Pourquoi 1=0.999999999...

... Pour conclure : je suis scientifique de formation, et je répondrai en tant que tel. Les points de vue philosophiques, bien qu'intéressants en tant que réflexion, ne peuvent apporter aucun élément de réponse à une question purement mathématique. Je ne me lancerai donc pas dans une discussion philosophique.

Pour ma part j'aime bien questionner avant d'avaler cher ArgShx... question de savoir si purement peut réellement s'appliquer aux mathématiques.

Sans doute est-ce parce que les mathématiques sont pratiquement considérés comme une religion de nos jours... on préfère pratiquer plutôt que questionner.

Pour ma part j'aime bien questionner avant d'avaler cher ArgShx... question de savoir si purement peut réellement s'appliquer aux mathématiques. Sans doute est-ce parce que les mathématiques sont pratiquement considérés comme une religion de nos jours... on préfère pratiquer plutôt que questionner.

j'espère que mes propos n'ont pas été mal interprétés : je ne remet en cause ni l'intérêt ni la qualité des questions que vous avez pu soulever, je ne faisais que signaler ma totale incompétence en dehors du domaine mathématique, et le fait que la question qui nous occupe peut être abordée de façon purement ( j'insiste :D ) mathématique. Et je ne puis malheureusement qu'approuver votre remarque sur les mathématiques et la religion... Et puisque vous aimez questionner, je me ferai un plaisir de répondre.

Au sujet de la démonstration que : 10⁰*0,9 = 10¹*0,9

Lorsque vous êtes arrivé à ce résultat vous auriez du vous demander où était l'erreur... En effet, vous conviendrez sûrement que 0,9=0,9 et que 0,9≠0 . On peut donc simplifier votre équation en 10⁰=10¹ , soit 1=10 , ce qui est pour le moins surprenant ( et à vrai dire totalement faux ).

Vos erreur sont multiples mais se résument à cette idée : vous traitez "l'infini" comme un entier naturel.

10⁰ * 0,9 = 10⁰ * (10ⁿ - 1) / 10ⁿ

Et non ! 0,9 possède une infinité de décimales égales à 9, alors que (10ⁿ - 1) / 10ⁿ n'en a que n.

en posant que n = infini

Et en supposant que les pingouins sont des carottes on arrive à quoi ? :D Plus sérieusement, "infini" ne représente pas un élément de l'ensemble des entiers naturels, vous ne pouvez donc pas attribuer cette "valeur" à n.

Le reste des calculs n'a donc pas vraiment de sens, et on arrive au résultat douteux que 1=10.

Mais bon, je critique, je critique... et je ne dis pas grand chose. Je vais donc à mon tour proposer une démonstration. Je ne prétends pas faire une démonstration révolutionnaire, mais elle a le mérite d'être simple et rigoureuse.

On s'intéresse à 0,9 , mais que signifie exactement cette écriture ? Il s'agit de l'écriture décimale d'un nombre rationnel, et par définition de l'écriture en base 10 :

0,9 = ∑(k=1→∞) ( 9/10^k ) = 9* ∑(k=1→∞) ( 1/10^k )

Le problème c'est donc d'évaluer cette somme infinie. On voit clairement la somme des termes d'une suite géométrique : la suite de premier terme 1/10 et de raison 1/10, c'est à dire la suite 1/10 , 1/100 , 1/1000 ...

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme p et de raison r vaut : p*(1-rⁿ)/(1-r)

(résultat de 1^ère S si mes souvenirs sont bons, que je me ferai une joie de re-démontrer )

La somme des n premiers termes de la suite qui nous occupe vaut donc :

∑(k=1→n) ( 1/10^k ) = (1/10)*(1-(1/10)ⁿ)/(1-(1/10))

Et c'est là qu'intervient la notion de limite, souvent mal comprise :

∑(k=1→∞) ( 1/10^k ) = lim(n→∞) ( ∑(k=1→n) ( 1/10^k ) ) = lim(n→∞) ((1/10)*(1-(1/10)ⁿ)/(1-(1/10))) = (1/10)*(1-0)/(1-(1/10)) = 1/9

Et donc, en remplaçant la somme par sa valeur dans la première ligne on obtient :

0,9 = 9*(1/9) = 1

CQFD

J'invite bien sûr tous ceux qui doutent de la validité de cette démonstration à la critiquer, et je ferai mon possible pour expliquer pourquoi elle est parfaitement rigoureuse ( à erreur de frappe près, c'est jamais évident de tapper une démo sur un fofo ).

Moi qui croyait qu'il n'existait aucun cas ou l'on pouvait même considérer la partie comme étant plus grande que le tout... vous avez une drôle de façon de présenter le tout cher Gallium... du moins en partie.

Disons que l'intuition permettrait de dire que la partie est plus petite que le tout. Mais en effet il existe de nombreux cas où la partie n'est pas plus petite que le tout, tout en l'étant. On peut l'aborder notamment en ce qui concerne les infinis plus grands que d'autres infinis.

Dire que le point est indivisible serait de le considérer comme la plus petite ''quantité'' que l'on pourrait obtenir par division... ce qui n'existe pas en mathématique je crois bien... le 0 ne pouvant être obtenu par division et l'infini n'étant pas une quantité.

Il faut considérer que le point est un objet qui est infiniment petit, et qui n'existe qu'en maths. Numériquement, on ne fait aucun calcul sur le point dans le sens où l'on ne peut pas parler de 1/2point, 1/4point. Un point reste un point.

On n'additionne pas non plus les points, et on ne les multiplie pas. Il n'est donc pas cohérent de chercher à obtenir un point par calcul.

Un point c'est rien... un point c'est tout.

Serait-ce ce qu'il faut comprendre... que c'est tout ce que ce n'est pas tout en n'étant pas tout ce que c'est...

N'est-il pas...

Bon par contre là il faudrait être un peu plus clair.

Je sais que tu termines toujours un message par une petite conclusion amusante, mais je ne la comprends pas.

''... Et en supposant que les pingouins sont des carottes on arrive à quoi?...''

Et bien on les fait tendre vers la carotte... en faisant tendre d'une quantité à une qualité on peut faire des miracles vous savez. Comme faire tendre de 1 à l'infini... d'une quantité à une qualité qui n'est pas une quantité.

''... Vos erreur sont multiples mais se résument à cette idée : vous traitez "l'infini" comme un entier naturel...''

Regardez bien votre raisonnement...

lim(n→∞) ((1/10)*(1-(1/10)ⁿ)/(1-(1/10))) = (1/10)*(1-0)/(1-(1/10))...

Vous affirmez ainsi que 1/10ⁿ = 0

Quel entier naturel remplaçant n vous permet d'affirmer cette égalité... traiteriez-vous l'infini comme un entier naturel cher ArgShX...

Ce qui serait erronné dans mon cas serait permis dans le vôtre... on pourrait dire que c'est plutôt limite comme comparaison.

Et en supposant que l'infini contient toutes ses parties en même temps... serait-ce dire qu'il contient aussi la dernière, puisqu'il les contient toutes... serait-ce encore l'infini dans ce cas... Comme de supposer que des pinguouins seraient des carottes, à la limite... on a qu'à les définir comme tel, même si ce n'est pas logique, voir contradictoire.

... Mais en effet il existe de nombreux cas où la partie n'est pas plus petite que le tout, tout en l'étant. On peut l'aborder notamment en ce qui concerne les infinis plus grands que d'autres infinis.

Donc la partie n'est pas plus petite que le tout... tout en étant plus petite que le tout.

Ce n'est pas ce que c'est... c'est et ce n'est pas tout à la fois.

C'est tout ce que ce n'est pas tout en n'étant pas tout ce que c'est...

Et ceci est ce que vous ne compreniez pas en tant que petite conclusion amusante...

Comme je le disais, la nortion de limite est délicate.

Et bien on les fait tendre vers la carotte... en faisant tendre d'une quantité à une qualité on peut faire des miracles vous savez. Comme faire tendre de 1 à l'infini... d'une quantité à une qualité qui n'est pas une quantité.

Ce qui serait erronné dans mon cas serait permis dans le vôtre...

Vous disiez on pose n=infini, et là je maintiens que c'est faux.

Par contre, vous me parlez à présent de "faire tendre" n vers l'infini : ça par contre c'est possible ! Mais dans ce cas il faut faire des calculs sur les limites et non pas traiter l'infini comme un entier naturel. Comparez nos utilisations de l'infini : vous écrivez directement des choses du types 10^infini alors que chez moi le symbole ∞ n'apparaît que sous le symbole lim. Et il faut rester très prudent avec ce genre de calculs qui suivent des règles très strictes. Par exemple, en prenant votre système de calcul on a vu qu'on arrivait vite à des contradictions ( du type 1=10 ). C'est tout simplement parce que vous introduisez dans l'ensemble des entiers naturels un élément qui transgresse les règles usuelles de l'arithmétique.

Revenons à ma démonstration :

Quel entier naturel remplaçant n vous permet d'affirmer cette égalité...

Aucun ! Je ne prétends pas qu'il existe un entier n tel que 1/10ⁿ = 0 .

Mais cela ne vous aura pas échappé que d'un côté de l'égalité j'ai le signe lim et pas de l'autre : ce 0 est une limite.

En effet, pour tout nombre a strictement positif, aussi petit que vous le désirez, je vous trouverais un n tel que 1/10ⁿ < a .

Et ça c'est la définition du fait que la limite lorsque n tend vers l'infini de 1/10ⁿ est égale à 0.

Et j'insiste : cette limite ne tend pas vers 0 ( comme on le lit malheureusement trop souvent ), elle est égale à 0.

Et puisque vous semblez décidé à défendre votre calcul ( et c'est une bonne chose ! ), dites-moi donc : acceptez-vous le fait que 1=10 ? ou alors avez-vous trouvé une faille dans mon raisonnement ?

Et en supposant que l'infini contient toutes ses parties en même temps... serait-ce dire qu'il contient aussi la dernière, puisqu'il les contient toutes... serait-ce encore l'infini dans ce cas... Comme de supposer que des pinguouins seraient des carottes, à la limite... on a qu'à les définir comme tel, même si ce n'est pas logique, voir contradictoire.

Ce sont ces petites interventions que j'associe à de la philosophie : elles sont pertinentes, mettent en évidence des questions fondamentales, mais n'ont aucune valeur mathématique. En effet, vous ne donnez aucune définition aux termes que vous employez : l'infini, parties, le tout...

Je peux quand même amener quelques éléments de réflexion : vous vous demandez si "l'infini" contient toutes ses parties ? Si vous voulez parler d'un ensemble infini, alors oui, il contient toutes ses parties ( une partie étant un sous-ensemble ). Vous parlez aussi de dernière partie ( ou peut-être voulez vous parler d'un dernier élément ? ). Dans tous les cas, vous devez définir avec soin ce que vous considérez : il ne suffit pas de parler de quelquechose pour lui donner un sens, il faut vérifier qu'il reste cohérent avec la théorie dans laquelle il s'insère.

Regardez ce qu'il arrive lorsqu'on suppose l'existence de choses qui n'existent pas :

Soit A le plus grand entier naturel.

Supposons que A > 1 .

Alors A² > A , ce qui est contradictoire, puisque A est le plus grand entier.

Donc A=1 , et 1 est le plus grand entier naturel... :D

Vous allez me dire : "c'est n'importe quoi" , et je ne vous contredirai pas. Mais si on regarde ce petit raisonnement, on constate qu'il y a une unique faute : avoir supposé qu'il existait un plus grand entier naturel. De la même façon, vous avez inventé la notion de "dernière partie" et elle vous mène à des contradictions. La seule chose que vous devez en déduire c'est que cette notion n'a pas de sens, qu'il n'y a pas de "dernière partie".

Je concluerai sur le point de vue d'un prof de physique pendant un cours d'optique :

"L'infini, en gros, c'est au niveau du mur du fond de la classe."

<H1 id=firstHeading class=firstHeading>Raisonnement par récurence.

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants :</H1>

• Une propriété est satisfaite par l'entier 0 ;
  
• Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n+1.
  

Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels.

______________________________________________________________________

Vous posez le raisonnement suivant cher ArgShX...

''...Soit A le plus grand entier naturel.

Supposons que A > 1 .

Alors A² > A , ce qui est contradictoire, puisque A est le plus grand entier.

Donc A=1 , et 1 est le plus grand entier naturel... ''

Vous introduisez une propriété (multiplication par lui-même ou élévation à une puissance plus élevée si on veut généraliser) que vous appliquez à A que je note P(A).

Appliquons cette propriété à 0

P(0) = 0 car 0ⁿ = 0

Appliquons-la à deux entiers consécutifs (a et b tel que b = a+1) quel qu'ils soient... a=0 et b=1.

P(0) = 0 soit 0ⁿ = 0 ... 0 étant un entier.

P(1) = 1 soit 1ⁿ = 1 ... 1 étant le successeur de 0.

Ce fait étant établi je peux en conclure que la propriété est vraie pour tous les entiers naturelles selon l'axiôme ou principe de récurrence...

Donc

P(A) = A

P(0) = 0

P(1) = 1

P(2) = 2 soit 2ⁿ = 2

P(3) = 3 soit 3ⁿ = 3

...

Peut-être y verrez-vous la logique qui me permettait de dire que 1 = 10... que 10⁰ = 10¹

Donc A² = A¹ et n'est donc pas plus grand... Ce qui fait de A le plus grand entier.

Ce qui n'est pas contradictoire car en accord avec le principe de récurence... Vous allez me dire ''c'est n'importe quoi!''... et vous aurez parfaitement raison. Mais si vous regardez bien alors vous constaterez qu'augmenter la puissance augmente simplement la dimension, qu'un carré de côté 2 n'est pas plus long qu'une ligne de mesure 2... et qu'un cube de côté 2 n'est ni plus long, ni plus large, qu'un carré de côté 2.

Ce qui revient à dire que X² n'est mathématiquement pas plus grand que X¹... mais tout simplement qu'il a une dimension de plus... qu'on compare des pinguoins avec des carottes.

__________________________________________________________________

Pour le reste... ce que j'en comprends c'est qu'en notation décimale, en base X, dans X^-n le n indique la quantité de décimales ou de chiffres après la virgule, que c'est l'inverse mutiplicatif de Xⁿ qui contient lui-même (n + 1) chiffres avant la virgule.

Donc que Xⁿ possèderait une infinité de chiffres lui aussi, car une infinité + 1 donne une infinité... et comme une infinité n'est pas une quantité on pourrait dire que Xⁿ ne contient pas une quantité de chiffres. Parle-t-on encore de notation décimale dans ce cas ou du fait que l'on arrondi... si on parle du fait que l'on arrondit alors on arrondit à 1...

Faut-il comprendre qu'à la limite on arrondit tout simplement... que ce qui serait à peu près égale à 1 serait finalement égale à 1.

Faut-il comprendre qu'à la limite on arrondit tout simplement... que ce qui serait à peu près égale à 1 serait finalement égale à 1.

Et tout simplement ça sert à quoi les deux notations et dans quels cas précis ?

Citer Wikipedia... je n'avais pas osé le faire. Méfiez-vous, vous pourriez rencontrer l'article qui démontre en détail que 0,9=1

Je suis également étonné que vous ayez choisi de vous accrocher à l'idée que 1=10 plutôt que d'essayer de trouver une erreur à mon raisonnement ( ou bien admettre que votre calcul est faux ). Si vous maintenez ce genre de position je ne pourrais bien sûr plus rien répondre, ce que je trouve assez décevant.

Au sujet de votre utilisation erronée du principe de récurrence : c'est n'importe quoi ! :D

Le fait que les conclusions soient manifestement absurdes devrait vous en convaincre.

Je rappelle également que les règles de calcul usuelles sont telles que 2²=4 , et j'ai beau tenter de suivre votre "logique", il me semble bien que 4>2 . Vos considérations sur les dimensions n'ont pas de sens lorsqu'on effectue des opération dans l'ensemble des entiers naturels.

Et en ce qui concerne l'infinité de chiffre dans l'écriture décimale... je suis bien embêté, je vois pas trop quoi vous dire :D

Il faut vous y faire, beaucoup de nombres possèdent une écriture décimale infinie ( tous à vrai dire, mais écrire une infinité de 0 apparaît aussi fastidieux qu'inutile ).

Ah .. je croyais que c'était 1=0,9 ,mais alors c'est pareil ?

Hum ,c'est pas très précis tout compte fait

Peut-on démontrer que 1=0,9 ≠ 0,9=1 ?

''... Et ça c'est la définition du fait que la limite lorsque n tend vers l'infini de 1/10ⁿ est égale à 0.

Et j'insiste : cette limite ne tend pas vers 0 ( comme on le lit malheureusement trop souvent ), elle est égale à 0.''

Donc X^-n ne sera jamais égale à 0... et la limite lorsque n tend vers l'infini représente la valeur que X^-n n'atteindra jamais.

Ainsi ce qui n'égalera jamais 0 égale 0. Et ce n'est pas parce que ce ne serait jamais égale à 0 que ce ne serait pas égale à 0 à la limite, on se comprend...

La définition de ce qui ne sera jamais définit par X, c'est X à la limite... Ce qui n'est pas une définition est une définition à la limite... c'est la définition de ce qui n'est pas une définition... ce n'est pas ce que c'est, à la limite, c'est ce que ce n'est pas.

''... Et ça c'est la définition du fait que la limite lorsque n tend vers l'infini de 1/10ⁿ est égale à 0.

Et j'insiste : cette limite ne tend pas vers 0 ( comme on le lit malheureusement trop souvent ), elle est égale à 0.''

Donc X^-n ne sera jamais égale à 0... et la limite lorsque n tend vers l'infini représente la valeur que X^-n n'atteindra jamais.

Ainsi ce qui n'égalera jamais 0 égale 0. Et ce n'est pas parce que ce ne serait jamais égale à 0 que ce ne serait pas égale à 0 à la limite, on se comprend...

La définition de ce qui ne sera jamais définit par X, c'est X à la limite... Ce qui n'est pas une définition est une définition à la limite... c'est la définition de ce qui n'est pas une définition... ce n'est pas ce que c'est, à la limite, c'est ce que ce n'est pas.

Le vrai infini n'est pas mathématique , il ne peut être pris en compte car non défini dans l'absolu ;

c'est en ce sens que la philo rejoint les maths

Une série numérique est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn) n entier est convergente ; sa limite S est alors appelée somme de la série, et son calcul est la sommation de la série. Dans le cas contraire, la série est dite divergente.

Ici, la sérié numérique (0.99999999...) composée des termes successifs (0.9 _ 0.09_ 0.009_ 0.0009..._0.00009 etc) converge vers 1.

Car cette série est une série géométrique de raison 1/10

Au sujet de votre utilisation erronée du principe de récurrence : c'est n'importe quoi ! :D

Le fait que les conclusions soient manifestement absurdes devrait vous en convaincre.

Et pourtant c'est un axiôme de l'arithmétique... serait-il absurde ou serait-ce la preuve par l'absurde de son absurdité... absurdité qui permet de conclure à l'infinité des entiers naturels je vous signale... encore faudrait-il trouver la faille dans le raisonnement.

Je rappelle également que les règles de calcul usuelles sont telles que 2²=4 , et j'ai beau tenter de suivre votre "logique", il me semble bien que 4>2 . Vos considérations sur les dimensions n'ont pas de sens lorsqu'on effectue des opération dans l'ensemble des entiers naturels.

Et quel est le sens des puissances selon vous... dire que 2² = 4 c'est dire que 2² = 4¹... je vous concède que 2¹ + 2¹ = 4¹... mais 2² = 2¹ * 2¹ = 4¹ * 1² si on ne veut pas perdre le caratère ''carré''.

Et en ce qui concerne l'infinité de chiffre dans l'écriture décimale... je suis bien embêté, je vois pas trop quoi vous dire

Il faut vous y faire, beaucoup de nombres possèdent une écriture décimale infinie ( tous à vrai dire, mais écrire une infinité de 0 apparaît aussi fastidieux qu'inutile ).

Une écriture décimale implique qu'il n'y ait pas une infinité de décimales... comment peut-on dire une écriture décimale infinie dans ce cas, on ne parle pas de la même écriture...

Si j'écris ''français'' en chinois, puis-je écrire ''français'' tel quel et dire que c'est du chinois...

Pour votre démonstration j'y reviendrai... elle peut être simplifiée et je m'y attarde, alors ne considérez pas le fil de cette discussion comme étant coupé à la limite...

Et tout simplement ça sert à quoi les deux notations et dans quels cas précis ?

La première notation, qui s'applique à une quantité finie de décimales, se rapporte au fait que l'on peut diviser une quantité sans reste.

La seconde notation, qui s'applique à une infinité de décimales, se rapporte au fait que l'on ne peut diviser sans qu'il n'y ait pas de reste.

C'est donc dire que ce qui a toujours un reste n'en a plus à la limite... On définit une division avec reste permanent (0,9) comme étant égale à une division ne produisant pas de reste (1).

Vous lancez beaucoup d'idées, je commence à avoir du mal à toutes les rattraper...

Je vais donc commencer par faire un message pour vous répondre spécifiquement sur le problème du principe de récurence.

Je ne remet bien sûr pas du tout en cause ce principe, qui est d'ailleurs généralement pris comme un axiome de l'arithmétique ( dans des axiomatisations assez "classiques" ). Par contre ce qui me dérange c'est l'interprétation et l'utilisation que vous en avez fait.

Comme à mon habitude, je commence par critiquer ( gentillement :D ).

Le principe de récurrence tel que vous l'interprétez ( du moins c'est ce que j'en déduis vu l'utilisation que vous en faites ) est le suivant :

Soit P(n) une propriété sur les entiers naturels, si :

-P(0) est vrai.

-il existe m un entier tel que P(m) et P(m+1) sont vrai.

alors P(n) est vrai pour tout n.

Ignorez cette critique si je me trompe, mais il me semble bien que lorsque vous avez appliqué votre raisonnement par récurrence vous avez démontré uniquement : P(0) est vrai, et P est vrai sur les 2 entiers consécutifs 0 et 1.

Sérieusement... vous me parliez de questionner avant d'avaler, de ne pas pratiquer les maths comme on pratique la religion... mais vous, vous avez utilisé ce principe sans chercher une seconde à le comprendre. En effet, tel qu'il est énnoncé ici, ce principe signifierait que toute propriété vraie sur 0 et 1 est vraie sur tout entier. En particulier, la propriété " être inférieur à 2 " serait donc vraie sur tous les entiers. Et les exemples idiots ne manquent pas. Bref, ce principe ne s'utilise pas comme ça.

Je vais donc maintenant essayer d'expliquer le principe de récurrence.

L'ennoncé est le suivant ( celui de Wikipedia est juste d'ailleurs, mais peut entraîner une confusion ) :

Soit P(n) une propriété sur les entiers naturels, si :

-P(0) est vrai.

-pour tout entier naturel m, si P(m) est vraie alors P(m+1) aussi.

alors P(n) est vrai pour tout n.

La différence fondamentale entre nos deux ennoncés c'est que vous quantifiez m par "il existe" alors que je le quantifie par "pour tout". Mais si vous aviez un regardé ce principe d'un peu plus près, vous auriez constaté que mon interprétation est la seule qui soit cohérente, et qu'elle est de plus très intuitive. L'image habituelle employée pour illustrer ce principe est celle des dominos :

-si le premier domino tombe.

et

-si quand un domino tombe, il fait tomber le suivant.

alors tous les dominos tombent.

Je vous présente un exemple de démonstration par récurrence ( correcte ) :

On veut démontrer que pour tout n, la somme des n+1 premiers entiers naturels vaut (n*(n+1))/2 , c-à-d :

0+1+...+n = (n*(n+1))/2 pour tout n

On commence par vérifier pour n=0 :

0 = (0*1)/2 , ça marche !

On suppose maintenant que la propriété est vraie pour un certain k ( on dit aussi au rang k ) :

1+...+k = (k*(k+1))/2

C'est l'hypothèse de récurrence, on la considère comme vraie. C'est bien ce qui est dit dans le principe de récurrence : pour tout m, si P(m) est vraie alors P(m+1). On doit donc montrer que pour tout m, si P(m) est vraie alors P(m+1) l'est aussi.

On essaye donc maintenant de démontrer la propriété au rang k+1.

1+...+k+(k+1) = ((k+1)*(k+2))/2

Pour cela on part de l'hypothèse de récurrence :

1+...+k = (k*(k+1))/2

1+...+k+(k+1) = ((k*(k+1))/2)+(k+1) : on ajoute k+1 de chaque côté

1+...+k+(k+1) = (k*(k+1)+2k+2)/2 : on réduit au même dénominateur

1+...+k+(k+1) = (k²+3k+2)/2 : on développe le numérateur

1+...+k+(k+1) = ((k+1)*(k+2))/2 : on factorise le numérateur

Et on obtient la propriété au rang k+1.

On peut donc appliquer le principe de récurrence et conclure que la propriété est vraie pour tout n.

Pour conclure, je voudrais faire un commentaire sur :

Donc X^-n ne sera jamais égale à 0... et la limite lorsque n tend vers l'infini représente la valeur que X^-n n'atteindra jamais.

Ainsi ce qui n'égalera jamais 0 égale 0. Et ce n'est pas parce que ce ne serait jamais égale à 0 que ce ne serait pas égale à 0 à la limite, on se comprend...

Et bien... je suis d'accord avec vous ! ( comme ça n'arrive pas si souvent je me permet de le faire remarquer :D )

vous avez un niveau lycée

regardez les séries numériques sur wikipédia, c'est cette théorie qui est utilisée implicitement.

vous avez un niveau lycée

regardez les séries numériques sur wikipédia, c'est cette théorie qui est utilisée implicitement.

Le but ici n'est pas de faire un concours de "qui est le meilleur en maths". Votre remarque n'ajoute strictement rien au débat. Je trouve mal venu d'employer des théories puissantes lorsque l'objectif est purement pédagogique. Sinon on peut aussi directement dire : 0,9 est par définition le développement décimal impropre de 1 donc 0,9 = 1 et puis c'est tout... super discussion à l'horizon. Ou alors on pourrait invoquer le théorème d'incomplétude de Gödel pour dire que de toute façon on ne pourra jamais démontrer la cohérence des mathématiques et que donc ça sert à rien de se fatiguer à chercher tout ça. Sinon, on peut aussi répondre à la question posée de manière efficace et compréhensible par tous.

Et en effet, il s'agit bien de séries numériques. D'ailleurs dans ma démonstration la notion n'est implicite que dans la mesure où je ne la nomme pas. En effet, j'utilise la somme des termes d'une suite... tiens... ce serait pas une série ? :D