Comparaison des nombres réels

Il y a 6 heures, Hérisson_ a dit :

Un infiniment petit est égale à zéro, d'où le "ça n'existe pas" je suppose,

Un infiniment petit n'est pas égal à zéro, mais sa valeur absolue inférieure à tout seuil positif.

dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand

Non, cela peut donner n'importe quoi.

Posons A = n^2 , B = n^3, C = n^4 et Y = 1/n^3 ;

Quand n tend vers l'infini, A, B, C tendent aussi vers l'infini tandis que Y tend vers zéro.

Cependant les produits

# AY = 1/n tend vers zéro ,

# BY = 1 reste égal à l'unité,

# CY = n tend vers l'infini.

Il faut être prudent dans ce domaine.

 

 

 

 

Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans le langage vernaculaire signifie « extrêmement faible ».

https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit#Infiniment_grands

il y a 4 minutes, Boutetractyxreqs a dit :

 

Dans le langage courant, un objet infiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans le langage vernaculaire signifie « extrêmement faible ».

https://fr.wikipedia.org/wiki/Infiniment_petit#Infiniment_grands

 

 

Extrêmement faible, mais pas nul.

Et c'est bien pourquoi il faut être prudent, et se garder de prévisions hasardeuses du type de celles que tu as faite:

dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand

Les 3 exemples donnés illustrent le raccourci de langage: "Infini * Zéro". Or, quand (n) tend vers l'infini, on observe très simplement que:

a) Lim(AY) = 0 ;

b)Lim(BY) = 1 ;

c) Lim(CY) > tout réel positif.

ce qui donnerait en raccourci de langage:

"Infini*Zéro = 0" // "Infini*Zéro = 1" // "Infini*Zéro = Infini" .

L'intuition d'un résultat à priori est erronnée, parce que l'infini n'est pas un nombre.

il y a 29 minutes, Hérisson_ a dit :

Extrêmement faible, mais pas nul.

Et c'est bien pourquoi il faut être prudent, et se garder de prévisions hasardeuses du type de celles que tu as faite:

dans le cas d'une infinité d'infiniment petits ça donne l'infiniment grand

Les 3 exemples donnés illustrent le raccourci de langage: "Infini * Zéro". Or, quand (n) tend vers l'infini, on observe très simplement que:

a) Lim(AY) = 0 ;

b)Lim(BY) = 1 ;

c) Lim(CY) > tout réel positif.

ce qui donnerait en raccourci de langage:

"Infini*Zéro = 0" // "Infini*Zéro = 1" // "Infini*Zéro = Infini" .

L'intuition d'un résultat à priori est erronnée, parce que l'infini n'est pas un nombre.

 

 

 

Je part juste du postulat que l'infiniment petit tend vers zéro et que l'infinité d'infiniment petits étant l'infiniment grand tend vers l'infini et non zéro. Puisque ce n'est pas zéro ou un infiniment petit mais une infinité d'infiniment petits.

Si l'infini peut être le plus grand des nombres alors c'est que cela peut être un nombre. Mais après qui sait ? 

On dit bien un nombre infini de choses pour sous entendre qu'il y a une infinité de choses.

Il y a 16 heures, InstantEternité a dit :

D'accord, donc tout est une question de base choisie. Alors je me pose la question quelle est la base la plus "naturelle" pour l'humain... J'ai tendance à penser que c'est bizarrement la base 2 : "0 ou 1" = "être ou ne pas être"... puisque apparemment avec l'informatique (base 2) on refait le monde (virtuel bien sûr) pourquoi ne pas faire des maths en base 2 ?!

Il ne faut pas confondre les problèmes relatifs à la nature des nombres, à leur densité et leur dénombrement, avec celui de leur représentation, qui est un habillage extérieur.

La numération binaire, basée sur la plus petite base entière possible (2), est la plus simple de toutes, et la mieux adaptée au fonctionnement de l'informatique; elle est en pratique inutilisable dans l'usage quotidien, parce qu'illisible:

[$2]11111111111111111111111111111111 = 4 294 967 295 (en base 10) ...

Le système hexadécimal, qui conduit à une notation plus concise,

[$16]11111111 = 4 294 967 295 (en base 10) ...

peut intervenir en programmation (pour la définition des couleurs, par exemple).

La numération décimale reçue des Arabes vient de ce que nous sommes munis de 10 doigts (pas de souci de piles pour la calculatrice constituée des deux mains).

Le système sexagésimal est lié à la division naturelle du cercle, et à l'observation poussée du ciel que l'on pratiquait à Sumer et Babylone.

Les Celtes comptaient en base 20, ce dont témoignent plusieurs traces subsistant dans le langage:

- 80 s'énonce "quatre-vingts" au lieu de huitante (ou octante) comme le voudrait la logique de l'étymologie;

- l'hôpital des Quinze-Vingts, sis dans le 12me arrondissement de Paris, a été construit par Louis IX pour accueillir 15*20 = 300 chevaliers blessés revenant de Terre Sainte.

On a proposé sous la Révolution, dans la fièvre des utopies,  d'autres bases de numération comme 12, sous le prétexte que le nombre de diviseurs était plus élevé (2, 3, 4, 6); le système décimal a heureusement prévalu, et a été définitivement établi dans la définition des unités, à cette période.

il y a 42 minutes, Boutetractyxreqs a dit :

...  l'infinité d'infiniment petits étant l'infiniment grand tend vers l'infini et non zéro. Puisque ce n'est pas zéro ou un infiniment petit mais une infinité d'infiniment petits.

C'est faux. T'es-tu donné la peine de comprendre les 3 exemples donnés, qui correspondent précisément à ce dont tu parles ?

Citation

Si l'infini peut être le plus grand des nombres

L'infini n'est pas un nombre, et ne peut être incorporé à une table d'opérations.

Et la notion de "plus grand des nombres" est en soi une absurdité: dès qu'on suppose qu'une telle grandeur existe (W), on la trouve immédiatement supplantée par (W + 1).

Citation

 ... On dit bien un nombre infini de choses pour sous entendre qu'il y a une infinité de choses.

De quelles choses ? S'il s'agit de notions abstraites, il s'agit d'un infini potentiel (l'ensemble des entiers); s'il s'agit d'objets physiques (d'atomes , de T-shirts, de BMW) c'est un infini en acte qui n'existe pas. Ne pas prendre à lettre les tours de langage !

Il y a 9 heures, InstantEternité a dit :

 ... Si   a < r < b  et que "r" représente une infinité de valeurs réelles donc quelque part on est entrain de mettre des bornes inférieure et supérieure à un espace infini (notre "r")... est-ce qu'il n'y a pas là une contradiction ?

 

Pas du tout: (r) n'est pas un "espace", mais un nombre représentable par un point sur une droite.

Et si l'on s'avise d'inclure un nombre croissant (N) de nombres réels dans le domaine fini ]a ; b[, on observera un écart moyen de plus en plus faible entre deux termes consécutifs: la distribution obtenue sera de plus en plus dense, rien de plus.

On peut trouver bien plus déconcertant:

# Il y a autant de réels dans le semi-ouvert [a ; b[ que dans celui des réels positifs ou nuls ( [0 ; +Infini[ ) - autrement dit: autant de points sur un segment que sur une demi-droite.

# Il y a autant de points sur la demi-droite définie par (x >= 0) que sur la surface correspondant au premier quadrant du repère (xOy) orientant le plan, définie par:

(x >= 0) et (y >= 0) .

# Il y a autant de points sur la demi-droite définie par (x >= 0) que sur le domaine tridimensionnel correspondant au premier secteur du repère (Oxyz) orientant l'espace, défini par:

(x >= 0) et (y >= 0) et (z >= 0) .

Sinon sur cette histoire de représentation dans les différentes bases, le fait de passer d'une représentation avec un nombre fini ou infini de décimales en changeant de base implique qu'on ait affaire à des rationnels. Avec des irrationnels (comme pi, e, etc..) ça ne marche pas, vous aurez beau changer la base de numération, vous n'obtiendrez pas un nombre fini de décimales

il y a une heure, Hérisson_ a dit :

C'est faux. T'es-tu donné la peine de comprendre les 3 exemples donnés, qui correspondent précisément à ce dont tu parles ?

L'infini n'est pas un nombre, et ne peut être incorporé à une table d'opérations.

Et la notion de "plus grand des nombres" est en soi une absurdité: dès qu'on suppose qu'une telle grandeur existe (W), on la trouve immédiatement supplantée par (W + 1).

De quelles choses ? S'il s'agit de notions abstraites, il s'agit d'un infini potentiel (l'ensemble des entiers); s'il s'agit d'objets physiques (d'atomes , de T-shirts, de BMW) c'est un infini en acte qui n'existe pas. Ne pas prendre à lettre les tours de langage !

 

 

La seule chose que je comprends c'est que ce qui tend vers l'infiniment petit tend vers zéro et que ce qui tend vers l'infiniment grand tend vers l'infini.

La seule peine que je me donne c'est d'expliquer que l'infiniment petit tendant vers zéro donne l'impression qu'il n'existe pas donc l'infiniment grand n'existe pas alors que non puisque l'infiniment grand tend vers l'infini.

Après si croire que, parce que l'infiniment petit n'existe pas alors l'infiniment grand non plus, reste abstrait, je peux y répondre de manière abstraite, je ne suis pas dans le concours d'un prix Nobel d'une science qui te paraîtrait un élément de réponse plus concret.

A part si l'infini en acte n'existe pas et reste de l'abstrait scientifique qu'on pourrait tout aussi appeler de l'art et non de la science.

il y a 33 minutes, Boutetractyxreqs a dit :

La seule chose que je comprends c'est que ce qui tend vers l'infiniment petit tend vers zéro et que ce qui tend vers l'infiniment grand tend vers l'infini.

La seule peine que je me donne c'est d'expliquer que l'infiniment petit tendant vers zéro donne l'impression qu'il n'existe pas donc l'infiniment grand n'existe pas alors que non puisque l'infiniment grand tend vers l'infini ...

L'ennui, c'est que tu ne comprends pas que le produit d'une grandeur qui tend vers zéro par une autre qui tend vers l'infini présente une limite indéterminée, et qu'il n'y a pas de résultat général.

Une grandeur ne cesse pas d'exister par le seul fait qu'elle soit nulle ou tende vers zéro: tu confonds son existence avec le fait qu'elle devienne éventuellement négligeable par rapport à une autre.

Et une grandeur n'existe pas forcément par le seul fait qu'elle tende vers l'infini; sa définition ne doit pas de contradiction interne: voir l'absurdité que tu as sortie auparavant

Citation

Si l'infini peut être le plus grand des nombres alors c'est que cela peut être un nombre.

Tu n'as de plus aucune idée du maniement des ordres de grandeur: les 3 exemples fournis en constituaient pourtant un bon exemple.

Et tout le reste est à l'avenant. Tu ferais bien d'être attentif au sens exact des termes employés, et des réponses qui te sont données, car tu t'égares facilement dans des considérations fantaisistes, auxquelles il est impossible de répondre.

Il y a 20 heures, InstantEternité a dit :

Comment peut-on par exemple considérer que "4.7" est supérieur à "3.3" alors qu'entre ces deux nombres, sur l'ensemble des nombres réels ils en existe une infinité de nombre réels qui chacun d'entre eux est aussi infini.

 

En gros, comment peut-on comparer deux nombres réels alors qu'entre les deux il existe une infinité de nombre infini : ne serions nous pas plutôt dans un cas indéterminé ?!

Je pense qu'on peut se retrouver dans un cas bien déterminé si l'on définit cette notion d'ordre (supériorité) dans R. Par exemple, prenons deux nombres réels a et b. Définissons que si a - b appartient à R+, alors a ≥ b.

il y a 35 minutes, Hérisson_ a dit :

L'ennui, c'est que tu ne comprends pas que le produit d'une grandeur qui tend vers zéro par une autre qui tend vers l'infini présente une limite indéterminée, et qu'il n'y a pas de résultat général.

Une grandeur ne cesse pas d'exister par le seul fait qu'elle soit nulle ou tende vers zéro: tu confonds son existence avec le fait qu'elle devienne éventuellement négligeable par rapport à une autre.

Et une grandeur n'existe pas forcément par le seul fait qu'elle tende vers l'infini; sa définition ne doit pas de contradiction interne: voir l'absurdité que tu as sortie auparavant

Tu n'as de plus aucune idée du maniement des ordres de grandeur: les 3 exemples fournis en constituaient pourtant un bon exemple.

Et tout le reste est à l'avenant. Tu ferais bien d'être attentif au sens exact des termes employés, et des réponses qui te sont données, car tu t'égares facilement dans des considérations fantaisistes, auxquelles il est impossible de répondre.

 

J'ai fais attention aux termes employés quant à l'infini dit abstrait en science qui n'en est pas une. Voilà l'absurdité.

Le 30/01/2019 à 17:07, bondgers a dit :

Ou alors si tu passes juste en base 3, la valeur .3333... se transforme en 1

Je me suis gouré, si on passe en base 3, la valeur 0.3333... se transforme en 0.1, car 0.3333.. c'est 1/3, et en base 3 1/3 c'est 0.1 car  0.1+0.1+0.1=1 (à confirmer s'il y a des matheux ), mais c'était juste pour dire qu'en changeant de base un nombre ayant une infinité de décimale peut avoir une partie décimale finie