"Ce topic n'est pas un topic", et autres phrases auto-référentielles

Bonjour à toutes et à tous. Ceci est un topic qui traite sur les phrases autoréférentielles, c'est à dire qui se réfèrent à elles-mêmes.

Je vais aussi parler de QUINE, et de sa solution pour éviter les paradoxes destructeurs, comme : "ce que je dis est faux".

Tout  le mode connaît le fameux paradoxe du menteur : "Epiménide le Crétois a dit : "tous les Crétois sont des menteurs systématiques" "... 

Certaines phrases auto-référentielles sont inoffensives. Par exemple : "cette phrase comporte cinq mots" est auto-référentielle et vraie, alors que "cette phrase ne possède pas de verbe" est auto-référentielle et fausse; mais dans les deux cas, il n'y a pas de paradoxe.

Je m'arrête ici : la suite au prochain numéro. Vous pouvez déjà réagir, si vous le désirez. 

Bonjour,

Il est dangereux d'utiliser les phrases auto-référentielles pour faire des raisonnements mathématiques. Voir le paradoxe de Russel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

On peut définir un ensemble par une phrase. Par exemple : "l'ensemble des entiers naturels pairs" (0,2,4,6, ...) ce qui est licite. Donc on pourrait être tenté de définir "l'ensemble de tous les ensembles" (phrase autoréférentielle car cet ensemble doit alors être un élément de lui-même). Et Russel montre qu'il ne peut exister car cela mène à un paradoxe qui contredit le principe du tiers exclu ... ce qui oblige à restreindre la façon dont on peut définir un ensemble.

Dans le monde de l'informatique, les acronymes récursifs me font penser à tes phrases autoréférentielles.

Wine : Wine Is Not an Emulator

GNU : GNU's Not Unix

PHP : PHP Hypertext Preprocessor

YAML : YAML Ain't Markup Language

PIP : PIP Installs Packages

JACK : JACK Audio Connection Kit

...

Il y a 5 heures, Totologik a dit :

Bonjour,

Il est dangereux d'utiliser les phrases auto-référentielles pour faire des raisonnements mathématiques. Voir le paradoxe de Russel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

On peut définir un ensemble par une phrase. Par exemple : "l'ensemble des entiers naturels pairs" (0,2,4,6, ...) ce qui est licite. Donc on pourrait être tenté de définir "l'ensemble de tous les ensembles" (phrase autoréférentielle car cet ensemble doit alors être un élément de lui-même). Et Russel montre qu'il ne peut exister car cela mène à un paradoxe qui contredit le principe du tiers exclu ... ce qui oblige à restreindre la façon dont on peut définir un ensemble.

Voilà, dans ta référence, il y a déjà une solution, due à Russell et développée aussi par Quine : la théorie des types, qui suppose une hiérarchisation des énoncés, une distinction des niveaux logiques où se situent chaque proposition. Par exemple : l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes n'est pas licite, parce qu'il mélange les niveaux. 

Démonstration : le niveau 0 correspond aux objets, aux éléments "bruts", en quelque sorte. Le niveau 1 correspond aux ensembles d'objets. Le niveau 2 aux ensembles d'ensembles d'objets. Et ainsi de suite. Et les éléments d'un ensemble de niveau n doivent être de niveau n-1. Autrement dit, dans la théorie des types, un ensemble ne peut pas se contenir lui-même. 

Par exemple, un continent est un ensemble de pays. Et jamais un continent ne contiendra un continent !