Petit casse-tête avec le nombre 2

bon, on termine le raisonnement (attention la récurrence ce n'est pas montrer d'entrée que c'est vrai pour  n+ 1 radicaux hein ! trop  nul ça, si vous remplacez d'entrée 1/2^n par 1/2 ^(n+1) on démontre rien.

bon on suppose qu'on a :

n = - log log 2 puissance 1/2^n (je simplifie l'écriture un max sinon je ne m'en sors pas. Je ne mets pas les parenthèses, je vous laisse faire, et je répète qu'il s'agit de log de base 2)

je peux écrire (on ne change pas une équation en ajoutant le même nombre des deux côtés d'une équation, postulat de base de l'arithmétique)

n + 1 = - (log log 2 puissance 1/2^n) + 1 = - (log log 2 puissance 1/2^n) + log 2 = - [(log log 2 puissance 1/2^n) - log 2]

= - [log ((log 2 puissance 1/2^n))/2)] = - [log (1/2 log 2 puissance 1/2^n)] = - log log 2 puissance 1/2^(n+1)

donc  n + 1 = - log log 2 puissance 1/2^(n+1)

CQFD.

Donc la proposition est vraie pour tout n !!!

J'adore ce genre de raisonnement, dormez bien chers lecteurs.

il y a une heure, aliochaverkiev a dit :

J'adore ce genre de raisonnement, dormez bien chers lecteurs.

On dit aussi, mais pas dans l' aristocratie, que nul n'est jamais si bien branlé quand ce n'est pas par lui-même.

Il y a 3 heures, azad2B a dit :

[ formules égarées, mais ça ne fait rien ]

J'ai retrouvé l'expression générale.

S'il intervient (N) radicaux, l'argument du logarithme devient:

2^((1/2)*(1/2)*(1/2)* ... *(1/2)) = 2^(1/2^N))

puisque chaque radical correspond à une élévation à la puissance (1/2).

La dernière expression devient: U = -Log_2(Log_2(2^(1/2^N)))

dans laquelle Log_2(.) représente le logarithme à base (2) (logarithme "binaire");

on obtient: U = (-1/Ln2)*ln((1/Ln2)*(Ln(2^(1/2^N))))

= (-1/Ln2)*(-LnLn2 + Ln(Ln2*(1/2^N))) = (1/Ln2)*(-LnLn2 + LnLn2 + Ln(1/2^N))

=  (-1/Ln2)*(-NLn2) = +N

Citation

Il avait écrit cela car l' éditeur de Forum. fr ne permet pas l'utilisation d' indices supérieurs ou inférieurs.

Très bonne remarque, justement. J'avais cru comprendre que l'on pouvait avoir accès à un traitement de texte plus complet, avec indices et exposants. Est-ce que c'est possible ?

A ma connaissance l' accès à LaTeX permettant une édition de qualité scientifique n'est pas disponible dans l' éditeur du Forum

Pour ma part j'utilise le traitement de texte "TextEdit" fourni dans MacOS (l'équivalent du Calepin de Windows) qui permet ce genre de fantaisies.

Sinon je crée un noteBook avec Mathematica, je lui demande de me faire les sorties sous la forme "traditionnelle" j'en fait une copie d' écran que je passe à mon texte sur le Forum en pièce jointe. Le résultat est superbe, surtout quand on a des équations aux dérivées partielles. On se prendrait pour Maxwell.

Et pour ton expression générale, elle fonctionne très bien, et les essais que j'ai fait sont concluants. Pour preuve :

Merci pour l'info !