Solutions multiples a l'équation exp(x)-exp(i*x)=x

Bonjour à tous et à rien,

Je cherche à déterminer une solution autre [que] x=0 pour l’équation dans le plan complexe
 

Quand x tend vers 0 je peux faire le développement limité de exponentiel.

exp( x)=1+x/1!+x^2 /2!+x^3/3!++x^4 /4!-x^5 /5!....
et
exp (i*x)=(1+(i*x)/1!+(i*x)^2 /2!+(i*x)^3 /3!+(i*x)^4 /4!-(i*x)^5 /5!....

Donc exp x- exp i*x=1+x/1!+x^2 /2!+x^3/3!+.... -(1-(i*x)/1!+(i*x)^2 /2!+(i*x)^3 /3!+(i*x)^4 /4!-(i*x)^5 /5!....

=(1-i)*x/1!+(1-i)(x^3/3!)+(1-i)*(x^5/5!).....
=(1-i)(x/1!+x^3 /3!+(x^5/5!)....
=x

Donc je peux conclure que la partie imaginaire est nul

Donc x/1!+x^3 /3!+x^5/5!.....=0 et que x/1!+x^3 /3!+(x^5/5!)....=x avec x#0 car x est juste au voisinage de 0 et je peux dire que (1+x^2/3!+x^4/5!+...)=0 donc que x^2/3!+x^4/5!+...=x(x/3!+x^3/5!....)=-1

Donc 1/x=-(x/3!+x^3/5!....) quand x tend vers 0 avec 1/x tend vers l'infini .

Donc je peux dire que -(x/3!+x^3/5!....) =x^n/(n+2)! grâce au développement limité aux voisinage de l'infini.

Donc j'aurais 1/x=-x^n/(n+2)!
Donc x^n+1=-(n+2)!
Donc exp((n+1)log(x))=(n+2)!
Donc (n+1)log(x)=log(-(n+2)!)
Donc log(x)=log(-(n+2)!) /n+1
Donc x=exp(log(-(n+2)!) /n+1)
Doncx=(exp(log(-(n+2)!) )^(n+1)
Donc x=(-(n+2)!)^(n+1)

Donc je peux dire que x=x=(-(n+2)!)^(n+1) est une solution à exp(x)-exp(i*x) )=x quand n tend vers l'infini dans le plan complexe.

Est-ce que mon raisonnement est logique et x=(-(n+2)!)^(n+1) quand n tend vers l'infini est une solution à cette équation exp(x) - exp(i*x) = x dans le plan complexe?

Je pense que x = 0 est une solution de cette équation.

oui et je cherche autres solutions que x=0 dans le plan complexe j'ai trouvé x=(-(n+2)!)^(n+1) avec n tend vers l'infini.

Si x est réel tu n'as qu'une solution, si x est un nombre complexe alors il te faut le decomposer en x=a+b*i

et tu te retrouves avec un systeme de 2 équations:

exp(a)*cos(b)-exp(-b)*cos(a)=-a

exp(a)*sin(b)-exp(-b)*sin(a)=-b

Certainement trés difficile a résoudre, probablement que la ou les solutions sont des valeurs numériques approchées Dan229 en a donné la solution ( unique ? ) il n'existe peut etre pas de solutions exactes.