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Comment calculé que 1 = X puissance 0


Invité Le Génie

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
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Vous dîtes cher Gallium que :

''...0^n = 0 pour tout n différent de 0 appartenant à R+...''

Et ensuite que :

''...Mais rien n'empêche que 0^0 vaille 0, c'est complètement compatible avec le reste des maths...''

Pourquoi donc faire une exception si elle n'a pas lieu d'être... est-ce logique et intuitif.

C'est un peu comme pour votre référence à l'ensemble vide... un ensemble ne contenant aucun objet n'est-il pas lui-même un objet... n'est-ce pas de cette façon que l'on identifie un ensemble soit comme ce qui contient des objets... dans cette logique tous les objets pourraient être considérer comme des ensemble vides...

Quel différence y-a-t-il entre un objet et un ensemble vide... expliquer une logique avec des termes qui ne le sont pas n'explique rien du tout vous savez...

Ce serait comme si je définnissait l'objet A comme n'étant pas ce qu'il est... serait-ce logique.

Les mathématiques forment une discipline tout à fait exceptionnelle... normal étant donné qu'elle est pleine d'exception... qu'elle appelle exceptionnellement convention. Surement la raison pour laquelle elle confirmerait la règle.

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Invité Gallium
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Invité Gallium
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Posté(e)
Pourquoi donc faire une exception si elle n'a pas lieu d'être... est-ce logique et intuitif.

Vous ne me lisez pas cher Génie. Vous êtes persuadé d'être garant d'une logique exceptionnelle ... mais vous ne me lisez pas. Je n'y puis rien. Je vous explique que cette convention est utile afin d'étudier certains polynômes, les cardinaux. Dans la théorie des ensembles, ce 0 puissance 0 représente le cardinal (le nombre d'elements) de l'ensemble des applications de {ensemble vide} sur {ensemble vide}. Formule démontrée dans son cas général, or ce cardinal est 1 mais pas 0....

Cette exception a donc parfaitement lieu d'être car elle est utile en maths. Mais rien n'oblige de l'utiliser. Comprendes ?

Les mathématiques forment une discipline tout à fait exceptionnelle... normal étant donné qu'elle est pleine d'exception... qu'elle appelle exceptionnellement convention. Surement la raison pour laquelle elle confirmerait la règle.

Les mathématiques forment une discipline tout à fait exceptionnelle qui permet à ce jour à de nombreux autres domaines d'exister. Sans maths, dites Adieu à votre ordinateur, à votre maison, à votre véhicule préféré, à la physique, et à presque toutes les innovations des plus extraordinaires ... et retournons au primitif.

Il n'y a pas mieux que les maths pour décrire la nature. Bien évidemment les maths sont fondées sur des bases, des axiomes, et des postulats et surtout sur de la logique. Evidemment il y a des conventions dans les notations et les expressions ... sinon à quoi ressembleraient les maths ...

Quel différence y-a-t-il entre un objet et un ensemble vide... expliquer une logique avec des termes qui ne le sont pas n'explique rien du tout vous savez...

Ce serait comme si je définnissait l'objet A comme n'étant pas ce qu'il est... serait-ce logique.

Premièrement une logique ne s'explique pas.

Une propriété, elle, s'explique :

Un tiroir contenant un sac vide - {∅} - n'est pas vide et contient bien un objet - ∅ -. L'ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble A. D'après la définition d'un sous-ensemble, cela veut dire que pour tout élément x de ∅, x appartient à A.

Raisonnons a contrario : si l'ensemble vide n'est pas inclus dans A, alors il existe au moins un élément de l'ensemble vide qui n'appartient pas à A. Or, il n'y a aucun élément dans l'ensemble vide, donc plus particulièrement aucun élément de l'ensemble vide qui n'appartienne pas à A. On en conclut donc que tout élément de ∅ appartient à A et donc que ∅ est un sous-ensemble de A. Plus généralement, toute proposition commençant par « pour tout élément de ∅ » est vraie.

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

''...Premièrement une logique ne s'explique pas...''

Plutôt drôle que vous essayez de l'expliquer dans ce cas... bonne raison pour ne pas avoir à l'expliquer dans l'autre...

Vous en mettez large sur le dos des mathématiques cher Gallium... la programmation est le fruit de travaux de logique et les semi-conducteurs ont été découverts plus par hasard que par calcul... les mathématiciens sortent ensuite des théories pour expliquer le tout... alors pour ce qui estde dire qu'on leur doit tout...

Même l'automobile n'est pas apparu par le biais de calcul mais plutôt par des essais erreurs mécaniques...

Les mathématiques expliquent plus qu'elles ne créent selon moi...

Plusieurs édifices tiennent debout même si ils sont construits tout croche vous savez...

''...Vous ne me lisez pas cher Génie. Vous êtes persuadé d'être garant d'une logique exceptionnelle...''

Serait-ce parceque j'émets des doutes sur la logique des mathématiques que vous vous permettez ces affirmations gratuites à mon sujet... mes questions vous gênent-elles à ce point. N'est-ce pas vous qui dites justement qu'une logique ne s'explique pas... alors je vous dirais dans cette logique que ma logique est exceptionnelle tout bonnement et que ça ne s'explique pas... alors pourquoi mettre en doute ce que vous ne pouvez expliquer vous-même...

Vous n'avez pas répondu à la majorité de mes questions portant sur les aspects logiques et intuitifs pour votre part... celà me donne-t-il le droit de dire que vous ne lisez pas ce que j'écris pour autant...

Peut-être pourriez-vous commenter la méthode proposée en début de ce post pour commencer... ce serait déjà un bon point de départ. é moins que vous ne l'ayez pas lu...

J'ai eu le temps de lire ce que vous avez effacez malheureusement... et je crois que votre décision était la bonne... alors je ne mettrai pas dans ce message ce que j'avais préparé comme réponse... disons que ça manquait d'une logique qui ne s'expliquerait pas tout en expliquant rien...

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Membre, le corps sur Terre, l'esprit ailleurs , 55ans Posté(e)
pascalin Membre 15 340 messages
55ans‚ le corps sur Terre, l'esprit ailleurs ,
Posté(e)

Et ben Le Génie , tu frappes fort :coeur: :blush:

Tout d'abord parce que 1 = X° n'existe que pour le paradigme que 1 est = 1 et que 0 n'est pas le zéro potentiel ;

ensuite ,Les nombres 0 et 1 sont un arrangement mathématique et ne sont purement réels .

La généralité des calculs n'est pas aboutie , du fait que le Zéro et le Un sont de nature "mystique"^^ et que de faire une généralité en démonstration mathématique en revient à dire que ces deux notions existent formellement ,alors que que n'est pas le cas .

La puissance zéro est extensible pour le résultat voulu avant même de l'avoir , mais ce n'est en aucun cas une réalité purement mathématique ,car il y a extension.

C'est un arrangement pour intégrer le zéro dans ce domaine de multiplication ,qu'est la puissance,alors que l'on ne sait pas définir le zéro .

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Invité Gallium
Invités, Posté(e)
Invité Gallium
Invité Gallium Invités 0 message
Posté(e)
''...Premièrement une logique ne s'explique pas...''

Plutôt drôle que vous essayez de l'expliquer dans ce cas... bonne raison pour ne pas avoir à l'expliquer dans l'autre...

Vous en mettez large sur le dos des mathématiques cher Gallium... la programmation est le fruit de travaux de logique et les semi-conducteurs ont été découverts plus par hasard que par calcul... les mathématiciens sortent ensuite des théories pour expliquer le tout... alors pour ce qui estde dire qu'on leur doit tout...

Même l'automobile n'est pas apparu par le biais de calcul mais plutôt par des essais erreurs mécaniques...

Les mathématiques expliquent plus qu'elles ne créent selon moi...

Plusieurs édifices tiennent debout même si ils sont construits tout croche vous savez...

Je n'ai nullement essayé d'expliquer la logique ... car la logique, encore une fois, ne s'explique pas.

Ce que j'ai fait, c'est justifier une convention, et c'est ce qu'on peut au mieux faire, car une convention ne se démontre pas. Elle peut seulement se justifier en usant de la logique.

J'en mets large sur le dos des mathématiques ? Cher Génie, je ne vous parle pas des voitures de la révolution française mais des innovations nouvelles. Les ingénieurs qui conçoivent des véhicules de plus en plus perfectionnés se servent de mathématiques. D'ailleurs à ce propos, un ingénieur automobile m'a demandé il y a quelques temps, je vous cite exactement :

"Dans mon activité professionnelle (l'automobile), je suis aujourd'hui face à une problématique que je ne sais pas résoudre sans une manip qui m'ennuie fortement...

En effet, pour mesurer l'influence de divers paramètres dans un processus d'emmanchement (assemblage de pièces sous contraintes), je cherche une modélisation mathématique de l'évolution du coefficient de frottement de deux matériaux en fonction des états de surface de ces deux matériaux...."

Tout est relatif ... la nouveauté est sans cesse basée sur les mathématiques ... et un ordinateur n'est qu'une machine à calculer.

Mais j'ai comme l'impression que nous nous éloignons du sujet car ceci pourrait bien faire l'objet d'un autre débat, tout aussi intéressant.

''...Vous ne me lisez pas cher Génie. Vous êtes persuadé d'être garant d'une logique exceptionnelle...''

Serait-ce parceque j'émets des doutes sur la logique des mathématiques que vous vous permettez ces affirmations gratuites à mon sujet... mes questions vous gênent-elles à ce point. N'est-ce pas vous qui dites justement qu'une logique ne s'explique pas... alors je vous dirais dans cette logique que ma logique est exceptionnelle tout bonnement et que ça ne s'explique pas... alors pourquoi mettre en doute ce que vous ne pouvez expliquer vous-même...

Vous n'avez pas répondu à la majorité de mes questions portant sur les aspects logiques et intuitifs pour votre part... celà me donne-t-il le droit de dire que vous ne lisez pas ce que j'écris pour autant...

Pour répondre à votre question en début de citation, vos questions ne m'ont jamais gênées. En fait ce qui me gêne, c'est que vous paraphrasez dans vos questions. On y répond, mais vous semblez faire sourde-oreille, je dis bien "semblez", en posant des questions qui rejoignent les précédentes réponses. Ainsi le débat ne progresse pas.

Ensuite je ne mets nullement en doute votre logique exceptionnelle ... à moins que vous ne puissiez me citer un passage où je l'ai remise en doute ...

Peut-être pourriez-vous commenter la méthode proposée en début de ce post pour commencer... ce serait déjà un bon point de départ. é moins que vous ne l'ayez pas lu...

Quel post ? Quelle méthode ? Celle de "Posons donc X = 0 et n = 2" ?

J'ai eu le temps de lire ce que vous avez effacez malheureusement... et je crois que votre décision était la bonne... alors je ne mettrai pas dans ce message ce que j'avais préparé comme réponse... disons que ça manquait d'une logique qui ne s'expliquerait pas tout en expliquant rien...

En effet c'était une bonne décision étant donné que ce que je marquais était faux. J'avais interprété "objet" comme "objet mathématique," ce qui est relativement différent.

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Membre, Tu n'auras d'autre batracien devant ma face, 109ans Posté(e)
Grenouille Verte Membre 32 822 messages
109ans‚ Tu n'auras d'autre batracien devant ma face,
Posté(e)
''... C'est effectivement une convention de dire que 0^0=1...''

Dans ce cas il y a un problème de logique car si l'entier X et la puissance Y sont strictement positifs on aurait un résultat qui diminuerait lorsque la puissance augmenterait...

0^0 = 1

0^1 = 0

0^2 = 0 alors que

1^0 = 1

1^1 = 1

1^2 = 1 et que

2^0 = 1

2^1 = 2

2^2 = 4

soit (Xn-1 >= Xn) car 00 > 01 qui contredirait la règle générale (Xn-1 <= Xn) voulant que le résultat augmente ou reste égale lorsque la puissance augmente...

Quelle serait donc la logique dans cette convention? :blush:

Ce n'est pas un problème.

Exemples :

(-1)^0 = 1

(-1)^1 = -1

(-1)^2 = 1

(-1)^3 = -1

ça monte, ça descend...

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

''... je dis bien "semblez", en posant des questions qui rejoignent les précédentes réponses. Ainsi le débat ne progresse pas...''

J'avance à petit pas cher Gallium, ce sont souvent de petits points de détails qui sont l'objet de mes retours de questions... voici pourquoi je semble revenir sur les mêmes questions, les petits détails faisant souvent une grande différence vous savez.

''... Ensuite je ne mets nullement en doute votre logique exceptionnelle ... à moins que vous ne puissiez me citer un passage où je l'ai remise en doute ...''

Ne jouons pas la comédie cher Gallium... déjà le fait de qualifier ironiquement ma logique ''d'exceptionnelle'' est une façon à peine voilée de la remettre en doute...

''... Quel post ? Quelle méthode ?...''

J'aurais dû écrire ''sujet'' plutôt que ''post''... revenez au tout début en lisant la méthode proposée qui parle du calcul de la puissance 0 et donne un résultat égal à 0 pour 00...

''... Un tiroir contenant un sac vide - {∅} - n'est pas vide et contient bien un objet - ∅ -. L'ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel ensemble A...''

Comme vous le dîtes le tiroir (ensemble) contient un objet (ensemble vide)... donc vous appellez un ensemble un objet... l'ensemble vide ne serait donc pas un ensemble puisque c'est un objet. Comme si un mur blanc en l'absence de lumière devenait un mur noir...

Si je plonge un verre dans l'eau est-ce le verre qui contient de l'eau ou est-ce l'eau qui contient le verre... Si le verre est dans l'eau alors il est contenu et si le verre contient de l'eau alors il est contenant mais un contenant dans un contenant devient un contenu...

Comment appellez-vous un contenu qui contient son contenant... ne serait-ce pas le contenant lui-même.

Dans cette logique ce serait le vide qui contiendrait l'ensemble qui contient le vide... le vide devient l'ensemble et l'ensemble devient l'objet... car un objet ne contient rien vous savez...

Une logique ne s'explique pas... mais son développement lui s'explique... alors si la logique est illogique en étant inexplicable sont contenu se trouve à l'être par cohérence pour sa part.

''... car si l'entier X et la puissance Y sont strictement positifs...''

Donc -1 ne s'applique pas cher Grenouille Verte... un point de détail vous a échappé. :blush:

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Membre, Tu n'auras d'autre batracien devant ma face, 109ans Posté(e)
Grenouille Verte Membre 32 822 messages
109ans‚ Tu n'auras d'autre batracien devant ma face,
Posté(e)
Comme vous le dîtes le tiroir (ensemble) contient un objet (ensemble vide)... donc vous appellez un ensemble un objet... l'ensemble vide ne serait donc pas un ensemble puisque c'est un objet.

En théorie des ensemble, cette distinction ensemble/objet n'existe pas : tout est ensemble.

Ainsi :

  • Une droite est un ensemble de points
  • Une fonction est un ensemble de paires (a,b)
  • etc...

D'une manière générale, avant d'introduire une distinction (comme vous faites ici entre objet et ensemble) il faut voir si cette distinction est pertinente, si elle est fondée.

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

Et un point cher Grenouille Verte... c'est un ensemble de quoi ?

Si vous pouvez introduire ici une distinction pertinente alors je considèrerai la pertinence de la vôtre... à vous de vous distinguer... :blush:

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Membre, Tu n'auras d'autre batracien devant ma face, 109ans Posté(e)
Grenouille Verte Membre 32 822 messages
109ans‚ Tu n'auras d'autre batracien devant ma face,
Posté(e)
Et un point cher Grenouille Verte... c'est un ensemble de quoi ?

Tout dépend.

On appelle "espace affine" un ensemble vérifiant certaines propriétés.

Un point est juste un élément de cet ensemble. Cela peut donc être complètement n'importe quoi.

Mais je comprends la quetion : comment, en théorie des ensemble, code-t-on les points comme des ensembles ?

Prenons le cas basique : le plan R².

R² est l'ensemble des couples de réels (x,y).

Les couples sont eux-mêmes codés dans les ensembles par (x,y)={{x}{x,y}}.

Donc, R² est un ensemble d'ensembles.

La question qu'on pourrait se poser est alors : mais les nombres réels, est-ce que ce sont des ensembles ?

En théorie des ensembles, oui, car tout est ensemble. Les réels sont définit par les coupures de Dedekin. En gros, un réel est un ensemble de rationnels vérifiant une propriété particuière.

De même, les rationnels sont définis comme des ensembles d'entiers, les entiers, eux, selon la construction de Dedekin sont construit comme cela :

0 = ∅ (l'ensemble vide)

1 = {∅} = {0}

2= {∅,{∅}} = {0, 1}

...

n +1 = { 0,...,n}

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

''... Tout d'abord parce que 1 = X° n'existe que pour le paradigme...''

Regardez bien la méthode proposée dans l'intitulé du sujet... elle est justement là pour montrer qu'on peut calculer pour montrer que X0 = 1... que c'est au-delà de la convention pour les réels positifs. :blush:

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

''... Un point est juste un élément de cet ensemble. Cela peut donc être complètement n'importe quoi.''

Je ne doute pas qu'il soit élément constituant de cet ensemble... puisqu'il est élémentaire. Mais de quoi est-il l'ensemble si justement il sert de base à l'ensemble lui-même... sur ce point du point je considère que vous n'avez point donner de réponse dans l'ensemble.

Vous parlez du fait que cela peut être complètement n'importe quoi... je me demande bien si ce ne serait pas vraiment et complètement n'importe quoi en effet... :coeur:

Je me doute bien que vous pourrez faire la distinction cher Grenouille Verte... car on peut dire que dans l'ensemble vous vous êtes distinguer par votre réponse sur l'ensemble des ensembles ... :blush:

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Invité Gallium
Invités, Posté(e)
Invité Gallium
Invité Gallium Invités 0 message
Posté(e)

N'empêche ça serait intéressant que quelqu'un puisse commenter le message #34 qui justifie le choix de mimetex.cgi?0^0%20=%201 " />

http://www.forumfr.com/index.php?s=&sh...t&p=4641260

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Invité Le Génie
Invités, Posté(e)
Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

Je n'ai malheureusement pas le bagage académique nécéssaire pour commenter votre réponse Gallium (#34)... mais je vous le souhaite vivement, surtout si les termes sont vulgarisés. :blush:

Mais vous êtes par contre invité à émettre vos propres commentaires sur ce sujet traitant des entiers premiers si intéressé.

http://www.forumfr.com/sujet344128-entiers...view=getnewpost

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Invité Gallium
Invités, Posté(e)
Invité Gallium
Invité Gallium Invités 0 message
Posté(e)

J'y réfléchirais un jour ou l'autre. Ces choses là demandent du temps.

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  • 2 semaines après...
Membre, Posté(e)
existence Membre 5 823 messages
Forumeur activiste‚
Posté(e)

Bon, ben je propose mon grain de sel sur la question. Gallium, au sujet de ton message #34, je ne comprends pas le chapitre 2 petit 1.

Réflexions générales

Toutes les démonstrations pour obtenir une valeur de 0^0 jouent avec les limites. En effet, on part de règles de calculs, et on les étend pour arriver à un résultat pour le cas en question. C'est donc une extension des opérations dont on connait le résultat.

Si on prend la question d'un point de vue philosophique, on va partir en fait de certaines règles et on va aboutir à un résultat, en faisant un passage à la limite implicite, même si on en est pas conscient, ou bien en généralisant.

On a montré assez largement qu'il y a des règles qui par prolongement donnent 0^0=1 et il y a des calculs de limite qui donnent le même résultat. Si l'on reste dans un cadre restreint, on peut donc admettre cette convention. Mais, dans l'absolu il faudrait vérifier qu'il n'y a aucun cas où le prolongement donne un autre nombre.

Approximation par calcul numérique

Le cas général est x^y et par continuité on cherche à rapprocher x et y de zéro.

a = 0,5 ^ 0,5 = √2 / 2 = 0,707

b = 0,1 ^ 0,5 = 0,316 < a

c = 0,5 ^ 0,1 = 0,933 > a

d = 0,1^0,1 = 0,794

On constate que pour des nombres compris entre 0 et 1 exclus, il se passe deux phénomènes contradictoires. Quand x baisse, x^y baisse. Mais quand y baisse, x^y augmente. Selon la vitesse à laquelle x et y se rapproche de zéro, on aura donc un nombre différent. Il n'y a donc pas convergence.

Calcul par passage aux limites (cas y positif et x positif)

En supposant que x = y, on obtient 1 comme limite résultant. Mais en prenant x = exp(-1/y), on obtient (en supposant que y est positif)

x^y = exp(y * ln x) = exp(y * ln(exp(-1/y))) = exp(y * (-1/y)) = exp(-1) = 0,368

Et en prenant x = exp(-1/y^3), on obtient (toujours en supposant que y est positif)

x^y = exp(y * ln x) = exp(y * ln(exp(-1/y^3))) = exp(y * (-1/y^3)) = exp(-1/y²) qui a pour limite 0 quand y tend vers 0

On peut donc obtenir n'importe quelle valeur entre 0 et 1 compris.

Donc 0^0 est dans l'intervalle [0;1]. Pour le résumer avec des arguments compréhensibles, 0^0 = 1 si on considère que le deuxième zéro est plus rapide que le premier, et 0^0 = 0 si on considère que le premier zéro est moins rapide que le deuxième. Le cas d'égalité étant quand le cas où

x = exp(-a/y)

où a est un nombre réel positif. Dans ce cas, 0^0 = exp(-a) qui est dans l'intervalle ]0;1[

Calcul par passage aux limites (cas y négatif et x positif)

Maintenant, si on considère que l'on se rapproche de 0^0 en venant des nombres négatifs, on obtient d'autres résultats.

En prenant x = exp(1/y), on obtient (en supposant que y est négatif)

x^y = exp(y * ln x) = exp(y * ln(exp(1/y))) = exp(y * (1/y)) = exp(1) = 2,718

Et en prenant x = exp(1/y^3), on obtient (toujours en supposant que y est négatif)

x^y = exp(y * ln x) = exp(y * ln(exp(1/y^3))) = exp(y * (1/y^3)) = exp(1/y²) qui a pour limite +infini quand y tend vers 0

Avec x = exp(a/y), on obtient alors 0^0 = exp(a) qui est dans l'intervalle ]1;+infini[

Cas où x est négatif

Dans ce cas, on ne peut pas calculer de limites avec les nombres réels, parce que y doit être un nombre rationnel de dénominateur impair. Sinon le calcul fait intervenir les nombres complexes. Cela dit, je suppose que comme limite un nombre réel avec les mêmes résultats que précédemment (on obtient une rotation de zéro degrés).

Conclusion

0^0 peut être prolongé par continuité à n'importe quel réel positif, y compris zéro et +infini. Je pense qu'on ne peut pas obtenir de nombres négatifs (voir l'explication avec les nombre complexes).

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Invité Gallium
Invités, Posté(e)
Invité Gallium
Invité Gallium Invités 0 message
Posté(e)

Curiosité à ne pas oublier : 1² ne veut rien dire au sens du chapitre 2 ( n'est pas un isomorphisme).

Pour me recentrer sur 0^0

Au sens du chapitre 2 : 0^0 n'existe pas, il est possible de justifier toutes les valeurs (réelles et même au delà), le choix 0^0=1 est donc une pure (mais pas une bête) convention, justifiée imparfaitement (et non malhonnêtement) par des considérations de simplicité et beaucoup plus objectivement par la compatibilité avec les autres définitions.

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Membre, Posté(e)
Reo Membre 140 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

Bonjour

Soit le complexe z=reip, de module r et d'argument p, porté à la puissance définie par le complexe y=a + ib, de module t.

Sauf erreur, cela donne une expression de la forme (Ar)t.e it[bln®+C], si on considère que le raisonnement de passage à la limite s'appuie uniquement sur les variables r et t ,"ln" étant la fonction logarithme népérien.

En appliquant ce raisonnement, c'est le module (Ar)t de ce nouveau complexe qui va permettre de rechercher cette limite lorsque r et t tendent vers zéro.

Si on pose r=1+o, avec o tendant vers zéro, le développement en série de ln(1+o) au voisinage de zéro est de la forme o(1-o/2+o2/3-...+...). Si on le multiplie par t qui tend lui-même vers zéro, l'expression t[ln®] tend elle aussi vers zéro.

D'où le nombre rt, dont elle est le logarithme, tend vers 1.

Le problème 00 semble se ramener à la question AO

Quelle est la valeur de ce raisonnement ?

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Membre, Posté(e)
existence Membre 5 823 messages
Forumeur activiste‚
Posté(e)

Je n'ai pas compris ton raisonnement Reo.

D'où vient le A dans ton expression du résultat de z^y ?

Sinon, je ne comprends pas pourquoi tu fais le développement limité de r = 1 + o étant donné que l'on recherche le cas 0^0 c'est-à-dire quand r et t tendent vers zéro.

Sinon, je me suis rendu compte que j'ai trop simplifié au sujet de x^y avec x négatif. En effet, excepté pour le cas où l'élévation à la puissance y correspond à la recherche d'une racine n ième avec n impair, le résultat de x^y est en fait un ensemble, puisqu'il y a plusieurs racines possibles avec les nombres complexes. Le calcul qui consiste à multiplier l'angle du nombre complexe par y est en contradiction avec le résultat dans le cas des nombres réels. On ne peut donc pas le prendre comme prolongement dans le cas général. Si on prend les nombres complexes, la limite est donc un cercle ayant un certain rayon et non pas un seul nombre.

Si on en reste au cas réel, il faut restreindre y au nombres rationnels pouvant s'écrire a/b avec b impair. Alors

 y    a/b    b___

x  = x    =  √x^a

Cette expression change de signe selon que a est impair ou pas. La valeur de x^y quand x est négatif change donc tout le temps, il ne peut donc y avoir de limite, à moins que cela tende vers zéro.

J'ai résumé tout cela dans une image :

zero_puiss_zero.png

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Membre, Posté(e)
Reo Membre 140 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

Salut, existence

Tu as raison, je me suis planté, j'ai fait r=1 au lieu de r=0. Le reste devient sans intérêt.

A plus !

Bon, je réédite ! Soit z complexe, de module r; y complexe, de module t.

Pour faire tendre un complexe vers zéro, il suffit de faire tendre son module vers zéro. Sous des réserves que je laisse à de plus experts de formuler, la limite de zy est confondue avec celle de rt.

On est ramené à étudier la limite d'une puissance positive d'un nombre positif lorsque l'un et/ou l'autre tend(ent) vers zéro. Si on tente de passer à la limite simultanément pour r et t, il est clair que leurs valeurs vont être inférieures à 1, de sorte que le module de rt sera compris entre 0 et 1, son argument dépendant de z et y.

Par conséquent la limite de zy lorsque z et y tendent vers zéro est intérieure au cercle de module 1 dans le plan complexe, quels que soient les arguments respectifs de ces deux complexes (éventuellement réels).

Avec les réserves évoquées plus haut....

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