Comment calculé que 1 = X puissance 0

Connaissez-vous cette démonstration par calcul montrant qu'un entier naturel élevé à la puissance 0 donne 1 comme résultat.

Elle se base sur le fait qu'un entier est fonction de tous les entiers plus petits que lui...

X^Y..... X élevé à la puissance Y.

{X-1}... somme des entiers compris entre X et 0.

FORMULATION.

X^Y = X^(Y-1) + X^(Y-2) * 2 * {X-1}

EXEMPLE

4⁰ = 4^-1 + 4^-2 * 2 * (3+2+1)

1 = 1/4 + 1/16 * 2 * 6

1 = 1/4 + 12/16

1 = 1/4 + 3/4

Avez-vous déjà vu quelquechose qui ressemble à ça... ça fonctionne avec tous les entiers et toutes les puissances (entières ou pas).

Assez génial... Donnez vos commentaires!!!

Cela vient de la définition de la puissance.

Il y a plusieurs manières différentes de la définir pour que ça marche.

Bonjour,

La démonstration est assez simple.

Elle est issue d'un résultat connu sur les suites numériques : soit n un entier strictement positif et S la somme telle que

1+2+3+...+(n-1) = S

on a S = (n-1)+...+3+2+1

(par définition de l'opérateur somme dans le corps des entiers... ou l'anneau ou le groupe je sais plus... enfin bref... osef )

Si on somme les deux écriture terme à terme on a :

2*S = (n-1+1)+(n-2+2).....+(3+n-3)+(2+n-2)+(1+n-1) = n+ n +.... +n = (pour ceux qui savent compter sur leur doigts ) ... = (n-1)*n

Résultat connu donc...

Soit x un réel quelconque

n^x=n^x+n^(x-1)-n^(x-1)

n^x=n^(x-1) * (n-1) + n^(x-1)

n^x=n^(x-2) *n* (n-1) + n^(x-1)

Le terme en rouge est égale à 2*S (ou S est la somme définie plus haut et noté par le génie {n-1})

D'où :

Pour tout entier positif n et pour tout réel x on a

n^x=n^(x-1) + n^(x-2)*2*{n-1}

selon les notation du génie.

CQFD nan ??

:blush:

Ceci dit : je précise que cela démontre que n^0=1 si et seulement si n est entier positif.

Pour les non entier, la formule issue des suites (S=n(n-1)/2) n'est pas valable.

Ca peut pas se prouver par un calcul de limites ? On sait calculer des racines enièmes donc il suffirait de calculer la limite de la racine infinième dans le sens positif et négatif et de prolonger par continuité.

Pour faire plus simple d'ailleurs : on a :

pour tout x de IR \ {0}

x^0 = x^(-1) * x^1 = 1/x * x = 1...

Ce qui pose réellement problème, c'est le cas "x=0" et donc la forme indéterminé 0^0.

A+

Tricheur c'est marqué dans wikipédia :blush:

Arf... promis j'ai pas regardé... puis... bon... pour une fois que wiki a pas vraiment tort... :blush:

Vous exprimez ceci comme cheminement cher Mad_Word :

Soit x un réel quelconque

n^x=n^x+n^(x-1)-n^(x-1)

n^x=n^(x-1) * (n-1) + n^(x-1)

n^x=n^(x-2) *n* (n-1) + n^(x-1)

Première ligne :

n^x=n^x+n^(x-1)-n^(x-1).............. pas de problème avec ça.

n^x=n^(x-1)+n^x-n^(x-1).......... en réamménageant les termes.

Seconde ligne :

n^x=n^(x-1) * (n-1) + n^(x-1)........ là j'ai un petit problème!!!

En effet, ici, vous tranformez une addition en multiplication... soit :

n^(x-1) * (n-1) + n^(x-1) = n^(x-1) + n^x - n^(x-1)

D'où tirez-vous cette équivalence? Pourriez-vous m'expliquer?

Dans une démonstration mathématique, on doit partir de la définition.

Ici, pour montrer quelque chose, il faut partir de l'une des définitions de la puissance.

Il y a plusieurs définitions différentes avec différents ensembles de définitions (toutefois, les définitions ont été choisies de sorte à ce que deux définitions différentes, si elles sont définies donnent le même résultat).

On peut définir x^n pour x réel et n entier naturel par récurrence :

• x^0=1
  
• x^(n+1) = x*x^n
  

On peut étendre la définition précédente de x^n pour x réel et n entier relatif (sauf dans le cas où x=0 et n<0) en posant, pour n strictement négatif que : x^n=(1/x)^(-n).

Il existe une autre définition de x^y pour x réel strictement positif et y réel.

x^y = exp(x * ln(y)).

Concernant les tentatives de preuves présentées, elles ont plusb sieurs défaut, notamment qu'on ne sait pas de quelles hypothèses, de quelles définitions on part. J'ai même l'impression que vous cherchez à "cammoufler" une définition de x^n derrière des calculs.

@Mad8world :

n^x=n^(x-1) + n^(x-2)*2*{n-1}

Si on applique cette formule avec n = x = 3 on obtient :

3³=3²+3¹*2*2

Or, 3³=27 et 3²+3¹*2*2=9+12=21

Ta formule nous dit donc que 27=21, ce qui est faux.

Ca peut pas se prouver par un calcul de limites ? On sait calculer des racines enièmes donc il suffirait de calculer la limite de la racine infinième dans le sens positif et négatif et de prolonger par continuité.

PS : @Mad_World : L'ensemble des entiers naturel (N) est un semi-groupe commutatif. L'ensemble des entiers relatifs (Z) est un groupe commutatif. Mais en fait, tu as juste besoin de la commutativité et de l'associativité de +.

Vous dîtes ceci cher Grenouille Verte :

''...Cela vient de la définition de la puissance.

Il y a plusieurs manières différentes de la définir pour que ça marche...''

Je vous propose alors la définition de qui je serai, étant moi-même une puissance en soi, si je savais seulement qui je suis et qui j'étais... si je me connaissais enfin moi-même.

Pour savoir qui je serai (X^N+1) à partir de qui je suis (X^N) en sachant qui j'étais (X^N-1)... j'ajoute par 2 fois à qui je suis, autant de fois qui j'étais qu'il y a d'unités comprises par tous les plus petits que moi-même...

X^(N+1) = X^N + X^(N-1) * S + X^(N-1) * S

Aimez-vous ma définition de toutes les puissances des entiers naturels... étant moi-même entier par nature... tout comme vous, je crois... :blush: De la métaphysique mathématique...

Mais vous en direz surement .

Vous avez fait une petite erreur d'inattention cher Grenouille verte...

{n-1} représente la somme des entiers compris entre n et 0... dans le cas de 3 c'est 1 et 2 donc 1 + 2 ce qui donne 3.

Si on applique cette formule avec n = x = 3 on obtient alors :

3³=3²+3¹*2*3

Or, 3³=27 et 3²+3¹*2*3=9+18=27

Ta formule nous dit donc que 27=27, ce qui est vrai.

Merci pour l'intérêt que vous portez au sujet. :blush:

Autre petit problème cher Grenouille verte... vous exprimez aussi ceci :

x^y = exp(x * ln(y)).

Ne laissez-vous pas sous-entendre de ce fait que EXP = EXP^1 et que ln(y) = ln(y^1)^1 aussi...

Les puissances ne sont-elles pas intrinsèques aux entiers eux-même... 4 n'est-ce pas seulement une façon de noter 2^2... une simple équivalence. :blush:

Autre petit problème cher Grenouille verte... vous exprimez aussi ceci :

x^y = exp(x * ln(y)).

C'est une erreur de frappe.

La vraie formule est x^y = exp(y*ln(x)).

@ Genie

Seconde ligne :

n^x=n^(x-1) * (n-1) + n^(x-1)........ : C'est une factorisation : j'ai n^x - n^(x-1) je factorise par n^(x-1).

@ Grenouille :

Concernant les définition de la puissance,

La définition x^y=exp(ln(x)*y) pose un sérieux problème si elle est énoncée comme tel.

Cette définition se pose ainsi : pour tout réel x strictement >0 et pour tout y de IR, on a :

x^y=exp(ln(x)*y)

Pour tout réel x strictement <0 et pour tout y de IR on a

x^y=(-|x|)^y=(-1)^y * |x|^y= (-1)^y exp(ln(|x|)*y)

Cette définition ne prévoit bien sûr pas le cas (x,y)=(0,0).

La première définition que tu proposes (par récurence) est aussi fausse : elle n'est vrai que pour tout x de IR* et non de IR. (je rapelle que 0^0 est une forme indéterminé).

Dans la démo je pars de la définition suivante :

Pour tout n entier non nul

la fonction f : x -> n^x (IR ->IR)

est continue dérivable et possède les propriétés communes à toutes les fonctions puissances à savoir :

pour tout (a,b) de IR²

f(a)*f(b)=f(a+b)

(et c'est la seule que j'utilise...).

Cette propriété est commune à toutes les définition de la fonction puissance.

De plus, je considère en début de démonstration qu'il est acquis que la fonction puissance existe

Pour le reste il ne s'agit que d'une démonstration purement calculatoire. Qui après vérification est parfaitement juste et avec ce commentaire complètement rigoureuse

(PS : Merci pour le groupe commutatif... c'était "commutatif" qui était important :blush: )

Vous dîtes ceci cher Grenouille Verte :

''...Cela vient de la définition de la puissance.

Il y a plusieurs manières différentes de la définir pour que ça marche...''

Je vous propose alors la définition de qui je serai, étant moi-même une puissance en soi, si je savais seulement qui je suis et qui j'étais... si je me connaissais enfin moi-même. :)

Pour savoir qui je serai (X EE N+1) à partir de qui je suis (X EE N) en sachant qui j'étais (X EE N-1)... j'ajoute par 2 fois à qui je suis, autant de fois qui j'étais qu'il y a d'unités comprises par tous les plus petits que moi-même...

X EE (N+1) = X EE N + X EE (N-1) * S + X EE (N-1) * S

Aimez-vous ma définition de toutes les puissances des entiers naturels... étant moi-même entier par nature... tout comme vous, je crois... De la métaphysique mathématique...

Mais vous en direz surement .

:blush: :) :)

Juste les "EE" me gènent énormément... pour moi "EE" signifie "fois 10 puissance..."... mais bon... osef :)

Excusez pour les termes employés cher Mad_Word... mais je ne suis pas vraiment mathématicien... plutôt logicien je dirais, raison pour laquelle j'avais logiquement pris soin de définir ce que j'entendais par (X EE Y)... mais maintenant que je connais la notation (X^Y) je ne l'oublierai pas.

Heureux que ma petite formulation métaphysique vous ait fait rire un peu... :blush:

P.S Il est possible de généraliser et d'inclure aussi les entiers négatifs en modifiant un peu la formulation que j'ai utilisé... devrais-je vous la présenter ou aimeriez-vous mieux tenter votre chance auparavant par vous-même? Elle implique d'utiliser le signe comme si c'était une variable...

Sinon je fouille dans mon petit fouillis et je la place ici la semaine prochaine...

Eh bien mon cher génie... Je ne vois pas la difficulté de la chose...

Si on suppose l'expression de n^x au entier positifs, pour passer aux entier négatifs il suffit de rajouter un (-1)^x à toute l'expression et de remplacer n par sa valeur absolue : |n|

soit :

Pour tout n négatif (strictement) :

n=-1*|n|

d'où pour tout réel x

n^x = (-1*|n|)^x = (-1)^x * |n|^x

|n| étant strictement positif, on a :

|n|^x = |n|^(x-1) + |n|^(x-2) * 2 * S

Où S est la somme des entiers de 0 à |n|-1

Donc pour tout entier n strictement négatif

n^x=(|n|^(x-1) + |n|^(x-2) * 2 * S) * (-1)^x

Afin de généraliser cela au cas "pour tout n entier non nul", il faut, en effet, introduire le (-1)^x comme une fonction du signe. On fait cela couramment en posant l'expression (n/|n|)

en effet, pour tout n non nul, n/|n| existe et est

égal à +1 si n>0

égal à -1 si n<0

Or, comme 1^x = 1 (pour tout x de IR) et que, si n>0, |n|=n

on a :

Pour tout entier n non nul et pour tout réel x

n^x=(|n|^(x-1) + |n|^(x-2) * 2 * S) * (n/|n|)^x

Ou S est la somme des entiers de 0 à |n|-1

Voici le cas généralisé...

...

Mais je vous soupçonne sérieusement de cacher encore une entourloupe métaphysique :blush:

Il faut aussi inclure ceux qui croient qu'ils valent moins que rien cher Mad_Word... sinon ce serait de la discrimination... :blush:

J'en étais sûr ... :blush:

La première définition que tu proposes (par récurence) est aussi fausse : elle n'est vrai que pour tout x de IR* et non de IR. (je rapelle que 0^0 est une forme indéterminé).

Non, cette définition par récurrence fonctionne aussi pour 0.

On a alors 0^0=1.

Au passage, dire que 0^0 est une "forme indéterminée" ne veut rien dire dans ce contexte. On parle de forme indéterminée pour les limites par exemple, mais ici il n'est pas quetion de limite, mais de définition.

La question est donc de savoir si 0^0 est définit.

Et, si on définit x^n par récuurence (pour n entier naturel), alors cette définition fonctionne pour tout réel, y compris 0, y compris -1.

Par contre, dans la définition x^y = exp (y*ln(x)), cette définition ne fonctionne pas pour x=0, ni même pour x=-1 (car que vaudrait (-1)^(1/2) ? ).