces 4... Mais quand exactement... ca je ne sais pas.

Là, on se rapproche plus de l'idée de Triba en fait. Le savoir est relatif, et on modifie son sens quand le savoir n'est pas certain... C'est le principe de socrate : "Ce que je sais, c'est que je ne sais rien".

Voila, ceci est l'explication de Moore. Mais il y en a certainement d'autres !! (si on fait d'autres postulat de départ, par exemple).

ps : j'espère que tout ceci vous fait réfléchir tout de même un peu plus loin que la simple résolution des paradoxes

Allez !!! encore un !!!

(après je me calme promis, pour la journée )

------------ L'interro surprise -----

Un prof de math de prépa, qui a ses élèves tous les matins, leur dit, vendredi soir :

"La semaine prochaine, vous aurez une interro surprise, ce que je peux vous dire, c'est que vous serez surpris..."

Les élèves sont toutefois des petits malins. Il se demande quand va tomber l'interro, et s'il seront vraiment surpris.

Alors il raisonne comme il suit :

L'interro ne peut pas tomber vendredi. Parce que vendredi, nous ne serons pas surpris. c'est le dernier jour de la semaine, donc, elle ne sera pas vendredi. Mais du coup, comme on sait qu'elle ne sera pas vendredi, elle ne pourra pas être jeudi non plus. Puisqu'arrivé à jeudi, nous saurons que ca ne peut pas être vendredi, donc nous saurons que c'est jeudi... Donc ca ne peut pas être jeudi. Mais si ce n'est pas jeudi, alors, ca ne peut pas être mercredi, pour les même raisons, ni même mardi, ni même pour finir lundi !!!

Nous ne serons jamais surpris ? ... Pourtant, nous sommes bien incapable de dire le jour où l'interro tombera...

Voila qui est paradoxal...

Il y a bien une erreur dans le raisonnement des élèves (et cette erreur n'est pas un jeu de mot, je vous l'assure )

... Mais alors, ou est l'erreur ?

C'est un classique, elle n'est pas très dur, mais après Zénon, ca détend un peu :D

Bah en fait il n'y a pas de surprise, tout simplement, le reste n'est que découpe du temps, à chaque seconde passée depuis que le prof a dit "semaine prochaine interro surprise" les élèves savent que l'interro aura lieu entre cet instant T (à partir de lundi) où ils n'ont pas d'interro, et le temps Ti du commencement de l'interro; dans les crenaux des cours. C'est ce qu'ils savent il n'y a pas de surprise puisqu'elle est annoncée. Même le vendredi si l'interro est une petite interro glissée dans le cours, le problème se repose avec pour mesure les minutes ou les secondes. Et si le prof est coquin il aura demandé au prof d'histoire de leur donner l'interro surprise de math, en échange du même coup plus tard dans l'année. Ou une interro à la maison. Là le prof aurait dit vrai et surprendrait les élèves. Va savoir. Ptêt aussi il va donner l'interro en calbute, et là les élèves seront surpris indépendament de l'échéance. Tout est tout le temps question d'énoncé en fait. EN outre, si le prof est malin il se dit que les élèves se disent que ça va pas être vendredi et hop. Comme ça ils révisent dès dimanche soir et toute la semaine. ^^

PS par rapport à au dessus, je trouve que le "cogito ergo sum" est la seule chose dont on puisse être sûrs. Et ça me convient bien. Et je rajouterais comme Gaspard Proust, "cartésien désabusé: je pense donc je suis... mais je m'en fouts" ^^

C'est un raisonnement que j'aime bien. Oui, ca me parait correct comme vision des choses (je me trompe peut être, mais en tout cas c'est cohérent). Et j'aime beaucoup parce que ça nous plonge un peu dans une autre dimension des choses : on ne se bornes pas à ce qu'intuitivement l'énoncé nous laisse croire. Et c'est une méthode très courante pour lever des paradoxe ! Très bien vu !

Pour ma part, j'avais employé une méthode différente, mais elle est aussi fondée sur la notion du temps. En fait les élèves prennent le temps à l'envers : Pour pouvoir dire que l'interro n'a pas lieu mercredi, ils partent du principe qu'elle n'a pas eu lieu jeudi... Or cela, il ne le savent pas, puisqu'ils n'ont pas encore vécu le jeudi.

En quelque sorte, si on regarde bien en se rend compte que leur raisonnement peut se dérouler comme il suit : "Si l'interro n'a pas eu lieu les jours précédents, et si l'interro n'aura pas lieu les jours suivants, alors elle aura lieu aujourd'hui".

Il y a deux conditions. Les deux conditions sont à renouveler chaque jour, et ne peuvent donc pas être généralisée. De plus, la conclusion n'est pas une vrai conclusion : elle n'est qu'une tournure différente d'exactement la même chose. Donc, au final, l'erreur dans le raisonnement tient pour moi d'une généralisation et d'une anticipation des faits qui n'ont pas lieu d'être...

"En fait les élèves prennent le temps à l'envers" c'est ce que je me suis dit aussi à un moment. Ils font ça et élimine les jours par l'arrière comme s'ils avaient déjà eu lieu (par exemple dire le mardi que ça ne peut pas être le mercredi parce que ça ne peut pas être le jeudi parce que ça ne peut pas être le vendredi, c'est tout sauf juste à la base ^^. Après j'ai pris l'autre piste, parce que je l'énonce vachement moins bien que toi je crois lol

Je la connaissais avec l'histoire d'une exécution où le bourreau dis au condamné : Tu ne sauras pas que c'est le lendemain que tu seras pendu. Et puisqu'il réagit comme les élèves de ton exemple, il se dit qu'il ne sera pas pendu !! En fait, il fut pendu le Jeudi et il fut effectivement surpris. Le mercredi soir, il ne s'y attendais pas...

En fait, cet énoncé ne nous apprend qu'une chose : ce ne sera pas le Vendredi !

j'ai pas compris ton histoire des pommes. "On peut dire qu'il y a autant de pommes dans un ensemble de 10 pommes que dans un ensemble de 20?" Tu peux développer?

Il y en a un ensemble dans chaque cas...

A part si tu causes de mesure (mais il n'en est pas question). Si on énonce la phrase plus haut alors on s'en tamponne de la qualité du sac puisque dans l'énoncé il n'y pas de sac...

Si je vous dis qu'il y a un infini de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un sac de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un ensemble de pommes... ça fait combien de pommes?

Ce ne sont pas de quantité mais des qualités... aucun de ces exemples ne vous permet de me donner un nombre.

L'infini qualifie l'hôtel... il ne quantifie pas les chambres.

"Cette phrase est fausse"

Savez-vous comment le résoudre celui-là... auto-référence incluse.

le mystère de la poule et l'oeuf enfin résolu.

La poule au moment ou elle pond l'oeuf n'a qu'un etat latent, elle vit. Tandis que l'oeuf lui à plusieurs états en germe. Il peut donner un poussin, il peut ne pas germer ou il peut encore finir en omelette. Puisque la poule est vivante et que l'oeuf n'a qu'une probabilité de devenir poule, c'est bien la poule qui fait l'oeuf.

Il y en a un ensemble dans chaque cas...

Si je vous dis qu'il y a un infini de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un sac de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un ensemble de pommes... ça fait combien de pommes?

Ce ne sont pas de quantité mais des qualités... aucun de ces exemples ne vous permet de me donner un nombre.

L'infini qualifie l'hôtel... il ne quantifie pas les chambres.

Tu as dit toi même

Comme de dire qu'il y a autant de pommes dans un ensemble de 10 pommes que dans un ensemble de 20 pommes... tout simplement en disant qu'il y en a un ensemble dans les 2 cas

Dans un ensemble de 10 pommes tu as 10 pommes. non?

L'hôtel de Galilée énoncé plus haut est clairement énoncé "complet". Si on considère que, même en construction (c'était le thème illustré) les chambres se construisent avec leur occupant, là il n'y à aucun instant une chambre libre. Sinon dans le modèle où il y a forcément arrivage de client extérieur, oui le maître d'hôtel a toujours du boulot ^^

Bref.

Il y en a un ensemble dans chaque cas...

Si je vous dis qu'il y a un infini de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un sac de pommes... ça fait combien de pommes?

Si je vous dis qu'il y a un ensemble de pommes... ça fait combien de pommes?

Ce ne sont pas de quantité mais des qualités... aucun de ces exemples ne vous permet de me donner un nombre.

L'infini qualifie l'hôtel... il ne quantifie pas les chambres.

Je suis d'accord que ta conception de "l'infini" est cohérente. Toutefois, elle n'est pas la seule envisageable.

C'est une vision des choses qui en vaut une autre. Selon TA vision des choses, on ne peut pas ni imaginer, ni valider l'idée de l'hôtel de Hilbert. Je suis d'accord. On ne peut pas non plus valider la conception mathématique de l'hotel de Hilbert (voir un des post précédent).

Mais cette vision des chose a beau être aussi valable qu'une autre, elle ne l'est pas plus... La vision de Cantor et de Hilbert des ensembles infinis n'est pas infondée, loin de là. Il ne s'agit pas de déterminer qui a raison ou qui a tort... Personne n'a raison et personne n'a tort !

Si je suis assis à une table avec un ami, face à lui, nous pourrions débattre jusqu'à notre mort pour savoir si la fenêtre est à gauche ou à droite... Et aucun de nous n'aura raison... ce n'est qu'une question de point de vue.

"Cette phrase est fausse"

Savez-vous comment le résoudre celui-là... auto-référence incluse.

Il s'agit bien d'un autoréférence... mais je me permets de donner un indice pour résoudre ce paradoxe :

Analysez cette phrase avant :

"Cette phrase est vraie"

Si je suis assis à une table avec un ami, face à lui, nous pourrions débattre jusqu'à notre mort pour savoir si la fenêtre est à gauche ou à droite... Et aucun de nous n'aura raison... ce n'est qu'une question de point de vue.

Note pour plus tard, ne pas être invité chez MAD

le mystère de la poule et l'oeuf enfin résolu.

La poule au moment ou elle pond l'oeuf n'a qu'un etat latent, elle vit. Tandis que l'oeuf lui à plusieurs états en germe. Il peut donner un poussin, il peut ne pas germer ou il peut encore finir en omelette. Puisque la poule est vivante et que l'oeuf n'a qu'une probabilité de devenir poule, c'est bien la poule qui fait l'oeuf.

Ah non, le mystère de l'oeuf et la poule est effectivement résolu, mais tu n'as pas donné la bonne réponse ( qui est pourtant évidente ). Les oeufs existaient bien avant les poules car la vie a démarré dans le milieu aquatique et, nous sommes bien d'accord, les poissons pondent des oeufs.

Alors, tu vas me dire, ce n'est pas pareil : il ne s'agit pas d'un oeuf contenant une poule. Donc reformulation : " Qui est venu en premier ? L'oeuf de poule ou la poule ? " . Mais même dans ce cas, la réponse reste la même.. Puisque reprenons l'évolution ; sur terre existaient donc diverses espèces animales, bien plus vieilles que les poules, qui pondaient déjà des oeufs. Donc la toute première poule qui apparue sur Terre, dans la forme qu'on lui connaît aujourd'hui, est bien sortie d'un oeuf pondu par un animal qui n'était pas tout à fait une poule mais presque.. Par contre, c'était bien un oeuf de poule puisque celui-ci contenait une poule comme on en connaît aujourd'hui. C'est donc sans conteste possible bien l'oeuf qui est venu en premier, c'est un paradoxe bien facile à élucider du moment qu'on maîtrise un minimum la "théorie" de l'évolution. ( Peut-on encore appeler ça une théorie?... )