Interprétation des théorèmes de Gödel et Nature des mathématiques

Bonjour.

Un sujet-débat dont j'aspire à la bienveillance des échanges car c'est un sujet aussi intéressant que "cleavant"

http://www.larecherche.fr/idees/entretien/alain-connes-realite-mathematique-archaique-01-06-2000-78066

1- Est ce que le théorème de Gödel se comprend bien pour vous comme l'existence d'énoncés indécidables dans toute théorie récursivement axiomatisable consistante intégrant l'arithmétique de Robinson ?

-> J'ai constaté à ce niveau parfois des différences d'appropriation du premier théorème d'incomplétude (quand on le considère comme je l'ai rédigé ici pour une théorie déjà considérée consistante)

2- Est ce qu'à la manière d'Alain Connes, vous entendez que, parmi ces énoncés indécidables, certains sont vrais bien qu'on ne puisse les démontrer et qu'on ne pourra d'ailleurs jamais les démontrer au sein même de la théorie ?

Et de ce fait, dissocier assertion vraie d' assertion démontrée, une assertion démontrée étant forcément vraie alors qu'une assertion vraie ne sera pas forcément encore démontrée et parfois sera à tout jamais non démontrable au sein de la théorie

Donc prouvé implique vrai mais vrai n'implique pas prouvé

C'est, par exemple, le cas du théorème de Goodstein qui n'est pas démontrable dans l'arithmétique de Peano mais qui est démontrable dans ZF et qui est cependant bel et bien exprimé dans la théorie de Peano et vérifiable quels que soient les N testés dans Peano

3- Est ce qu'à la manière de Lichnerowicz vous réfutez l'idée qu'un énoncé puisse être vrai dans le langage d'une théorie sans pouvoir être prouvé par ladite théorie ?

Donc, Vrai = prouvé et prouvé = vrai (Lichnerowicz...)

4- Quel est selon vous, à titre d'opinion personnelle, votre vision concernant la nature de la 'réalité mathématique' ?

Un langage dans lequel s'exprime les lois de la nature et de la physique (Galilée, Einstein...) ? Une transposition humaine des règles de la nature qui s'exprimerait dans notre propre langage (Heisenberg...)? Une réalité archaïque transcendante au sens des platoniciens (Connes...) ?

Comment percevez vous le second théorème d'incomplétude dans cette thématique ?

5- Autres thèmes tous ouverts à partir de l'article...

Salut Zenalpha. Sujet très intéressant. Merci pour ce sujet captivant. Pour mon compte, toute théorie est fondée dans les limites de ses paradigme et axiomes, tant qu'elle n'est pas infirmée.

Le théorème de Godel ne rejette pas la démarche scientifique, mais en souligne les limites. Une théorie est scientifique si elle peut se vérifier. Elle serait anti-scientifique si on la prenait pour intrinsèquement vraie.

Conclusion, une théorie ne peut être tenue pour une vérité absolue. Et ne peut être soutenue comme vraie que tant qu'elle se vérifie et ce, dans le cadre très précis de son paradigme. Il peut ainsi, en théorie exister une infinité de théories concurrentes, incompatibles, voire mutuellement exclusives mais toutes vérifiées dans le cadre de leurs paradigmes respectifs.

Le génie de Godel est d'avoir démontré les limites absolues des théories récursivement axiomatisables. Ce qui signifie en clair qu'elles ne sont vraies que dans leurs propres limites. Amitié.

Coucou Freiser

C'est clair que les theoremes d'incomplétude marquent aussi pour moi les limites de l'atteinte d'assertions vraies par des démarches déductives

Et par le second theoreme la necessité d'une demonstration exterieure pour demontrer sa cohérence

La complexité genere un ordre au sein d'une theorie qui lui echappe

Une porte au principe émergent, au recoupement, aux limites, à une certaine transcendance aussi

Dans une tentative de simplification au maximum :

Il me semble que les théorémes d'incompletude de Godel expriment l'idée qu'au sein d'un systeme fermé et bien délimité ( axiomatique ) tout n'est pas démontrable, car le dit systeme est necessairement incomplet.

Et donc qu'il y aura toujours des propositions necessitant un systeme plus grand pour etre démontrée.

C'est notamment un argument qui démontre qu'il n'est pas possible de prouver l'existence ou l'absence d'un Dieu transcendant ou immanent.

Coucou Freiser

C'est clair que les theoremes d'incomplétude marquent aussi pour moi les limites de l'atteinte d'assertions vraies par des démarches déductives

Et par le second theoreme la necessité d'une demonstration exterieure pour demontrer sa cohérence

La complexité genere un ordre au sein d'une theorie qui lui echappe

Une porte au principe émergent, au recoupement, aux limites, à une certaine transcendance aussi

Le côté philosophique du théorême de Gödel est beaucoup plus conséquent que le côté purement démonstratif ou scientifique, puisque nous réalisons les limites inviolables des sciences dures fondées sur la récursivité mathématique typique de la physique-chimie.

En effet, nous redécouvrons la philosophie des sciences dans toute sa modestie et sa splendeur. Pour autant, faut-il confiner la physique comme un outil fondamental des progrès technologiques et lui ôter le statut d'érecteur de vérités ? Pour en faire un moyen pragmatique sans portée abstraite ? Amitié.