Ressort et frottement solide

Bonjour,

Je requiers votre aide pour un exercice mélangeant des notions de dynamique et sur l'énergie. Je remercie par avance quiconque acceptant d'user de son temps pour ses problèmes.

Une  brique,  assimilable  à  un  point  matériel  de  masse m = 1kg,  est  attachée à  l'extrémité  d'un  ressort  idéal  de  raideur k = 100 N.m^-1.  Elle  glisse  sur  la  table  sur  laquelle  elle  repose.  Les  coefficients  de friction statique, μs,  et dynamique, μd,  entre la brique et la table sont,  respectivement, μs = 0,2 et μd = 0,15.  La gravitation est considérée de g = 10 m.s⁻².  La position de la brique à l'équilibre est prise comme référence, x = 0.
1.  Montrer  que  si  on  lâche  la  brique  sans  vitesse  initiale  d'une  position x0,celle-ci ne se met en mouvement que si x0 satisfait une inégalité du type |x0|> x0c où x0c est une distance que l'on précisera en fonction de μs, m, g et k.
2.  On  place  maintenant  la  brique à x0 = 20cm  et  on  la  lâche  sans  vitesse initiale.  En utilisant le théorème de variation de l'énergie totale, montrer que la position x1 sur laquelle la brique s'arrête pour la première fois est donnée par
x1 = (2μdmg)/k − x0
3.  La brique repart-elle de la position x1?  Si oui, calculer sa position d'arrêt x2.

Pour la question 1. voici ce que j'ai trouvé :
Sachant que μs = F/N avec F force de frottement et N force de réaction du sol,
on a F = μs*N
Or ici, la norme de la force de réaction N est égale à celle du poids P (=mg) soit P = N
Donc : F = μs*N <=> F = μs*P
Avec x0c valeur "limite" où l'égalité est toujours vraie.
Donc F = μs*P <=> k*x0c = μs*P
<=> x0c = (μs*P) / k
<=> x0c = (μs*mg) / k

Par contre pour la seconde question, je bloque. Voici ce que j'ai trouvé jusqu'à présent :

Soit F force de frottement : F = μs*mg
Et x0 = x0c = (μs*P) / k
On a : Em(x1) - Em(x0) = F
<=> F = (1/2)mv1² + mgz + (1/2)k(l-l1)² - ( (1/2)mv1² + mgz + (1/2)k(l-l0)² )
<=> F = (1/2)mv1² + mgz + (1/2)k(l-l1)² - (1/2)mv1² - mgz - (1/2)k(l-l0)²
Or, v1 = v0 = 0
Donc : F = mgz + (1/2)k(l-l1)² - mgz - (1/2)k(l-l0)²
<=> F = (1/2)k(l-l1)² - (1/2)k(l-l0)²
<=> F = (1/2)kx1 - (1/2)kx0
<=> F = (1/2)k( x1 - x0 )
<=> 2F = k( x1 - x0 )
<=> 2F/k = x1 - x0
<=> (2μsmg)/k = x1 - x0
<=> (2μsmg)/k + x0 = x1
Et oui, c'était sensé être une soustraction, et non une addition, mais j'ai eu beau retourner l'équation dans tous les sens, c'est le résultat le plus proche de celui attendu que j'ai pu obtenir...

Après quoi je ne sais pas comment obtenir le résultat demandé à l'énoncé.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Bonjour,

Je n'ai pas lu dans le détail, mais rapidement comme ça, je remarque plusieurs choses : la première est que vous utilisez le coefficient de frottement statique dans la question 2, alors que le bloc est en mouvement et qu'il faut donc considérer le coefficient de frottement statique.

Par ailleurs, attention : vous écrivez Em(x1) - Em(x2) = F 

Soit , qu'une énergie est homogène à une force, ce qui est faux. La variation d'énergie est égale à la somme du travail des forces. 

Enfin, quand la brique est en mouvement, les forces qui s'appliquent sur elle n'est pas uniquement le frottement dynamique, mais aussi la force du ressort.

Je partirai donc du théorème de l'énergie totale :

Variation d'énergie = somme du travail des forces.

la table étant, je suppose, plane, la variation d'énergie est nulle car dans les positions x1 et x0 il n'y a pas de vitesse. les forces en présencprésent le poids, la réaction de la table (qui s'annulent, donc pas de travail), le frottement et le ressort.

Le travail de la force, vous devez le connaître dans cette configuration : F.dx avec dx la variation de position (qui est un produit scalaire de vecteur, attention au signe quand la force est opposé au mouvement )

J'espere vous avoir donné des éléments de réponse. Sinon, je pourrais vois aider demain matin si ce n'est pas trop tard.

Pour ce qu'il est de l' étude méthodologique de l' énergique dynamique d' un ressort placé dans un environnement soumis à de solides frottements, s' adresser aux seuls authentiques spécialistes qui ont les mains dans le cambouis ; demander monsieur Roger, 3eme gauche...

D'accord, donc on a le travail de la force de frottement
WF = //F//.//AB//.cos(180) = -F.AB avec AB = x1 - x0 = 1
Soit WF = -F
Ce qui, si l'on reprend le calcul précédant, donne :
-F*(x1 - x0) = (1/2)k(l-l1)² - (1/2)k(l-l0)²
<=> -F = (1/2)kx1 - (1/2)kx0
<=> -F = (1/2)k( x1 - x0 )
<=> -2F = k( x1 - x0 )
<=> -2F = -k( x1 + x0 )
<=> 2F/k = x1 + x0
<=> (2μsmg)/k = x1 + x0
<=> (2μsmg)/k - x0 = x1

Est-ce correct ?

Il y a 23 heures, Aurélien Bouillod a dit :

D'accord, donc on a le travail de la force de frottement
WF = //F//.//AB//.cos(180) = -F.AB avec AB = x1 - x0 = 1
Soit WF = -F
Ce qui, si l'on reprend le calcul précédant, donne :
-F*(x1 - x0) = (1/2)k(l-l1)² - (1/2)k(l-l0)²
<=> -F = (1/2)kx1 - (1/2)kx0
<=> -F = (1/2)k( x1 - x0 )
<=> -2F = k( x1 - x0 )
<=> -2F = -k( x1 + x0 )
<=> 2F/k = x1 + x0
<=> (2μsmg)/k = x1 + x0
<=> (2μsmg)/k - x0 = x1

Est-ce correct ?

Par contre, Pourquoi x1 - x0 =  1 ?

Voici ma proposition :

la somme du travail des forces égale la variation d'énergie mécanique entre un point A et un point B 

dans notre cas, les deux points A et B sont à la même altitude, et dans les deux cas, la vitesse est nulle, donc la variation d'énergie mécanique est nulle. 

Par ailleurs, 2 forces travaillent : le frottement Fmu (Wf) et la force de rappel du ressort Fk (Wk)

Wf + Wk = 0

Le travail d'une force sur un trajet donné, c'est l'intégrale de cette force sur le trajet considéré. Le travail de la force de frottement est donc

Wf =Fmu × dx × cos(180) = -Fmu dx

Car la force de frottement est constante. Le coefficient de frottement est le coefficient dynamique car on est en mouvement.

Le travail de la force de rappel l'integrale entre x0 et x1 de la force de rappel (kx) et est donc

Wk = 1/2 k x1^2 - 1/2 k x0^2  = 1/2 k (x1^2 - x0^2)

Avec dx = x1 - x0

Fmu = mud m g

Donc tu as presque juste 

mud m g (x1 - x0) = 1/2 k (x1^2 - x0^2)

Considérons l'égalité remarquable :

x1^2 - x0^2 = (x1 - x0) (x1 + x0)

on a alors 

mud m g = 1/2k (x1 + x0) 

Cqfd. 

En règle general je ne donne pas les solutions, mais dans votre cas, vous l'aviez, c'est juste que vous vous êtes un petit peu perdu dans votre raisonnement car vous cherchiez une somme x1 + x0, qui en fait decoule de l'égalité remarquable. Du coup vous cherchiez comment "virer" le "x1 - x0" qui vous embêtait. 

Je pense que vous raisonnez correctement mais attention à ne pas aller trop vite. 

Dans ces cas, le mieux est encore de poser le stylo, et de reprendre à 0 un peu plus tard, en détaillant bien chaque étape du calcul et reprenant la définition des différentes notions (travail, énergie, etc...). 

Vous aviez la solution. C'est bien. 

D'accord, merci pour votre correction.

En effet, j'ai reproduis les calculs depuis les vôtres, je trouve bien le résultat attendu : 

WF = F.AB = F.(x1 - x0)
<=> F.(x1 - x0) = (1/2)k(l-l1)² - (1/2)k(l-l0)²
<=> F.(x1 - x0) = (1/2)kx1² - (1/2)kx0²
<=> F.(x1 - x0) = (1/2)k( x1² - x0² )
<=> F.(x1 - x0) = (1/2)k( x1 - x0 ) ( x1 + x0 )
<=> F = (1/2)k( x1 + x0 )
<=> μsmg = (1/2)k( x1 + x0 )
<=> (2μsmg)/k = x1 + x0
<=> x1 = (2μsmg)/k - x0

Merci beaucoup pour votre aide et votre temps !

Avec plaisir. A bientôt