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Le vrai et le prouvable

Grenouille Verte

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Notre problème est ici le lien entre les notions de "vrai" et de "prouvable". Il est évident que ce qui est prouvable est vrai (puisqu'il y a une preuve !). Le problème se pose donc pour la réciproque : Est-ce que tout ce qui est vrai est prouvable ?

Si oui, alors "vrai = prouvable", si non alors "vrai ≠ prouvable".

Les exemples suivants vont nous permettre de distinguer les deux notions :

  • le paradoxe du capitaine posé pour la première fois par Gustave Flaubert dans une lettre à sa soeur : "Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai ... On demande l'âge du capitaine."
  • le théorème de Gödel

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Flaubert

Le problème posé par Flaubert est insoluble : il nous demande l'âge du capitaine, mais nous ne disposons pas des informations nécessaire pour le connaître.

Il est certes bien évident que le capitaine a un âge (par exemple 30 ans), mais cet âge est inconnu, et même si le capitaine avait effectivement 30 ans, on ne pourrait pas le prouver. La phrase "Le capitaine a 30 ans" serait donc une vérité improuvable.

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Gödel

Le théorème de Gödel dit que le paradoxe du capitaine arrive aussi (dans certains cas) en mathématiques, qu'il existe des proposition vrai mais non-prouvables.

Je vais donner un autre exemple de choses vraies et improuvables.

Imaginons que je prenne dans ma main une poignée de sable, et que je laisse ensuite retomber le sable.

Je considère les propriétés suivantes :

  • J'avais 1 grain de sable dans ma main.
  • J'avais 2 grains de sable dans ma main
  • ...
  • ...
  • ...

L'une de ces propriété est vraie, mais elle est improuvable.




3 Commentaires


L'existence d'une vérité en dehors de ce que nous pouvons voir est illustré par l'Histoire de la grenouille au fond du puits :

La grenouille pense que le ciel qu'elle voit est l'univers entier. Elle n'a aucune idée que tout ce qui existe en dehors de ce qu'il peut voir. Le point de l'histoire, bien sûr, est que nous devons toujours nous prémunir contre la pensée que nous savons tout.

Source : The Frog at the Bottom of the Well

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En plus d'être des gens méprisables qui se mettent ensemble sur le meme avis pour essayer de me faire lacher, vous essayez de ramener des gens :D

C'est mignon :)

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