Notre problème est ici le lien entre les notions de "vrai" et de "prouvable". Il est évident que ce qui est prouvable est vrai (puisqu'il y a une preuve !). Le problème se pose donc pour la réciproque : Est-ce que tout ce qui est vrai est prouvable ?

Si oui, alors "vrai = prouvable", si non alors "vrai ≠ prouvable".

Les exemples suivants vont nous permettre de distinguer les deux notions :

• le paradoxe du capitaine posé pour la première fois par Gustave Flaubert dans une lettre à sa soeur : "Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai ... On demande l'âge du capitaine."
  
• le théorème de Gödel
  

Flaubert

Le problème posé par Flaubert est insoluble : il nous demande l'âge du capitaine, mais nous ne disposons pas des informations nécessaire pour le connaître.

Il est certes bien évident que le capitaine a un âge (par exemple 30 ans), mais cet âge est inconnu, et même si le capitaine avait effectivement 30 ans, on ne pourrait pas le prouver. La phrase "Le capitaine a 30 ans" serait donc une vérité improuvable.

Gödel

Le théorème de Gödel dit que le paradoxe du capitaine arrive aussi (dans certains cas) en mathématiques, qu'il existe des proposition vrai mais non-prouvables.

Je vais donner un autre exemple de choses vraies et improuvables.

Imaginons que je prenne dans ma main une poignée de sable, et que je laisse ensuite retomber le sable.

Je considère les propriétés suivantes :

• J'avais 1 grain de sable dans ma main.
  
• J'avais 2 grains de sable dans ma main
  
• ...
  
• ...
  
• ...
  

L'une de ces propriété est vraie, mais elle est improuvable.