Réflexions mathématiques

Le 03/10/2020 à 08:00, saxopap a dit :

 

Tu exagère mon cher zena. 

La vérité bien souvent emmerge du sens que l'on donne. aux choses

 

En mathématiques, une valeur de vérité est du pur formalisme.

Cette valeur de vérité dépend d'ailleurs du choix de la logique considérée (classique ou intuitionniste)

Dans tous les cas, Il n'y a pas à interpréter la vérité d'un théorème, un théorème est vrai par définition et formellement démontré 

Il s'impose à tous toi le premier et moi y compris 

Voilà pourquoi certains sujets ne sont pas affaire d'opinion

Mais lacune de compréhension 

Certaines philosophies ont du mal avec la dictature du raisonnement logique 

Mais c'est une dictature 

Qui s'y on s'y intéresse...vraiment...par le travail...ouvre des espaces de liberté énormes 

Tu sais, pour moi, l'idiotie est un enfermement.

Bon certains seraient même à enfermer mais bon...

Il y a 2 heures, zenalpha a dit :

Ya un moment oû ca devient pathétique vraiment

Le niveau est très faible. Mais pour une fois, Aliocha a admis ne rien y connaître. 

il y a 47 minutes, Spontzy a dit :

Le niveau est très faible. Mais pour une fois, Aliocha a admis ne rien y connaître. 

Disons qu'un niveau faible serait quand même moins embêtant qu'un très fort niveau de contresens.

Dès l'axiome, c'est une ânerie.

Gödel avait prévenu...une théorie cohérente ne peut être complète et d'autre part ne peut démontrer sa propre cohérence 

Mais quand on nage en complète déconfiture, dans la plus complète incohérence, il a pas laissé trace sur la manière de qualifier ces C ..., ces I ..., ces A ..., ces choses quoi.

Hilbert tenta de prouver la consistance de la géométrie euclidienne en lui trouvant un modèle : le système de représentations cartésiennes, système d’axes et de coordonnées reliés à l’algèbre. Dans cette démarche les axiomes d’Euclide deviennent des vérités algébriques. Par exemple le mot point est relié à une paire de nombres (l’abscisse et l’ordonnée), la droite devient une relation entre nombres exprimée par une équation du premier degré, le cercle devient une équation quadratique, etc. Au demeurant dans l’enseignement actuel nous relions toujours l’algèbre au visuel cartésien, tant que c’est possible, car les deux pensées, analytique et synthétique (au sens « global » ), temporelle et spatiale, abstraite et imagée, se complètent dans la compréhension du monde comme nous le savons depuis les études de Sperry.

Mais la démarche de Hilbert suppose alors que l’algèbre soit consistante : en définitive démontrer la consistance d’un système en le reliant à un autre ne fait que déplacer le problème. Une telle démonstration n’est pas « absolue ».

Revenons à l’axiomatique de la géométrie euclidienne. Nous partons du principe que cette axiomatique est consistante dans la mesure où aucune contradiction n’est jamais apparue dans le cadre de son emploi. La critique de ce principe est la suivante : cette axiomatique n’a jamais été appliquée à un infini d’observations. Même si toutes les observations actuelles, dans le cadre de cette axiomatique bien entendu (le plan), ne conduisent à aucune contradiction, nous ne pouvons pas être sûr, qu’un jour, il n’arrivera pas une observation qui conclura à une contradiction.

Hilbert proposa alors une novelle solution, il essaya de construire une démonstration « absolue » sans avoir à recourir, pour démontrer la consistance d’un système, à un autre système réputé consistant.

il y a 4 minutes, Annalevine a dit :

Hilbert tenta de prouver la consistance de la géométrie euclidienne en lui trouvant un modèle : le système de représentations cartésiennes, système d’axes et de coordonnées reliés à l’algèbre. Dans cette démarche les axiomes d’Euclide deviennent des vérités algébriques. Par exemple le mot point est relié à une paire de nombres (l’abscisse et l’ordonnée), la droite devient une relation entre nombres exprimée par une équation du premier degré, le cercle devient une équation quadratique, etc. Au demeurant dans l’enseignement actuel nous relions toujours l’algèbre au visuel cartésien, tant que c’est possible, car les deux pensées, analytique et synthétique (au sens « global » ), temporelle et spatiale, abstraite et imagée, se complètent dans la compréhension du monde comme nous le savons depuis les études de Sperry.

Mais la démarche de Hilbert suppose alors que l’algèbre soit consistante : en définitive démontrer la consistance d’un système en le reliant à un autre ne fait que déplacer le problème. Une telle démonstration n’est pas « absolue ».

Revenons à l’axiomatique de la géométrie euclidienne. Nous partons du principe que cette axiomatique est consistante dans la mesure où aucune contradiction n’est jamais apparue dans le cadre de son emploi. La critique de ce principe est la suivante : cette axiomatique n’a jamais été appliquée à un infini d’observations. Même si toutes les observations actuelles, dans le cadre de cette axiomatique bien entendu (le plan), ne conduisent à aucune contradiction, nous ne pouvons pas être sûr, qu’un jour, il n’arrivera pas une observation qui conclura à une contradiction.

Hilbert proposa alors une novelle solution, il essaya de construire une démonstration « absolue » sans avoir à recourir, pour démontrer la consistance d’un système, à un autre système réputé consistant.

Bah...bah...bah...bah...bah

Heureusement que le topic s'appelle réflexions

Mais bon, est-ce encore de la réflexion ?

Le 01/10/2020 à 11:47, Annalevine a dit :

Certains sujets mathématiques traités ici donnent le désir de les approfondir et de les traiter différemment. Il est bien entendu possible de se saisir des « mystères » de la mathématique et de la physique pour nourrir ses propres rêveries ou céder à cette pesanteur religieuse conduisant à admirer ou à vénérer un homme (ou une femme) pour en faire un dieu, mais il est aussi possible de sortir de ces errements mentaux et de se saisir de ces sujets pour en comprendre la technique. En comprendre la technique est un bon exercice mental, surtout lorsqu’elle est complexe, de même qu’une course quotidienne par exemple est un bon moyen entretenir son corps.

 

Le sujet « une théorie qui affirme sa propre consistance est-elle consistante » m’a rappelé qu’il y a quelques mois je m’étais intéressé à la logique mathématique mais que j’avais dû laisser tomber, faute de temps. Il s’agissait alors de mener une dizaine de lycéens au bac, ce qui me prit toute mon énergie. Je suis surtout intéressé par la transmission, par les difficultés de la transmission : comment transmettre les mathématiques à des lycéens qui n’y comprennent rien ? Ce type de transmission est éreintant. Transmettre et se soumettre à l’expérience vécue permet aussi de mieux affiner sa propre technique mathématique. L’expérience vécue, c’est-à-dire la réussite ou l’échec de ses élèves, permet en outre de se dégager du jugement éthéré de spectateurs par définition non engagés dans l’action.

 

J’ai toujours pensé que transmettre à des lycéens doués ne présentait guère de difficultés. Mais quand le hasard permet de rencontrer un lycéen doué, alors cela anime d’une nouvelle énergie le désir de transmettre. Il ne s’agit plus alors de comprendre comment fonctionne l’esprit du lycéen en difficulté mais de s’ouvrir à la science elle-même, la mathématique, pour en déceler, en rendre explicite les mystères dont je peux penser alors que l’élève en fera un usage « magnifique » quand il les saisira. La science reste pour moi un moyen de communication avec l’autre.

 

J’en reviens à la consistance d’une théorie, il vaudrait sans doute mieux écrire, la consistance d’un système mathématique.

 

Bien sûr il est nécessaire de définir ce qu’est la consistance. « Un ensemble donné de postulats ou d’axiomes servant de fondement à un système est consistant lorsqu’il est impossible d’en tirer des théorèmes contradictoires » [Ernest Nagel et James R. Newman, la démonstration de Gödel]. Un système consistant ne viole pas le principe de non-contradiction.

 

Je ne m’étais jamais demandé si la géométrie euclidienne par exemple était consistante. Cette géométrie pourrait-elle enfanter des contradictions ? Nous pouvons la déclarer inadaptée dans certaines questions de la physique, puisque cette géométrie est celle de notre quotidien sur terre et non celle du photon par exemple. Mais jusqu’à présent nul dans son quotidien n’a été acculé à une contradiction éprouvante en utilisant la géométrie euclidienne. Je peux continuer de borner mon terrain en pensant que la ligne droite entre mes deux piquets est le plus court chemin.

 

Cette question de la consistance renvoie à une autre question. Est-il possible que certaines propositions ne soient pas démontrables ? Oui selon Gödel. Il y a des propositions indécidables en arithmétique.

 

Ce qui m’a étonné c’est qu’il a pu démontrer que telle ou telle question ne pouvait pas obtenir de réponse. C’est un peu rageant de penser qu’il n’est même pas utile approfondir une question parce qu’un homme a démontré qu’elle ne pouvait pas avoir de réponse ! Mais du coup cela m’incite à m’intéresser au raisonnement mathématique en général. Je dois pour cela étudier d’abord la logique mathématique ou du moins certains de ses aspects.

Les mathématiques sont étymologiquement apprendre, elles sont l’outil de l’esprit pour qu’il est de l’effet. On peut dire que tous les moyens d’apprentissages même le français sont des mathématiques pour l’esprit catholique c’est aussi un moyen d’apprendre.

Comme les notes de musique les maths ne sont pas que des chiffres et des nombres.

à l’instant, EarlOoper a dit :

Les mathématiques sont étymologiquement apprendre, elles sont l’outil de l’esprit pour qu’il est de l’effet. On peut dire que tous les moyens d’apprentissages même le français sont des mathématiques pour l’esprit catholique c’est aussi un moyen d’apprendre.

Comme les notes de musique les maths ne sont pas que des chiffres et des nombres.

Hilbert explora une nouvelle voie d’approche du problème de la consistance d’un système mathématique. Il décida de formaliser les mathématiques, c’est-à-dire de les exprimer en suite de signes, vides de sens, vides de toute interprétation possible, combinés par un ensemble de règles données.

Cette formalisation doit permettre de faire ressortir la structure même des maths sans s’engager inconsciemment dans des interprétations subreptices. Un tel système mathématique dépourvu de signification n’est cependant pas sauf de tous commentaires ou assertions exprimés sur ce système. Ces assertions, qui, donnent du sens aux formules mathématiques formalisées (formules : suites de signes) furent qualifiées par Hilbert de métamathématiques.

Par exemple l’expression « 5 + 8 = 13 » est une formule mathématique composée uniquement de signes. Mais l’expression «  5 + 8 = 13 est une formule mathématique » affirme quelque chose sur la seule expression « 5 + 8 = 13 ». C’est une assertion qui ne ressortit plus aux mathématiques mais aux métamathématiques.

Nous pouvons donner un exemple connu de cet effort vers la formalisation des maths en pensant au calcul littéral. Le calcul littéral permet de sortir de l’univers des nombres donnés pour accéder à un autre univers, abstrait, dans lequel les lettres finissent par ne représenter qu’elles-mêmes.

A partir de cette formalisation Hilbert espérait démontrer que des formules contradictoires ne pouvaient pas être obtenues à partir des axiomes du système mathématique étudié (en l’occurrence l’arithmétique). Il se donnait aussi comme contrainte d’utiliser une procédure qui ne s’appuie pas sur un nombre infini d’opérations ou de propriétés (concernant les formules). Une telle procédure est appelée « finitiste » et une démonstration de consistance qui remplit ces conditions est dite « absolue ».

Une démonstration de consistance absolue de l’arithmétique doit donc conclure, après utilisation d’un minimum de principes d’inférence, sans supposer la consistance d’un autre système modèle, que deux formules contradictoires ne peuvent pas être dérivées de ces axiomes. Ainsi il serait impossible d’obtenir 0 = 0 et également : ¬ (0 = 0) où le signe ¬ signifie « non »

La formalisation engagée doit aussi formaliser de manière explicite les principes d’inférence utilisés couramment par les mathématiciens. Or ces principes sont le plus souvent employés par ces derniers sans qu’ils aient toujours une claire conscience de leur teneur.

Ce furent Whihead et Russell, en 1910, dans « les Principia Mathematica, qui parvinrent à mener à bonne fin ce projet de formalisation. Ils firent du système de l’arithmétique un système de symboles dépourvu de signification, dont les formules étaient combinées et transformées selon des règles bien établies.

Grâce à ce travail Nagel et Newman dans leur livre « la démonstration de Gödel » proposèrent d’étudier un exemple de démonstration de consistance absolue sur un système mathématique simple afin de pouvoir aborder la démonstration de Gödel.

Étudions cet exemple.

Selon ce que j'ai lu sur Godel c'est qu'il a fini comme un fou. Normal vu le génie apparemment passionnel qui a fait aussi comprendre que beau l'axiome les maths ne démontrent pas tout.

Peut être est ce une magie de la réalité que lorsque l'obstacle est celui de trop réfléchir pour rien c'est à dire des solutions introuvables si ce n'est se faire du mal à essayer de les trouver. Alors on parle d'indemontrable à cause de la douleur d'incompétence à ne pas trouver la solution sans douleur. Donc indemontrable car trop douloureux à démontrer, la preuve certains génies en deviennent fous.

Dans un dialogue entre Jean-Pierre Changeux et Alain Connes, reproduit dans le livre « matière à penser », Alain Connes, pour simplifier A.C., synthétise ainsi l’indécidabilité : « un énoncé est indécidable si ajouter soit sa véracité, soit sa fausseté, contredit les axiomes à partir desquels on travaille ». Ce à quoi J.P.C  répond, dans une synthèse générale : « les axiomes internes au système ne suffisent pas à la décision. »

A.C. précise que le théorème d’incomplétude de Gödel énonce que, quels que soient les axiomes donnés, dans un système donné (qui reste tout de même celui de l’arithmétique), il y a toujours des questions qui restent indécidables.

Mais loin d’y voir une limite imposée à l’exploration du monde A.C. y voit au contraire une ouverture. Selon lui chaque nouvelle question indécidable donne lieu à une « bifurcation » selon que l’on choisit de répondre oui ou non à la question indécidable en question. Une fois qu’on a donné une réponse à la dite question on sort certes du système donné puisque ce système ne peut pas intégrer une réponse, vrai/faux, à la question, mais on s’engage alors dans une nouvelle voie de découverte selon la réponse librement choisie.

Le théorème d’incomplétude signifie que le monde n’est pas clos. Il reste ouvert, il reste à découvrir, il reste à créer. Le théorème d’incomplétude de Gödel n’est pas une fermeture, au contraire, c’est une ouverture vers le large.

Oui @Annalevine

Et dans ce débat, Alain Connes soutient la formulation qu'il existe des propositions VRAIES mais indemontrables dans tout système cohérent complexe (formulation littéraire Gödel + USA)

Quand Lichnerowitz soutient la formulation européenne que j'ai appris qu'il existe des propositions indécidables 

Je suis personnellement complètement raccord à Connes sur ce point.

Connes est....hyper platonicien

Pour lui, le monde physique émerge du monde mathématiques plus réel, plus riche, plus fondamental 

Sur ce point on arrive dans une forme de croyance finalement 

Connes, je l'adore, en tant que personne déjà 

Et je l'écoute ébahi

Mais j'avoue que lorsqu'il dit que de la non commutativité émerge un temps propre, toute interprétation reste ouverte sur l'émergence du temps...depuis des opérateurs abstraits de l'espace de Hilbert....ou sur une dynamique physique qui serait représentable par une non commutativité des opérateurs qui la represente

Mais la je m'emballe 

Les maths sont a la fois consequence d’observation et servent a la fois pour causer une conséquence comme induire l’acte, comme réaliser une maison d’après des plans.

Les maths alors répondraient au critère scientifique si la science est celle de la causalité.

Aussi tout serait mathématique car tout a une conséquence celle d’etre observe et causerait une conséquence qui lui est propre.

La science de la causalite ne cesserait d’étoffer son langage mathématique qui a autant d’influence sur les actes que sur l’esprit est qu’alors définit une part de l’essence de ce dernier.

Pour s’engager dans une démonstration de consistance absolue d’un système mathématique choisi il est nécessaire d’aborder la logique mathématique. Comment formaliser un système ? Les auteurs reprennent les attendus du travail de Russel et Whitehead.

Première étape : dresser l’ inventaire des signes utilisés dans le calcul, signes qui constituent l’alphabet du langage formel du système considéré.

Le système choisi est celui du calcul propositionnel qui est fondé sur les connecteurs propositionnels. Ceux-ci dont des opérateurs sur les énoncés mathématiques (les formules).

Cet inventaire comprend : les variables propositionnelles, les connecteurs, les symboles « parenthèses »

Ces opérateurs sont :

La négation : ¬, signe qui se place devant la formule (l’énoncé). Si nous posons A, alors ¬ A est la négation de A.

Le connecteur « ou » noté ∨, appelé disjonction ; (A ∨ B) signifie que nous avons A ou B, il s’agit d’un « ou » inclusif.

Le connecteur « et » noté ∧ ,appelé conjonction ; (A ∧ B ) signifie que nous avons A et B.

Le connecteur « implique » noté ⇒ ; appelé implication ; (A ⇒ B) ; connecteur complexe en raison des sens différents usuellement donnés.

Le connecteur « équivaut à », noté ⇔ ; appelé équivalence ; (A ⇔ B)

Les parenthèses sont : la parenthèse ouverte :  (   et la parenthèse fermée : )

Les variables propositionnelles désignées par des lettres majuscules sont des énoncés mathématiques fondamentaux, axiomes ou postulats. Comme dans le calcul littéral où nous employons des lettres au lieu de nombres, ici nous employons des lettres majuscules au lieu d’énoncés précis. Ces lettres renvoient donc à tout énoncé fondamental possible, d’où le nom de variables propositionnelles. Appelons P l’ensemble de ces variables propositionnelles.

Nous disposons donc de l’alphabet suivant :

  A = P U {¬ ; ∨ ; ∧ ; ⇒ ; ⇔ } U { ),( } ( U = union)

Avec cet alphabet nous pouvons construire des mots. L’ensemble des mots est noté M (A)

Avec cet alphabet nous pouvons construire ce que nous appelons des formules propositionnelles. Il nous faut définir de manière précise ces formules propositionnelles :

L’ensemble F des formules propositionnelles construites sur P est le plus petit sous-ensemble de

M (A) qui :

Contient P

Chaque fois qu’il contient un mot F contient aussi le mot ¬ F

Chaque fois qu’il contient les mots F et G, contient aussi les mots (F∨ G) ; (F ∧ G) ; (F ⇒ G) ;

(F⇔ G)

Autrement dit une formule propositionnelle contient des énoncés fondamentaux (axiomes) avec lesquels nous formons des mots qui contiennent ces énoncés et les opérateurs et les parenthèses.

Exemple de formules :

A

(A∨ A)

(((A∧ (¬ B ⇒ A)) ∧ (¬ B ∨ C)) ⇒(C ⇒ ¬ A))

Cette définition est appelée définition par le haut.

il y a une heure, Annalevine a dit :

Pour s’engager dans une démonstration de consistance absolue d’un système mathématique choisi il est nécessaire d’aborder la logique mathématique. Comment formaliser un système ? Les auteurs reprennent les attendus du travail de Russel et Whitehead.

Première étape : dresser l’ inventaire des signes utilisés dans le calcul, signes qui constituent l’alphabet du langage formel du système considéré.

Le système choisi est celui du calcul propositionnel qui est fondé sur les connecteurs propositionnels. Ceux-ci dont des opérateurs sur les énoncés mathématiques (les formules).

Cet inventaire comprend : les variables propositionnelles, les connecteurs, les symboles « parenthèses »

Ces opérateurs sont :

La négation : ¬, signe qui se place devant la formule (l’énoncé). Si nous posons A, alors ¬ A est la négation de A.

Le connecteur « ou » noté ∨, appelé disjonction ; (A ∨ B) signifie que nous avons A ou B, il s’agit d’un « ou » inclusif.

Le connecteur « et » noté ∧ ,appelé conjonction ; (A ∧ B ) signifie que nous avons A et B.

Le connecteur « implique » noté ⇒ ; appelé implication ; (A ⇒ B) ; connecteur complexe en raison des sens différents usuellement donnés.

Le connecteur « équivaut à », noté ⇔ ; appelé équivalence ; (A ⇔ B)

Les parenthèses sont : la parenthèse ouverte :  (   et la parenthèse fermée : )

 

Les variables propositionnelles désignées par des lettres majuscules sont des énoncés mathématiques fondamentaux, axiomes ou postulats. Comme dans le calcul littéral où nous employons des lettres au lieu de nombres, ici nous employons des lettres majuscules au lieu d’énoncés précis. Ces lettres renvoient donc à tout énoncé fondamental possible, d’où le nom de variables propositionnelles. Appelons P l’ensemble de ces variables propositionnelles.

Nous disposons donc de l’alphabet suivant :

  A = P U {¬ ; ∨ ; ∧ ; ⇒ ; ⇔ } U { ),( } ( U = union)

Avec cet alphabet nous pouvons construire des mots. L’ensemble des mots est noté M (A)

Avec cet alphabet nous pouvons construire ce que nous appelons des formules propositionnelles. Il nous faut définir de manière précise ces formules propositionnelles :

L’ensemble F des formules propositionnelles construites sur P est le plus petit sous-ensemble de

M (A) qui :

Contient P

Chaque fois qu’il contient un mot F contient aussi le mot ¬ F

Chaque fois qu’il contient les mots F et G, contient aussi les mots (F∨ G) ; (F ∧ G) ; (F ⇒ G) ;

(F⇔ G)

Autrement dit une formule propositionnelle contient des énoncés fondamentaux (axiomes) avec lesquels nous formons des mots qui contiennent ces énoncés et les opérateurs et les parenthèses.

Exemple de formules :

A

(A∨ A)

(((A∧ (¬ B ⇒ A)) ∧ (¬ B ∨ C)) ⇒(C ⇒ ¬ A))

Cette définition est appelée définition par le haut.

 

C'est magnifique 

Et tu viens de poser la première pierre du formalisme.

Bien qu'ils soient, au départ, dépourvus de sens, les symboles d'un système formel acquièrent inévitablement une signification lorsque les associations entre un symbole et le sens qui lui est dévolu découvre un isomorphisme.

Negation, connecteur, addition...

Dans un système formel, les expressions bien formées sont celles qui, interprétées symbole par symbole donnent des phrases grammaticales.

Parmi les expressions bien formées se trouveront les théorèmes définis par un schéma d'axiomes et une règle de production 

Imaginons que nous trouvions un système formel typographique en faisant des fouilles, nous commencerions sans doute comme champollion par essayer différentes interprétations et, peut-être, par en trouver une

Mais comment...savoir...que tous les théorèmes générés a partir des lois de production typographique expriment des vérités dans le système axiomatique trouvé sans associer à ce formalisme la bonne interprétation 

Ce que je dis est fondamental parce que si on écrit 12x12=144, tout le monde...sait a priori que x correspond a la multiplication et ceux qui voudront poser 12 lignes pour 12 colonnes pourront en base 10 compter le nombre de carreaux pour associer la signification de cette opération 

Mais absolument tout le monde....devra se fier totalement au fait que les résultats obtenus pour 16469735853 x 68522678 soit le bon sans se fier au processus symbolique, purement formel où les règles de déplacement pour ce calcul sont fondées sur quelques propriétés de l'addition et de la multiplication valides pour tous les nombres.

Alors bien sûr aucun homme du 20eme siècle ne peut douter de la possibilité de mécaniser les processus typographique d'addition et de multiplication...

Mais lorsqu'il s'agit de faire ne serait ce qu'une démonstration simple concernant l'infinitude des nombres premiers par exemple, le processus qui convient de quelques opérations courtes du point de départ, aux phases du raisonnement jusqu'aux démonstrations ne doivent souffrir d'aucune échappatoire 

C'est d'ailleurs pour celà qu'on parle de démonstration et non de "marque manifeste"

Autrement dit, si a la lecture orale elles semblent être par exemple des assertions sur les nombres et leurs propriétés, elles n'en semblent pas moins graphiquement être des lignes de symboles abstraits et la structure ligne par ligne de la démonstration risque de commencer à ressembler à la lente transformation de structures selon.... un petit nombre de règles topographiques 

Il existe une autre manière de définir l’ensemble F des formules propositionnelles construites sur P.

Définissons une suite ( F_n ) , n ∈ ℕ, de la sorte :

F ₀ = P ( F ₀ est donc l’ensemble des variables propositionnelles).

Et :

F _n+1 = F _n U {¬ F ; F ∈ F _n } U { (F α G) ; F, G ∈ F _n , α ∈ {∧, ∨, ⇒ , ⇔}}

Pour mieux visualiser cette construction calculons F ₁

F ₁ = F ₀ U {¬ F ; F ∈ F ₀ } U { (F α G) ; F, G ∈ F ₀ , α ∈ {∧, ∨, ⇒ , ⇔}}

Soit :

F ₁ = P U {¬ F ; F ∈ P } U { (F α G) ; F, G ∈ P , α ∈ {∧, ∨, ⇒ , ⇔}}

Nous voyons donc que les premières constructions de formules s’appuient sur des variables propositionnelles, puisque F et G, à ce stade, appartiennent à P.

Puis ces premières constructions, à leur tour, sont adressées par des lettres qui à leur tour seront combinées par l’intermédiaire des connecteurs propositionnels.

A partir de la définition de cette suite nous pouvons formuler le théorème suivant :

F = U F _n avec n ∈ ℕ

(La démonstration de ce théorème est assez simple, il suffit de montrer que F est inclus dans F _n et réciproquement).

Cette définition est appelée définition par le bas.

A partir de ces définitions nous pouvons commencer à aborder le domaine des démonstrations, et nous arrêter aux démonstrations dites par induction. Il existe bien sûr la méthode classique de la démonstration par récurrence (qui est aussi un raisonnement par induction) mais il existe aussi des démonstrations, apparentées à la récurrence mais non identiques, démonstrations qui notamment ne s’appuient plus sur la référence aux entiers naturels.

Soit par exemple une propriété mathématique quelconque H que l’on veut vérifier pour toute formule F. Nous pouvons partir de la définition par le bas et dérouler un raisonnement par récurrence. Mais nous pouvons aussi partir de la définition par le haut et dérouler cet autre raisonnement, dit raisonnement par induction.

Nous vérifions d’abord que H (F) est satisfaite pour toute formule appartenant à P (les variables propositionnelles), c’est-à-dire nous vérifions que H (F) est vraie pour F ₀

Ensuite l’étape d’induction consiste à prouver d’une part que si une formule F satisfait la propriété H, la formule ¬ F la satisfait aussi, d’autre part que si deux formules satisfont H, il en est de même des formules (F∧ G), (F ∨G), (F ⇒ G), (F ⇔ G).

Nous pouvons, en exercice, appliquer ce raisonnement à la propriété mathématique suivante : « la hauteur d’une formule est toujours strictement inférieure à sa longueur ».

La longueur d’une formule est donnée par le nombre de signes qui la composent. Ainsi la formule (F∧ G) est de longueur 5. elle est notée lg[F].

La hauteur d’une formule F est le plus petit des entiers n tels que F ∈ F _n . Elle est notée h[F].

Par exemple la hauteur d’une variable propositionnelle A est égale à 0, (A ∈ F ₀ ). La hauteur de la formule F = (A∨ B) est égale à 1 [A et B, variables propositionnelles ; première composition ici de A et B, donc cette formule appartient à F ₁ donc hauteur : 1].

La hauteur de la formule F = ((A∨ B) ∧ (A ⇒ B)) est 2. La hauteur de la formule F = (¬¬¬¬¬ A) est 5.

Reprenons notre démonstration. Il s’agit donc de vérifier la propriété suivante : « h[F] < lg[F] ».

Dans F _{0 ,} F est une variable propositionnelle. Sa hauteur est 0 (elle appartient à F ₀ . Sa longueur est 1 (il y a un signe)). La propriété est donc vraie pour F ₀

Nous allons ensuite passer à l’hypothèse d’induction et supposer que F, quelconque, satisfait la propriété h[F] < lg[F]. Qu’en est il de ¬ F ? Nous avons h[¬ F ] = h[F] + 1. Par ailleurs

lg[[¬ F ] = lg[F] + 1. h[F] < lg[F] ⇒ h[F] + 1 < lg[F] + 1 ⇒ h[¬ F ] <lg[¬ F ]. Donc : H (¬ F) est vraie.

Supposons maintenant que F et G soient deux formules telles que h[F] < lg[F] et h[G] < lg[G].

Nous avons donc sup (h[F], h[G]) < sup (lg[F], lg[G]). Quelque soit le symbole de connecteur binaire α (les connecteurs ∧, ∨, ⇒ , ⇔ sont appelés binaires, car ils relient toujours deux formules, tendis que le connecteur ¬ est dit unaire, car appliqué à une seule formule),

h [(F α G)] = sup (h[F], h[G]) + 1, et lg [(F α G)] = sup (lg[F], lg[G]) +3 (il y a trois signes en plus, le connecteur et deux parenthèses). Sup (h[F], h[G]) < sup (lg[F], lg[G]) ⇒ sup (h[F], h[G]) + 1 < sup (lg[F], lg[G]) + 3 ⇒ h [(F α G)] < lg [(F α G)]. Donc H ( F α G) est vraie.

Cette démonstration par induction est plus concise et rapide que la démonstration classique par récurrence.

Il me faut passer maintenant aux substitutions dans une formule propositionnelle si je veux reprendre le raisonnement de Nagel et Newman dans leur exemple de démonstration de consistance absolue.

Soit F une formule de F et soient A₁…. A_n des variables propositionnelles de P, toutes distinctes.

Notons F [ A₁…. A_n ] une formule qui contient les variables A. Soient G₁ ... G_n des formules. Il est possible alors de remplacer chaque occurrence de A₁ par exemple par G₁, chaque occurrence de A_n par G_n etc.

Ce faisant nous obtiendrons encore une formule, dans lesquelles les variables propositionnelles auront été remplacées par une formule, chaque occurrence de variable propositionnelle étant remplacée simultanément par la même formule G. Il s’agit là d’un théorème qu’il est possible de démontrer par induction.

Pour en revenir à la notion d’infini en acte, Cantor introduisit un concept tout à fait « révolutionnaire », celui d’ordinal. Il affirma qu’après la liste infinie des nombres, 0,1,2,3,...vient le nombre infini (le nombre ordinal) ω . Puis viennent ensuite ω + 1, ω + 2, etc. Puis ω + ω, etc.

Bien sûr Cantor fut aussitôt accusé de charlatanisme. La question fut alors celle-ci : peut-on, a-t-on même le droit d’inventer de tels nombres ? Jusqu’alors tous les concepts mathématiques étaient liés à des questions concrètes, en général la description de phénomènes physiques.

Le nombre ω représentait soudain une quantité infinie en acte, c’est-à-dire un impossible, puisqu’un tel concept ne peut représenter ni un phénomène physique ni un phénomène « visible » pour l'esprit. Cantor pourtant parvint à s’imposer. A imposer des concepts n’ayant aucun rapport avec une quelconque réalité préhensible. Grâce à lui, aujourd’hui, il n’est plus nécessaire que les objets mathématiques soient la représentation d’un phénomène concret. On ne leur demande plus que de respecter une cohérence logique. Avec pour seule exigence cette exigence-là, les mathématiciens sont désormais libres de créer. Pour Cantor les mathématiques c’étaient d’abord des mathématiques libres. Avec lui les mathématiques purent ainsi devenir un art, loin des mathématiques appliquées.

Il est possible de faire une première synthèse. Le calcul propositionnel commence d’abord par une syntaxe : établissement d’un alphabet puis établissement de règles de composition.

Ce calcul repose sur des « briques » élémentaires, appelées variables propositionnelles. Il est nécessaire de se débarrasser du réflexe qui consiste à établir une corrélation entre ces variables et des axiomes géométriques connus. Il ne s’agit plus d’axiomes, en relation avec une expérience, mais de pures variables abstraites, à concevoir dans une abstraction totale.

Près de ces briques élémentaires existe des constantes, appelées connecteurs propositionnels. Enfin cet ensemble est complété par des signes de ponctuation, deux parenthèses.

Nos disposons donc d’un alphabet, à partir duquel nous pouvons composer des mots. Certains de ces mots sont des formules propositionnelles formées à partir des variables propositionnelles, des connecteurs et des parenthèses. Les mots qui ne contiennent pas de variables propositionnelles, de connecteurs ou de parenthèses sont certes constitués à partir de l’alphabet mais ce ne sont pas des formules propositionnelles.

Une fois les règles de composition des formules données une première opération de pure logique est appliquée : la substitution dans une formule propositionnelle, à la place d’une variable propositionnelle donnée (une brique élémentaire) d’une autre formule propositionnelle. Cette substitution est un des fondements de la logique pure mathématique, utilisée sans cesse par les mathématiciens sans même qu’ils s’en rendent compte la plupart du temps. Après substitution la nouvelle « phrase » est toujours une formule propositionnelle. Ce qui peut paraître évident tellement c’est intuitif, mais tout de même c’est assez étonnant comme la logique semble être une composition intellectuelle qui s’impose à l’esprit, à moins que ce soit une règle même de l’esprit. La logique mathématique ne dérive pas d’une volonté humaine mais d’une loi qui se révèle à l’homme, qui s’impose, comme si elle venait « d’ailleurs ».

Maintenant nous allons passer à la sémantique, au « sens » en établissant une application entre les variables et l’ensemble {0,1}, 0 étant appelé : « faux » et 1 étant appelé « vrai ». Mais nous restons encore dans l’abstraction pure, sans tenter de relier le « faux » ou le « vrai » à une donnée de l’expérience.

Plus je m’intéresse à l’histoire plus je me rends compte que les mathématiques rythment cette histoire de leur génie propre.

Récemment c’est en étudiant la relativité restreinte que je me suis rendu compte que sans les mathématiciens Einstein n’aurait pas pu développer la relativité générale.

Mais c’est aussi en étudiant l’origine de la philosophie des Lumières que je me suis aperçu que les mathématiques avaient tenu un rôle déterminant dans leur genèse. 
 

Dans l’enseignement contemporain il y a en définitive un tas de conventions qui traversent aussi bien les lycées que les universités sans que personne ne s’en aperçoive. Nous faisons trop confiance aux sachants. 
 

Les mathématiques ont cela de troublant que, bien que fondées sur la physique, elles s’en détachent en  créant, au delà de la simple observation, des outils mentaux qui semblent venus d’ailleurs.

Il est habituel de penser qu’ un simple système d’axes, en géométrie, est de conception qui va de soi. Mais lorsque nous tentons de comprendre la genèse de ce banal système de représentation de l’espace nous nous apercevons que l’initiateur de ce qui nous apparaît naturel a été animé par un trait de génie étonnant : rien ne va de soi dans l’élaboration de cette simple représentation. C’est tout simplement extraordinaire d’avoir pensé une telle représentation.

Ce pouvoir créateur de l’esprit se manifeste avec éclat dans les mathématiques, les mathématiques créent un monde qui est au-delà de l’expérience.  

Les conceptions du mathématicien participent d’un autre monde que celui de l’expérience. C’est cela qui est fascinant.