Pourquoi dans la démonstration que -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi avec a=114244/149375 le logarithme complexe garde ses propriétés algébriques?

Bonjour à tous à toutes,

voici la démonstration:

j'ai
16atan(1/5)-4atan(1/239)=pi.

Je pose atan(1/5)=1/2i ln((1+i/5)/(1-i/5))

et atan(1/239)=1/2i ln(1+i/239)/(1-i/239))

Puis j'aurais 16atan(1/5)-4atan(1/239)=4/2i(ln((1+i/5)/(1-i/5))^4/((1+i/239)/(1-i/239))

puis en développe (ln((1+i/5)/(1-i/5))^4/(1+i/239)/(1-i/239))=ln((a+ia)/(a-ia))=ln((1+i)/(1-i)=ln(i) =i*pi/2.
Donc -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi

ça l'air evident de faire ca mais dans le cas général de la logarithme complexe ce genre de manipulation est interdite…

https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe#:~:text=En mathématiques%2C le logarithme complexe,des nombres complexes non nuls.&text=Aucune ne permet de conserver,algébriques de la fonction logarithme

D'où ma question pourquoi dans la démonstration que -2i*ln((a+ai)/(a-ai))=pi avec a=114244/149375 le logarithme complexe garde ses propriétés algébriques?

Bonjour,

Parce que

(a+ai)/(a-ai) = (a+ai)²/(a²-a²i²) = (a²/2a²)(1+i)² = (1/2)2i = i = Exp(iπ/2)

Le résultat est indépendant de la valeur de (a), qui n'a donc aucune importance; elle doit être simplement non-nulle.

La valeur compliquée proposée est un leurre.

Rien à voir, je suppose, avec le message d'un certain coucou46, qui s'est transmuté au cours de l'échange en de100 ?

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14543

Il y a 16 heures, Hérisson_ a dit :

Bonjour,

Parce que

(a+ai)/(a-ai) = (a+ai)²/(a²-a²i²) = (a²/2a²)(1+i)² = (1/2)2i = i = Exp(iπ/2)

Le résultat est indépendant de la valeur de (a), qui n'a donc aucune importance; elle doit être simplement non-nulle.

La valeur compliquée proposée est un leurre.

Bonjour, 

Pas le droit de faire des simplifications à l'intérieur de logarithme complexe même si évident... 

Et dans la démonstration pour trouver le résultat on a joué avec les propriétés de logarithme genre ln(a) +ln(b) =ln(ab) et on trouvé un résultat correct...