Mathématiques

Il y a 10 heures, konvicted a dit :

@hybridex Je ne vois pas comment tu te permets d'affirmer :

Alors que ton exemple ne fait que confirmer mon résultat : pour une base exagérément large et une hauteur par conséquent exagérément petite, tu as bien une surface bien plus grande que pour mes deux exemples de cylindres. 

 

Aïe, aïe, tu as raison, je t'ai mal lu hier, mon exemple n'est pas le bon.

Que penses tu de celui-ci:

V = (pi * (4/100)²) * 10000 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 4/100 cm et h1 = 10000 cm on a toujours V = 16pi

S =2pi*4/100*(4/100 + 10000) soit S = 800,0016 cm²

Pour un volume donné, il existe un rapport S/V minimal, pour une certaine hauteur et un certain rayon, dont le calcul doit être à la portée d'un élève de première scientifique,ensuite si la hauteur augmente ou diminue, l'aire augmente.

Oui dans un cas dans certaines configurations ( une certaine proportionnalité de la base et de la hauteur du cylindre ), et non dans tous les autres, démonstration :

V1, volume du cylindre 1 ( rayon r1, hauteur h1) = pi*r1^2 *h1

V2, volume du cylindre 2 ( rayon r2, hauteur h2) = pi*r2^2 *h2

On pose h2=k*h1 ( k>1), les volumes étant égaux on a: r2^2 =r1^2/k soit r2=r1/racine(k)

S1, surface du cylindre 1 = 2*pi*r1*( h1+r1)

S2, surface du cylindre 2 = 2*pi*r2*( h2+r2)

On remplace dans S2 h2 et r2 en fonction de h1 et r1:

S2= 2*pi*r1*( racine(k)*h1 +r1/k)

Pour que les surfaces soient égales il faut donc que h1+r1= racine(k)*h1+r1/k

Soit au final:  h1/r1 =( 1+racine(k) ) /k

Il y a 7 heures, hybridex a dit :

Aïe, aïe, tu as raison, je t'ai mal lu hier, mon exemple n'est pas le bon.

Que penses tu de celui-ci:

V = (pi * (4/100)²) * 10000 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 4/100 cm et h1 = 10000 cm on a toujours V = 16pi

S =2pi*4/100*(4/100 + 10000) soit S = 800,0016 cm²

Pour un volume donné, il existe un rapport S/V minimal, pour une certaine hauteur et un certain rayon, dont le calcul doit être à la portée d'un élève de première scientifique,ensuite si la hauteur augmente ou diminue, l'aire augmente.

Oui, tu as raison. D'ailleurs, je suis tombé dessus par hasard avec mon deuxième cylindre : c'est quand h = 2r.

Il y a 19 heures, konvicted a dit :

La question est loin d'être idiote. La réponse est non : pour un même volume, la surface d'un cylindre est d'autant plus grande que sa base est large et d'autant plus petite que sa hauteur est grande. 

Cela nous arrange bien car le cas contraire aurait été bien plus délicat à démontrer. Pour démontrer que deux cylindres de même volume n'ont pas nécessairement la même surface, il suffit de trouver un exemple de deux cylindres de même volume et de surfaces différentes. 

Avant tout, il faut savoir calculer le volume et la surface d'un cylindre.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h, c'est la base (l'aire du disque de rayon r soit pi*r²), multipliée par la hauteur h. D'où : V = pi * r² * h.
La surface de ce même cylindre, c'est deux fois la base plus la surface latérale du cylindre qui n'est rien d'autre que la surface d'un rectangle dont les côtés sont la hauteur du cylindre et le périmètre de la base. D'où : S = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h, soit encore S = 2 * pi * r * (r + h).

Prenons par un exemple un volume V = 16*pi cm^3. Je peux notamment écrire ce volume des deux façons suivantes :

• V = (pi * 4²) * 1 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 4 cm et h1 = 1 cm;
• V = (pi * 2²) * 4 soit V = pi * r2² * h2 avec r2 = 2 cm et h1 = 4 cm.

Dans le premier cas, on a : S = 2 * pi * 4 * (4 +1) = 40 * pi cm². 
Dans le second cas, on a : S = 2 * pi * 2 * (2 + 4) = 24 * pi cm ².

Avec cet exemple, on a montré que pour un même volume de 16 * pi cm^3, on a deux surfaces différentes. La surface est d'ailleurs plus petite pour le cylindre dont le rayon est plus petit.

P.S. : Tu peux vérifier ce résultat expérimentalement assez facilement. Prends deux verres (à peu près) cylindriques de même contenance mais dont l'un est nettement plus large que l'autre. Enrobe le verre le plus fin dans du papier et essaie d'enrober le verre le plus large avec le même papier : tu verras que c'est impossible de le couvrir entièrement.

On a S = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h. Or, h = V / (pi * r²). Donc S = 2 * pi * r² + 2 * V / r. On considère ici V comme une constante, on dérive S comme une fonction de r, on trouve S'(r) = 0 si et seulement si h = 2r. Autrement dit, la surface du cylindre est minimale quand son diamètre est égal à sa hauteur.

Maintenant que j'y pense, j'avais déjà vu ce résultat quelque part.

Il y a 22 heures, Mazarine a dit :

autrement dit, a volumes égaux, 2 cylindres ont-ils forcément la même aire?

Pour un cylindre de rayon r1 et de hauteur h1, il existe un seul cylindre ayant un rayon r2 et une hauteur h2 tel que les 2 cylindres aient le meme volume et la meme aire ( les 2 cotes transversaux + le coté latéral ):

si h1=K*r1  alors on a: k=(2*K+1+racine(4*K+1) )/(2*K^2 )

et h2=k*h1 ; r2=r1/racine(k)