Existe-t-il des théories arithmétiques tel que...

Tu n'as pas besoin de démonstration, c'est une tautologie

L'ensemble N contient tous les entiers naturel de 0 à 100 en passant par 12 524 jusqu'à l'infini

Par définition, l'ensemble N sur lequel on va énoncer des propositions du rang 0 au rang infini possède un plus petit entier naturel qui est 0 car l'ensemble N des entiers naturels sur lesquels on appuie la démonstration par récurrence commence par 0

Une démonstration par récurrence est sur cet ensemble N et sur lui seul

Démontrer la récurrence ne s'entend que sur cet ensemble N et sur lui seul

Par conséquent, par définition, il existe un plus petit entier dans N qui est 0

A partir du moment ou tu dis que la récurrence serait vérifiée parfois et parfois pas, cela signifie qu'il existe un ensemble des "parfois pas" qui est inclu dans N

N commençant à zéro, le plus petit entier des "parfois pas" qui ne répondrait pas à la récurrence est forcément >= 0

A ce niveau, on a besoin d'aucune démonstration.

C'est comme dire "si j'ai 101 bonbons numérotés de 0 à 100 dont 25 sont rouges, on a pas besoin d'une démonstration pour dire qu'il y a un bonbon rouge qui sera le plus petit numéro dans le groupe des bonbons rouges".

Si on en a besoin, c'est qu'on a pas bien compris le concept d'entier naturel sur lequel on va dénombrer, compter, etc...

Donc qu'il faut s'y atteler.

PS - Noter que j'associe le zéro à un bonbon rouge car je fais l'équivalence bonbon rouge = nombre

Alors qu'en 'réalité' si j'ai un sac de billes je démarre la numérotation à 1

0 voulant dire qu'il n'y a rien dont ne correspondant à aucun bonbon à la différence de ses copains tous les autres nombres.

Et c'est ce point que j'évoque comme étant un "paradoxe" dans les entiers naturels.

L'invention du zéro considéré comme un chiffre comme les autres n'est pas si intuitive que ça

Mais c'est un autre débat...

Il suffit de démontrer le résultat sur les ensembles finis.

L'axiome du choix faisant le reste.

Donc a besoin de 2 résultats, pourquoi est-ce évident sur les ensembles finis ?

D'un ensemble non vide, on peut en choisir un élément, c'est la définition d'un ensemble non vide (ok ici c'est tautologique, l'axiome du choix faisant le reste dans le cas d'un seul ensemble).

Donc il ne manque plus qu'à prouver que l'existence d'un plus petit élément sur un ensemble fini, non vide de N est tautologique.

j'ai rien compris.

Pose tes axiomes, tes principes logique, la propoposition que tu souhaites démontrer et tes enchainements déductifs et sur cette base, je pourrais commenter.

Comment démontres-tu qu'un ensemble fini, non vide, de N possède un plus petit éléments ?

PS: si c'est une tautologie, expliques en quoi cela en est une.

Merci.

N c'est l'ensemble des entiers naturels...

Tu as bien compris ce point ?

Visiblement non, puis que je ne vois pas en quoi, ce que j'ai écris (les ensembles non vide, fini de N possède un plus petit élément) est une tautologie.

Donnes ton explication, sur le fait que cela est une tautologie et je t'interrogerais sur les point que je ne comprend pas.

Mais enfin contrexemple... si ton ensemble est FINI ça signifie qu'il a un début et une fin...

il est FINI

Et cet ensemble appartient à N qui est infini mais qui a un DEBUT avec 0 de telle sorte que 0<1<2<3<....<15264<...

Ce qui signifie que le début de ton ensemble FINI démarre forcément à 0 ou au dessus de 0

Donc quand je dis "démarrer", ça veut dire qu'il y a un premier entier naturel dans ton ensemble ce qui signifie que cet entier naturel sera inférieur à tous les autres de ton ensemble donc qu'il le démarre en allant du nombre le plus petit au nombre le plus grand.

C'est tautologique ça...

Relis l'exemple des bonbons en cas

Mais enfin contrexemple... si ton ensemble est FINI ça signifie qu'il a un début et une fin...

il est FINI

Et cet ensemble appartient à N qui est infini mais qui a un DEBUT avec 0 de telle sorte que 0<1<2<3<....<15264<...

Ce qui signifie que le début de ton ensemble FINI démarre forcément à 0 ou au dessus de 0

Donc quand je dis "démarrer", ça veut dire qu'il y a un premier entier naturel dans ton ensemble ce qui signifie que cet entier naturel sera inférieur à tous les autres de ton ensemble donc qu'il le démarre en allant du nombre le plus petit au nombre le plus grand.

C'est tautologique ça...

Relis l'exemple des bonbons en cas

Ok, tu entrain de dire qu'il y a un plus petit élément car l'ordre est totale sur N.

Et comment démontres tu que l'ordre est totale sur N ?

PS : tu aurais put user des mêmes arguments pour la récurrence, mais tu en donnais une démonstration mathématiques, et je préfèrerais ainsi (avec une preuve math).

Et comment démontres tu que l'ordre est totale sur N ?

Pour la simple et bonne raison qu'on parle de l'ensemble N des entiers naturels et non d'un ensemble autre que N qui existerait dans ton imagination ou celle de quelqun d'autre.

Si tu souhaites travailler sur un autre ensemble que N, définis le et il est évident que le principe de récurrence ne pourra pas être appliqué.

D'où l'importance de définir les objets mathématiques sur lesquels on travaille.

C'est l'axiomatique de Peano qui caractérise cet ensemble.

Et il est évident que si tu sors de cette axiomatique, tu ne peux employer le raisonnement par récurrence parce que le principe des mathématiques est de définir précisément les ensembles sur lesquels on travaille, les principes de logique qu'on va appliquer et l'axiomatique première qui est la base de l'édifice

Donc sur N

1. l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel
2. Tout entier naturel n a un unique successeur, souvent noté s(n) ou S n (ou autres variantes).
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

Mais de quoi parles tu ?

Je n'ai pas besoin de la théorie de Peano pour définir les entiers.

Les cailloux me suffisent...

Et les entiers étaient définis par des cailloux bien avant Peano ou Euclide...

Pas exactement contrexemple pas exactement.

Ce ne sont pas les cailloux qui t'intéressent, c'est leur dénombrement.

Et pour se faire, tu as besoin d'un concept qui s'appelle l'entier naturel.

Et tu as notamment le besoin qu'un successeur existe à chaque entier naturel parce qu'autrement, tu ne pourrais pas savoir que 3 cailloux, c'est 1 de plus que 2 cailloux.

Tu ne pourrais pas additionner, soustraire, multiplier.

Les cailloux sont dans la chaussure si tu veux les compter.

Si je te dis combien font 15 344 cailloux x 32 458 cailloux, il va te falloir des montagnes et du temps pour répondre.

Il va me falloir 2 secondes avec mes entiers naturels.

D'où leur succès et la place laissée aux cailloux dans nos montagnes.

1/Pas exactement contrexemple pas exactement.

Ce ne sont pas les cailloux qui t'intéressent, c'est leur dénombrement.

Et pour se faire, tu as besoin d'un concept qui s'appelle l'entier naturel.

Et tu as notamment le besoin qu'un successeur existe à chaque entier naturel parce qu'autrement, tu ne pourrais pas savoir que 3 cailloux, c'est 1 de plus que 2 cailloux.

Tu ne pourrais pas additionner, soustraire, multiplier.

Les cailloux sont dans la chaussure si tu veux les compter.

2/Si je te dis combien font 15 344 cailloux x 32 458 cailloux, il va te falloir des montagnes et du temps pour répondre.

3/Il va me falloir 2 secondes avec mes entiers naturels.

D'où leur succès et la place laissée aux cailloux dans nos montagnes.

1/Pour l'addition, il suffit de mélanger les 2 tas de cailloux à additionner.

Pour la multiplication de n cailloux par m cailloux, il suffit de construire un rectangle complet de n cailloux de longueur et m cailloux de largeur en complétant à l'aide de cailloux, le centre.

2/C'est juste un modèle physique, ainsi l'arithmétiques redeviendrait ce qu'elle n'aurait jamais dû cesser d'être : une science expérimentale.

3/Oui, mais avec de possible erreurs.

Ce qui est certain, c'est qu'entre l'ambition mathématique initiale et le contentement final devant un mont de cailloux, tu as révisé l'objectif de ce post

Non seulement l'homme a appris à dénombrer, additionner, multiplier et diviser progressivement et de plus en plus largement au travers de l'histoire mais cette capacité de conceptualisation et la "déraisonnable efficacité des mathématiques" a conduit au progrès technologique dont nous bénéficions dans tous les aspects de la vie

Je ne sais pas si tu contrôles tes factures avec des cailloux mais je sais que tu communiques avec moi via l'ordinateur, le monde numérique et les si nombreuses améliorations rendues possibles par les mathématiques, la logique et la conceptualisation

Un échange intéressant pour moi, a toi de voir ce que tu en retireras toi aussi

Pas d'approfondir les maths visiblement

Ce qui est certain, c'est qu'entre l'ambition mathématique initiale et le contentement final devant un mont de cailloux, tu as révisé l'objectif de ce post

Non seulement l'homme a appris à dénombrer, additionner, multiplier et diviser progressivement et de plus en plus largement au travers de l'histoire mais cette capacité de conceptualisation et la "déraisonnable efficacité des mathématiques" a conduit au progrès technologique dont nous bénéficions dans tous les aspects de la vie

Je ne sais pas si tu contrôles tes factures avec des cailloux mais je sais que tu communiques avec moi via l'ordinateur, le monde numérique et les si nombreuses améliorations rendues possibles par les mathématiques, la logique et la conceptualisation

Un échange intéressant pour moi, a toi de voir ce que tu en retireras toi aussi

Pas d'approfondir les maths visiblement

Pour viser juste il faut sans cesse ajuster.

Je n'exclus pas le fait de me tromper et d'ailleurs je me trompe souvent.

Mais bon je me laisse encore un an...

Je pense toujours que les axiomes de l'arithmétiques ont des contrexemples.

Et si je m'en tiens à mon expérience passé, tu peux dormir sur tes deux oreilles, même si de te le dire est pour toi inutile, mais j'ai l'espoir tenace d'y arriver, un jour.

et bien je t'invite à étudier les théorèmes d'incomplétude de Gödel dont les énoncés se rapprochent de tes objectifs

Mais pour me permettre une analogie, ce serait un peu comme considérer la griffe sur un 38 tonnes pour considérer qu'il ne serait pas apte à transporter sa marchandise

Quand il faut transporter ce mont de cailloux, relever la griffe est d'un intérêt mineur sauf si on maîtrise la technologie complète du camion et qu'elle vous empêche de dormir

Bref, il faut beaucoup aimer et beaucoup étudier les maths pour generalement se rendre compte que le génie est rare et qu'on en est dépourvu

Bref, bonne chance

Regarde perelman par exemple ou villani et considère qu'en ayant le talent d'un maradona il leur a fallu bien plus d'un an

Vu d'ici, je suis pessimiste sauf à confondre avancement et reconnaissance du raisonnement par une communauté et contentement personnel

Ceci dit, je ne suis pas content moi non plus et c'est sans doute une quête aussi louable

Tchusss

Cela fait déjà 9 ans que j'y travaille, je me suis donné un an de plus.

Le cœur du projet consiste à trouver une stratégie résolvant les problèmes NP-complet.

Bonne fin de journée.

problème millénaire?!

Oui et non, car ma stratégie c'est de trouver un mode de raisonnement collectif qui permette de résoudre ces problèmes, alors que pour décrocher le prix Clay, il faut soit prouver que NP<>P, soit prouver que NP=P, et moi ce qui m'intéresse c'est la résolution pratique, pas celle théorique, c'est à dire qu'une heuristique qui marche sans prouver mathématiquement quelle marche, me suffirait amplement.

A 6 millions de dollars la démonstration théorique, je comprends pourquoi ne pas s'y atteler.

Ceci dit, je ne vois pas bien comment disposer d'un outil pratique qui réponde à une question théorique il va en falloir des cailloux !

Oui et non, car ma stratégie c'est de trouver un mode de raisonnement collectif qui permette de résoudre ces problèmes, alors que pour décrocher le prix Clay, il faut soit prouver que NP<>P, soit prouver que NP=P, et moi ce qui m'intéresse c'est la résolution pratique, pas celle théorique, c'est à dire qu'une heuristique qui marche sans prouver mathématiquement quelle marche, me suffirait amplement.

NP<>P: moi je comprend pas les maths, cette relation est elle logique?