Dérivé première S

Bonjour,

je bloque sur mes deux exercices de mathématiques, est ce que vous pouvez m’eclairer? 

1/ un objet est lancé verticalement vers le haut À l’instant t=0. Pendant la phase Ascendante la hauteur z(t), en m’être, de cette objet à l’instant t est donnée par l’expression: z(t)=-5t^2+7t+1

a) De quelle hauteur lance-t-on cette objet?

b)Quelle est la hauteur maximale atteinte par cet objet?À quelle instance cette hauteur était l’attente?

c)Calculer le taux d’accroissement de Z Entre 0 et h (pour h un réel non nul). En déduire la vitesse instantanée de l’objet à l’instant t =0.

d)Déterminer la vitesse instantanée de l’objet lorsqu’il atteint sa hauteur maximale.

2/on considère la fonction f défini sur R+  f(x)=x\/(racine)x. Objectif de cet exercice et de déterminer le domaine de dérivabilité de la fonction F et l’expression de sa fonction dérivée f’.

a)En exploitant les formules de dérivation justifier que F est dérivable sur R+*, Puis donner l’expression de sa fonction dérivée f’(x) pour tout réel x>0. La propriété du cours permet-t-elle de voir si F est dérivable en 0?

b)Montrer que le taux d’accroissement de F en 0 est égal pour tout réel h>0 à t(h)= \/h

conclure 

c)D’après le cours si deux fonctions u et v sont dérivable en a alors la fonction du produit uv est également dérivable en a.

Écrire l’énoncé réciproque de cette propriété.

Cette réciproque est-elle vrai? justifier

Aide: attention la réciproque D’un énoncer vrai N’est pas nécessairement vrai. Par exemple l’enonce « Si un quadrilatère est un losange alors sesd iagonales sont perpendiculaires » est vrai mais sa réciproque « Si un quadrilatère à des diagonales perpendiculaires alors c’est un losange » est fausse.

La hauteur en m'être ? Vraiment ? Essaye de convertir cette hauteur en m'avoir...

il y a 40 minutes, Akuma255 a dit :

on considère la fonction f défini sur R+  f(x)=x\/(racine)x. Objectif de cet exercice et de déterminer le domaine de dérivabilité de la fonction F et l’expression de sa fonction dérivée f’. 

Salut,

Je pense que la fonction f est dérivable sur son ensemble de définition, R+.

Pour calculer sa dérivée première, essaye de te rappeler comment on dérive un produit de fonctions u et v :

il y a 43 minutes, Akuma255 a dit :

un objet est lancé verticalement vers le haut À l’instant t=0. Pendant la phase Ascendante la hauteur z(t), en m’être, de cette objet à l’instant t est donnée par l’expression: z(t)=-5t^2+7t+1

Je pense que tu dois calculer la dérivée première de la fonction z afin d'en trouver ses maximums. La courbe z(t) présente un et un seul maximum en un point au vue de son expression. Essaye de calculer la dérivée et regarde les points où z'(x) = 0

Correction du premier problème.

1/ a/ De quelle hauteur lance-t-on l'objet ?

L'équation donnant la hauteur en mètres est la suivante :

z (t) =-5t^2+7t+1

Au moment du lancement, t = 0, donc la hauteur de lancement = 1 mètre (-5 x 0² + 7 x 0 + 1)

b/ Quelle est la hauteur maximale atteint par l'objet.

L’équation du mouvement (hauteur en fonction du temps) est une parabole tournée vers le bas (le coefficient de t² est négatif). Elle atteint donc un maximum. L'ordonnée de ce maximum (qui donne ici la hauteur) est donnée par l'égalité  :

Bêta = - (b² -4ac)/4a = - (49 + 20)/-20 = 3,45 mètres

A quel instant cette hauteur est atteinte ?

Cette valeur vous est donnée par l'abscisse (qui donne ici le temps) du maximum par alpha = - b/2a = 0,7 seconde

Vous êtes en première S donc vous devez apprendre l'équation canonique d'une fonction du second degré :

ax² + bx + c = a (x-alpha)² + bêta avec alpha = -b/2a et bêta = - (b² -4ac)/4a , qui sont les coordonnées du point de la parabole correspondant au maximum atteint. Voir votre cours.

Je continue plus tard.

c/ Calculer le taux d’accroissement de z entre 0 et h.

Taux d’accroissement =  [z(h) - z(0)] / (h-0) = (-5h² + 7h)/h = -5h + 7.

Quand h tend vers 0, le taux d’accroissement tend vers 7. Donc la vitesse instantanée au temps t= 0 est égale à 7m/s.

d/ Déterminer la vitesse instantanée de l’objet lorsqu’il atteint sa hauteur maximale.

Il y a plusieurs manières de calculer cela. Le plus simple est de dire, en vous fondant sur votre intuition en sciences physiques, qu'arrivé au plus haut de sa trajectoire, l'objet a une vitesse nulle, mais vous ne verrez cela qu'en terminales S. Votre prof peut tiquer. Vous pouvez aussi dire que la vitesse est le nombre dérivée de la fonction, et que ce nombre dérivé est égal à la pente de la tangente pour l'abscisse considérée. Ici la tangente à la fonction, en son sommet, est une droite parallèle à l'axe des x, donc sa pente est égale à 0, donc la vitesse instantanée lorsque l'objet atteint sa hauteur maximale est égale à 0. Sinon il faut calculer le taux d’accroissement en prenant x= (0,7 + h) puis x = 0,7 soit taux d’accroissement = [ z(0,7+h)² - z(0,7)/h]. Vous développez, vous simplifiez par h et vous calculez la limite du taux lors h tend vers 0. Cette limite est égale à 0. Donc la vitesse instantanée recherchée est bien égale à 0.

Bientôt vous apprendrez les fonctions dérivées et vous n'aurez plus à faire de genre de calcul.

Pour le deuxième problème, vous avez dû voir en cours que racine de x est dérivable sur R+*. Vos formules de dérivation (dérivation d'un produit) doivent vous permettre de calculer la dérivée de f. Vous trouverez f'(x) = 3 racine de x/2. En calculant le taux d'accroissement de la fonction f de la même manière que montrée dans le premier problème, pour x = 0, (prendre x = h, puis x = 0) vous trouverez que le taux d'accroissement, lorsque h tend vers 0, tend vers 0. Il existe donc bien une dérivée finie pour x = 0, ce que les formules du cours ne permettent pas de voir.

Enoncé de la réciproque : si un produit de deux fonctions uv est dérivable en a alors les deux fonctions u et v sont dérivables en a. Il suffit de trouver un seul contre exemple pour montrer que cette réciproque est fausse. Concentrez-vous sur la première question de ce problème et vous devriez réussir à trouver ce contre exemple.

Bonne soirée.

Il y a 12 heures, philkeun a dit :

La hauteur en m'être ? Vraiment ? Essaye de convertir cette hauteur en m'avoir...

Désoler c’est la dictée vocale...

Il y a 12 heures, Niou a dit :

Salut,

Je pense que la fonction f est dérivable sur son ensemble de définition, R+.

Pour calculer sa dérivée première, essaye de te rappeler comment on dérive un produit de fonctions u et v :

  Révéler le contenu masqué

(uv)' = u'v + uv'

 

Je pense que tu dois calculer la dérivée première de la fonction z afin d'en trouver ses maximums. La courbe z(t) présente un et un seul maximum en un point au vue de son expression. Essaye de calculer la dérivée et regarde les points où z'(x) = 0

Pour cette exercice, j’avais commencer à directement chercher le maximum directement de la fonction du second degré, avec -b/2a, ce qui me donne 0,7. Ce qui veut dire qu’en 0,7 sec il fait z(0,7) mètre, ce qui fait quelques chose comme 3,5 je crois. 

Est ce que c’est ça ? 

Il y a 11 heures, sagaidatch a dit :

Pour le deuxième problème, vous avez dû voir en cours que racine de x est dérivable sur R+*. Vos formules de dérivation (dérivation d'un produit) doivent vous permettre de calculer la dérivée de f. Vous trouverez f'(x) = 3 racine de x/2. En calculant le taux d'accroissement de la fonction f de la même manière que montrée dans le premier problème, pour x = 0, (prendre x = h, puis x = 0) vous trouverez que le taux d'accroissement, lorsque h tend vers 0, tend vers 0. Il existe donc bien une dérivée finie pour x = 0, ce que les formules du cours ne permettent pas de voir.

Enoncé de la réciproque : si un produit de deux fonctions uv est dérivable en a alors les deux fonctions u et v sont dérivables en a. Il suffit de trouver un seul contre exemple pour montrer que cette réciproque est fausse. Concentrez-vous sur la première question de ce problème et vous devriez réussir à trouver ce contre exemple.

Bonne soirée.

Merci beaucoup pour vos réponses